Tema 7: Procesos Estoca sticos

Tema 7: Procesos Estoca sticos Teorı a de la Comunicacio n Curso 2007-2008

Contenido 1 Definición 2 Caracterización Estadística 3 Estadísticos 4 Estacionariedad 5 Ergodicidad 6 Densidad Espectral de Potencia 7 Filtrado de Procesos Estocásticos

Definición Procesos Estocásticos Definición: Un Proceso Estocástico X(t) es una función que asocia una señal a cada posible resultado de un experimento aleatorio. S Ω X(t, S) R Variable independiente: t T R (T espacio de tiempos) Interpretación Si se fija el suceso: X(t, S 0 ) es una señal Si se fija el tiempo: X(t 0, S) es una variable aleatoria Si se fijan ambos: X(t 0, S 0 ) es un n o real Si ambos varían: X(t, S) es un proceso estocástico

Definición Procesos Estocásticos. Ejemplo Realizaciones de un Proceso Estocástico x(t,s 1 ) 10 0 X: 5 Y: 2.746 Realizaciones de un Proceso Estocástico X: 20 Y: 0.128 10 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 t 10 x(t,s 2 ) 0 X: 5 Y: 3.786 X: 20 Y: 0.8176 10 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 t 10 x(t,s 3 ) 0 X: 5 10 Y: 3.641 X: 20 0 5 10 15 Y: 6.604 20 25 30 35 40 45 50 t 10 x(t,s 4 ) 0 X: 5 Y: 3.67 X: 20 10 Y: 3.524 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 t

Clasificación Clasificación de Procesos Estocásticos En función del Espacio de Tiempos T : T continuo: Proceso Estocástico T discreto: Secuencia Estocástica En función del espacio de estados S = {X(t, S) t T S Ω} S continuo S discreto T continuo Proceso Estocástico Continuo Proceso Estocástico Discreto T discreto Secuencia Estocástica Continua Secuencia Estocástica Discreta Otra Clasificación: Deterministas (o predecibles): Los valores futuros se pueden predecir de manera exacta a partir de los valores anteriores Ejemplo: X(t) = A cos(ωt + Θ) con Θ v.a. uniforme en ( π, π) No Deterministas (impredecibles): No se pueden predecir de manera exacta los valores futuros

Funciones Distribución y Densidad de Probabilidad de Primer Orden F.D. y fdp de primer orden Fijando t X(t 1) es una v.a. Función Distribución de primer orden: F X(x 1; t 1) = P (X(t 1) x 1) Función Densidad de Probabilidad de primer orden: f X(x 1; t 1) = δfx(x1; t1) δx 1 Observaciones: Ambas funciones se han de conocer para todo t 1 T En general, el proceso estocástico no queda completamente caracterizado por las funciones de primer orden

Funciones Distribución y Densidad de Probabilidad de Segundo Orden F.D. y fdp de segundo orden Considerando dos instantes t 1, t 2 v.a. bidimensional (X(t 1), X(t 2)) Función Distribución de segundo orden: F X(x 1, x 2; t 1, t 2) = P (X(t 1) x 1, X(t 2) x 2) Función Densidad de Probabilidad de segundo orden: f X(x 1, x 2; t 1, t 2) = δ2 F X(x 1, x 2; t 1, t 2) δx 1δx 2 Observaciones: Ambas funciones se han de conocer para todo par (t 1, t 2) En general, el proceso estocástico no queda completamente caracterizado por las funciones de segundo orden Obtención de las marginales (funciones de primer orden): F X(x 1; t 1) = F X(x 1, x 2 = ; t 1, t 2) f X(x 1; t 1) = f X(x 1, x 2; t 1, t 2)dx 2

Funciones Distribución y Densidad de Probabilidad de Orden n F.D. y fdp de orden n Considerando n instantes t 1, t 2,..., t n Caracterización Conjunta de n variables aleatorias Función Distribución de orden n: F X (x 1, x 2,..., x n; t 1, t 2,..., t n) = P (X(t 1 ) x 1,..., X(t n) x n) Función Densidad de Probabilidad de orden n: f X (x 1, x 2,..., x n; t 1, t 2,..., t n) = δn F X (x 1, x 2,..., x n; t 1, t 2,..., t n) δx 1 δx 2... δx n Observaciones: Un proceso estocástico queda completamente caracterizado a si conocemos su fdp (o F.D.) de orden n n x 1, x 2,..., x n R t 1, t 2,..., t n T a En la práctica, suele bastar con conocer la fdp o F.D. de segundo orden.

Estadísticos de un Proceso Estocástico Media de un Proceso Estocástico Definición: η X(t) = E[X(t)] = En general, η X(t) depende del tiempo Se requiere la fdp de primer orden xf X(x; t)dx Autocorrelación de un Proceso Estocástico Definición: R X(t 1, t 2) = E[X(t 1)X(t 2)] = x 1x 2f X(x 1, x 2; t 1, t 2)dx 1dx 2 En general, la autocorrelación depende de t 1 y t 2

Estadísticos de un Proceso Estocástico Autocovarianza de un Proceso Estocástico Definición: C X(t 1, t 2) = E [(X(t 1) η X(t 1)) (X(t 2) η X(t 2))] = = E[X(t 1)X(t 2)] η X(t 1)η X(t 2) = R X(t 1, t 2) η X(t 1)η X(t 2) Valor Cuadrático Medio (Potencia) de un Proceso Estocástico Es el momento no centrado de orden 2 de la v.a. X(t): m 2(t) = E [ X 2 (t) ] = R X(t, t) Varianza de un Proceso Estocástico Es el momento centrado de orden 2 de la v.a. X(t): µ 2(t) = σ 2 X(t) = Var [X(t)] = E [ X 2 (t) ] η 2 X(t) = C X(t, t)

Estadísticos de un Proceso Estocástico Coeficiente de Autocorrelación Definición análoga al caso de 2 variables aleatorias: r X(t 1, t 2) = C X(t 1, t 2) Var [X(t1)] Var [X(t 2)] = C X(t 1, t 2) CX(t 1, t 1)C X(t 2, t 2) 1 r X(t 1, t 2) 1 r X(t 1, t 2) indica el grado de relación lineal entre X(t 1) y X(t 2) Ejemplo X(t) = at + Y con Y v.a. uniforme en (0, 1), a = cte. Media: η X(t) = at + 1/2 Autocorrelación: R X(t 1, t 2) = a 2 t 1t 2 + 1 2 a(t1 + t2) + 1 3 Autocovarianza: C X(t 1, t 2) = 1 12 Varianza: σ 2 X(t) = Var [X(t)] = C X(t, t) = 1 12 Valor Cuadrático Medio: E [ X 2 (t) ] = R X(t, t) = a 2 t 2 + at + 1 3 Coeficiente de Autocorrelación: r X(t 1, t 2) = 1

Estadísticos de un Proceso Estocástico Ruido Blanco Un Proceso Estocástico es Ruido Blanco sii: C X(t 1, t 2) = 0 R X(t 1, t 2) = η X(t 1)η X(t 2) t 1 t 2 Las variables aleatorias X(t 1), X(t 2) están incorreladas No se puede estimar linealmente X(t 2) a partir de X(t 1) ( t 1 t 2) Realizaciones de Ruido Blanco: Carácter Errático Ruido Blanco Estricto Un Proceso Estocástico es Ruido Blanco Estricto sii: f X(x 1, x 2; t 1, t 2) = f X(x 1; t 1)f X(x 2; t 2) t 1 t 2 Las variables aleatorias X(t 1), X(t 2) son independientes No hay ninguna relación (ni lineal ni no lineal) entre X(t 1) y X(t 2)

Estadísticos de un Proceso Estocástico Caracterización de Procesos Estocásticos Discretos en el tiempo Secuencias Estocásticas: Espacio de tiempos T = {..., t 1, t 0, t 1,...} X[n] = X(t n) n Z Definiciones Análogas a las de Procesos Estocásticos Continuos Función Distribución: F X[x; n] = P (X[n] x) fdp: δfx[x; n] f X[x; n] = δx Media: η X[n] = E [X[n]] Autocorrelación: R X[n 1, n 2] = E [X[n 1]X[n 2]] Autocovarianza: C X [n 1, n 2] = R X[n 1, n 2] η X[n 1]η X[n 2] Valor Cuadrático Medio (Potencia): m 2[n] = E [ X 2 [n] ] Varianza: σ 2 X[n] = Var [X[n]] = E [ (X[n] η X[n]) 2] = E [ X 2 [n] ] η 2 X[n] Coeficiente de Autocorrelación: r X[n 1, n 2] = C X [n 1,n 2 ] CX [n 1,n 1 ]C X [n 2,n 2 ]

Estadísticos de dos Procesos Estocásticos Caracterización de dos Procesos Estocásticos Procesos Estocásticos X(t), Y (t) Función Distribución Conjunta: F XY (x 1,..., x N, y 1,..., y M ; t 1,..., t N, t 1,..., t M ) fdp Conjunta: f XY (x 1,..., x N, y 1,..., y M ; t 1,..., t N, t 1,..., t M ) Estadísticos de dos Procesos Estocásticos Correlación Cruzada: R XY (t 1, t 2) = E [X(t 1)Y (t 2)] Covarianza Cruzada: C XY (t 1, t 2) = E [(X(t 1) η X(t 1)) (Y (t 2) η Y (t 2))] Propiedades: R X(t 1, t 2) = R X(t 2, t 1) C X(t 1, t 2) = C X(t 2, t 1) R XY (t 1, t 2) = R Y X(t 2, t 1) C XY (t 1, t 2) = C Y X(t 2, t 1) R XY (t 1, t 2) R XY (t 2, t 1) C XY (t 1, t 2) C XY (t 2, t 1)

Estacionariedad Proceso Estocástico Estacionario de Orden 1 Definición: Se dice que un proceso estocástico es estacionario de orden uno sii: f X(x; t) = f X(x; t + ) t, es decir, la fdp (y F.D.) de orden 1 no dependen de t, lo que implica: η X(t) = η X = cte. σ 2 X(t) = σ 2 X = cte. Proceso Estocástico Estacionario de Orden 2 Definición: Se dice que un proceso estocástico es estacionario de orden dos sii: f X(x 1, x 2; t 1, t 2) = f X(x 1, x 2; t 1 +, t 2 + ) t 1, t 2, Implicaciones: La fdp (y F.D.) de orden dos no depende de los tiempos absolutos t 1, t 2 sino solamente de la diferencia τ = t 1 t 2 Un P.E. estacionario de orden 2 también lo es de orden 1 R X(t 1, t 2) = R X(t 1 t 2) = R X(τ)

Estacionariedad Proceso Estocástico Estacionario en Sentido Estricto Definición: Un proceso estocástico es estacionario en sentido estricto sii es estacionario de orden n n Proceso Estocástico Estacionario en Sentido Amplio Definición: Un P.E. es estacionario en sentido amplio a sii: η X(t) = E[X(t)] = η X = cte. R X(t 1, t 2) = R X(t 1 t 2) = R X(τ) = E [X(t + τ)x(t)] En el caso discreto: η X[n] = E[X[n]] = η X = cte. R X[n 1, n 2] = R X[n 1 n 2] = R X[m] = E [X[n + m]x[n]] Observación: Estacionario de orden 2 a WSS: Wide Sense Stationary Estacionario en Sentido Amplio

Estacionariedad Ejemplo 1 Tono de fase aleatoria: X(t) = A cos(ωt + Θ) Θ uniforme en ( π, π) f X(x; t) = f X(x) = 1 π A 2 x 2 x A Estacionario orden 1 Media: π η X (t) = E [A cos(ωt + Θ)] = A π Autocorrelación: cos(ωt + θ) 1 dθ = 0 = cte. 2π R X (t 1, t 2 ) = E [X(t 1 )X(t 2 )] = E [ A 2 cos(ωt 1 + Θ) cos(ωt 2 + Θ) ] = = A2 2 E [cos(ω(t 1 + t 2 ) + 2Θ)] +E [cos(ω(t 1 t 2 ))] }{{} = 0 = A2 2 cos(ω(t 1 t 2 )) R X (τ) = A2 2 cos(ωτ)

Estacionariedad Ejemplo 1. Continuación X(t) = A cos(ωt + Θ) es estacionario en sentido amplio Realizaciones del Proceso Estocástico 1 Proceso Estocástico Estacionario 0.8 0.6 0.4 Realizaciones de X(t) 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t

Estacionariedad Ejemplo 2 X(t) = A cos(ωt + θ) con A v.a. uniforme en ( a, a) X(t) es una v.a uniforme en [ a cos(ωt + θ), a cos(ωt + θ)] Dependencia con t Proceso Estocástico No Estacionario 1 Proceso Estocástico No Estacionario 0.8 0.6 0.4 Realizaciones de X(t) 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t

Estacionariedad Procesos Conjuntamente Estacionarios Definición: Los procesos estocásticos X(t), Y (t) son conjuntamente estacionarios en sentido amplio sii: X(t), Y (t) son estacionarios en sentido amplio por separado R XY (t + τ, t) = E [X(t + τ)y (t)] = R XY (τ) Algunas Propiedades de los Procesos Estacionarios Propiedades de R X(τ) R X(τ) = R X( τ) τ R X(τ) R X(0) τ Propiedades de R XY (τ) R XY (τ) = R Y X( τ) τ R XY (τ) R X(0)R Y (0) τ Para Z(t) = X(t) + Y (t) R Z (τ) = E [Z(t + τ)z(t)] = E [(X(t + τ) + Y (t + τ)) (X(t) + Y (t))] R Z (τ) = R X (τ) + R Y (τ) + R XY (τ) + R Y X (τ)

Relaciones Entre Procesos Estocásticos Procesos Estocásticos Independientes Definición: Dos procesos estocásticos son independientes sii: f XY (x 1,..., x N, y 1,..., y M ; t 1,..., t N, t 1,..., t M ) = = f X (x 1,..., x N ; t 1,..., t N )f Y (y 1,..., y M ; t 1,..., t M ) N, M Procesos Estocásticos Incorrelados Definición: Dos procesos estocásticos son incorrelados sii: C XY (t + τ, t) = 0 t, τ X(t) no se puede estimar de manera lineal a partir de la observación de Y (t) Procesos Estocásticos Ortogonales Definición: Dos procesos estocásticos son ortogonales sii: R XY (t + τ, t) = 0 t, τ Ejemplo (ruido en RX): Z(t) = X(t) + Y (z) con X(t), Y (t) ortogonales R Z (t + τ, t) = R X (t + τ, t) + R Y (t + τ, t)

Ergodicidad Procesos Estocásticos Ergódicos Pregunta: Dada una realización de un proceso estocástico... Podemos caracterizarlo estadísticamente? Intuición: Un proceso estocástico es ergódico si se puede caracterizar estadísticamente a partir de una realización Promedio Temporal y Autocorrelación Temporal Dada una realización X(t, S 0) de un P.E. se define Promedio Temporal: 1 T M X(S 0) = lím X(t, S 0)dt T 2T T Autocorrelación Temporal: 1 T A X(τ, S 0) = lím X(t + τ, S 0)X(t, S 0)dt T 2T T En general, M X(S) es una v.a. y A X(τ, S) es un proceso estocástico

Ergodicidad Ergodicidad Respecto a la Media Definición: Un P.E. X(t) es ergódico respecto a la media sii: X(t) es estacionario en sentido amplio El promedio temporal es igual a la media M X(S) = η X S Condiciones para que X(t) (WSS) sea ergódico respecto a la media Teorema 1: Condición Necesaria y Suficiente 1 2T ( lím 1 τ ) C X (τ)dτ = 0 T 2T 2T 2T Teorema 2: Condición Suficiente Teorema 3: Condición Suficiente C X (τ) dτ < C X (0) < lím C X(τ) = 0 τ

Ergodicidad Ejemplo 1 X(t) = A con A variable aleatoria uniforme en (0, 1) Promedio estadístico ( vertical ): η X = E[X(t)] = E[A] = 1/2 1 T Promedio temporal ( horizontal ): M X = lím T Adt = A 2T T η X M X no es ergódico respecto a la media Ejemplo 2 Lanzamiento de una moneda y dos formas de onda X(t, cara ) = cos(ωt) X(t, cruz ) = e ct η X(t) No es WSS No es ergódico respecto a la media

Ergodicidad Ejemplo 3 X(t) = A cos(ωt + Θ) Θ uniforme en ( π, π) X(t) es estacionario en sentido amplio: Promedio Temporal: η X = 0 R X(τ) = A2 2 cos(ωτ) M X = lím T = lím T = lím T 1 T A cos(ωt + Θ)dt = lím 2T T T A (sin(ωt + Θ) sin( ωt + Θ)) = 2T ω A sin(ωt ) cos(θ) = 0 = ηx T ω A 2T ω sin(ωt + Θ) T T = WSS y η X = M X Ergódico respecto a la media

Ergodicidad Ergodicidad Respecto a la Autocorrelación Definición: Un P.E. X(t) es ergódico respecto a la autocorrelación sii: X(t) es estacionario en sentido amplio La Autocorrelación Temporal es igual a la Autocorrelación A X(τ, S) = R X(τ) τ, S Ejemplo X(t) = A cos(ωt + Θ) Θ uniforme en ( π, π) η X = 0 R X(τ) = A2 2 cos(ωτ) Autocorrelación Temporal: 1 T A X(τ) = lím A cos(ω(t + τ) + Θ)A cos(ωt + Θ)dt = T 2T T = A2 2 cos(ωτ) = RX(τ) Ergódico resp. Autocorrelación

Densidad Espectral de Potencia Caracterización Espectral de Procesos Estocásticos WSS Objetivo: Caracterización frecuencial de un proceso estocástico WSS Herramienta: Transformada de Fourier X(ω) = X(f) = x(t)e jωt dt x(t) = 1 2π x(t)e j2πft dt x(t) = X(ω)e jωt dω X(f)e j2πft df Primera Aproximación Obtención de la T.F. de cada Realización x(t) = X(t, S) Problemas: En general, x(t) puede no tener Transformada de Fourier Cond. suficiente para T.F. x(t) dt < Buscamos el espectro del P.E., no de una realización

Densidad Espectral de Potencia Segunda Aproximación Consideración de una ventana temporal { X(t, S) T < t < T X T (t, S) = X 0 resto T (ω, S) = X T (t, S)e jωt dt Ventajas: Energía finita Existe Transformada de Fourier. T a de Parseval: T E T (S) = (X T (t, S)) 2 dt = 1 X T (ω, S) 2 dω T 2π Inconvenientes: Seguimos considerando realizaciones Sólo consideramos un intervalo temporal (T E T (S) ) P T (S) = 1 2T T T (X T (t, S)) 2 dt = 1 2π X T (ω, S) 2 dω 2T

Densidad Espectral de Potencia Solución: Densidad Espectral de Potencia Consideramos la Potencia P X = lím E[P T (S)] = lím T T 1 T E[XT 2 2T (t, S)]dt = R X(0) = T = 1 lím 2π T Densidad Espectral de Potencia (DEP) E [ X T (ω, S) 2] 2T E [ X T (ω, S) 2] S X(ω) = lím T 2T Además, la DEP y la Función de Autocorrelación satisfacen la relación: S X(ω) = TF [R X(τ)] = R X(τ) = TIF [S X(ω)] = 1 2π R X(τ)e jωτ dτ dω S X(ω)e jωτ dω

Densidad Espectral de Potencia Densidad Espectral de Potencia de P.E. Discretos en el tiempo Definición análoga S X(Ω) = TF [R X[m]] = m= R X[m] = TIF [S X(Ω)] = 1 2π 2π R X[m]e jωm S X(Ω)e jωm dω En este caso, la DEP es periódica de periodo 2π P X = R X[0] = 1 S X(ω)dω 2π 2π

Densidad Espectral de Potencia Densidad Espectral de Potencia Ejemplo 1: DEP y Función de Autocorrelación de un Proceso Estocástico 1 0.8 S X (f) 0.6 0.4 0.2 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Frecuencia (Hz) 10 5 R X (τ) 0 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 τ (s)

Densidad Espectral de Potencia Densidad Espectral de Potencia Ejemplo 1: Realizaciones del Proceso Estocástico 10 0 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t (s) 10 0 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t (s) 20 0 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t (s) 10 0 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t (s) 10 0 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t (s) 5 0 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t (s) 10 0 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t (s) 10 0 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t (s)

Densidad Espectral de Potencia Densidad Espectral de Potencia Ejemplo 2: DEP y Función de Autocorrelación de un Proceso Estocástico 1 0.8 S X (f) 0.6 0.4 0.2 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Frecuencia (Hz) 60 40 R X (τ) 20 0 20 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 τ (s)

Densidad Espectral de Potencia Densidad Espectral de Potencia Ejemplo 2: Realizaciones del Proceso Estocástico 50 0 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t (s) 50 0 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t (s) 50 0 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t (s) 50 0 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t (s) 20 0 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t (s) 20 0 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t (s) 50 0 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t (s) 50 0 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t (s)

Densidad Espectral de Potencia Densidad Espectral de Potencia Propiedades: S X(ω) es una función real La DEP es no negativa: S X(ω) 0 Para P.E. reales, la DEP es par: S X( ω) = S X(ω) S X(ω) = TF [R X(τ)] Analogía con una fdp: La DEP indica como se distribuye la potencia de un P.E. con la frecuencia Ejemplo 1 X(t) = A cos(ω 0t + Θ), con Θ uniforme en ( π, π) Función de Autocorrelación: R X(τ) = A2 2 cos(ω0τ) Densidad Espectral de Potencia: S X(ω) = TF [R X(τ)] = A2 π [δ(ω ω0) + δ(ω + ω0)] 2 Potencia: P X = R X(0) = 1 A2 SX(ω)dω = 2π 2

Densidad Espectral de Potencia Ejemplo 2 Ruido Blanco con media cero: Densidad Espectral de Potencia: S X(ω) = N0 2 Watt/Hz Autocorrelación: R X(τ) = C X(τ) = TIF [S X(ω)] = N 0 2 δ(τ) Potencia en una Ancho de Banda BW (en Hercios): P BW = BW N 0 = σ 2 Caso discreto: Ruido Blanco de media cero y varianza σ 2 Autocorrelación: R X[m] = C X[m] = { 0 m 0 σ 2 m = 0 Densidad Espectral de Potencia: S X(Ω) = TF [R X[m]] = σ 2 Ω

Densidad Espectral de Potencia Densidad Espectral de Potencia Cruzada Definición: Sean X(t), Y (t) dos procesos estocásticos conjuntamente estacionarios, se define la DEP cruzada como En el caso discreto: S XY (ω) = TF [R XY (τ)] = R XY (τ) = TIF [S XY (ω)] = 1 2π S XY (Ω) = TF [R XY [m]] = m= R XY [m] = TIF [S XY (Ω)] = 1 2π R XY (τ)e jωτ dτ 2π S XY (ω)e jωτ dω R XY [m]e jωm Particularidades: S XY (ω) puede ser compleja y puede no ser par S XY (ω) = S Y X( ω) S XY (Ω)e jωm dω

Transformación de Señales Aleatorias Sistemas con Entradas Aleatorias Planteamiento General: Supongamos que un proceso estocástico X(t) es la entrada a un determinado sistema T [ ]. Nuestro objetivo consiste en caracterizar el proceso estocástico de salida Y (t) X(t) T [ ] Y (t) En general, Y (t) se podría caracterizar a partir de la estadística de X(t) y del conocimiento del sistema T [ ] (determinista) Para simplificar el problema, aquí nos centraremos en dos tipos particulares de sistemas: Sistemas sin Memoria (Transformación de Procesos Estocásticos) Sistemas LTI (Filtrado de Procesos Estocásticos)

Sistemas sin Memoria Sistemas sin Memoria Sistemas del tipo Y (t) = g (X(t)) La salida en el instante t sólo depende de la entrada en el instante t Equivale a una función de una variable aleatoria Obtención de la fdp de primer orden: A partir de f X(x; t) y de la función g( ) Teorema Fundamental Obtención de la media: η Y (t) = E[Y (t)] = E[g(X(t))] = g(x)f X(x; t)dx

Sistemas sin Memoria Sistemas sin Memoria (Continuación) Obtención de la fdp de segundo orden: } Y (t 1 ) = g(x(t 1 )) Funciones de 2 variables aleatorias Y (t 2 ) = g(x(t 2 )) Teorema Fundamental: f Y (y 1, y 2; t 1, t 2) = i f X(x 1i, x 2i; t 1, t 2) J(x 1i, x 2i) = i f X(x 1i, x 2i; t 1, t 2) g (x 1i)g (x 2i) Obtención de la Función de Autocorrelación R Y (t 1, t 2) = E [Y (t 1)Y (t 2)] = g(x 1)g(x 2)f X (x 1, x 2; t 1, t 2)dx 1dx 2 Observaciones sobre la Estacionariedad X(t) est. sentido estricto Y (t) est. sentido estricto X(t) est. de (hasta) orden n Y (t) est. de (hasta) orden n X(t) WSS Y (t) WSS

Sistemas sin Memoria Ejemplo Detector Cuadrático: Y (t) = X 2 (t) fdp de primer orden: Raíces: y = g(x) = x 2 x 1 = y, x 2 = y (y 0) Derivada: g (x) = 2x fdp: f Y (y; t) = f X ( y;t) 2 + f X ( y;t) y 2 y fdp de orden 2: Y (t 1 ) = X 2 (t 1 ) Y (t 2 ) = X 2 (t 2 ) Raíces (y 1 0,y 2 0): y 1 = x 2 } 1 y 2 = x 2 x 1 2 x 2 = ± y 1 = ± y 2 4 parejas de soluciones!! Jacobiano: J(x 1, x 2 ) = 4x 1 x 2 fdp: f Y (y 1, y 2 ; t 1, t 2 ) = 4 f X (± y 1,± y 2 ;t 1,t 2 ) i=1 4 y 1 y 2

Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo X(t) L[ ] Y (t) Utilizaremos L[X(t)] (en lugar de T [X(t)]) para distinguir que se trata de un operador lineal Características: Permiten un estudio general Se pueden caracterizar en el dominio de la frecuencia Aparecen con frecuencia en aplicaciones prácticas

Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo Repaso: [ N ] Linealidad: L i=1 a ix i (t) Invarianza temporal: = N i=1 a il [x i (t)] y(t) = L[x(t)] y(t + c) = L[x(t + c)] c Respuesta al impulso y convolución: h(t) = L[δ(t)] y(t) = L[x(t)] = x(t) h(t) = x(t α)h(α)dα Caracterización Frecuencial: L [ e jω 0t ] = H(ω 0 )e jω 0t H(ω) = TF [h(t)] = h(t)e jωt dt Causalidad: x(t) = 0 t < t 0 y(t) = 0 t < t 0 Estabilidad: x(t) < M t K y(t) < K t h(t) dt <

Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo Caracterización Estadística de Sistemas LTI Teorema: Los operadores E[ ] y L[ ] son intercambiables E [L [x(t)]] = L [E [x(t)]] La demostración es directa a partir de la linealidad de E[ ] y L[ ] Media del Proceso Estocástico de Salida Obtención de la media η Y (t) = E [Y (t)] = E [L[X(t)]] = L [E[X(t)]] = L[η X(t)] η Y (t) = η X(t α)h(α)dα = η X(t) h(t) Caso particular: X(t) est. en sentido amplio (η X(t) = η X) η Y (t) = η Xh(α)dα = η X h(α)dα η Y = η XH(0)

Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo Autocorrelación del Proceso Estocástico de Salida Asumiendo que X(t) es estacionario en sentido amplio R Y (τ) = E [Y (t + τ)y (t)] = R X(τ) h(τ) h( τ) R X (τ) h( τ) R XY (τ) h(τ) R Y (τ) Correlación Cruzada Entrada-Salida R XY (τ) = R X(τ) h( τ) R Y X(τ) = R X(τ) h(τ) Densidad Espectral de Potencia A partir de la definición: S Y (ω) = TF [R Y (τ)] Y teniendo en cuenta: TF [h(τ)] = H(ω), TF [h( τ)] = H( ω) Además, para h(τ) real: H( ω) = H (ω) Obtenemos: S Y (ω) = S X(ω)H (ω)h(ω) = S X(ω) H(ω) 2

Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo Ejemplo Filtrado de Ruido Blanco con Media Cero: Autocorrelación de la Entrada: R X(τ) = N 0 2 δ(τ) DEP de la entrada: S X(ω) = N 0 2 Sistema LTI: h(t) H(ω) Autocorrelación de la salida: R Y (τ) = N0 N0 δ(τ) h(τ) h( τ) = (h(τ) h( τ)) 2 2 DEP de la salida: S Y (ω) = N0 2 H(ω) 2

Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo Ejemplo Promediador de Media Móvil: Respuesta del Sistema: Y (t) = 1 T X(t)dt 2T T Función de trasferencia: DEP de la salida: H(ω) = sin(ωt ) ωt S Y (ω) = S X(ω) sin2 (ωt ) (ωt ) 2