FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS Los ángulos: Se pueden medi en: GRADOS RADIANES: El adián se define como el ángulo que limita un aco cuya longitud es igual al adio del aco. Po tanto, el ángulo, α, completo en adianes de una cicunfeencia de adio,, seía: Su símbolo es ad. Las Funciones Tigonométicas: y sen y cos y tg Las ecuaciones tigonométicas: Razones tigonométicas del ángulo difeencia: senα β senα cos β cosαsenβ ( α β ) cosα cos β + senαsenβ cos tgα tgβ tg α β + tgαtgβ Razones tigonométicas del ángulo suma: sen( α + β ) senα cos β + cosαsenβ cos ( α + β ) cosα cos β senαsenβ tgα + tgβ tg α + β tgαtgβ
Razones tigonométicas del ángulo mitad: α cosα sen ± α + cosα cos ± α cosα tg ± + cosα Razones tigonométicas del ángulo doble: sen α senα cosα cos α cos α sen α tgα tgα tg α Sumas y difeencias de senos y cosenos: sen α + cos α A + B A B sena + senb sen cos A + B A B sena senb cos sen A + B A B cos A + cos B cos cos A + B A B sena + senb sen sen Geometía y tigonometía básica: El tiángulo ectángulo:
El teoema de Pitágoas: c a + b Relaciones tigonométicas fundamentales:
CÁLCULO INTEGRAL Integales inmediatas:
Ejemplos: d ln + + C + d actg + C + La integal definida: Regla de Baow. Dada una función f continua en un intevalo [a,b] y sea g() cualquie pimitiva de f, es deci g ()f(). Entonces: b a f ( ) d g( b) g( a) Ejemplos: π 0 e cos( ) d sen( π ) sen(0) 0 d ln( e) ln() Integal de Riemann: El áea bajo una cuva f() La integal de Riemann es una opeación sobe una función continua y limitada en un intevalo (a;b), donde a y b son llamados los etemos de la integación. La opeación consiste halla el límite de la suma de poductos ente el valo de la función en un punto i * y el ancho del subintevalo conteniendo al punto. Nomalmente se denota como: b a f ( ) d El símbolo es una "S" defomada. En el caso en que la función f tenga vaias vaiables, el d especifica la vaiable de integación. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA: La integal de Riemann es una foma simple de defini la integal de una función sobe un intevalo como el áea bajo la cuva de la función. Paa obtene una apoimación al áea enceada debajo de una cuva, se la puede dividi en ectángulos como indica la figua.
El áea de cada ectángulo, es el poducto de la función el un punto, po el ancho del intevalo. Al aumenta el númeo de ectángulos se obtiene una mejo apoimación.
A n i f ( i ) Teniendo en cuenta los esultados anteioes, podemos calcula el áea compendida ente la gáfica de una función positiva y f(), el eje OX y las ectas a, b. Dicha áea se epesenta como: b A f ( ) d a El áea enceada po dos cuvas f y g ente a y b seá: A b f a g EJEMPLO: Calcula el áea del ecinto deteminado po la paábola y el eje OX: y El vétice de la paábola se encuenta situado sobe la línea discontinua. El áea que queemos calcula apaece sombeada en amaillo. Po lo tanto los límites de integación seán los cotes de la cuva con el eje.
Sustituyendo en la ecuación y0, obtenemos los valoes: 0,. 0 ( ) d 0 6 Volumen de sólidos de evolución mediante el cálculo integal. Consideemos el poblema geneal de halla el volumen del sólido de evolución que se genea al hace gia alededo del eje y, la egión que está compendida ente la cuva y f(), con f() > 0, el eje, es deci, la ecta hoizontal y 0 y las ectas veticales a y b, donde 0 < a < b. La egión y el sólido de evolución que genea apaecen epesentados en las siguientes figuas: Dividamos el intevalo [a, b] en n subintevalos [ i, i ], todos con el mismo ancho: (b a) / n. Sea i * el punto medio del i-ésimo subintevalo. Consideemos el ectángulo R i constuido sobe el i-ésimo subintevalo con una altua de f ( i *) y hagámoslo gia en tono del eje y. Entonces se poduce un casquete cilíndico que tiene como adio medio i *, como altua f ( i *) y cuyo goso es i i. Po lo tanto, el volumen V i de este casquete cilíndico está dado po:
Paa obtene un cálculo apoimado del volumen total del sólido de evolución debemos pone n casquetes cilíndicos de éstos, unos dento de los otos, como lo ilusta la figua y después suma los volúmenes de todos ellos: Y de esta manea hemos llegado a fomula una egla geneal paa el cálculo de volúmenes con el método de los casquetes cilíndicos. Es la siguiente: Regla geneal: El volumen del sólido de evolución que se genea al hace gia alededo del eje y la egión que está compendida ente la cuva y f(), con f() > 0, el eje y las ectas veticales a y b, donde 0 < a < b, está dado po la integal:
EJEMPLO: Halla el volumen del sólido de evolución que se genea al hace gia sobe el eje y la egión compendida, en el pime cuadante, ente la cuva y + 4 + y la vetical. En este caso la egión que gia está delimitada po la cuva f() +4 -+, po el eje y po las ectas veticales 0 y. La altua de los casquetes cilíndicos vaía de acuedo a la función f() V 4 π f ( ) d π ( + 4 + ) d π ( + 4 + ) d 0 5 4 99 π + + π 5 5 0 0 0 EJEMPLO: Demosta, empleando el método de los casquetes cilíndicos, que el volumen de un cono de altua h y con adio en su abetua está dado po: Paa comenza, obsevemos que este cono puede se visto como el sólido que se poduce al hace gia, alededo del eje y, la egión tiangula cuyos vétices son los puntos (0,0), (,0) y (0,h), donde h y son númeos eales positivos.
La ecuación de la ecta que pasa po los puntos (,0) y (0,h) es: Puesto que su pendiente es m h/ y la intesección con el eje y es el punto (0,h). Ahoa bien, paa aplica el método que nos ocupa, consideemos que el cono está fomado po una seie de casquetes cilíndicos, incustados los unos dento de los otos, cuyos adios vaían de 0 a y cuyas altuas vaían de 0 a h. Natualmente, la altua de cada cilindo está dada po la ecta y ( h/ ) + h. Los casquetes cecanos al cento son altos y su adio es pequeño, mientas que los que se sitúan más al eteio tienen un adio amplio peo su altua es pequeña. Debe se clao entonces que un casquete cualquiea, de adio, tiene como altua:
Po lo tanto, el volumen del cono viene dado po la integal: + h d h d h h d f V 0 0 0 0 ) ( ) ) (( ) ( ) ( π π π π h h h ) 6 ( ) ( π π π EJEMPLO: Halla el volumen del sólido de evolución que se genea al hace gia, alededo del eje y, la egión que está delimitada po la paábola y + 4, po la cúbica y 6 + 5 y po las veticales y. En este caso, a difeencia de los ejemplos anteioes, hay dos funciones involucadas que son:
El sólido de evolución que se genea al hace gia esta egión alededo del eje y. Obsévese que está limitado aiba y abajo po dos supeficies de evolución cuvas y en la pate inteio y en la eteio po dos supeficies cilíndicas. Consideemos ahoa que este sólido está fomado po una seie de casquetes cilíndicos incustados, como antes, los unos dento de los otos. Esta vez los casquetes no sólo vaían en cuanto a su adio y a su altua, sino que vaían además en cuanto a su ubicación especto del eje, puesto que su base infeio está situada en la paábola y + 4 mientas que su base supeio está situada en la cúbica y 6 + 5. Po lo tanto, un casquete cilíndico de adio tiene como altua: Po lo tanto, el volumen de este sólido de evolución está dado po la integal:
V 4 π ( g( ) f ( )) d π( 5 + 8 ) d π ( 5 + 8 ) d 5 4 9 [ 75 + 60 60 ] π 5 4 5 8 π π + 5 4 0 5 VECTORES Intoducción: Los vectoes son magnitudes epesentadas po un segmento diigido (flecha). Se caacteizan po posee: a) Una longitud, la que es epesentada po un valo numéico al que llamaemos módulo (también se la denomina noma) b) Una diección, que es la ecta a la que petenece c) Un sentido. La ecta posee dos sentidos, genealmente estos se indican mediante signos "+" paa un lado y "-" paa el oto. Los vectoes pueden situase en el plano, o sea dos dimensiones, o en el espacio, desde tes hasta infinitas dimensiones. Veamos los vectoes en el plano, las mismas popiedades pueden se aplicadas en todas las otas dimensiones. Es así que podemos escibi su oigen y su etemo como puntos (, y). La ubicación de estos puntos le daá el sentido al vecto. Si el oigen del vecto es, po ejemplo, A (, ) y el etemo B (4, 5), el vecto seá AB (de A hasta B). Resulta inteesante destaca que las coodenadas de estos puntos deteminan un tiángulo ectángulo, de manea que su módulo puede calculase aplicando el teoema de Pitágoas. De manea que la longitud de cada cateto coincide con el valo que debeía tene el vecto si su oigen fuea el cento de coodenadas. Sea A un vecto de n dimensiones, A {a, a, a,... a n } llamamos módulo, noma o simplemente longitud del vecto al valo numéico (escala) deteminado po:
Resta de vectoes: Resta dos vectoes geométicamente implica "taza" un tece vecto desde el etemo del pimeo hasta el etemo del segundo. Aitméticamente estamos las componentes veticales y hoizontales ente sí. A (7, ) B (5, 4) A - B (7,) (5,4) (7 5, 4 ) (, ) Suma de vectoes: Si tenemos dos vectoes podemos sumalos y halla un teceo. Método del paalelogamo: es un método geomético en el cual tazamos dos segmentos paalelos a la diección de cada vecto, po los etemos de los mismos. Uniendo la intesección de los vectoes y de los segmentos paalelos (puntos en colo) obtendemos el vecto suma. Analíticamente, se suman las componentes. A (0, 5) B (5, 4) A + B (0,5) + (5,4) (0 + 5, 5 + 4) (5, 9) Popiedades:. A + B C (al suma dos vectoes se obtiene oto vecto - ley de composición intena). A a (, ) (a, a ) (paa a R) [el poducto de un vecto y un escala da oto vecto]. (- ). A - A (opuesto) A - / A (inveso) 4. A + (B + C) (A + B) + C (popiedad asociativa) 5. A + B B + A (popiedad conmutativa) 6. a. (A + B) a. A + a. B (paa a R) (popiedad distibutiva) 7. A (a + b) A. a + A. b (paa a R, b R) 8. A + 0 0 + A A [0 epesenta el vecto nulo (0, 0) que es neuto en suma]
9. A + (- A) 0 0.. A A. 0. A 0 Poducto escala ente dos vectoes: El esultado de esta opeación, como su popio nombe indica, es un númeo escala. Si tenemos dos vectoes A {a, a,..., a n } y B {b, b,..., b n } el poducto escala ente ambos puede hallase mediante la sumatoia del poducto de cada una de sus coodenadas. A. B a b + a b +... + a n b n Dados dos vectoes A y B llamaemos poducto escala de A y B al númeo eal deteminado po: A. B A. B. cos α Siendo α el ángulo ente ambos vectoes. Popiedades:. A. B B. A. A. (B + C) A. B + A. C. (a. A). B A. (a. B) (paa a R) 4. A. A > 0 (paa A 0) 5. A. B < A. B (desigualdad de Cauchy - Schwaz) 6. Si A 0, B 0 y α 90º A. B 0 (El poducto escala de vectoes otogonales es nulo ya que el cos 90º 0.) Como se detemina el valo del ángulo ente dos vectoes? A B C (A B) C A. Α. Β + B C A. A. B. cos α + B C
Poducto vectoial Dados dos vectoes A y B llamaemos poducto vectoial de A {a, a, a } y B{b, b, b } al vecto deteminado po: A B (a b a b, a b a b, a b a b ) Dicha epesión poviene de la esolución de un deteminante de la siguiente foma: Se considea una base otonomal del espacio vectoial V; B {e, e, e}. Llamamos poducto vectoial de los vectoes e y al vecto ^y obtenido de la foma siguiente: Siendo (,,) e y (y,y,y) especto de la base B Po tanto las coodenadas de ^y seán especto de esa base: En este caso son vectoes de R peo es aplicable a vectoes de cualquie dimensión. El vecto esultante seá pependicula al plano en el que se encuentan A y B. Popiedades:. A B - (A B). A (B + C) A B + A C. (a. A) B A (a. B) (paa a R) 4. A B es pependicula a A y a B 5. (A B) C A (B C) 6. (A B) (A. A). (B. B) - (A. B) 7. A B A. B. sen a Momento de un vecto especto de un punto. Se define el momento de un vecto v especto de un punto O a un vecto que veifica la condición: M O
Obseva que se tata de un poducto vectoial de dos vectoes, po lo que si los puntos son O (o,yo,zo) y A (A,yA,zA), el vecto momento tiene la epesión: Momento de un vecto especto de un eje Sea un vecto cuyo momento especto a un punto O es el dado po la epesión anteio y sea E une eje que pasa po el punto O, de manea que sea un vecto unitaio que señala la diección y sentido de E. El momento del vecto especto al eje E, ME, viene dado po la epesión: Si los vectoes de la fómula anteio se epesan en función de sus componentes catesianas, podemos escibi: