Sistemas deductivos Lógica Computacional Departamento de Matemática plicada Universidad de Málaga Curso 2005/2006
Contenido 1 Sistema axiomático de Lukasiewicz Sistema proposicional Extensión a predicados 2 Introducción Reglas del sistema Pruebas en DN Metateoría del sistema DN Deducción natural en primer orden
Sistema xiomático de Lukasiewicz, L Consideraremos el lenguaje de la Lógica Proposicional tomando los conectivos {, } como primitivos: xiomas: x.1 ( ) x.2 ( ( C)) (( ) ( C)) x.3 ( ) ( ) Regla de inferencia: Modus Ponens De las fórmulas y se obtiene como consecuencia inmediata. revemente: MP, o bien
Deducción sintáctica Definición Dado un conjunto Ω de fbfs, se dice que es deducible en L desde Ω, y lo denotamos Ω, si existe una deducción de a partir de Ω, esto es, una secuencia finita y ordenada 1, 2,..., n tal que Cada i es un axioma, una fórmula de Ω, o resulta de la aplicación de MP a dos fórmulas anteriores de la secuencia. n =. Si Ω = entonces escribimos y decimos que es un teorema.
Un ejemplo de demostración en L Ejemplo es un teorema de L. 1 (( ) ) x. 1 2 ( (( ) )) (( ( )) ( )) x. 2 3 ( ( )) ( ) MP 1, 2 4 ( ) x. 1 5 MP 3, 4
Resultados teóricos Proposición Todo sistema axiomático, y en particular L, tiene las siguientes propiedades: Propiedad de Monotonía: Si Ω Ω y Ω, entonces Ω. Propiedad de Compacidad: Si Ω, entonces existe un subconjunto finito Γ Ω tal que Γ. Si es deducible de 1,... n, entonces la inferencia 1,..., n puede usarse como una nueva regla, regla derivada.
Metateorema de la deducción Proposición Para todo conjunto Γ de fbfs Ejemplo Γ {} si y solo si Γ ( ) es un teorema de L; el metateorema de la deducción reduce este problema a : 1 Hip. 2 ( ) x. 1 3 MP 1, 2 4 ( ) ( ) x. 3 5 MP 3, 4
( ) (( C) ( C)) Ejemplo El metateorema de la deducción (aplicado tres veces) reduce este problema a establecer, C, C: 1 Hip 2 Hip 3 MP 1,2 4 C Hip 5 C MP 3,4
Corrección y completitud de L Proposición El sistema axiomático L es correcto para la semántica de la Lógica Proposicional: Si Ω entonces Ω = El sistema axiomático L es completo para la semántica de la Lógica Proposicional: Si Ω = entonces Ω
Sistema de Lukasiewicz, L 1 Considera como primitivos los conectivos {,, }. xiomas: 1 ( ) 2 ( ( C)) (( ) ( C)) 3 ( ) ( ) 4 x(x) (t) donde t es libre para x en (x) 5 x( (x)) ( x(x)) donde x / V lib () Reglas de inferencia: Modus Ponens:, Generalización: x
Metateorema de la deducción Observación Nótese la necesidad de las restricciones en x. 4 y x. 5. dviértase la diferencia entre el x. 4 y la regla (GEN). El teorema de la deducción no se satisface en L 1 si no se imponen restricciones similares. Teorema (de la deducción) Si Ω {} y en la deducción de no se utiliza la regla (GEN) con respecto a ninguna variable libre de entonces Ω. En particular, Si es una fbf cerrada y Ω {} entonces Ω
Corrección y completitud de L 1 Teorema Corrección: Todo teorema de L 1 es una fbf válida. Completitud: Toda fbf válida es un teorema de L 1. Teorema (de completitud de Gödel) Dado un conjunto Ω de fbfs cerradas y una fbf se tiene que Ω = si y solo si Ω
Los Sistemas de surgen para salvar los obstáculos de los sistemas axiomáticos. El proposito de estos sistemas es recoger el modo habitual de argumentar en la vida diaria y permitir un modo más natural de realizar deducciones (Gentzen). No introducen axiomas y vienen dados por un conjunto de reglas de inferencia (generalizadas). Reconocen todos los conectivos del lenguaje de la Lógica Proposicional. Definen para cada conectivo suficientes reglas para reconocer el significado de cada uno aisladamente. Las deducciones adquieren protagonismo sobre las demostraciones y no se introducen axiomas.
Reglas del sistema Eliminación de (e- ): Coincide con la regla MP del sistema axiomático: Si de Ω podemos derivar y, entonces también podemos derivar. Ω Ω Ω Introducción de (i- ): Coincide con el metateorema de la deducción. Si podemos derivar, añadiendo la hipótesis adicional a Ω, entonces es posible derivar de Ω. Ω {} Ω.
Reglas del sistema Eliminación de (e- ) (dos reglas): Si de Ω se deriva, entonces podemos derivar y podemos derivar. Ω Ω Ω Ω Introducción de (i- ): Si de Ω podemos derivar y podemos derivar, entonces también podemos derivar. Ω Ω Ω
Reglas del sistema Eliminación de (e- ): Razonamiento por casos. Si podemos derivar, añadiendo la hipótesis adicional podemos derivar C y añadiendo la hipótesis adicional también podemos derivar C, entonces podemos derivar C. Ω Ω {} C Ω {} C Ω C. C. C C Introducción de (i- ) (dos reglas): Si de Ω derivamos, también podemos derivar y podemos derivar. Ω Ω Ω Ω
Reglas del sistema Introducción de (i- ): Reducción al absurdo. Si de Ω podemos derivar y añadiendo la hipótesis adicional, podemos derivar, entonces de Ω podemos derivar. Ω Ω {} Ω. Eliminación de (e- ): Ley de doble negación. Si podemos derivar, podemos derivar. Ω Ω
Todas las reglas de la (i- ) (e- ) (e- ) []. [] (i- ) (e- ) C []. C []. C (i- ) (e- ) (e- ) C. C (i- ) (i- )
Representación de pruebas en DN Las derivaciones Ω DN se representan mediante una secuencia lineal y finita de fórmulas de la siguiente forma: Ω. (Cálculo) en la que las fórmulas intermedias del cálculo son tales que Son generadas por aplicación de las reglas en Ω. Pueden formar subconjuntos (delimitados por un corchete) que se derivan de una hipótesis adicional, de fórmulas anteriores y, quizás, de otra subderivación, siguiendo las reglas del sistema.
Ejemplo DN (p (q r)) ((p q) (p r)) 1 p (q r) Hip. d. 2 p q Hip. d. 3 p Hip. d. 4 q ( e ), 2,3 5 q r ( e ), 1,3 6 r ( e ), 4,5 7 p r ( i ), 3 6 8 (p q) (p r) ( i ), 2 7 9 (p (q r)) ((p q) (p r)) ( i ), 1 8
Ejemplo: ( C) DN ( ) ( C) 1 ( C) Hip. 2 Hip. ad. 3 ( i ) 4 C ( i ) 5 ( ) ( C) ( i ) 6 C Hip. ad. 7 ( e ) 8 C ( e ) 9 ( i ) 10 C ( i ) 11 ( ) ( C) ( i ) 12 ( ) ( C) ( e )
Silogismo Disyuntivo:, DN 1 Hip. 2 Hip. ad. 3 Hip. ad. 4 Hip. 5 ( i ) 6 ( e ) 7 Hip. ad. 8 Rep. 9 ( e )
Corrección y completitud de DN Teorema (Corrección de DN) El sistema DN es correcto, es decir Si Γ DN entonces Γ = Teorema (Completitud de DN) El sistema DN es completo, esto es, Si Γ = entonces Γ DN
Estrategias de deducción 1 Si la conclusión es del tipo, usaremos (i ): Si es dividimos la deducción en dos partes Si es solo podemos seguir la estrategia si ya hemos generado o ; Si es, iniciamos una subderivación con hipótesis adicional hasta generar. 2 Si una hipótesis inicial o adicional o una fórmula ya generada es de la forma H =, usar (e- ): Si es y queremos generar C, construimos dos subderivaciones empezando en y respectivamente y terminando en C; Si es, solo podemos seguir la estrategia si ya hemos generado. 3 En otro caso, usar (i- ).
Uso de reglas derivadas grupamos las reglas derivadas más utilizadas como reglas de introducción y reglas de eliminación y como tales pueden ser consideradas en las estrategias de deducción. Ley de Doble Negación: Silogismo disyuntivo: Modus tollens:
Uso de reglas derivadas Contradicción:. Eliminación de - (de M.): ( ) Eliminación de - (de M.): ( ) ( ) Eliminación de - : ( ) ( )
Deducción natural en primer orden Reglas asociadas al cuantificador universal. (, ) x(x) x (x) (, ) x (x) x(x) (, e) (, i) x(x) (t) (x) x(x) donde t es libre para x en (x). donde x satisface: No ocurre libre en ninguna hipótesis No ocurre libre en ninguna de las hipótesis adicionales de las derivaciones aún no finalizadas
Deducción natural en primer orden Reglas asociadas al cuantificador existencial (, ) x(x) x (x) (, ) x (x) x(x) (, i) (, e) [x/t] x(x) x(x) donde t es libre para x en (x). (x) No ocurre libre en ninguna hipótesis donde x satisface: No ocurre libre en ninguna de las hipótesis adicionales de las derivaciones no finalizadas para, salvo en (x).