Límites y continuidad Cálculo 1
Razones de cambio y límites La rapidez promedio de un móvil es la distancia recorrida durante un intervalo de tiempo dividida entre la longitud del intervalo.
Ejemplo 1 Una piedra cae desde una altura de 50 metros. Cuál es la rapidez promedio durante a) los 2 primeros segundos de la caída y durante b) 1 segundo del segundo 1 al segundo 2? La caída esta gobernada por la siguiente ecuación y = 5.1 t 2 m a) los primeros 2 segundos: b) del segundo 1 al 2:
Ejemplo 2 Hallar la rapidez de la piedra en t = 1 y en t =2. La rapidez promedio en el intervalo [t 0, t 0 + h] es Como no se puede dividir entre 0, hacemos h = 1, 0.1, 0.01, 0.001 y 0.0001 y obtenemos la siguiente tabla Longitud del intervalo de tiempo h Rapidez promedio en un intervalo de tiempo de longitud h, empezando en t 0 = 1 1 15.3 25.5 0.1 10.71 20.91 0.01 10.251 20.451 0.001 10.2051 20.4051 0.0001 10.20051 20.40051 Rapidez promedio en un intervalo de tiempo de longitud h, empezando en t 0 = 2 Los valores tienden a 10.2 en t = 1 y 20.4 en t =2.
Rectas secantes La razón de cambio promedio de y = f(x) con respecto a x en el intervalo [x 1, x 2 ] es y y = f(x) Q(x 2,f(x 2 )) secante Δy P(x 1,f(x 1 )) Δx x 1 x 2 x
Límites de funciones Analicemos la función: La función está definida para toda x diferente de 1. Podemos simplificar la función de la siguiente manera: x 1 y y 2 2 1 1 y = x + 1 1 0 1 x 1 0 1 x
Valores de x menores y mayores 1ue 1 x 1 0.9 1.1 0.99 1.01 0.999 1.001 0.999999 1.000001 1.9 2.1 1.99 2.01 1.999 2.001 1.999999 2.000001 Decimos que f8x) está muy cercano a 2 conforme x se aproxima a 1.
Definición informal de límite Sea f(x) definida en un intervalo alrededor de x 0, posiblemente excepto en x 0. Si f (x) se acerca de manera arbitraria a L para toda x suficientemente cerca de x 0, se dice que f se aproxima al límite L conforme x se aproxima a x 0, y se escribe y y y 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 1 x 0 1 x 0 1 x
Funciones sin límite en un punto Crece demasiado y La función salta x Oscila demasiado
Ejercicio Encontrar y y = g(x) 1 1 2 3 x
Tarea #9 Haga una tabla con los valores de g(x) en los puntos 5.9, 5.99, 5.999,... y para 6.1, 6.01, 6.001,... Cual es el lim x 6 g(x)? Haga tablas con los valores de G en valores de t que se aproximan a t 0 = 0 por arriba y por abajo. Luego estime lim t 0 G(t).
Reglas para calcular límites Teorema #1 Las reglas siguientes son válidas si lim x c f(x) = L y lim x c g(x) = M (L y M son números reales) 1. Regla de la suma: lim x c [f(x) + g(x)] = L + M 2. Regla de la resta: lim x c [f(x) g(x)] = L M 3. Regla del producto: lim x c f(x) g(x) = L M 4. Regla del producto: lim x c k f(x) = kl por una constante 5. Regla del cociente: lim x c f(x) / g(x) = L / M, M 0 6. Regla de la potencia: lim x c [f(x)] m/n = L m/n
Límites de Polinomios Teorema #2 Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución Si P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +...+ a 0, entonces lim x c P(x) = P(c) = a n c n + a n 1 c n 1 +...+ a 0 Teorema #3 Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el límite del denominador no es cero. Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c) 0, entonces lim x c P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)
Eliminación de denominador cero Si en el cálculo del límite de una fracción el denominador es cero, se puede en algunos casos simplificar la fracción y calcular el límite.
Teorema del emparedado supóngase que g(x) f(x) h(x) para toda x en algín intervalo abierto que contenga a c, excepto posiblemente en x = c. Supóngase tambien que Entonces y h L f g c x
ejemplos
Uso del teorema del emparedado Demostración del límite de sen(θ)/θ cuando θ tiende a 0 De la figura se ve que: sen θ θ tan θ Dividiendo entre sen θ : T 1 θ /sen θ tan θ / sen θ = 1/cos θ Invirtiendo cada término 1 P 1 sen θ / θ cos θ Tomando el límite 1 tan θ lim θ 0 1 lim θ 0 sen θ / θ lim θ 0 cos θ sen θ arco de longitud θ pero θ lim θ 0 cos θ = 1 O cos θ Q A(1, 0) Por el teorema del emparedado lim θ 0 sen θ/θ = 1
Límites de razones de cambio En cálculo aparecen límites de la forma: Ejemplo: Sea f(x) = x 2 encuentre el límite de la razón de cambio en x = 2 Sustituyendo valores
Tarea #10 Evalúe el límite de la razón de cambio para: f(x) = 3x 4, x = 2 f(x) = 1/x, x = 2
Control de una función lineal Valores objetivo Qué tan cerca de x 0 = 4 debemos mantener el valor de entrada x para estar seguros de que el resultado de y = 2x 1 a menos de 2 unidades de y = 7? Para que valores de x es y 7 < 2 y 7 = (2x 1) 7 = 2x 8 y y = 2x 1 o 2x 8 < 2 Resolviendo 3 < x < 5 o 1 < x 4 < 1 Para controlar esto 9 7 5 Cota superior Cota inferior 3 4 5 x Restringe esto
ejemplo Por qué las marcas de una taza de medir de un litro miden alrededor de un milímetro de ancho? Si la taza es un cilindro circular recto de 6 cm de radio, el volumen es V = π6 2 h = 36πh Con qué precisión se debe medir h para medir 1 L(1000 cm 3 ) con un error no mayor de 1% (10 cm 3 )? r = 6 cm Para que valores de h se satisface V 1000 = 36πh 1000 10 36πh 1000 10 h 10 36πh 1000 10 990 36πh 1010 990 /36π h 1010 /36π 8.8 h 8.9 8.9 8.8 = 0.1 cm = 1 mm
Proceso del cálculo de un límite y = f(x) y = f(x) L +1/10 L +1/10 L L L 1/10 L 1/10 O x 0 O x 0 +δ 1/10 x 0 x 0 +δ 1/10 hacer que f (x) L < ε = 1/10 Respuesta: x x 0 < δ 1/10 (un número) L +1/100 L L 1/100 y = f(x) L +1/100 L L 1/100 y = f(x) O x 0 O x 0 +δ 1/100 x 0 x 0 +δ 1/100 hacer que f (x) L < ε = 1/100 Respuesta: x x 0 < δ 1/100
L +1/1000 y = f(x) L +1/1000 y = f(x) L L L 1/1000 L 1/1000 O x 0 hacer que f (x) L < ε = 1/1000 O x 0 +δ 1/1000 x 0 Respuesta: x x 0 < δ 1/1000 x 0 +δ 1/1000 L +1/1000000 y = f(x) L +1/1000000 y = f(x) L L L 1/1000000 L 1/1000000 O x 0 hacer que f (x) L < ε = 1/1000 O x x 0 x 0 +δ 1/1000000 0 +δ 1/1000000 Respuesta: x x 0 < δ 1/1000000
Definición de límite Sea f(x) definido sobre un intervalo abierto alrededor de x 0, excepto posiblemente en x 0. Decimos que f(x) tiende al límite L cuando x tiende a x 0 y escribimos si, para cada número ε > 0, existe un número correspondiente δ > 0 tal que para toda x 0 < x x 0 < δ f(x) L < ε
Como encontrar una δ Cómo encontrar algebraicamente una δ para f, L, x 0, y ε > 0 dados Para hallar una δ > 0 tal que para toda x Deben seguirse dos pasos 0 < x x 0 < δ f(x) L < ε Paso1. Resolver la desigualdad f(x) L < ε para encontrar un intervalo abierto (a, b) alrededor de x 0, en el cual se cumpla la desigualdad para toda x x 0. Paso 2. Hallar un valor δ > 0 que haga que el intervalo abierto (x 0 δ, x 0 + δ) con centro en x 0 esté contenido en (a, b). La desigualdad f(x) L < ε se cumplirá para toda x x 0 en este intervalo determinado por δ.
Tarea #11 Hallar una δ > 0 tal que para toda x 0 < x x 0 < δ f(x) L < ε Dados f(x) = 2x 2, L = 6, x 0 = 2, ε = 0.02 f(x) = 19 x, L = 3, x 0 = 10, ε = 1 Paso1. Resolver la desigualdad f(x) L < ε para encontrar un intervalo abierto (a, b) alrededor de x 0, en el cual se cumpla la desigualdad para toda x x 0. Paso 2. Hallar un valor δ > 0 que haga que el intervalo abierto (x 0 δ, x 0 + δ) con centro en x 0 esté contenido en (a, b). La desigualdad f(x) L < ε se cumplirá para toda x x 0 en este intervalo determinado por δ.
Demostración de teoremas Regla para el límite de una suma Dado que lim x c f(x) = L y lim x c g(x) = M, demostrar que lim x c (f(x) + g(x)) = L + M Sea ε > 0, se quiere hallar un número positivo δ tal que para toda x 0 < x x 0 < δ f(x) + g(x) (L + M) < ε Reagrupando f(x) + g(x) (L + M) = (f(x) L) + (g(x) M) f(x) L + g(x) M Ya que lim x c f(x) = L, Existe δ 1 > 0 tal que para toda x Análogamente 0 < x x 0 < δ 1 f(x) L < ε/2 0 < x x 0 < δ 2 g(x) M < ε/2 Sea δ= min(δ 1, δ 2 ) por lo tanto f(x) + g(x) (L + M) < ε/2 + ε/2 = ε Esto muestra que lim x c (f(x) + g(x)) = L + M
Límites por un lado Definición informal de límite por la izquierda y límite por la derecha Sea f(x) una función definida en un intervalo (a, b) donde a < b. Si f(x) está arbitrariamente cerca de L cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos que L es el límite por la derecha de f en a, y escribimos Sea f(x) una función definida en un intervalo (c, a) donde a < b. Si f(x) está arbitrariamente cerca de M cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos que M es el límite por la izquierda de f en a, y escribimos
Límites por un lado y bilaterales Una función f(x) tiene un limite cuando x tiende a c si y sólo si tiene límites por la derecha y por la izquierda en ese punto y éstos son iguales: Lim x c f (x) = L Lim x c f (x) = L y Lim x c+ f (x) = L
y Ejemplo y = f (x) 2 1 0 1 2 3 4 x
Tarea #12 cuáles límites son verdaderos y cuales son falsos? a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)
Límites infinitos Si el valor de una función crece rebasando el valor de cualquier real positivo, se dice que la función tiende a un límite infinito positivo. Similarmente si el valor de la función disminuye rebasando el valor de cualquier real negativo, se dice que la función tiende a un límite infinito negativo.
Ejemplos y y = 1/x x
y y = 1/(x 1) x
y x
y x
Límites de funciones racionales
Definición formal de límite Límite por la derecha lateral Decimos que f(x) tiene un límite por la derecha L en x 0, y escribimos Si para cada número ε > 0 existe un número δ > 0 tal que para toda x x 0 < x < x 0 + δ f(x) L < ε Límite por la izquierda Decimos que f(x) tiene un límite por la izquierda L en x 0, y escribimos Si para cada número ε > 0 existe un número δ > 0 tal que para toda x x 0 δ < x < x 0 f(x) L < ε
Definición formal de límites Límites infinitos infinitos Decimos que f(x) se aproxima a infinito cuando x tiende a x 0, y escribimos Si para cualquier número real positivo B existe un número δ > 0 tal que para toda x 0 < x x 0 < δ f(x) > B Decimos que f(x) se aproxima a menos infinito cuando x tiende a x 0, y escribimos Si para cualquier número real negativo B existe un número δ > 0 tal que para toda x 0 < x x 0 < δ f(x) < B
Continuidad en un punto Continuidad Una función f es continua en un punto interior x = c de su dominio, si
Ejemplos y 1 y = f(x) 1 y = f(x) 0 x 0 x y y 2 1 y = f(x) 1 y = f(x) x 0 x
Tipos de discontinuidades Discontinuidad escalonada Discontinuidad oscilante Discontinuidad infinita Discontinuidad removible
Continuidad en los extremos Una función f es continua en el extremo izquierdo x = a de su dominio, si Una función f es continua en el extremo derecho x = b de su dominio, si y = f(x) a c b
Criterio de continuidad Una función f es continua en un punto x = c si y solo si cumple las tres condiciones siguientes: 1. f(c) existe (c está en el dominio de f) 2. Lim x c f(x) existe (f tiene un límite cuando x c) 3. Lim x c f(x) = f(c) (el límite es igual al valor de la función)
Ejemplo y y = f (x) Continua 2 1 0 1 2 3 4 Discontinua x
Reglas de continuidad Teorema 6 Si las funciones f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes funciones son continuas en: 1. f + g y f g 2. f g 3. kf, donde k es cualquier número 4. f/g (si g(c) 0) 5. (f(c)) m/n (si f(x) está definida en un intervalo que contenga a c, y m y n son enteros)
Continuidad de polinomios Teorema 7 Todo polinomio es continuo en cualquier punto de la recta real. Toda función racional es continua en todo punto donde el denominador sea distinto de cero. Ejemplo: Es continua para toda x, excepto en x = 0 y x = 2. La función f(x) = x es continua dado que f(x) = x (un polinomio) si x>0 y f (x) = x (un polinomio) si x < 0 y además lim x 0 x = 0.
Continuidad de la composición Teorema 8 Si f es continua en c, y g es continua en f(c), entonces g f es continua en c. g f f Continua en c g Continua en c f (c) Continua en f(c) g(f (c))
Ejemplos
Tarea #14 Diga si la función es continua y porque en x = 1, 0, 1 y 2. 1-1 0 1 2 En qué puntos son continuas las siguientes funciones? a) b) c)
Extensión continua en un punto Para una función racional f(x), si f(c ) no está definida, pero lim x c f(c ) = L, se puede definir una función F(x) usando la regla F(x) = f(x) si x está en el dominio de f L si x = c Ejemplo: Se puede simplificar en: Que es continua en x = 2
Teorema del valor intermedio Teorema 9 Suponga que f(x) es continua en un intervalo I, y que a y b son dos puntos en I. Entonces, si y 0 es un número entre f(a) y f(b), existe un número c entre a y b tal que f(c) = y 0. y f(b) f(c) f(a) 0 a b c x
Consecuencias del teorema del valor intermedio Conexidad La gráfica de una función continua no debe tener salto, debe ser conexa, una curva ininterrumpida. Búsqueda de raíces Una raíz es una solución a la ecuación f(x) = 0. Si el valor de la función f(x) cambia de signo en algún intervalo, entonces debe tener una raíz dentro del intervalo.
Ejemplos Definir g(3) de modo que extienda a g(x) = (x 2 9)/(x 3) y sea continua en x = 3. Definir g(4) de modo que extienda a g(x) = (x 2 16)/(x 2 3x 4) y sea continua en x = 4.
Explicar por qué la ecuación cos x =x tiene al menos una solución Demuestra que la ecuación x 3 15x + 1 = 0 tiene 3 soluciones en el intervalo [-4, 4]. Dar un ejemplo de funciones f y g, ambas continuas en x = 0, para las cuales la composición f g sea discontinua en x = 0. Contradice el teorema 8?
Tarea #15 Para que valor de a, f(x) es continua para toda x? f(x) = x 2 1 x<3 2ax x 3 Definir f(4) de modo que extienda a f(x) = (x 3 1)/(x 2 1) y sea continua en x = 1. Demuestra que la función f(x) = (x a) 2 (x b) 2 + x toma el valor (a + b)/2.
Rectas tangentes La recta L es tangente al círculo en el punto P. La tangente es perpendicular al radio OP. P L O
Definición de tangente(?) 1. L pasa por P y es perpendicular a la recta que pasa por P y por el centro de C. 2. L pasa por un solo punto de C, a saber, P. 3. L pasa por P y queda de un solo lado de C. L C L L P C C P P L toca un solo punto de C L es tangente a C en P, pero toca a C en varios puntos L es tangente a C en P, pero está en ambos lados de C