GEOMETRÍA PLANA 3º E.S.O. POLÍGONO.- Un polígono es una figura geométrica plana y cerrada limitada por tres o más segmentos llamados lados. El triángulo (tres lados), el cuadrilátero (cuatro lados), el pentágono (cinco lados), el hexágono (seis lados), etc.. son polígonos. Un polígono es regular si tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales. ÁNGULOS DE UN POLÍGONO.- La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180º. La suma de todos los ángulos interiores de un polígono de n lados es. S Ángulos int eriores 180º n ( ) Ya que: al trazar todas las diagonales de un polígono de n lados, el polígono se divide ( n ) triángulos (cuyos ángulos interiores suman 180º) Como un polígono regular tiene todos sus ángulos interiores iguales: Cada ángulo interior de un polígono regular de n lados mide: α ( n ) n 180º RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO.- MEDIATRICES Y CIRCUNCENTRO: La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento, trazada en su punto medio.
Todos los puntos de la mediatriz se encuentran a igual distancia (equidistan) de los extremos del segmento A y B. Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de cada uno de sus tres lados. Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro, que está situado a igual distancia de los tres vértices y es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. BISECTRICES E INCENTRO: La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por su vértice y divide al ángulo en dos partes iguales. A Todos los puntos de la bisectriz se encuentran a igual distancia (equidistan) de los dos lados del ángulo. Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de cada uno de sus tres ángulos. Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro, que está situado a igual distancia de los tres lados y es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. MEDIANAS Y BARICENTRO: Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan por cada vértice y por el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro, que cumple que su distancia al vértice es doble de su distancia al punto medio del lado opuesto.
ALTURAS Y ORTOCENTRO: Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada lado (o a su prolongación) trazadas desde su vértice opuesto. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro. POLÍGONOS SEMEJANTES.- Dos polígonos son semejantes si tienen todos sus ángulos iguales y los lados correspondientes (homólogos) proporcionales. El cociente entre las medidas de los lados homólogos (copia: original) de dos polígonos semejantes, se llama razón de semejanza: D' D' E' E' k AB BC CD DE EA (razón de semejanza) Siempre que dos polígonos semejantes, el más grande es fotocopia ampliada del más pequeño. TRIÁNGULOS SEMEJANTES: Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres ángulos iguales y sus lados son proporcionales.
TEOREMA DE THALES.- Si las rectas a, b y c son paralelas y cortan a otras dos rectas, r y s, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales: AB BC AB BC AC, es decir: AB AC TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE THALES: Si en un triángulo ABC trazamos una recta cualquiera paralela a uno de los lados, que corte a los otros dos, se determina un triángulo más pequeño AB ', semejante al primero. Los triángulos ABC y AB ' se dice que están en posición de Thales. TEOREMA DE PITÁGORAS.- En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa: a b + c Y viceversa, es decir: CÓMO SABER SI UN TRIÁNGULO ES RECTÁNGULO? Si a, b y c son los tres lados de un triángulo y a es el mayor de los tres: Si Si Si b + c a el triángulo es rectángulo. b < + c a el triángulo es obtusángulo. b > + c a el triángulo es acutángulo.
APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS.- El teorema de Pitágoras se puede aplicar en cualquier triángulo rectángulo que forme parte de una figura geométrica. Algunos casos bastante usuales son: Al trazar una altura de un triángulo cualquiera, el triángulo queda dividido en dos triángulos rectángulos. En cualquiera de ellos se puede utilizar el teorema de Pitágoras. Al trazar una diagonal en un rectángulo, este se divide en dos triángulos rectángulos. En cualquiera de ellos se puede aplicar el teorema de Pitágoras. Al trazar una altura en un trapecio, se forma un triángulo rectángulo en el que se puede aplicar el teorema de Pitágoras. Al trazar las dos diagonales de un rombo, se forman cuatro triángulos rectángulos iguales en los que se puede aplicar el teorema de Pitágoras. En un polígono regular, la apotema, el radio y la mitad del lado, forman un triángulo rectángulo en el que se puede aplicar el teorema de Pitágoras.
LONGITUDES Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS.- LONGITUDES Y ÁREAS DE FIGURAS POLIGONALES: El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados. El área de un polígono es la medida de su superficie. ÁREA DE TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS: TRIÁNGULO CUADRADO RECTÁNGULO b h a b a ROMBOIDE ROMBO TRAPECIO b a D d ( B + b) a POLÍGONO REGULAR TRAPEZOIDE P a suma de las áreas de los dos triángulos El área de cualquier polígono se calcula dividiéndolo en otros polígonos de los que sabemos calcular su área.
LONGITUDES Y ÁREAS DE LAS FIGURAS CIRCULARES: Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que se encuentran a igual distancia (equidistan) de un punto fijo llamado centro. La distancia de cada punto al centro, se llama radio. El círculo es la superficie plana contenida dentro de la circunferencia. La longitud de la circunferencia es: L π r Un sector circular es una parte de un círculo limitado por dos radios y un arco. La corona circular es la superficie comprendida entre dos circunferencias concéntricas. Un trapecio circular es la porción de corona circular comprendida entre dos radios. Un segmento circular es la parte de círculo limitado por un arco y su cuerda. CÍRCULO SECTOR CIRCULAR CORONA CIRCULAR π r π r 360º α A π ( R r ) TRAPECIO CIRCULAR SEGMENTO CIRCULAR ( R r ) π α 360º A A sec tor Atriángulo