TEMA : INTEGRAL DEFINIDA..- El problem de clculr el áre bjo un curv El problem de clculr el áre limitd por lguns curvs fue borddo, por los mtemáticos griegos, desde bstntes siglos trás. El método empledo er el de proimr, l superficie clculr, medinte su descomposición en otrs figurs geométrics cuy superficie er fácilmente clculble. Este procedimiento, evidentemente, conllev un error tnto menor cunto myor se el número de ls figurs geométrics utilizds. Este mismo método es el utilizdo pr definir l denomind Integrl definid según Riemnn y que psmos comentr de un mner sucint...- Integrl definid En lo que sigue trtmos de dr un liger ide del proceso, en modo lguno se trt de un demostrción riguros porque, est, ce fuer de los contenidos de este curso. Se y = f() un función continu en [, b] y que tom vlores no negtivos en él. El teorem de Weierstrss no segur que l función lcnz el máimo bsoluto pr lgún vlor de perteneciente [, b]. Lo mismo ocurre con el mínimo bsoluto. En l figur djunt hemos supuesto que m y M son, respectivmente, el mínimo y el máimo bsolutos de f() en [, b]. El áre limitd por l curv y el eje horizontl ( que en lo sucesivo denominremos S f )estrá cotd de l mner siguiente: Áre ABEF S f Áre ACDF es decir: (b ). m S f (b ). M Supongmos hor que dividimos [, b] interclndo un serie de puntos: < <...< n-, ( prtición del segmento ) de mner que: < < <...< n- < b obtendrímos dos proimciones del áre buscd: - -
- L primer ( rectángulos de color gris )formd por un serie de rectángulos de bses :,,....., b - n- y lturs respectivs m, m,..., m n ( mínimos bsolutos en cd uno de los intervlos obtenidos en l subdivisión El áre encerrd por todos ellos será: s = ( ). m + ( ). m +..... + (b - n- ). m n - L segund ( rectángulos de color zul )formd por un serie de rectángulos de ls misms bses que en el prtdo nterior y lturs respectivs M, M,..., M n ( máimos bsolutos en cd uno de los intervlos obtenidos en l subdivisión El áre encerrd por todos ellos será: S = ( ). M + ( ). M +..... + + (b - n- ). M n Con ls considerciones relizds hst hor tenemos que: (b ). m s S M ( b ) A medid que vymos umentndo el número de puntos de l prtición de [, b] ( ver figur djunt) tmbién umentrá el número de rectángulos obtenidos por el procedimiento señldo nteriormente. Pr cd un de ls prticiones obtenids irímos obteniendo dos series de sums que verificrín l relción: - Pr ls proimciones por defecto ( rectángulos rojos ) s s s.... s n () - Pr ls proimciones por eceso ( rectángulos zules ) S S S.... S n () En resumen tenemos que en cd etp mejorremos ( o l menos no empeor ) ls proimciones del áre limitd por l función f() Ls sucesiones obtenids en () y () formn un pr de sucesiones monótons convergentes porque: L sucesión () es monóton creciente L sucesión () es monóton decreciente Pr un división de [, b]culquier se verific que s i S i L sucesión S s, S s, S s,..., S n s n es un sucesión cuyo límite es cero L consecuenci es que ls dos sucesiones tienen el mismo límite. Este límite se define como integrl definid de l función f () en el intervlo [, b], y se represent en l form donde f() es l función que describe l curv, y b son los límites de integrción; es el límite inferior, y b, el límite superior. - -
..- Propieddes de l Integrl definid ª.- Si los límites de integrción coinciden d = ª.- Si f() > y continu en [, b] entonces b ª.- Si f() < y continu en [, b] entonces b d > d < 4ª.- Si c es un punto interior del intervlo [, b], es decir, < c < b y f() es continu [, b] entonces b d = c d + b c d 5ª.- b d + b g ( ). d = ( f ( ) + g( ) ). d b 6ª.- b c. d = c. b d culquier que se c 7ª.- Si pr todo [, b] es f() g() entonces b d b g ( ). d 8ª.- El vlor de l integrl definid cmbi de signo si se permutn los límites de integrción..4.- Teorem del vlor medio de l integrl Si f() es continu en un intervlo cerrdo [, b], eiste un punto c en el interior del intervlo tl que: Al vlor de f( c ) se le denomin vlor medio de l función f() en el intervlo [,b]. - -
Demostrción Se f() un función continu en [,b]. Hemos dicho que el áre encerrd por ell, el eje OX y ls rects =, = b viene dd por: b d Como f() es continu en [,b] lcnzrá el mínimo ( m ) y el máimo (M), bsolutos, en lgún punto del citdo intervlo. ( En l figur djunt, por sencillez, m lo lcnz en = b y M en = ) Evidentemente Áre rectángulo ABOP b d áre rectángulo ADRP es decir (b ). m b d ( b ). M Si dividimos los tres miembros de l cden de desigulddes por ( b ) result m b b d M Por el teorem de los vlores intermedios ( Drbou), l ser f() continu en [,b], lcnzrá todos los vlores intermedios entre m y M por lo que pr lgún = c tendremos que b b d = f( c ) de donde tenemos finlmente que: b d = ( b ). f ( c ) es decir l áre del rectángulo ACNP ( color rojo ) de l figur es idéntic b d NOTA Hst hor hemos indicdo que represent b d pero no hemos dicho cómo se clcul su vlor. Esto lo hremos cundo hymos visto l Regl de Brrow. Est es l rzón por l que hor no proponemos ejemplos que clren este teorem.5.- Teorem fundmentl del cálculo integrl Como hemos indicdo nteriormente, hst hor, hemos dicho que si tenemos un función f(), continu en [,b], el áre encerrd por ell, el eje OX y ls rects =, = b viene dd por: - 4 -
A = b d Si considermos hor el intervlo [, ] [,b] De igul mner podemos decir que F(X) = f ( t). dt represent el áre de color, correspondiente l intervlo [, ], ( superficie mrcd en rojo). Es evidente que est superficie, F(), dependerá de l posición que ocupe en contrposición de A = b d que será un número rel. Con ests considerciones el Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl nos dice que: L función F() que nos describe el áre limitd por l curv f(), el eje de bsciss y ls rect = y l bscis vrible, es un función primitiv de l función f() F () = f() El teorem fundmentl del cálculo nos indic que l derivción y l integrción son operciones inverss. Al integrr un función continu y luego derivrl se recuper l función originl. Ejemplos Clcul l derivd de ls funciones siguientes t.- F() = e +. dt 5 t En este cso f(t) = e + es un función continu. Por el T. Fundmentl F () = e + - 5 -
6.- F() = 4 + t. dt En este cso f(t) = 6 4 + t es un función continu. Por el T. Fundmentl F () = 6 4 +.- F() = sent. dt Tenemos que F() = sent. dt = - F() = - sent. dt F () = - sen 4.- F() = t +. dt Por ser el límite superior necesitmos relizr un cmbio de vrible u = Derivndo según l regl de l cden: df ( ) df ( ) d u F () = =. d du d F() = t +.dt = t + u d u. dt. d u. = ( t + ).dt. = + u. = 6 +. 5.- F() =. dt + t Por ser el límite superior necesitmos relizr un cmbio de vrible u = Derivndo según l regl de l cden: df ( ) df ( ) d u F () = =. d du d F() = + t u t. dt = ( + F () =. = + u + ( ) d u. dt). d. = 4 + sen 6.- F() = t. dt Por ser el límite superior sen necesitmos relizr un cmbio de vrible u = sen Derivndo según l regl de l cden: - 6 -
df ( ) F () = = d F() = sen t F () = t df ( ) du u d u. d. dt = = F (u).u () d u. dt. t d. cos =. cos = sen cos.6.- Regl de Brrow Nos dice que: si f() es continu en [, b], y G() es un de sus funciones primitivs, entonces: b d = G(b) G() lo cul quiere decir que, pr hllr el áre limitd por l curv, el eje de bsciss y ls rects = y = b, comenzremos buscndo un primitiv culquier de f() y después hllremos l diferenci de vlores, G(b) G(), que tom dich primitiv en los etremos del intervlo de integrción..7.- Fijndo ides Hst hor hbímos dicho que el áre limitd por un curv, el eje de bsciss y ls rects = y = b, l representábmos por b d pero desconocímos como encontrr su vlor, slvo en lgunos csos sencillos, porque no siempre er posible clculr el límite de l sucesión de sums que obtenímos en l proimción. El Teorem fundmentl nos d un pist: l función que describe el áre, F(), es un primitiv de l curv que describe f() pero ún sí er necesrio precisr más, de hí l importnci de l Regl de Brrow que concret, de mner precis, cómo resolver el problem del áre siempre y cundo semos cpces de hllr G(). Ejemplo- Clculr +. d L función que describe l curv es f() = + Un de sus funciones primitivs es G() = + d = rc tg El áre buscd será pués G( ) G ( ) = rc tg rc tg = π 4-7 -
Ejemplo ( ejerc 6 pág 76 Ahor y podemos proponer el siguiente ejemplo teorem del vlor medio de l Integrl definid Dd l función y =, hll el punto c [, ] tl que el áre d se igul un rectángulo de bse y ltur f(c ) Solución Áre = d = = 8 Est superficie equivle un rectángulo. f(c) de donde.f (c ) = 8 => f (c ) = 4 = => =.8.- Cálculo de áres medinte integrles En l figur djunt hemos representdo el áre encerrd por l función f() = 6, el eje de bsciss y ls rects = y = 4. L prte mrcd con ( - ) es un superficie negtiv mientrs que l prte mrcd con (+) es positiv. Si pretendiésemos clculr el áre directmente hllndo 4 ( 6) d cometerímos un error porque l sumr ls dos prtes, el totl, se reducirí y que estrímos sumndo dos cntiddes de distinto signo. Pr conseguir l solución correct debes proceder en l form: Supongmos que queremos hllr b f ( ) d Resuelves l ecución f() = pr hllr los puntos de corte de l curv con el eje OX. Consideremos, pr fijr ides, que ls ríces son m < n. Divides el intervlo de integrción [, b] en en l forms: [, b] = [, m] U [m, n] U [n, b] Hlls un función primitiv G() de f() Clculs ls diferencis: G(m) G(), G(n) G(m), G(b) G(n) Finlmente sums los resultdos obtenidos. - 8 -
Ejemplos º.- Hll el áre comprendid entre l función y = f() = 6 y el eje OX Solución Ls ríces de f() son: -, y Primitiv de f() => G() = ( 6) d = Cálculo de: 8 6 G(- ) = 4 + - = 4 - - 4 G() = 8 6 G() = - 9 7 = 4 4 Áre = G() G(-) + G() G() = 6 6 + + 4 5 - = A l derech se muestr l representción gráfic del ejercicio º.- Clcul el áre comprendid entre l curv f() = +, el eje X y ls rects = y = 4 Solución Ls ríces de f() son: No tiene Primitiv de f() = ( + ) d = - + Cálculo de: G( ) = G( 4 ) = 64 8 + 4 = 6 Áre = 6 - = 6 L superficie pedid prece de color verde en l figur de l derech.9.- Áre comprendid entre dos curvs El áre entre ls gráfics de y=f(), y=g() en el intervlo [,b] está ddo por el vlor de l Integrl Definid de f-g en [,b]. Considerremos los csos siguientes: ) Que f() y g() no se cortn ( figur djunt) - 9 -
El áre será l diferenci de ls encerrds, por cd un de ls curvs, el eje de bsciss y ls rects = y = b ( superficie colored). A = b f ( ) d - b g ( ) d Que por ls propieddes de l integrl definid equivle : A = b ( f g)( ) d Es decir obtengmos l función diferenci ( f g ) y obtengmos el áre encerrd por est curv entre los límites =, = b y el eje de bsciss. Ejemplo Hllr el áre encerrd por l curv y = +, l rect y = y ls rects = y = 5 ( superficie colored) Función f g = ( + ) ( ) = A = 5 - ( f g)( ) d = ( ) d = 5 A(5) = A() = 5 5 Áre = - = 5 b) Que f() y g() se corten en dos puntos Pr encontrr los puntos de corte se resuelve el sistem soluciones de l ecución f() g() = Ls ríces de est ecución serán los límites de integrción, procediendo, cto seguido, como en el prtdo nterior. y = f ( ) y = g( ) que equivle encontrr ls Ejemplo.- Hll el áre limitd por l curv y = - + +4 y l rect y = + L función f() g() = - + + tiene como ríces = - y = el áre pedid es pues ( f g)( ) d = ( + + ) d - -
Un primitiv es A() = ( + + ) d = - + + 8 A() = - + + 4 = A(- ) = + - = - 6 7 Áre A() A( - ) = 7 6 c) Que f() y g() se corten en más de dos puntos En este cso, igul que en el prtdo nterior, se buscn ls ríces de l ecución f() g() =. Supongmos, pr fijr ides, que ests son m, n y p tles que: < m < n < p < b Descomponemos el intervlo de integrción [, b] como unión de los subintervlos [, m], [m, n], [n, p] y [p, b] pr después clculr el áre en cd uno de ellos y tomr el vlor bsoluto de l cntidd hlld. El áre totl será l sum de ls áres prciles encontrds. Ejemplo Ejercicio: 5-d) libro teto pág 7 y = ( )( ) Clcul el áre comprendid entre ls curvs y = Solución Ls ríces de l función f() g() = ( ) ( ) = ( ) ( ) son: =, = y = El áre pedid es A = A + A Buscmos un función primitiv, que será l mism pr los dos sumndos. A() = ( + ) d = A() = A() = 4 4 4 - + A = A() = A + A = A() A() + A() A() = + - = 4 4 - -
L figur nterior es l representción gráfic del ejercicio. L función y = ( ) ( ) está dibujd en color rojo mientrs que y = ( eje de bsciss) prece en color negro..- Volumen de un cuerpo de revolución Supongmos que l gráfic de f() se l hce girr lrededor del eje OX. L figur obtenid tiene un volumen que viene ddo por: b V = [ ( ) ] π f.. d Ejemplo Se consider l circunferenci + y = 5. Hllr el volumen de l esfer que se obtiene l girr lrededor de uno de sus diámetros dich circunferenci. Solución L función de giro es: f() = 5 Límites de integrción: 5 = => = -5 y = 5 5 Volumen [ ] 5 5. π. d = π ( 5 ). d 5 5 Función primitiv V() = π ( 5 - V(5) = 5 - V(- 5) = - 5 + Volumen = π ( 5 5 = 5 5 = - 5 5 5 - ( - ) ) = π ) - -
Ejercicios º.- (ejerc 6 pág 7) Hll el áre limitd por l función y = y sus tngentes en los puntos en los que cort l eje de bsciss. Solución Puntos de corte con el eje de bsciss = => = y = Rects tngentes y = => y () = e y () = - y = e y = - ( ) => y = - + 4 El áre pedid prece colored en l figur Necesitmos hllr l bscis de intersección de mbs rects tngentes y = => = y = + 4 Áre zul Función diferenci ( ) = - Áre =.d = > A() = - => Áre = A() A() = Áre mrill Función diferenci ( ) ( - + 4) = - + 4-4 Áre = ( + 4 4). d = >A() = - 4 Áre totl = + = + 4 => Áre = A() A() = - ( ) = - -