Fracciones Continuas

Fracciones Continuas Capítulo 5 5. Introducción Las fracciones continuas son uno de los temas más interesantes dentro de la teoría de números, así como también uno de los más antiguos. Su origen se remonta a la antigua Grecia, específicamente Euclides estudió por primera vez este tipo particular de fracciones en el Libro 8 de los Elementos. Euclides vivió en el siglo 3 a.c. y enseñó matemáticas en Alejandría. En la Edad Moderna la teoría fue retomada por el matemático italiano Bombelli, en su libro L Algebra parte maggiore dell aritmetica. Bologna 572, en donde se utilizan fracciones continuas para calcular raíces cuadradas. Por ejemplo 3 3 + 4 6 + 4 6 + Posteriormente Leonhard Euler en su memoria De fractionibus continuis. 737, dio los primeros pasos en la teoría, tal como se conoce en la actualidad. Finalmente, fue el célebre matemático francés Joseph Louis Lagrange quien en 768 formalizó esta teoría en su memoria Solution d un problème d arithmétique. Lagrange resolvió completamente la famosa ecuación de Fermat x 2 dy 2 para lo cual usó de manera esencial las fracciones continuas. 43

44 Capítulo 5. Fracciones Continuas 5.2 Fracciones Continuas Definición 5.2. Sean a 0, a,..., a n,... números reales no nulos. Una expresión del tipo se llama Fracción Continua a 0 + a + a 2 +... Notación Para denotar la expresión de arriba, usaremos el símbolo: [a 0, a,..., a n,...]. Definición 5.2.2 Sean a,..., a n números reales. Entonces la expresión [a,..., a n ] a 0 + a +... a n + a n se llama Fracción Continua Finita. Observación : Usualmente los a i, en la descomposición de una fracción continua son números enteros positivos. En tal caso diremos que la fracción continua es simple. Podemos representar una fracción continua infinita, como el límite de una fracción continua finita. Esto es [a 0,..., a n,...] lim n [a 0,..., a n ] Estudiaremos para cada n, el número racional generado por la expansión de [a 0,..., a n ]. Así pues tenemos [a 0 ] a 0 a 0

5.2. Fracciones Continuas 45 etc... En general sea [a 0, a ] a 0 + a [a 0, a, a 2 ] a 0 + a + a 2a a 0 + a 2 + a 0 a 2 a + a 2 [a 0, a,..., a n ] p n q n. Entonces p n y q n se llaman las convergentes n-ésimas de la fracción continua dada. Es claro que tanto p n como q n son polinomios que dependen de a 0,..., a n. Tenemos entonces las siguientes expresiones para estos polinomios p 0 a 0, p a a 0 +,, p 2 a 2 a a 0 + a 2 + a 0,... q 0, q a, q 2 a 2 a +,... Teorema 5.2. Para todo n 2 se tiene p n a n p n + p n 2 q n a n q n + q n 2 Usaremos inducción sobre n. Para n 2, el resultado es cierto. Supongamos que el resultado es válido para n. Entonces [a 0,..., a n, a n+ ] [a 0,..., a n, a n + /a n+ ] Es claro que la (n+)-ésima convergente de la fracción de la izquierda es igual a la n-ésima convergente de la fracción de la derecha. Luego

46 Capítulo 5. Fracciones Continuas p n+ q n+ ( an + a n+ ) pn + p n 2 ( an + a n+ ) qn + q n 2 a n+a n p n + p n + a n+ p n 2 a n+ a n q n + q n + a n+ q n 2 Usando ahora la hipótesis de inducción se tiene p n+ q n+ a n+(p n p n 2 ) + p n + a n+ p n 2 a n+ (q n q n 2 ) + q n + a n+ q n 2 a n+p n + p n a n+ q n + q n Con esto termina la demostración. Podemos construir un algoritmo para generar las convergentes de una fracción continua, mediante una tabla n a n+ p n q n 0 a a 0 a 2 p q 2 a 3 p 2 q 2 Iniciamos la tabla colocando los valores de a 0, a, a 2, p 0, p, q 0 y q. Luego a partir de n 2, para hallar el valor de p n procedemos de la forma siguiente: Se toma el elemento en la casilla superior, éste se multiplica por el de la casilla de la izquierda y luego se le suma el de la casilla de arriba. Los q n se hallan de la misma forma. Ejemplo: Hallar la décima convergente de la fracción continua Tenemos entonces la tabla [2,, 2,, 2,...]

5.2. Fracciones Continuas 47 n a n+ p n q n 0 2 2 3 2 8 3 3 2 4 4 30 5 2 4 5 6 2 4 7 2 53 56 8 48 53 9 2 57 209 0 560 57 Calcularemos los valores de las fracciones x n p n /q n cuando n toma los valores: 0,, 0. Esto nos da el siguiente resultado: x 0 2 x 3 x 2 2.66667 x 3 2.75 x 4 2.7272 x 5 2.7333 x 6 2.737 x 7 2.7324 x 8 2.73202 x 9 2.73206 x 0 2.73205 Mirando la última tabla se puede intuir que las fracciones p n /q n convergen a un límite. La demostración de este hecho en general no es fácil y requiere de una serie de resultados previos que daremos a continuación.

48 Capítulo 5. Fracciones Continuas Proposición 5.2. Para todo n se tiene p n q n p n q n ( ) n (5.) Usando el teorema 5.2. se tiene p n q n p n q n (a n p n + p n 2 )q n p n (a n q n + q n 2 ) (p n q n 2 p n 2 q n ) Si aceptamos la hipótesis de inducción para n, la cual establece se tendrá entonces (p n q n 2 p n 2 q n ) ( ) n 2 p n q n p n q n ( ) n Si en la ecuación anterior dividimos ambos miembros entre q n q n, obtenemos Proposición 5.2.2 Para todo n se tiene Proposición 5.2.3 Para todo n se tiene p n q n p n q n ( )n q n q n (5.2) p n q n 2 p n 2 q n ( ) n a n (5.3)

5.2. Fracciones Continuas 49 Usando el Teorema 5.2. se tiene p n q n 2 p n 2 q n (a n p n + p n 2 )q n 2 p n 2 (a n q n + q n 2 ) a n (p n q n 2 p n 2 q n ) a n ( ) n 2 por (5.) ( ) n a n Observación: En lo sucesivo sólo consideramos fracciones continuas en donde los elementos a 0,... a n,... son números enteros positivos. Estas se llaman Fracciones continuas simples. Teorema 5.2.2 Toda fracción continua simple es convergente a un número real. Sea x [a 0, a,...] y para n sea x n [a 0,... a n ] p n q n Probaremos que la sucesión x n converge a un límite L, lo cual será hecho en varias etapas.. La subsucesión x 2n de términos pares es monótona estrictamente creciente. La subsucesión x 2n+ de términos impares es monótona estrictamente decreciente. En efecto, de (5.3) obtenemos luego si n es par p n q n p n 2 q n 2 ( ) n a n

50 Capítulo 5. Fracciones Continuas y si n es impar p n q n > p n 2 q n 2 p n q n < p n 2 q n 2. Por lo tanto la subsucesión {x 2n } es creciente y la subsucesión {x 2n } es decreciente. 2. Las subsucesiones de términos pares e impares, respectivamente, son convergentes De la relación (5.2) deducimos luego x 2n x 2n < 0 x 2n < x 2n Como {x 2n } es creciente y {x 2n } es decreciente, se obtiene la interesante relación x 2 < x 2n < x 2n < x para todo n. Como consecuencia de todo esto se obtiene que {x 2n } es monótona creciente acotada, luego es convergente. Sea lim n x 2n L De igual forma, {x 2n } es monótona decreciente acotada y por lo tanto convergente.

5.2. Fracciones Continuas 5 Sea lim n x 2n L 2 3. La sucesión {x n } es convergente. De la relación (5.2) se obtiene x n x n q n q n n 2. Por lo tanto la sucesión {x n } es una sucesión de Cauchy. Esto es, a medida que n crece, la distancia entre los términos se hace más pequeña. Luego la sucesión es convergente a un límite L, y además toda subsucesión convergente de ella, converge al mismo límite. Por lo tanto L L 2 L, y lim x n L n Teorema 5.2.3 Toda fracción continua simple finita [a 0,... a n ] representa un número racional. Basta observar que se puede escribir como [a 0,... a n ] a 0 + /[a,... a n ]. Luego, aplíquese inducción sobre n.

52 Capítulo 5. Fracciones Continuas Teorema 5.2.4 Toda fracción racional α p/q se expresa como una fracción continua simple finita. Nota: No hay unicidad en esta representación, pues [a 0,... a n ] [a 0,..., a n, a n, ] Sin embargo éstas son las dos únicas representaciones posibles de α. Usaremos la notación: [x] para indicar la parte entera de un número real x. Comenzamos por hacer r 0 α r r 0 [r 0 ],... r n r n [r n ] (5.4) De aquí se obtiene r n [r n ] + r n+ para todo n 0 Nótese que para todo i, se tiene que r i >, luego /r i < y por lo tanto, los coeficientes a i de la expansión de α como una fracción continua vienen dados por a 0 [α], a [r ],..., a n [r n ] (5.5) Por otro lado, usando el algoritmo de división para p y q, se obtiene p a 0 q + r, 0 r < q q a r + r 2, r 2 < r < q r a 2 r 2 + r 3, r 3 < r 2. r i a i+ r i+ + r i+2, r i+2 < r i+

5.2. Fracciones Continuas 53 Como {r i } es una sucesión decreciente de enteros positivos, se debe tener eventualmente, r n+ 0 para algún n. Luego el proceso de formación de los a i se detiene en a n. Por lo tanto α p q [a 0,..., a n ] Observación: Si α es un número irracional, entonces la fracción continua asociada a él, se obtiene usando el algoritmo dado en (5.5) Proposición 5.2.4 Sea α [a 0, a,..., a n,...] y sean Entonces r 0 α, r r 0 [r 0 ],..., r n r n [a n, a n+,...] r n [r n ] Usaremos inducción sobre n. Para n, tenemos α a 0 + r a 0 + de aquí se concluye que r [a, a 2,...]. a +... Supongamos que el resultado es cierto para n, luego r n+ r n a n [a n, a n+,...] a n [a n+,...]

54 Capítulo 5. Fracciones Continuas Luego el resultado es cierto para n +. Con esto damos fin a la demostración. Proposición 5.2.5 Sea α un número real y r n la siguiente sucesión de números entonces r 0 [α], r 0 [r 0 ] + r,..., r n [r n ] + r n+, n α r n+p n + p n r n+ q n + q n De acuerdo a la demostración del teorema anterior se sigue que [r n ] a n para todo n, luego usamos inducción sobre n para probar este resultado. Si n, se tendrá α a 0 + a + r 2 r 2 a 0 + r 2 a + (r 2a + )a 0 + r 2 r 2 a + r 2a a 0 + a 0 + r 2 r 2 a + r 2(a a 0 + ) + a 0 r 2 a + r 2p + p 0 r 2 q + q 0 Supongamos que el teorema es cierto para n, y probaremos que se cumple para n +.

5.2. Fracciones Continuas 55 Luego α r np n + p n 2 r n q n + q n 2 a n p n + p n 2 + p n r n+ a n q n + q n 2 + q n r n+ p n + p n r n+ q n + q n r n+ r n+p n + p n r n+ q n + q n Seguidamente daremos una serie de ejemplos en donde calcularemos los elementos de una fracción continua de algunos números. Ejemplo: Sea α 2, entonces mediante la aplicación del algoritmo dado en la demostración del teorema 5.2.4, calculamos los a i en la descomposición En primer lugar, notamos que α [a 0, a,..., a n,...] α 2 α + 2 α α, y 0 < 2 α α < luego [a 0 ]. Para calcular a hacemos α 2 α 2/α α Multiplicando numerador y denominador por (α + ) se tiene de donde a [ + α] 2. α 2 α α + (α )(α + ) α + α 2 + α

56 Capítulo 5. Fracciones Continuas Para calcular el siguiente elemento, hacemos ( + α) 2 α + α y por lo tanto a 2 [ + α] 2. Continuando de esta manera, vemos que a i 2, para todo i. Luego 2 [, 2, 2,...] Ejemplo: Una aplicación en la astronomía: Eclipses lunares. Un eclipse lunar se produce cuando la luna penetra en el cono de sombra creado por la tierra, al interponerse ésta entre el sol y la luna. Los eclipses sólo se producen cuando la luna nueva o llena se encuentra en los llamados nodos ascendentes o descendentes de la órbita que describe alrededor de la Tierra. Por lo tanto el eclipse depende. Del intervalo entre dos fases iguales consecutivas de La Luna, el cual es llamado Mes Sinódico y tiene una duración de 29,5306 días. 2. Del intervalo de tiempo entre el paso de la luna por dos nodos consecutivos, el cual se llama Mes Draconítico y tiene una duración de 27,222 días Luego el intervalo de tiempo entre dos eclipses consecutivos debe ser igual a una cantidad entera de meses sinódicos, que a su vez contenga una cantidad entera de meses draconíticos. Es decir si x 29, 5306 y z 27, 223 se desea obtener una relación del tipo qx pz con p y q números enteros positivos.

5.2. Fracciones Continuas 57 Esto es, si hacemos α x z, 0859 entonces la pregunta es Cuál es la fracción p/q con menor denominador que está más cercana a,0859? Para resolver este problema, usamos fracciones continuas. En primer lugar, hallamos los coeficientes a i de la expansión α [a 0,..., a n,...] usando el algoritmo del teorema 5.2.4. En segundo lugar, hallamos las convergentes de esta fracción continua por intemedio del algoritmo del teorema 5.2.. Colocando toda esta información en una tabla nos da n a n+ p n q n p n /q n 0 2.0909 2 2 3 2.08333 3 38 35.0857 4 4 5 47.085 5 2 242 223.08520 6 9 535 493.0859 7 5057 4660.0859 Las distintas aproximaciones a α vendrán dadas por los cocientes p n /q n. Vemos que el valor 242/223 es aceptable pues difiere de α en 0 5 días, lo cual es 3600x24x0 5 sg. 0.864 sg. lo cual es depreciable, pues los eclipses tienen una duración promedio de 50 minutos. Luego se tiene la relación fundamental.

58 Capítulo 5. Fracciones Continuas 223 meses sinódicos 242 meses draconíticos Esta relación, conocida como Ciclo de Saros, fue descubierta por los astrónomos de la antigua Mesopotamia. Finalmente, para calcular el período entre dos eclipses multiplicamos: 223 29.5306 6585,3238 días 8 años y 4 días. Por lo tanto, los eclipses de luna ocurren cada 9 años aproximadamente. Ejemplo: El número π Podemos hallar algunas aproximaciones de π mediante fracciones continuas. A tal fin tomamos el siguiente valor de este número, el cual es correcto hasta la octava cifra decimal Luego se tiene π 3.459265 a 0 [π] 3 r /(π 3) 7.0625 a [r ] 7 r 2 /(r a ) 5.99660 a 2 [r 2 ] 5 r 3 /(r 2 a 2 ).0034 a 3 [r 3 ] r 4 /(r 3 a 3 ) 293.09689 a 4 [r 4 ] 293 r 5 /(r 4 a 4 ) 0.32056 a 5 [r 5 ] 0 Empleamos ahora el algoritmo del Teorema 5.2. para hallar las cuatro primeras convergentes de π. n a n+ p n q n p n /q n 0 7 3 3 5 22 7 3.428574 2 333 06 3.450943 3 293 355 3 3.459292 4 0 04348 3325 3.459265 El valor aproximado de π dado por la quinta convergente es bastante bueno, dado que se aproxima al valor correcto en ocho cifras decimales.

5.3. Facciones continuas periódicas 59 El valor 355/3 fue descubierto por el matemático chino Tsu-Chung- Chi, en el siglo 430 d.c. Durante la Edad Media en Europa, se tomaba 22/7 como el valor correcto de π. Otros autores, en Europa y en la India, usaban la expresión 0. A partir del Renacimiento, con el gran impulso que se le dio a la ciencia, comenzaron a aparecer mejores aproximaciones, e inclusive series de sumas o productos en donde se puede calcular π. Por ejemplo, el matemático francés Vieta, a mediados del siglo XVI, descubrió la fórmula 2 π 2. 2 + 2 2. 2 + 2 2 + 2 2... A fines del siglo XVII ya se conocía el valor de π con las primeras 50 cifras exactas. 5.3 Facciones continuas periódicas Definición 5.3. Una fracción continua simple de la forma α [a 0, a,..., a n, b,..., b k, b,..., b k,...] [a 0, a,..., a n, b,..., b k ] se dice Periódica. La sucesión de números b,..., b k se llama el Período de α. La sucesión de enteros a,..., a n se llama el Preperíodo de α. El entero k, se le llama también el período de la fracción continua α. Definición 5.3.2 Una fracción continua de la forma se llama Periódica pura. α [ b,..., b k ]

60 Capítulo 5. Fracciones Continuas Proposición 5.3. Si el número real α se representa mediante una fracción continua simple períodica, entonces α es solución de una ecuación del tipo con A, B y C enteros. Ax 2 + Bx + C 0 (5.6) También se dice que α es un irracional cuadrático. Sea α [ b,..., b k ] [b,..., b k, α] Entonces usando la proposición 5.2.5, se tiene α αp k + p k αq k + q k Por lo tanto α satisface una ecuación cuadrática con coeficientes enteros (Ver ejercicio ). II) Si α no es periódica pura, entonces α [a 0, a,..., a n, b,..., b k ] Sea β [ b,..., b k ]. Entonces por la proposición 5.2.5 se tiene α [a 0, a,..., a n, β] βp n + p n βq n + q n Entonces es claro que, de acuerdo a la parte I, α es solución de una ecuación cuadrática del tipo (5.6). Sea α un número irracional cuadrático, entonces donde a, b y c son enteros. α a + b c

5.3. Facciones continuas periódicas 6 Entonces si c > 0, podemos multiplicar por c el numerador y denominador para obtener α ac + bc 2 m 0 + d (5.7) c 2 k 0 donde k 0 divide a m 2 0 d. Teorema 5.3. Sean α, m 0 y k 0 como en (5.7). Definimos donde: α i m i + d k i, a i [α i ], m i+ a i k i m i, k i+ d m2 i+ k i Entonces k i y m i son enteros, para todo i 0, k i divide a d m 2 i y α [a 0, a,...]. En primer lugar, k 0 y m 0 están en Z, y k 0 divide a d m 2 0. Luego la proposición vale para i 0. Supongamos que el resultado es cierto para un i cualquiera. Luego definimos Además, podemos hacer m i+ a i k i m i Z k i+ d (a ik i m i ) 2 k i d a i 2k2 i + 2a i k i m i m 2 i k i d m2 i k i + 2a i m i a 2 i k i

62 Capítulo 5. Fracciones Continuas Luego, es claro que k i+ Z, por hipótesis de inducción. Además: luego k i+ divide a d m 2 i+. k i d m2 i+ k i+ Z Finalmente, tenemos que, para todo i α i a i m i + d a i k i k i d mi+ k i d m 2 i+ k i d + ki m i+ k i+ m i+ + d α i+ Luego α [a 0, a,...]. Definición 5.3.3 Sea x a + b d, con a y b números racionales, entonces el conjugado de x, es el número real x a b d Teorema 5.3.2 Sea α (m 0 + d)/k 0 como en 5.7. Entonces α viene representado por una fracción continua simple periódica. De acuerdo a la proposición 5.2.5, se tiene α α np n + p n 2 α n q n + q n 2

5.3. Facciones continuas periódicas 63 Sustituyendo α n en función de α, tenemos α n q n 2 q n ( ) αqn 2 p n 2 αq n p n α p n 2 q n 2 α p n q n Tomando conjugados en ambos miembros se obtiene α n q n 2 q n Entonces cuando n se tiene: α p n 2 q n 2 α p n q n α p n 2 q n 2 α p n q n Luego existe un N > 0 tal que α n < 0, para todo n N. Como α n > 0, se tiene α n α n 2 d k n > 0 para todo n N. Luego k n > 0, y por lo tanto: 0 < k n+ k n d m 2 n+ d, para todo n N. De esta última desigualdad se obtiene que: 0 < k n < d, para todo n N. También: lo cual implica: m 2 n+ < m 2 n+ + k n+ k n d m n+ < d, para todo n N.

64 Capítulo 5. Fracciones Continuas Luego las sucesiones de enteros {k n } y {m n } son finitas, y por lo tanto existe un j > n tal que k n k j y m n m j Por lo tanto: α n α j, y esto implica α [a 0,..., a n, α n ] [a 0,..., a n, a n,..., a j, α j ] [a 0,..., a n, a n,..., a j ] Luego α es periódica. Ejemplo: Hallar la expansión de 7 como fracción continua. Sabemos que 2 < 7 < 3, luego a 0 2. Sea r 7 2 7 + 2 7 4 7 + 2 3 luego a [r ]. De igual manera r 2 r a ( 7 + 2)/3 3 7 3( 7 + ) 6 7 + 2

5.3. Facciones continuas periódicas 65 Luego a 2 [r 2 ]. Continuando este proceso, calculamos el siguiente a i, para lo cual hacemos r 3 ( 7 + )/2 2 7 2( 7 + ) 6 7 + 3 por lo tanto a 3 [r 3 ]. De igual forma sea r 4 ( 7 + )/3 3 7 2 3( 7 + 2) 3 7 + 2 Luego a 4 [r 4 ] 4. Sea r 5 ( 7 + 2) 4 7 2 r Por lo tanto a 5 a, y a partir de esta posición comienzan a repetirse los valores de a i. Por lo tanto

66 Capítulo 5. Fracciones Continuas 7 [ 2,,,, 4 ] Ejercicios ) Sean α a + b d y β a2 + b 2 d, con a, a 2, b, b 2 números racionales. Probar: a) (α + β) α + β b) (αβ) α β c) Para todo racional c: (cα) cα. 2) Probar que si α es un irracional cuadrático, y a, b, c y d son números enteros, entonces θ aα + b cα + d es también un irracional cuadrático. 3) Sean {m i }, {k i } como en el teorema 5.3. Probar que existe un n, tal que: m nj m n, y k nj k n, para todo j. 4) Expresar como fracción continuas los números reales: a) e 2.78288, b) π/2. 5) Sea α π. Hallar una fracción p/q, que no sea convergente de α y tal que: α p q < q 2 5.4 La Ecuación de Fermat Consideramos ahora la ecuación x 2 dy 2

5.4. La Ecuación de Fermat 67 la cual se denomina Ecuación de Fermat. Estamos interesados en hallar soluciones enteras de esta ecuación, distintas de las soluciones triviales x, x, y 0. Teorema 5.4. Si α es un número irracional, entonces para todo n se tiene: α p n q n < < q n q n qn 2 donde p n, q n son las n-ésimas convergentes de α. Se tiene de acuerdo a la proposición 5.2.5 α α n+p n + p n α n+ q n + q n donde α n [a n, a n+,...], luego α n >. Por otra parte: α p n α n+p n + p n p n q n α n+ q n + q n q n (p nq n q n p n ) q n (α n+ q n + q n ) ( ) n q n (α n+ q n + q n ) Usando α n+, q n se tiene α p n q n < < q n q n qn 2 Teorema 5.4.2 Si p q es una convergente de α, entonces α p q < q 2

68 Capítulo 5. Fracciones Continuas Proposición 5.4. Si p q es una convergente de α, entonces α p q εθ q 2 (5.8) donde ε ±, 0 < θ <. Observación: Si p/q es una fracción que satisface (5.8) entonces no se puede afirmar que p/q sea una convergente de α. Sin embargo, es posible dar una condición adicional, como veremos más adelante, de tal forma que se tenga un resultado recíproco del teorema anterior. La siguiente condición se debe a Legendre: es un número ra- Teorema 5.4.3 Sea α un número irracional. Si p q cional tal que α p q < 2q 2 entonces p q es una convergente de α. Sea De la hipótesis se deduce que p q [a 0, a,..., a n ] con ε ±, y 0 < θ < /2. α p q εθ q 2 Entonces podemos elegir n, sin pérdida de generalidad, de tal forma que ε ( ) n. Definamos el número racional β mediante la fórmula

5.4. La Ecuación de Fermat 69 Entonces α βp n + p n βq n + q n p q α p n q n βp n + p n βq n + q n p nq n q n p n q n (βq n + q n ) ( ) n q n (βq n + q n ) Si resolvemos esta ecuación para β tendremos β q n θq n q n θ De donde se deduce β >, pues 0 < θ < /2 y q n < q n. Podemos entonces representar a β como una fracción continua luego definimos: β [a n+,...] γ [a 0, a,..., a n, a n+,...] [a 0,..., a n, β] Luego γ p nβ + p n q n β + q n α Por lo tanto p/q p n /q n es una convergente de α.

70 Capítulo 5. Fracciones Continuas Teorema 5.4.4 Sea α d y entonces la ecuación posee solución. α n m n + d k n x 2 dy 2 ( ) n k n Usando la proposición 5.2.5 se obtiene: de donde: d α n p n + p n 2 α n q n + q n 2 ( d + m n )p n + p n 2 k n ( d + m n )q n + q n 2 k n d { ( d + mn )q n + q n 2 k n } ( d + mn )p n + p n 2 k n Igualando coeficientes racionales e irracionales nos da: p n m n q n + k n q n 2 (5.9) dq n m n p n + k n p n 2 (5.0) Multiplicando la primera ecuación por p n, la segunda por q n y luego restando nos da p 2 n dq 2 n k n (p n q n 2 p n 2 q n ) ( ) n k n.

5.4. La Ecuación de Fermat 7 Proposición 5.4.2 Sea n el período de d como fracción continua. Entonces k n Sea α α 0 m 0 + d k 0 Entonces m 0 y k 0 De acuerdo a la definición de período, se debe cumplir: por lo tanto: α n m n + d k n d de donde se obtiene k n. (k n ) d m n Teorema 5.4.5 Sea d un entero positivo libre de cuadrados, entonces la ecuación: posee infinitas soluciones x 2 dy 2 Nuevamente, sea n el período de la descomposición de d en fracción continua. Si n es par, tomamos: x p nj y q nj donde j es cualquier entero positivo. En virtud de la proposición anterior se tiene:

72 Capítulo 5. Fracciones Continuas Si n es impar, tomamos (p nj ) 2 (q nj ) 2 d ( ) nj k nj. Luego: x p 2nj y q 2nj (p 2nj ) 2 d(q 2nj ) 2 ( ) 2nj k 2nj Ejemplo: Resolver: x 2 7y 2 Solución: Hemos visto que la expansión de 7 en fracción continua viene dada por: 7 [2,,,, 4 ] Podemos usar el algoritmo dado al comienzo para calcular las convergentes. Esto lo expresamos mediante la siguiente tabla: n a n+ p n q n 0 2 3 2 5 2 3 4 8 3 4 37 4 5 45 7 6 82 3 7 27 48

5.4. La Ecuación de Fermat 73 Vemos que (8, 3) es solución, al igual que (27, 48). Podemos continuar generando más soluciones por intermedio de la tabla. Claramente, ellas aparecen entre las convergentes con un período de 4. Teorema 5.4.6 Si el par (p, q) es una solución de x 2 dy 2 con d 5, entonces la fracción p/q es una convergente de d. Tenemos: p 2 dq 2 (p dq)(p + dq). Luego: p q d q(p + dq) < q 2 d < 2q 2 Luego por el teorema, concluimos que p/q es una convergente de d.

74 Capítulo 5. Fracciones Continuas ) Resolver 2) En la ecuación de Fermat Ejercicios x 2 y 2 x 2 y 2, el lado izquierdo se puede factorizar x 2 y 2 (x + iy)(x iy). Los números complejos de la forma x + iy se denominan enteros de Gauss a) Investigue todo lo concerniente a los enteros de Gauss. b) Resuelva la ecuación dada. 3) Sean x, y, x 2, y 2 números enteros. Probar la identidad (x 2 dy 2 )(x 2 2 dy 2 2) (x x 2 dy y 2 ) 2 d(x y 2 y x 2 ) 2 4) Usando la identidad anterior, probar que si (x, y ) y (x 2, y 2 ) son ambos solución de la ecuación x 2 dy 2 entonces también lo es (x 3, y 3 ), donde 5) Resolver: a) x 2 3y 2 b) x 2 5y 2 c) x 2 6y 2 x 3 x x 2 dy y 2, y 3 x y 2 y x 2. 6) Investigue bajo que condiciones sobre f y d se puede resolver x 2 dy 2 f