11.1 MATE 3013
El cálculo diferencial
Cambios en variables.
DEFINICION: La razón de cambio promedio con respecto a x, a medida que x cambia de x 1 a x 2, es la razón entre el cambio en los valores de salida y los valores de entrada : y 2 y 1, x 2 x 1 donde x 2 x 1.
DEFINICION (conclusión): Si miramos la gráfica de f, observamos que y 2 y 1 f (x ) f (x ) 2 1, x 2 x 1 x 2 x 1 representa la razón de cambio promedio y a la vez, es la pendiente de la recta que va desde P(x 1, y 1 ) a Q(x 2, y 2 ). La recta PQ, se conoce como una recta secante.
Ejemplo 1: Para y f (x) x 2 de cambio promedio a medida que: a) x cambia de 1 a 3. b) x cambia de 1 a 2. c) x cambia de 2 a 3. Solución: a) Cuando x 1 = 1, Cuando x 2 = 3, La razón de cambio promedio es determinar la razón y f (x 1 ) f (1) 1 2 1. y f (x 2 ) f (3) 3 2 9. 9 1 3 1 8 2 4.
Ejemplo 2 (conclusión): y f (x 1 ) f (1) 1 2 1. y f (x 1 ) f (2) 2 2 4. b) Cuando x 1 = 1, Cuando x 2 = 2, La razón de cambio promedio es 4 1 2 1 3 1 3. y f (x 1 ) f (2) 2 2 4. y f (x 1 ) f (3) 3 2 9. c) Cuando x 1 = 2, Cuando x 2 = 3, La razón de cambio promedio es 9 4 3 2 5 1 5.
La razón de cambio promedio es Práctica corta 1 Instrucciones: Describa en una oración corta la razón de cambio promedio para cada situación. No olvide incluir unidades. a.) Llovió 4 pulgadas en un periodo de 8 horas. 4 in 0 in 4 in 1 in La razón de cambio promedio se calcula:. 8 hr 0hr 8 in 2hr Descripción: La razón promedio de lluvia fue de pulgadas por hora.
La razón de cambio promedio es Práctica corta (continuación) b.) Tu carro viaja 250 millas con 20 galones de gasolina. La razón de cambio promedio se calcula: Descripción: El promedio de las millas viajadas es 12.5 millas por galón. c.) A las 2 p.m., la temperatura era 82 degrees. A las 5 p.m., la temperatura era 76 degrees. La razón de cambio promedio se calcula: 250mi 0 mi 250 mi 25 mi. 20 gal 0 gal 20 gal 2 gal 82 76 grados 2 PM 5PM = 6 3 = 2 Descripción: El cambio promedio en temperatura fue de 2 grados por hora. Note que el negativo NO se escribe en la descripción, solo se interpreta como que la temperatura bajó durante esas horas.
DEFINICION: La razón de cambio promedio de f con respecto a x también se llama el cociente diferencial y está dada por f (x h) f (x), h El cociente diferencial es igual a la pendiente de la recta secante a la curva. donde h 0.
f (x h) f (x) h, El cociente de diferencias es una FORMULA, que nos permite calcular la pendiente de una recta secante usando cualquier par de puntos que pertenecen a la curva bajo estudio. (x, f (x)) y (x+h, f (x+h)).
Ejemplo 2: Dado f (x) x 2, determinar el cociente de diferencias cuando a) x = 5 y h = 3. b) x = 5 y h = 0.1. a) 1) Se sustituye x = 5 y h = 3 en la fórmula:
Ejemplo 2: Interpretamos el resultado gráficamente Recta secante que pasa por dos puntos. La pendiente de la recta secante que pasa por (5, 25) y (8, 64) es
Ejemplo 2 (cont.): b) (1)Sustituimos x = 5 y h = 0.1 en la fórmula: f ( x h) f ( x) h 5.1 5 0.1 2 2 f(5 0.1) f(5) f(5.1) f(5) 0.1 0.1 26.01 25 0.1 1.01 0.1 10.1
Ejemplo 2 (conclusión): Recta secante que pasa por dos puntos. La pendiente de la recta secante que pasa por (5, 25) y (8, 64) es f ( x h) f ( x) h 10.1
f (x) x 2 hallar una fórmula para el cociente diferencial para cualquier punto en la curva. Ejemplo 3: Para f x + h f(x) h x + h = 2 (x) 2 h = x2 + 2xh + h 2 (x) 2 h 2xh + h2 = h = h(2x + h) h = 2x + h
Ejemplo 3: (cont.) Ahora para hallar el cambio promedio para f x = x 2 entre x = 3 y x=3.5 usamos la fórmula para el cociente diferencial que obtuvimos: f x + h f(x) h = 2x + h = 2 3 + = 6 + = 6.5 Recordemos que h = x x = x 2 x 1 x = 3.5 3 x =.5 El cambio promedio en y cuando x cambia de 3 a 3.5 es 6.5. La pendiente de la recta secante que pasa por (3,9) y (3.5, 12.25) es 6.5.
f x x 3 hallar una fórmula para el cociente diferencial para cualquier punto en la curva. Ejemplo 4: Para x 3x h 3xh h x h 2 2 h 3x 3xh h h 2 2 3x 3 xh h, h 0. 3 2 2 3 3
Ejemplo 4: (cont.) Ahora para determinar el cambio promedio para f x = x 3 entre x = 2 y x = 3, usamos la fórmula para el cociente diferencial que obtuvimos: f x + h f(x) h = = 3(2) 2 +3(2)(1) + 1 2 = 12 + 6 + 1 = 19 h = x x = x 2 x 1 x = 3 2 x = 1 El cambio promedio en y cuando x cambia de 2 a 3 es 19. La pendiente de la recta secante que pasa por (2,8) y (3,27) es 19.
f x 3 hallar una fórmula x simplificada para el cociente diferencial Ejemplo 5: Para 3 x x h, h 0.
Ejemplo 6: Utilizar la gráfica para estimar la razón de cambio promedio en el por ciento de nuevos empleados en Construcción entre 2005 y 2008. En el 2005, un 9% de empleados en Construcción eran nuevos. En el 2008, un 4% de empleados en Construcción eran nuevos.
Ejemplo 6: Utilizar la gráfica para estimar la razón de cambio promedio en el por ciento de nuevos empleados en Construcción entre 2005 y 2008. En el 2005, un 9% de empleados en Construcción eran nuevos. En el 2008, un 4% de empleados en Construcción eran nuevos.
Ejemplo 7 : Un submarino lanza un proyectil, la altura (en metros) por encima del nivel del mar, está dada por la función cuadrática: f (x) = -12x 2 + 72x - 60 donde x es el tiempo en segundos. a) Construya una tabla calculando valores para x desde 1 hasta 5 en intervalos de
Ejemplo 7 (cont.) : Un submarino lanza un proyectil,. f (x) = -12x 2 + 72x 60 donde x es el tiempo en segundos. a) Trace los puntos en un plano y esboce la gráfica. b) Calcule el cociente de diferencias entre cada dos puntos de la tabla. P 2 P 1 = P 3 P 2 = P 4 P 3 = P 5 P 4 = P 6 P 5 = P 7 P 6 = P 9 P 8 =
P 2 P 1 = 42 P 3 P 2 =30 P 4 P 3 = 18 P 5 P 4 = 6 P 6 P 5 6 P 7 P 6 18 P 9 P 8 = 42 Razón de cambio promedio Ejemplo 7 (cont.) : Un submarino lanza un proyectil,. f (x) = -12x 2 + 72x 60 donde x es el tiempo en segundos. a) Trace los puntos en un plano y esboce la gráfica. b) Calcule el cociente de diferencias entre cada dos puntos de la tabla.
P 2 P 1 = 42 P 3 P 2 =30 P 4 P 3 = 18 P 5 P 4 = 6 P 6 P 5 6 P 7 P 6 18 P 9 P 8 = 42 Razón de cambio promedio Ejemplo 7 (cont.) : Un submarino lanza un proyectil,. f (x) = -12x 2 + 72x 60 donde x es el tiempo en segundos. c) Qué patrones observas en los cálculos? d) Llene los blancos adecuadamente: Cuando la función es creciente, las pendientes de las rectas secantes son. Cuando la función decrece las pendientes de las rectas secantes horizontales son. Las pendiente de las rectas horizontales (paralelas al eje x) son iguales a.
Práctica adicional Ejemplo 7: Según los datos de La Liga Superior de Beisbol, el precio promedio de un boleto para un partido de Grandes Ligas se puede aproximar con la siguiente función, donde x es el número de años a partir de 1991 y p(x) es en dólares. (Fuente de los datos: www.teammarketing.com) Determina: p x = 0.03x 2 + 6x + 8.63 a) el precio de un boleto en 1995 p 4 = 0.03(4) 2 +6(4) + 8.63 p 4 = 0.48 + 2.24 + 8.63 p 4 = $11.35 b) el precio de un boleto en 2008 p 17 = 0.03(17) 2 +6(17) + 8.63 p 17 = 8.67 + 9.52 + 8.63 p 17 = $26.82
Ejemplo 7 (cont): Según los datos de La Liga Superior de Beisbol, el precio promedio de un boleto para un partido de Grandes Ligas se puede aproximar con la siguiente función, donde x es el número de años a partir de 1991 y p(x) es en dólares. (Fuente de los datos: www.teammarketing.com) Determina: c) p 17 p(4) 17 4 p x = 0.03x 2 + 6x + 8.63. Interpreta este resultado. 26.82 11.35 = 17 4 = 15.47 13 1.19 El precio promedio de un boleto para un partido de Grandes Ligas ha aumentado un promedio de $1.19 anuales desde 1991.
Ejemplo 8: La cantidad de dinero en una cuenta de ahorro que tiene un balance inical de $2000 y recibe un 6% de interés compuesto 4 veces en el año está dado por Determina: a) A 3 A t = 2000(1.015) 4t b) A 5 A 3 = 2000(1.015) 4(3) A 3 = $2391.24 A 5 = 2000(1.015) 4(5) A 5 = $2693.71
Ejemplo 8: La cantidad de dinero en una cuenta de ahorro que tiene un balance inical de $2000 y recibe un 6% de interés compuesto 4 veces en el año está dado por A t = 2000(1.015) 4t Determina: c) A 5 A(3). Interpreta este resultado. 5 3 2693.71 2391.24 = 5 3 = 302.47 La cuenta aumenta un promedio de 2 $151.24 anuales. $151.24