FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS Grado 9 Taller # Nivel II Repaso de Álgebra Reseña histórica (Emmy Noether) Emmy Noether fue una matemática alemana de origen judío que realizó sus investigaciones en las primeras décadas del siglo XX. Mediante su primera especialización sobre invariantes algebraicos consiguió demostrar dos teoremas esenciales para la teoría de la relatividad que permitieron resolver el problema de la conservación de la energía. Su aportación más importante a la investigación matemática fueron sus resultados sobre la aiomatización y el desarrollo de la teoría algebraica de anillos, módulos, ideales, grupos con operadores, etc. En este conteto, que se llamó álgebra moderna, aplicó sus conocimientos sobre invariantes dando rigor y generalidad a la geometría algebraica. Sus investigaciones en álgebra no conmutativa destacan, sobre todo, por el carácter unificado y general que dio a los conocimientos acumulados durante décadas. Sus publicaciones serían suficientes para valorar su decisiva contribución a las matemáticas, pero hay que considerar, además, que nunca le interesó mucho publicar y siempre permitió a sus colegas y a sus estudiantes desarrollar resultados interesantes a partir de las sugerencias que ella les hacía. OBJETIVO GENERAL Hacer un repaso de las operaciones algebraicas más utilizadas y así recordar algunos conceptos fundamentales para desarrollar cualquier operación en el campo de las matemáticas. OBJETIVOS ESPECIFICOS Identificar cada uno de los casos de factorización y su método de solución. Establecer relaciones entre los casos de factorización y los productos notables. GLOSARIO Factorización, producto notable. ELEMENTOS TEÓRICOS Y EJEMPLOS La factorización es la descomposición de un objeto (por ejemplo, un número, una matriz o un polinomio) en el producto de otros objetos más pequeños (factores), que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Caso I - Factor común: Sacar el factor común es etraer la variable común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor eponente y el divisor común de sus coeficientes. 1
Factor común monomio ab ac ad a b c a b ay by d a b y Factor común polinomio ab bc b a c Caso II - Factor común por agrupación de términos: Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir: ab ac bd dc ab ac bd dc ab c db c a db c Caso III - Trinomio cuadrado perfecto: Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces eactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos organizar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego etraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. a a a a a a La suma o diferencia de dos cantidades al cubo también es una factorización muy conocida a a a a a a a a Análogamente al trinomio cuadrado perfecto una suma o diferencia al cuba se identifica porque hay dos cantidades elevadas al cubo una que es tres veces la primera al cuadrado por la segunda y otra tres veces la segunda al cuadrado por la primera. Caso IV - Diferencia de cuadrados: Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces. a a a
Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción: Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. Para solucionarlo, se usan como ayuda los casos número III y IV. a a a a a a a a Caso VI - Trinomio de la forma n m : Se identifica por tener tres términos, hay una literal con eponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados o restados den como resultado el término del medio. n m a b a. b a b, donde n a b y m a. b Caso VII - Trinomio de la forma p n m p ad bc b. d a b c d, donde p a. c, m b. d y n ad bc n m a. c Ejemplos resueltos. 1.. ad a b 6 ab a b 6 ab b b a. 6 9.. 1 9 9 9 6 1. 7y y y 6 y 9y 6. 1 1..1 7. 1 1 10 10 EJERCICIOS PROPUESTOS Factorizar cada uno de los siguientes ejercicios. 1. y 1 6 6 10 y y =
. a 1 a 1. y z y z yz n m. 9 100 7 6. y y y 1 6. 11 7. 6 19 10 1 6. 7a a 10 9. a 7abc 1b c 10. a 1 1 11. a 9a 1 a a 1. 1 1. b c b c b c y 1. y 97 11 1. a a a a n n n 16. t 7t t 17. L 1 dgh L1 dg 1. 1 n n n 19. 7 0. 1 1. 9. a b a 10 a b. a b n1 n1 n1 9 1.. n1 n n n 7 1 6. z z y 16 y 6. 7 1 1 1 c a b 7. c a b. 70 0y 16 y 9. 1 y y y 96 y 0. g 1gh 1g 9h 1h 9 =
Pequeños retos 1. El máimo número de cuadrados que se pueden construir utilizando la trama del dibujo, cumpliéndose que los vértices de cada uno de ellos sean puntos de la misma es a. 1 b. 1 c. 0 d. 1. Se introducen 9 esferas de cristal iguales entre si, en un recipiente vacio cuya capacidad es de 0 litros y luego se llena con agua a razón de 0. litros por segundo. Si después de segundos el recipiente ha sido llenado totalmente, entonces el volumen (en litros) de cada una de las esferas de cristal, es a. 1 litro b. litros c. litros d. 6 litros.. En el siguiente tablero de filas y columnas: En cada casilla de la segunda fila escribir un número de tal manera que, en cada columna, el número de la segunda fila sea igual a la cantidad de veces que el dígito de la primera fila aparece en todo el tablero.