GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Propiedades y operatoria de números enteros Programa Entrenamiento Desafío Un número n, en los enteros positivos, tiene un total de p divisores positivos distintos. Luego, es correcto afirmar que si Matemática I) p =, entonces n es un número primo. II) p = 3, entonces n es un cuadrado perfecto. III) p = 4, entonces n es un cubo perfecto. Es (son) verdadera(s) GUICEN3MT-A6V A) solo I. B) solo I y II. C) solo II y III. D) I, II y III. E) ninguna de ellas. Resolución Mis observaciones
Programa Entrenamiento - Matemática Marco teórico Introducción El conjunto universo en matemática son los números complejos (C). Entre ellos es posible distinguir los números imaginarios (I) y...... los números reales (R). Este, se divide en dos grandes conjuntos: Los números racionales (Q) son aquellos que pueden escribirse como una fracción de números enteros, con denominador distinto de cero, lo que incluye a... Los números irracionales (Q*) son aquellos que no pueden escribirse como una fracción de números enteros, lo que incluye a...... los números enteros (Z), las fracciones, los números decimales finitos y los números decimales infinitos con periodicidad (periódicos y semiperiódicos).... los números decimales infinitos sin periodicidad (por ejemplo, raíces y logaritmos inexactos, π, etc.). A los enteros positivos también se les conoce como conjunto de los naturales (N). Si a los naturales se agrega el cero, resulta el conjunto de los cardinales (N ).
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Características de los enteros Todos los enteros se clasifican como pares o impares, (el cero es un número par). Además, todo entero tiene un antecesor y un sucesor. Cada número par tiene un antecesor par y un sucesor par. Asimismo, cada número impar tiene un antecesor impar y un sucesor impar. Divisores (o factores) de un número entero son los números enteros que lo dividen en forma exacta. Múltiplos de un número entero son todos los números que resultan al multiplicar dicho número por cualquier otro número entero. Características de los naturales El máximo común divisor (M.C.D.) entre dos o más números naturales, es el mayor de los divisores que dichos números tengan en común. El mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre dos o más números naturales, es el menor de los múltiplos que dichos números tengan en común. Un número natural es divisible por... 3: si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. 5: si su última cifra es ó 5. 6: si es divisible por y por 3 a la vez. 7: si al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a o es un múltiplo de 7. : si su última cifra es. Los números primos son aquellos números naturales que solo son divisibles por y por sí mismos. El no es un número primo. Si dos números naturales no tienen factores primos en común se dice que son primos relativos entre sí. 3
Programa Entrenamiento - Matemática Ejercicios PSU. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) En los números enteros, la sustracción es conmutativa. II) En los números enteros, el inverso multiplicativo de 5 es 5. III) En el conjunto de los números enteros, el neutro aditivo es el cero. A) Solo I D) Solo II y III B) Solo II E) Ninguna de ellas. C) Solo III. Se toman dos elementos cualquiera, a y b, de un conjunto numérico S. Si la expresión a b siempre representa un número real, cuál de los siguientes conjuntos numéricos podría ser S? A) Cardinales. D) Racionales. B) Enteros. E) Reales. C) Naturales. 3. Sea a b un número racional, con a, b y c distintos de cero. Cuál(es) de las siguientes c afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) Si a es un número racional, entonces (b c) es un número racional. II) III) Si b es un número racional, entonces c a Si c es un número racional, entonces a b es un número racional. es un número racional. A) Solo I D) Solo I y II B) Solo II E) I, II y III C) Solo III 4. El producto entre el antecesor de 4 y el sucesor de 3 es igual al sucesor de A) D) B) 9 E) C) 9 4
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 5. Sea n un número impar positivo distinto de. Se define S como la suma de todos los números impares sucesivos desde hasta n. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) S es un número impar. II) S es un número divisible por (n + ). III) S es un número cuadrado perfecto. A) Solo I D) Solo I y III B) Solo III E) Ninguna de ellas. C) Solo I y II 6. Sean p, p, p 3, p 4,, p n los n menores números primos, con n mayor que. Cuál de los siguientes números siempre es un número primo? A) p p p 3 p n 5 D) p p p 3 p n + B) p p p 3 p n 3 E) p p p 3 p n + 3 C) p p p 3 p n 7. Si m es un número par positivo, cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A) (6m + ) es un número divisible por 4. B) ( 7m + ) es un número entero. C) 3(m + ) es un número impar. D) (5 3m) es un número negativo. E) (m + ) es un número divisible por 6. 8. Sea n un número entero positivo de tal manera que 6n es un número divisible por 5. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) n es un número divisible por 3. II) n es un número divisible por. III) 3n es un número divisible por 6. A) Solo I D) I, II y III B) Solo II E) Ninguna de ellas. C) Solo II y III 5
Programa Entrenamiento - Matemática 9. Se define D como el conjunto de los divisores de 78. Qué fracción del conjunto D corresponde a números primos? A) 3 D) B) 3 8 E) 4 7 C) 3 7. Sean a, b y c tres números primos, de tal manera que b > a y a + b = c. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) a =. II) (b c) es un número par. III) (b c) es un número impar. A) Solo I D) Solo II y III B) Solo III E) I, II y III C) Solo I y III. 8 8 : 8 + ( 8) = A) 5 D) B) 8 E) 8 C). 6 3 8 4 : 3 = A) 6 D) 3 B) 4 E) 6 C) 3. 3 ( + ) : 3 + 3 = A) D) 6,333 B) 3,5 E) 9 C) 5 6
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 4. El doble de la suma entre ( 5) y el producto entre 3 y 4 es A) 8 D) 7 B) E) 4 C) 4 5. Si al antecesor de ( 5) se le suma el sucesor del doble de 3, resulta A) D) 3 B) E) 4 C) 6. El triple de la mitad de la suma entre una docena y una decena es A) D) 33 B) E) 66 C) 8 7. Marcelo y Claudia ahorran monedas, comenzando ambos el mismo día. Marcelo ahorra cada día una cantidad de monedas constante, mientras que Claudia ahorra una moneda el primer día, dos monedas el segundo día, tres monedas el tercer día, y así sucesivamente. Si al noveno día ambos han ahorrado la misma cantidad de monedas, cuántas monedas más que Marcelo tiene Claudia al doceavo día? A) 5 D) 6 B) 8 E) 78 C) 33 8. Una persona compra dos bandejas de 3 huevos cada una, pagando un total de $ 3. y luego vende los huevos a $ cada uno. Si vende 3 docenas de huevos bajo las mismas condiciones, cuál es la ganancia que obtiene? A) $ 36 D) $.6 B) $ 7 E) $ 3.6 C) $.8 7
Programa Entrenamiento - Matemática 9. Álvaro y Eduardo están a una distancia de metros uno del otro, en una calle recta que tiene dirección norte-sur, siendo Álvaro quien se encuentra más al norte. Realizan los siguientes movimientos: primero, Álvaro camina metros y Eduardo camina 8 metros, ambos en dirección sur. Luego, Álvaro camina hacia el sur y Eduardo camina hacia el norte, recorriendo 5 metros cada uno. Finalmente, Álvaro camina metros hacia el norte y Eduardo camina metros hacia el sur. Después de estos movimientos, el uno del otro están a una distancia de A) metros. D) 6 metros. B) 36 metros. E) 9 metros. C) 4 metros.. Un juego de habilidad consiste en intentar derribar una pila de 8 tarros, para lo cual la persona cuenta con 5 lanzamientos. Andrés es un aficionado a este juego, y posee la particularidad de derribar en cada lanzamiento siempre tarros menos que en el anterior. Si en el cuarto lanzamiento Andrés derribó tarros, cuántos quedaron sin derribar cuando terminó de jugar? A) D) 6 B) 3 E) 6 C) 5. Felipe observa, desde la ventana de su casa, que un tren se desplaza hacia el norte a kilómetros por hora. Al interior del tren, Bastián, sentado en un asiento, observa que su hermano se mueve por el pasillo, hacia el norte, a kilómetros por hora. Si el hermano de Bastián, al mirar por la ventana, observa que un ciclista se mueve hacia el sur a 8 kilómetros por hora, cuál es la velocidad del ciclista con respecto a Felipe? A) kilómetros por hora, hacia el norte. B) kilómetros por hora, hacia el sur. C) 3 kilómetros por hora, hacia el norte. D) 3 kilómetros por hora, hacia el sur. E) Ninguna de las alternativas anteriores. 8
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA. En la siguiente secuencia, cuántos fósforos se necesitan para obtener la figura que se encuentra en la posición? 3 4 A) 3 D) 44 B) 34 E) Ninguno de los valores anteriores. C) 4 3. En la siguiente secuencia, 3, 6,, 5,...; el séptimo término es A) 8 D) B) 5 E) ninguno de los valores anteriores. C) 4. Sea la secuencia 3, 8, 4,, 6,. Cuál es la expresión general que representa a los términos de la secuencia, en ese orden, para n desde hasta 6? A) 3 n D) 3 4n B) n 4 E) 8n 4 C) 36 4n 5. En la figura adjunta, el último número de cada fila se obtiene sumando los tres números anteriores, y el tercer número de cada columna corresponde al doble de la suma de los dos anteriores. Según esta regla, cuál es el valor de m? A) 6 B) 7 C) 9 D) E) 8 3 m 8 9
Programa Entrenamiento - Matemática 6. En la figura, cada número de la columna de la derecha corresponde al producto de los tres números que están a su izquierda, y cada número de la fila inferior corresponde a la suma de los tres números que están sobre él. Cuál de los siguientes cuadrados podría reemplazarse en el espacio en blanco, para obtener el resultado indicado? 4 4 4 A) B) C) D) E) 7. Se puede determinar que el número entero p es par si: () El cuádruple de p es par. () El quíntuple de p es par. A) () por sí sola. B) () por sí sola. C) Ambas juntas, () y (). D) Cada una por sí sola, () ó (). E) Se requiere información adicional. 8. Sean a y b dos números enteros positivos. Se puede determinar el máximo común divisor entre ellos si: () a y b son números pares consecutivos. () La suma entre a y b es 3. A) () por sí sola. B) () por sí sola. C) Ambas juntas, () y (). D) Cada una por sí sola, () ó ().
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA E) Se requiere información adicional. 9. Si M = a b, entonces es posible afirmar que M es múltiplo de si: () a es múltiplo de. () b es múltiplo de 5. A) () por sí sola. B) () por sí sola. C) Ambas juntas, () y (). D) Cada una por sí sola, () ó (). E) Se requiere irformación adicional. 3. Sea N un número entero positivo menor que. Se puede determinar el valor de N si: () Al dividirlo por el resultado es un número primo. () Al dividirlo por 3 el resultado es un número primo. A) () por sí sola. B) () por sí sola. C) Ambas juntas, () y (). D) Cada una por sí sola, () ó (). E) Se requiere información adicional.
Programa Entrenamiento - Matemática Tabla de corrección Ítem Alternativa Habilidad ASE Comprensión 3 ASE 4 Comprensión 5 ASE 6 ASE 7 ASE 8 ASE 9 Comprensión ASE Aplicación Aplicación 3 Aplicación 4 Aplicación 5 Aplicación 6 Aplicación 7 Aplicación 8 Aplicación 9 Aplicación Aplicación Comprensión ASE 3 ASE 4 ASE 5 Aplicación 6 Aplicación 7 ASE 8 ASE 9 ASE 3 ASE Registro de propiedad intelectual de Cpech. Prohibida su reproducción total o parcial.