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EPEJO GRAVITACIONAE: VERIFICACIÓ N E A TEORÍA E A REATIVIA GENERA Una Teoría Científia es una buena teoría no solo por los hehos que explia sino por los fenómenos que predie. Falón, N. pto de Físia. FACYT. Universidad de Carabobo. Resumen. e disute suintamente el formalismo de los Espejos (entes) gravitaionales y su vinulaión on la osmología estándar, evideniando su importania omo un test adiional para la onfirmaión experimental de la Teoría General de la Relatividad. 1. Anteedentes. esde que Albert Einstein propusiera a la Teoría General de la Relatividad (TGR) omo el modelo de la Gravitaión, se ha avanzado muho en la verifiaión de sus prediiones. u primer aierto fue expliar el anómalo omportamiento de la órbita de Merurio, uya presesión ya había señalado e Verrier en 1857, y que llevó a éste a proponer, erróneamente, un planeta inobservable, y por ende inexistente (bautizado omo Vulano). También se exhibe omo el mayor logro de la TGR la onfirmaión de la deflexión de la luz en las eranías de los ampos gravitaionales intensos. uego en 197, J. Evershed onfirmó la prediión de enrojeimiento de la luz emitida por una fuente en un ampo gravitaional intenso. Hoy día la preisión de 145
la teoría onuerda on los experimentos hasta la exatitud de una millonésima para el aso de la estrella irio. a uarta prueba o evidenia experimental de la TGR es la mediión realizada a partir de los años setenta sobre el retraso del viaje de una onda eletromagnétia al atravesar un fuerte ampo gravitaional. Este experimento lo ideó hapiro en 1964 y hoy día se onsidera exato hasta una preisión de una milésima para las medidas efetuadas on el mayor radiotelesopio del mundo, en Areibo, sobre las señales emitidas por los ingenios espaiales más remotos (las sondas Espaiales Pionner ). Otra prediión de la TGR es que una masa aelerada emite ondas gravitaionales, en forma análoga a la emisión de ondas eletromagnétias por las partíulas argadas. Tales ondas no han sido medidas diretamente, sin embargo su determinaión indireta le valió el Premio Nobel, en 1993, a R. Hulse y J. Taylor. Ellos estudiaron el movimiento del radiopulsar binario PR 1913+16, medidas aumuladas durante 17 años, demuestran que los álulos relativistas explian satisfatoriamente (on preisión de una diezmilésima) la disminuión progresiva del período orbital omo onseuenia de la emisión de ondas gravitaionales. Pero la prueba más onspiua es sin duda la existenia de Espejos o lentes gravitaionales, efeto éste que no puede ser expliado por la Teoría de Newton. a deflexión de la luz en la eranías de un ampo gravitaional intenso, omo onseuenia de la urvatura del espaio, fue estudiada por Einstein en 191 y 146
verifiada durante la expediión de ir Arthur Eddington on motivo del memorable elipse total de ol aaeido el 9 de Mayo de 1919, en el golfo de Guinea. Posteriormente Einstein (1936) se oupó del problema de la formaión de imágenes estelares dobles (espejo gravitaional) advirtiendo que tal efeto sería de difíil estimaión dada la orta separaión angular de las imágenes, sin embargo en diho trabajo sentó la orreta formulaión de la formaión de imágenes por espejos (o lentes ) gravitaionales. uego Zwiky aluló el efeto de la deflexión para un espejo gravitaional de dimensiones galátias (marolentes gravitaionales). Mas reientemente (iebes y Refsdal; 1964) se estudió la formaión de imágenes múltiples debidas a la deflexión de la luz en las eranías del diso galátio, úmulos globulares y M31 (Galaxia Andrómeda) as espeulaión teória se ristalizó omo una verifiaión adiional de la Teoría General de la Relatividad luego de que Walsh y olaboradores desubrieran la imagen doble del quasar 0957+561 on una separaión angular de 6 segundos de aro (Walsh, Carswell y Weymann; 1979). Varios ejemplos de Espejos gravitaionales son onoidos hoy día, entre los mas onspiuos destaan la llamada Cruz de Einstein y los aros múltiples del úmulo de Abbell, que se ilustran en la Figuras 1 y. Fig. 1. Espejo Gravitaional del quasars G37+0305 147
Fig. ente gravitaional (aros) visibles on el Telesopio Espaial Hubble en el úmulo de Galaxias Abell 18 En la siguiente seión se disutirá el modelo de un espejo gravitaional simple (seión ) y sus impliaiones en la osmología atual (seión 3).. Espejo gravitaional simple CONIERACIONE GENERAE a geometría para la deflexión de un espejo o lente gravitaional simple (lente delgado) se muestra en la siguiente figura: 148
Es laro de la figura la relaión entre los ángulos y el vetor biespaial : I I (1) En prinipio esta relaión puede resolverse para enontrar la relaión entre el plano del objeto y el plano de la lente o plano imagen, vale deir para hallar la posiión de la imagen. i la deflexión de la lente es pequeña esta relaión entre oordenada es invertible y se die que el lente o espejo es débil. in embargo para deflexiones grandes la relaión inversa podría no ser únia y se tendría una lente fuerte o espejo fuerte, asoiado a múltiples imágenes. El ángulo de urvatura está dado por la integral de línea de la aeleraión gravitaional perpendiular a la trayetoria del rayo (a ), esta relaión nos die que los fotones son refletados omo abría esperar de auerdo a argumentos Newtonianos: adl () i definimos omo el potenial bidimensional en el plano de la lente gravitaional, entones: dl dl (3) y la euaión de la lente-espejo (E. 1) resulta: 149
I I (4) donde resulta evidente que dos sistemas on la misma densidad superfiial presentarán el mismo efeto de lente gravitaional, independientemente de los detalles de su estrutura de densidad tridimensional. Empleando la Euaión de Poisson en el tri-espaio enontramos que obedee la relaión: 8G s (5) donde se ha usado que, en la superfiie, dl y se ha definido la densidad rítia superfiial. Afortunadamente (5) puede ser integrada usando la funión de Green para el apraiano en 3-dimensiones, así: 1 ln d (6) EPEJO GRAVITACIONAE IMÉTRICO e partiular interés en astrofísia relativista son los espejos irularmente simétrios. i usamos el potenial gravitaional para una distribuión de masa m ontenida en una esfera de radio r E = E (ver figura 3) se tendrá que la relaión (3) adquiere la forma simple: 4G m (7) r E Empleando ésta euaión y la relaión de la óptia geométria 150
r E E (8) r tenemos: 4Gm re (9) i ahora definimos omo E =r E el radio angular de Einstein, resulta: 1 / 1 / 1 / 4Gm m / E ar os egundos 11 10 M Gp (10) donde se ha expresado la separaión angular de las imágenes en unidades masa en términos de masas solares ( M ) y las distanias en gigaparse. Nótese que el radio de Einstein de la lente gravitaional resulta así proporional a la antidad r donde r s es el radio de hwarzhild. ebe advertirse que si el objeto espeular (lente) no es puntual sino que onstituye una esfera distribuida mas o menos uniformemente (distribuión no puntual) entones las relaiones preedentes (euaiones 9 y 10) deben ser orregidas y adquiere una forma de difíil estimaión. e todas maneras, onsiderando las distanias astronómias, la aproximaión de lentes delgadas y puntuales ( ompatas ) es una aproximaión válida para los asos onoidos de marolentes gravitaionales. 151
15 MAGNIFICACIÓ N El poder de magnifiaión en la imagen formada por la lente-espejo gravitaional puede ser enontrado a partir de las onsideraiones preedentes. ifereniando la euaión (4) tenemos: j i ij ij I (11) e la E. (5) vemos que el laplaiano de es proporional a, y por tanto podemos esribir : j i Tz (1) Puede demostrarse (Young, 1981) que en el aso de isotropía se tiene: 1 0 0 1 ij I (13) El fator de amplifiaión de la densidad de flujo de la imagen estará dado por el oiente entre las áreas de la imagen y de la fuente, vale deir : 1 1 I A (14) Es laro que representa la izalladura de la imagen, es deir la anisotropía del enfoque debida a efetos de mareas oasionados por la fuente ompata del lenteespejo, que onlleva a la deformaión de la imagen (véase hneider et al y Roulet para los detalles).
Usualmente es no nula, vale deir, la densidad superfiial no es irularmente esféria. Para un espejo gravitaional irularmente esfério la ondiión neesaria y sufiiente de formaión de multiples imágenes es que exista un punto tal que sea mayor que una ierta antidad (mayor que ½ + m ; donde m es el valor medio de sobre el radio interno al punto rítio), omo en el aso de la Cruz de Einstein ilustrado en la Figura 1. Para el aso de la amplifiaión de una lente gravitaional ompata la relaión (14) adquiere la forma simple (Hewitt et al, 1981): A E 4 E E (15) Obviamente puede obtenerse una expresión similar en términos del radio del anillo de Einstein (r E ) y de la extensión del objeto (r) reemplazando los ángulos orrespondientes por las longitudes de aro en la expresión (15). 3. Conseuenias osmológias. as evidenias observaionales de varias deenas de espejos gravitaionales han motivado la búsqueda de estos objetos y su empleo en la determinaión indireta de parámetros osmológios relevantes. Tanto para estimar la densidad rítia y la masa (visible u osura) de los úmulos de galaxias (Alok, C. Et al y referenias en él), omo para la estimaión de la onstante de Hubble (Grogin & Narayan 1996 y referenias en él). 153
Fáilmente se observa de la Euaión (5) que la densidad superfiial rítia C puede ser obtenida en términos de las estimaiones de distanias, o equivalentemente a través de la relaión: / Gp 3.5 Kg / m / Gp / Gp (16) que permite estimar la densidad de un úmulo de galaxias (omo en el aso de la figura, véase Tyson et al 1998) e inluso la distribuión de masa entral de alguna galaxia que funja omo lente gravitaional. También, empleando un modelo de Universo de Friedman-Robertson-Walker, puede estimarse la antidad omo extensión simple de la fórmula de distaniaorrimiento al rojo: R r r 1 z 0 k (17) que para un modelo de Universo on materia solamente se tiene (Peaok, 1999) H o 1 Z Z 1 Z Z 1 Z 1 Z (18) En donde denota la densidad adimensional de materia (/ ritia ) y Z el fator de orrimiento al rojo. Modelos mas sofistiados de entes y Mirolentes gravitaionales han permitido inlusive la determinaión de la onstante de Hubble (H o ) on gran preisión; en partiular Bernstein y Fisher han estudiado la doble imagen del quasar QO 0957+561 y han obtenido un valor de 77 km/s/mp. 154
Finalmente debe destaarse la importania de los espejos gravitaionales omo una verifiaión o test alternativos para la Relatividad General. Puede estimarse los valores de C y de H 0 en forma independiente, al menos para asos bien onoidos de espejos de Einstein o lentes gravitaionales omo el QO 0957+561 y M107, y por medidas diretas de las distanias y orrimientos al rojo verifiar la exatitud de la TRG, omparándolas quizá on otras Teorías alternativas de Gravitaión omo las de tipo Brans-ike. Referenias Alok, C. et al (1997) Ap. J. 479, 697; (1996) Ap. J. 471, 774; (1993) Nature 365, 61; (1995) A&A. 301, 1. Bernstein, G. y Fisher, P. (1999) Astron. J. 118, 14. Einstein, A. (1936) iene 84,506. Grogin, N.A & Narayan, R. (1996) Ap.J. 464, 9. Hewitt, J.N. et al (1988) Nature 333, 537. Matts, Roos (1997) Introdution to Cosmology. Ed. Wiley. Finland. Peaok, J. (1999) Cosmologial Physis. Cambridge University Press. Renn, J., auer, T., tahel, J. (1997) iene 75,184. Roulet, E. (000) ensing phenomna in the Universe; en VI Esuela a Hehiera.Universidad de os Andes, Venezuela. hneider, J.; Ehlers, J.; Falo, E. (199) Gravitational enses, pringer-verlag, Berlin. Tyson, J. A. et al (1998) Ap.J. 498, 107. Young, P. (1981) Ap.J. 44, 756. 155