Tema 1: Las Áreas de figuras planas. El Teorema de Pitágoras. 1-T 1--1ºESO I.- Perímetro y Área de las figuras planas: Antes de ver todas y cada una de las fórmulas que nos permiten averiguar el área de cualquier figura plana, es conveniente tener conocimientos sobre qué es el perímetro y el área de un polígono, así como las unidades en las que los podemos medir. El perímetro es la suma de todos los lados de una figura o polígono, sin faltar ninguno. Como lo que se pretende sumar son segmentos, el perímetro vendrá dado en una unidad de longitud. Por otra parte, el área o la superficie es el espacio del plano que ocupa una figura o polígono, es decir, es la parte del plano que hay en el interior de un polígono. Para tomar medidas de área o superficie hay que utilizar las unidades de superficie las cuales son las mismas que las de longitud, pero elevadas al cuadrado. Veámoslas. II.- Unidades de área o superficie: Las unidades de área o superficie salen siempre de multiplicar dos de longitud, y por ello, el resultado será una unidad de longitud pero elevada al cuadrado. Dichas unidades son, de mayor a menor: Km hm dam m dm cm mm La unidad fundamental de área es el metro cuadrado (m ) y tiene tres unidades múltiplos (Km hm dam ) y otras tres submúltiplos (dm cm mm ). Estas unidades, al estar elevadas al cuadrado, van de 100 en 100. Esto significa que cada unidad es 100 veces más grande que la unidad inmediatamente inferior y 100 veces más pequeña que la inmediata superior. Y qué es un metro cuadrado? Lo primero que se nos ocurriría decir es que es la unidad fundamental de área o superficie, y sería cierto. Pero debemos definirla como la superficie que ocuparía un cuadrado cuyo lado mide 1 metro. Asimismo, el dam sería la superficie que..., y un hm o ha sería la superficie que ocuparía un cuadrado de 1 hm de lado, o lo que es lo mismo, 100 metros de lado. En la realidad, siempre hemos dicho que algo así podría ser el césped de un campo de fútbol. Cabe recordar que existen otras tres unidades más de superficie, que son las que están relacionadas con el sector agrícola. Son las unidades agrarias y son ha a ca y equivalen a: ha = hm - a = dam - ca = m Para pasar una cantidad de área a otra unidad es preciso hacerlo con el factor de conversión, y se haría de la misma manera que lo hicimos en el tema 11, si bien habrá que contar doble nº de ceros por cada salto de unidad debido a que estas unidades van de 100 en 100. Vaya este ejemplo: 34 hm dm 34 hm 1000000 dm 34 x1000000 dm x = 1hm 1 =.340.000 dm Si lo que queremos es pasarlo de forma compleja a incompleja lo haríamos con el factor de conversión de la misma forma que lo hicimos en el tema 11, esto es, pasándolo todo a una misma unidad (la que yo elija o la que me diga el ejercicio) y después sumando. Si por el contrario quiero pasarlo de forma incompleja a compleja se hace de forma parecida al tema 11. En este caso, y ya que las unidades de área o superficie van de 100 en 100, lo primero es hacer parejas con las cifras de la cantidad a partir de la coma teniendo cuidado con la última de las parejas. Después, a la pareja que haya justo antes de la coma se le asigna la unidad en la que está expresada la cantidad. A las parejas anteriores se le asignan las unidades inmediatamente superiores, y a las parejas posteriores se le asignan las unidades inmediatamente inferiores. Valga este ejemplo: 140 785 dm las parejas son 01 = 1, 40, 78 y 50 Quedará entonces así: 140 785 dm = 1 m 40 dm 78 cm 50 mm Otros ejemplos serían: 3 78968 ha = 3 ha 78 a 96 ca 8 dm,, 4.345 m = m 43 dm 45 cm EJERCICIOS 1.- Qué es un dm? Y un km? Cuántos dam son 350 cm?.- Pasa a forma compleja o incompleja, según corresponda: a) 4 km 39 dam 19 m b) 14 8 dm c) 64 dam 89 a 45 dm 6 mm d) 3845 76 hm e) 6009 mm f) 70096 1 cm
III.- Las Fórmulas de las áreas de las Figuras Planas: -T 1--1ºESO Los polígonos o figuras planas tienen todos su fórmula correspondiente que permiten calcularles su área. Siempre y cuando sean figuras conocidas, lo primero que se pone siempre es la fórmula para luego sustituir los datos en el paso siguiente, y finalmente se realizan los cálculos y se coloca en el resultado la unidad de área pertinente. Dichas fórmulas, las cuales habrá que memorizar, son las siguientes: A cuadrado = L x L = L A rectángulo = b x a = b x h A romboide = b x a = b x h b A triángulo = a A figura regular = b = h Per ap D A rombo = d A círculo= π r ( B + b) a A trapecio= = ( B + b ) h B + b = A parte rayada = A figura mayor A figura/s menor/es A corona circular = A círculo grande A círculo pequeño = π R - π r = π ( R r ) Aunque lo que viene ahora no es una fórmula para calcular el área de ninguna figura, sí nos puede servir para otros menesteres relacionados con ellas. Os hablo de la fórmula para averiguar la longitud de una circunferencia conociendo el radio de ella: Longitud de una circunferencia = π r = π d ( d significa diámetro ) Esta fórmula nos vale para, como ya hemos dicho, averiguar cuánto mide la longitud de una circunferencia sabiendo su radio. Pero también vale para hallar cuánto vale el radio de una circunferencia sabiendo lo que mide dicha circunferencia, y lo haríamos aplicando la fórmula que sale de despejar r de la fórmula de la longitud de la circunferencia: a r = L, donde L es la longitud de la circunferencia. π IV.- El Teorema de Pitágoras: Un teorema en matemáticas es la explicación o la demostración de lo que sucede en algún apartado concreto dentro de esta ciencia. Antes de explicar en qué consiste el Teorema de Pitágoras hagamos una experiencia: dibujar un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 y 4 cm, respectivamente (espacio para el dibujo) Se puede apreciar que la hipotenusa mide 5 cm. Pues bien. Si hacemos los siguientes cálculos, deberíamos saber en qué consiste dicho teorema: C 1 = (3 cm) = 3 cm 3 cm = 9 cm C = (4 cm) = 4 cm 4 cm = 16 cm C 1 + C = 9 cm + 16 cm = 5 cm H = (5 cm) = 5 cm 5 cm = 5 cm De qué nos hemos dado cuenta? Efectivamente, si elevamos al cuadrado los dos catetos del triángulo y sumamos los resultados, nos sale justamente lo mismo que la hipotenusa elevada al cuadrado. Pues éste es el Teorema de Pitágoras y dice así: en un triángulo rectángulo al elevar la hipotenusa al cuadrado nos sale lo mismo que la suma de los dos catetos elevados al cuadrado (cada uno por su lado) Quedaría así la fórmula: H = C + C Esta fórmula nos sirve para, en un triángulo rectángulo, adivinar cuánto vale la hipotenusa siempre y cuando sepamos cuánto miden los dos catetos. De esta fórmula, podemos sacar otra, la que saldría de despejar alguno de los dos catetos, y nos saldría esta otra fórmula:
C = H C 3-T 1--1ºESO y nos valdría para poder averiguar cuánto vale un cateto de un triángulo rectángulo sabiendo la hipotenusa y el otro cateto. Un ejemplo donde podamos aplicar este teorema sería éste: EJERCICIO RESUELTO Si los lados de un rectángulo miden 4 y 7 cm, respectivamente, cuánto medirá su Diagonal? Lo primero que tendríamos que hacer es un dibujo del rectángulo en cuestión, poniendo las medidas que nos dicen, y también con una diagonal pintada. Se observa que la diagonal, la base y la altura del rectángulo forman un triángulo rectángulo, por lo que podemos aplicar el teorema de Pitágoras en él. Si sabemos los dos catetos, habrá que aplicar la primera de las fórmulas: h = c + c = (7 cm) + (4 cm) = 49 cm + 16 cm = 65 cm (que será la hipotenusa al cuadrado) Si queremos saber cuánto mide la hipotenusa, habrá que hacer la raíz cuadrada a 65 cm, y la raíz exacta o aproximada (con un decimal, o dos en caso de ser el primero 0 ) que salga será la medida de la hipotenusa, y en consecuencia, la diagonal pedida: h = 65cm 8 06 cm medirá la diagonal. (la raíz cuadrada se hará a un lado) Muchos problemas interesantes se resuelven con este magnífico teorema. A nosotros nos toca descubrir cuándo hay que aplicarlo y en qué triángulo. EJERCICIOS 3.- De la página 05 del libro, los n os 13 bd, 17 y 19 los paralelogramos. 4.- Calcula: a) El área de un rectángulo cuya altura mide cm y su base mide tres veces su altura. b) El área de un rectángulo de base 6 cm y altura /3 de la base. c) El lado de un cuadrado de área 9 16 cm. d) El área, en metros cuadrados, de un cuadrado que tiene 16 dm de lado. e) El área de un triángulo cuya base es de 10 cm y su altura es el doble de la base. f) El área de un triángulo cuya base es de 5 cm y su altura mide 4/5 de la base. g) El área, en cm, de un romboide de base dm y altura 3 cm. h) El área de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y la diagonal menor es la mitad de la mayor. i) El área de un triángulo isósceles, cuya base es de 14 cm y uno de sus lados mide 0 cm. 5.- El producto de las diagonales de un rombo es 4 cm. Calcula su área. 6.- La suma de las bases de un trapecio es 10 cm y su altura es cm. Calcula su área. 7.- Calcula el área de un trapecio cuya base mayor mide 15 cm, su base menor mide /3 de la mayor y su altura mide 4 cm. 8.- Calcula el área de un rombo que tiene de diagonal menor 6 cm, y cualquiera de sus lados de 6 cm también. 9.- Halla el área de un hexágono regular de lado 10 cm. 10.- Tenemos un cuadrado de 6 4 dm de lado. Se desea saber cuánto medirá la suma de sus dos diagonales, pero en mm. 11.- De la página 09 del libro, los n os 35 y 38. 1.- Qué es un trapecio? Cuándo un trapecio es rectángulo? Se sabe que en un trapecio rectángulo, la base mayor mide 15 cm, la base menor 10 cm, y la altura 6 cm. Cuánto medirá el perímetro y el área de este bonito trapecio?
4-T 1--1ºESO 13.- Si el área de un hexágono regular es aproximadamente 96 cm, cuánto valdrá el área de la parte rayada, si el hexágono está dividido en 6 triángulos iguales? 14.- El perímetro de un hexágono regular es de 7 cm. Calcula su área. 15.- Calcula el área de la parte rayada sabiendo que el área del hexágono regular es más o menos 58 cm. 16.- Calcula el área de un hexágono regular donde la suma de dos de sus lados es 16 4 cm. 17.- Si el área de un hexágono regular es aproximadamente 64 5 cm y cualquiera de sus apotemas vale 4 3 cm, cuánto valdrá un lado de dicho hexágono? 18.- De la página 11 del libro, los n os 44 b, 46 y 5. 19.- Si el radio de un círculo es 1 dm, calcula su área en metros cuadrados. 0.- Calcula el área del círculo sabiendo que su diámetro son m. 1.- Sabiendo que el área de un círculo es 16π m, cuánto medirá su radio?.- Calcula el área de la parte rayada sabiendo que el lado del cuadrado mide 6 cm (la relación existente entre el lado del cuadrado y el radio del círculo inscrito en él es: el radio es la mitad del lado). 3.- Si la longitud de una circunferencia es 1π cm, cuál será el área del círculo correspondiente? (recuerda que la longitud de la circunferencia es π r). 4.- Calcula el área de la parte rayada sabiendo el radio del círculo mayor (6 cm) y el radio de los círculos pequeños ( cm). 5.- Averigua el área de una corona circular cuyos radio son R = 5 dm y r = 3 dm. Cuál sería su área en m?
5-T 1--1ºESO 6.- Halla el área de una corona circular cuyo radio mayor es cuatro veces el menor, sabiendo que el menor mide cm. 7.- Calcula el área de una corona circular sabiendo que el radio mayor es R = 6 cm y el radio menor es /3 del mayor. 8.- Construye una corona circular cuyo radio mayor sea R = 3 cm y cuyo radio menor sea r = cm. Luego, calcula su área. 9.- En una corona circular, el área del círculo mayor es 5π m, y el área del círculo menor es 1/5 del área del mayor. Calcula el área de la corona circular en decímetros cuadrados. 30.- Calcula el área de la parte rayada sabiendo que el lado del cuadrado es 8 cm y el radio del círculo mide cm. 31.- En una corona circular el radio del círculo mayor es 1 cm, y el radio del círculo menor es 6 cm. Comprueba la relación que hay entre el área de la corona circular y el área del círculo menor. (Pista: si una persona A tiene 40 años y otra persona B tiene 0 años, eso quiere decir que la persona A tiene el doble de edad que la persona B, o bien, que la persona B tiene la mitad de edad que la persona A). 3.- Halla el lado de un triángulo equilátero que tiene 7 6 m de área, y de altura 6 9 m. 33.- Halla el área de una cuadrado cuyo perímetro vale 40 dm. 34.- Halla la diagonal mayor de un rombo cuya área vale 14 km y la diagonal menor 4 km. 35.- Halla el área de esta figura. A 8 cm D 10 cm B 1 cm C 36.- En un trapecio isósceles se sabe que la base mayor mide 18 cm, la base menor 10 cm y los lados iguales 7 cm. Averigua el área de dicho trapecio. (Nota: se recomienda un dibujo que os aclare el tema). 37.- Averigua el área de la parte oscura de esta figura tomando las medidas que creas necesario: 38.- El ejercicio nº 7 de la página 03 del libro. Fdo. Juan Chanfreut Rodríguez Profesor de matemáticas de 1º de ESO