Tema 2. Magnitudes Geométicas
1. Intoducción En pime luga tataemos de una cualidad de las figuas planas (su extensión, lo que ocupan en el plano) llamada, genealmente, supeficie o áea. Algunos autoes establecen difeencia ente estos téminos, entendiendo supeficie paa designa dicha cualidad y áea paa su medida, peo nosotos no empleaemos esa distinción y seguiemos un tatamiento paalelo al que se acepta paa la magnitud longitud (la longitud es una cualidad de los objetos que puede medise mediante la unidad de longitud elegida). En lo sucesivo consideaemos el áea como una cualidad que puede medise mediante el establecimiento pevio de una unidad de medida. Desde el punto de vista matemático, el modelo paa el estudio del áea, se efiee a figuas geométicas. Así se distingue ente supeficies planas o no planas. Y dento de las planas, los polígonos y las de contono cuvo. Las no planas, a su vez, pueden se desaollables y no desaollables. Las supeficies desaollables pueden tansfomase en figuas planas, llamadas desaollo, consevando su áea. Po ejemplo, un cilindo es una figua desaollable, mientas que una esfea no es desaollable Medi una supeficie, halla su áea, es elegi una unidad de medida y ve las veces que contiene la supeficie dada a esta ota unidad de medida. Toda figua tiene asignada un númeo eal positivo, su áea. La medida de una supeficie depende de la unidad de medida elegida. Dos supeficies son equivalentes cuando miden lo mismo aunque tengan distinta foma, empleando en ambas la misma unidad de medida. Dos polígonos iguales (conguentes) son equivalentes. 2. Áea de figuas planas Paa calcula el áea del ectángulo, podemos dibuja ectángulos en papel cuadiculado, en el que tomaemos como unidad de supeficie el coespondiente cuadado y como unidad de longitud el lado de dicho cuadado y elaboa tablas del tipo: Medida de los lados 3, 7 4, 6 1, 1 2,5, 3,5 Medida del áea Se concluye fácilmente una elación ente la medida de los lados y el áea: el áea de un ectángulo se obtiene multiplicando la longitud de la base po la longitud de la altua. a Áea ectángulo = Base Altua, escibiemos b Áea = b a Como el cuadado es un caso paticula del ectángulo donde la base y la altua son iguales: Áea cuadado = lado lado, escibiemos Áea = l 2. Paa llega a las fómulas de las distintas figuas geométicas utilizaemos tansfomaciones de ecota y ehace o agega, que tansfomen la figua en un ectángulo equivalente o cuya áea sea un múltiplo del áea buscada. Así, po ejemplo, paa detemina el áea del ombo lo completamos hasta foma un ectángulo, como indica la figua siguiente, que queda dividido en ocho tiángulos iguales al taza las dos diagonales del ombo. 2
Po tanto el áea del ombo es la mitad de la del coespondiente ectángulo, es deci, conocidas las diagonales del ombo, D y d, el áea del ectángulo es base po altua: Áea ectángulo = D d, como el ombo ocupa la mitad, Áea ombo = D. d / 2 El áea del ombo se obtiene multiplicando las diagonales y dividiendo po dos el esultado. En el caso del paalelogamo utilizamos una estategia de ecota y ehace, ya que obsevamos que cualquie paalelogamo se tansfoma en un ectángulo de igual áea al pasa a la deecha el tiángulo que se quita a la izquieda: Po tanto el áea del paalelogamo se obtiene multiplicando la longitud de la base po la longitud de la altua Áea paalelogamo = b. a Nótese que la altua es pependicula a la base. Si lo que tenemos es un tiángulo, en las figuas vemos como el tiángulo se puede completa con oto tiángulo igual, dando luga a un paalelogamo Po tanto el áea del tiángulo es la mitad del áea del paalelogamo, es deci, el áea del tiángulo se obtiene multiplicando la base po la altua y dividiendo po dos el esultado. Áea tiángulo = b. a / 2 También completando calculamos el áea del tapecio, pues utilizando dos tapecios iguales fomamos un paalelogamo de la misma altua y la base la suma de las bases: Po tanto, el áea de un tapecio se obtiene multiplicando la semisuma de las bases po la altua. Áea tapecio = ( B + b ) a / 2 3
En el caso de los polígonos, obtenemos su áea mediante descomposición en figuas de áea conocida. Si se tata de polígonos egulaes, es habitual descomponelos en tiángulos iguales con vétice en el cento del polígono. La altua de estos tiángulos es lo que llamaemos apotema del polígono egula. Así, po ejemplo, el áea del hexágono egula seá: Áea hexágono egula = 6 ( l a ) / 2 = P. a / 2 donde P es el peímeto del hexágono. Deducimos que el áea de un polígono egula es igual al poducto del peímeto po la apotema dividido po dos. Esa expesión nos sive paa deduci el áea del cículo, pues si un polígono egula aumenta su númeo de lados indefinidamente, su contono tiende a confundise con el de una cicunfeencia, y su apotema con el adio de la misma, azón po la cual podemos imagina la cicunfeencia como un polígono egula con una infinidad de lados. Como tal polígono, el áea que se enciea en su inteio seá: Áea cículo = Peímeto Apotema / 2 = 2 π / 2 = π. 2 1.- Dibuja difeentes figuas cuya supeficie sea el doble de las dadas. Análogamente dibuja figuas semejantes a las dadas y cuya supeficie sea el doble. 2. El áea del ectángulo ABCD es 72. Sean E y F los puntos medios de los lados BC y CD, halla el áea del tiángulo AFE. 4
3. Deteminación de áeas de figuas constuidas en tamas y con tangam En tamas El objetivo de este tipo de actividades es la utilización de dos técnicas básicas pevias al poceso de aitmetización (o lo que es lo mismo, de la deteminación de fómulas) paa el cálculo del áea de figuas planas. Las técnicas efeidas son la descomposición y complementación de figuas. Po descomposición (en la tama) se entiende la patición de una figua constuida en la tama en otas figuas de la misma, es deci en figuas en las que, como en la pimea, todos sus vétices han de se puntos de la tama. Po ejemplo, si se desea considea la Figua 1 (deecha), no es posible utiliza el tiángulo T como pate de una descomposición. Sí podía descomponese en la foma indicada abajo a la izquieda. En ese caso, los tiángulos T1, T2 y T3 y el cuadiláteo C confoman una descomposición de la Figua 1. Figua 1 Descomposición Complementación Po complementación (en la tama) se entiende la consideación de una figua como pate de la descomposición de ota. Así, en la imagen deecha, la Figua 1 se ha insetado en el ectángulo R y de éste se ha dado una descomposición en la que una de las pates es la figua mencionada. A continuación veemos, sobe el ejemplo que estamos manejando, cómo se usan esas técnicas en la deteminación de áeas, mostando que, en geneal, ambas apaecen conjuntamente. Si se considea la descomposición, se tendá (donde a significa áea): 1 Si se considea la complementación paa la Figua 1, se tendá: 1 En la deteminación del áea de cada uno de los polígonos en que se ha descompuesto la Figua 1 empleaemos la complementación. Así: 5
Paa halla su áea, sólo los tiángulos T5 y T6 de la descomposición del ectángulo R necesitaían un tatamiento simila al ealizado con los polígonos anteioes. Dejamos la complementación de T5 paa el lecto. Al evisa todo lo comentado hasta aquí, puede obsevase que el áea de una figua viene dada en función de las áeas de polígonos que o bien son ectángulos o bien tiángulos ectángulos y en ambos casos es posible halla dichas áeas sin aplica fómulas de áeas: - Paa los ectángulos, basta multiplica el númeo de cuadados po fila po el númeo de filas. - Paa los tiángulos ectángulos, puesto que pueden considease mitad de un ectángulo, basta considea que tienen como áea la mitad del áea de tal ectángulo. Así, en la situación consideada, las áeas de los ectángulos R, R1 y R2 son 66 11 6, 6 3 2 y 7 7 1 espectivamente; y, po ejemplo, las de los tiángulos T3 y T4 son 3 y espectivamente, como se ilusta en las imágenes siguientes. Pues bien, teniendo en cuenta todas las consideaciones ealizadas y actuando con cada figua como se acaba de indica, se tiene, siendo cuando se considea la pimea descomposición: 1 11 3 11 3 5 4 5 4 3 4 3 4 3 siendo Y consideando la complementación: 1 1 3 3 = 3 2 1 1 2 3 1 1 11 6 3 2 6 8 2 5 2 3 2 2 5 4 5 2 5 2 2 4 2 2 4 6 2 4 12 33 2 7 1 7 1 66 33 2 3 5 4 12 6 7 25 2 6
Con tangam El objetivo de este tipo de actividades es el uso de difeentes unidades de medida y el econocimiento de figuas equivalentes (con igual áea, habiendo tomado la misma unidad). El ejemplo siguiente muesta con detalle lo que queemos deci. Supongamos que nuesta petensión es esponde a las siguientes cuestiones: Figua1 Figua2 Figua3 Figua4 a) Tomando como unidad de supeficie la Figua1, calcula el áea de la Figua2. b) Tomando como unidad de supeficie el TP, detemina el áea de la Figua3. c) Tomando como unidad de supeficie la Figua3, detemina el áea de la Figua4. d) Constui, si es posible, una figua semejante a la Figua3, peo con el doble de áea. e) Constui, si es posible, una figua semejante a la Figua4, peo con el doble de áea. f) Constui, si es posible, una figua semejante a la Figua1, peo con el doble de áea. Solución Al intenta contesta a la pimea de las peguntas, nos damos cuenta de que lleva de foma diecta la Figua1 sobe la Figua2 y ve cuántas veces cabe no es posible. Peo sí somos capaces de deci que la Figua1 equivale a 4 y la Figua2 equivale a 10, po tanto la Figua2, equivale a 2,5 Figua1. Po tanto la espuesta a a) es que tomando como unidad de supeficie la Figua1, la Figua2 tiene áea 2,5. No hay dificultad en la pegunta b), cuya espuesta es 8. Paa esponde c) seguimos un esquema simila al empleado en a). Puesto que la Figua3 equivale a 8, y la Figua4 a 11, tomando como unidad de supeficie la Figua3, el áea de la Figua4 es. Teniendo en cuenta la elación ente las áeas de figuas semejantes y la azón de semejanza, deducimos que, ente las figuas pedidas en el apatado d), dicha azón de semejanza debe se 2. La Figua3 es un cuadado de lado 2 (tomando como unidad de longitud el lado del cuadado C del tangam). Se tata pues de constui un cuadado de lado 2 2 y equivalente a 16. Basta da el cuadado en que suele pesentase el tangam. Ve Figua5. Lo pedido en el apatado e) es imposible puesto que la figua pedida equivaldía a 22, cuando el total de las figuas del tangam equivalen a 16. Tomando como unidad de longitud el lado de C, los lados de la Figua1 son, de meno a mayo 1, 2, 2 y 3. Se tata de constui un tapecio isósceles de lados 2,2,2 3 2 (tomando la misma unidad de longitud). Se deja paa el lecto compoba que la Figua6 cumple esas condiciones. Faltaía compoba asimismo que los ángulos coespondientes son iguales (compuébese). Figua5 Figua6 7
4. Figuas espaciales: poliedos y figuas de evolución Además de las figuas planas que acabamos de tata, en la natualeza obsevamos cuepos con fomas muy vaiadas, así, po ejemplo, un dado, un cucuucho, una caja de ceillas, una pelota o una lata de consevas, no son sino vistas impefectas de cuepos geométicos como los de la deecha. A simple vista se pueden apecia difeencias ente algunos de estos, po ejemplo, ente el cucuucho y la caja de ceillas, o ente el dado y la pelota. Esto nos pemite hace distingui dos clases especiales de cuepos: los poliedos y los cuepos de evolución. Poliedos Un poliedo es un cuepo geomético limitado po polígonos, que se llaman caas del poliedo. Una aista de un poliedo es la intesección de dos caas consecutivas del mismo. Así las aistas son los lados de los polígonos que limitan el poliedo. Los vétices del poliedo son los vétices de los polígonos que lo limitan. Cada vétice es común a tes o más aistas. Los ángulos diedos de un poliedo son los fomados po cada pa de caas consecutivas. Son ángulos poliedos los fomados po cada tes o más caas que tienen un vétice común. Cuando son tes las caas, el ángulo se llama tiedo. Una diagonal de un poliedo es cualquie segmento que une dos vétices del poliedo no situados en la misma caa. vétice ángulo tiedo caa diagonal aista Desaolla un poliedo es constui en el plano todas sus caas colocadas consecutivamente y de modo que al dobla de foma conveniente po las aistas esulte el poliedo popuesto. Se llaman poliedos egulaes aquellos cuyas caas son polígonos egulaes iguales ente sí y de modo que en cada vétice concuen el mismo númeo de caas. Sólo hay cinco poliedos egulaes, también llamados sólidos platónicos, que son: tetaedo (4 caas), cubo ó hexaedo (6), octaedo (8), dodecaedo (12) e icosaedo (20): Dento de los poliedos nos centaemos en el estudio de los pismas y las piámides. --Un pisma es un poliedo limitado po dos polígonos convexos iguales situados en planos paalelos, llamados bases, y po caas lateales que son paalelogamos. Tienen tantas caas lateales como lados tiene cualquiea de los polígonos base. Cada pisma se nomba según el númeo de lados de sus bases, así si las bases son tiángulos hablaemos de pisma tiangula, si son cuadiláteos pisma cuadangula, si pentágonos pisma pentagonal, etc. Un pisma es ecto si las aistas lateales son pependiculaes a las de la base. En los pismas ectos las caas lateales son ectángulos. Los pismas que no son ectos se llaman oblicuos. Altua de un 8
pisma es el segmento pependicula compendido ente los planos de las dos bases y con extemos espectivos en dichos planos. En los pismas ectos la altua mide lo mismo que una aista lateal. En los pismas oblicuos la altua es meno que la aista lateal. Pismas egulaes son los pismas ectos que tienen po bases polígonos egulaes. Los demás pismas se llaman iegulaes. Pisma egula Pisma iegula Ente los pismas cabe destaca los paalelepípedos, que son aquellos pismas cuyas bases son paalelogamos. Algunos paalelepípedos emacables son el cubo, el otoedo (que es ecto y sus bases son ectángulos) ó el omboedo (cuyas bases son ombos) --Una piámide es un cuepo geomético limitado po un polígono convexo llamado base y po caas lateales que son tiángulos con un vétice común, que se llama vétice de la piámide. Las aistas lateales de una piámide son las que concuen en el vétice, y las aistas básicas son los lados del polígono de la base. La altua de una piámide es el segmento cuyos extemos son el vétice de la piámide y la poyección pependicula de dicho vétice sobe el plano que contiene la base. vétice aista lateal altua caa lateal aista basica base Al igual que los pismas, las piámides toman el nombe del polígono de la base, po lo que hablaemos de piámide tiangula, cuadangula, etc. Una piámide egula es aquella cuya base es un polígono egula y sus caas lateales son tiángulos isósceles. En una piámide egula el pie de la altua coincide con el cento de la base. La apotema de una piámide egula es la altua de una de sus caas lateales tazada desde el vétice de la piámide. Una piámide en la que, o bien el polígono de la base no es egula, o bien los tiángulos lateales no son isósceles, se llama iegula. En la figua siguiente mostamos una piámide egula y distintas piámides iegulaes. apotema Piámide egula Piámides iegulaes 9
Cuepos de evolución Ota familia de objetos que no están limitados po polígonos son las figuas de evolución. Una figua de evolución es un cuepo geomético que se obtiene al hace gia una figua plana alededo de un eje. Los dibujos siguientes muestan las tes figuas de evolución más conocidas (aunque hay muchas otas, po ejemplo las piezas que obtienen los alfaeos utilizando el tono): A Eje Eje A Eje geneatiz geneatiz B B - el cilindo se obtiene otando un ectángulo alededo de uno de sus lados. El segmento AB que genea la supeficie del cilindo ecibe el nombe de geneatiz.el ectángulo descibe en su gio dos cículos iguales que son las dos bases del cilindo. Éstas se encuentan en planos paalelos, y el adio de una cualquiea de ellas es el adio del cilindo, que suele llamase cilindo ecto, po tene su geneatiz pependicula a las bases. No obstante, también existen los cilindos oblicuos (no son cuepos de evolución), como el de la figua siguiente, y se genean patiendo de dos planos paalelos con dos cículos iguales, uno en cada plano. Los puntos de una de las cicunfeencias están unidos con los puntos de la ota mediante segmentos paalelos. Se llama altua del cilindo al segmento de pependicula compendido ente las dos bases. En un cilindo ecto, la altua y la geneatiz son iguales. h h - el cono, que se obtiene otando un tiángulo ectángulo alededo de uno de sus catetos. El segmento AB que genea la supeficie del cono ecibe el nombe de geneatiz. El tiángulo descibe en su gio un cículo que es la base del cono, el adio de este cículo es el adio del cono. El vétice del cono es el punto de su geneatiz cuya posición pemanece invaiante al ealizase el gio. El cono así obtenido se suele llama cono ecto. También existen los conos oblicuos, como el de la figua siguiente, que se obtiene al hace gia una ecta que pase po el punto A y el contono de un cículo (como en la figua adjunta). A h h 10
Se llama altua del cono al segmento pependicula compendido ente el vétice y el plano de la base. En un cono ecto, el pie de la altua coincide con el cento de la base. - la esfea, se obtiene otando un semicículo alededo de su diámeto. El adio del semicículo que al ota genea la esfea es el adio de la esfea, y su diámeto el diámeto de la esfea. El cento del semicículo no vaía su posición al otalo, y se llamaá cento de la esfea. La supeficie esféica es el bode de la esfea, y sus puntos equidistan del cento. 5. Áea de figuas espaciales Paa medi el áea de una figua espacial desaollable, bastaá desaolla ésta en el plano y aplicale los métodos anteiomente efeidos de cálculo de áea. Los poliedos (en paticula los pismas y las piámides), así como los cilindos y conos, son figuas desaollables: l a h a l g h 2 2 En las figuas en las que distinguimos base(s), a sabe, pismas, piámides, cilindos y conos, es fecuente habla del áea lateal, que es el áea de la figua ( que se suele llama áea total) menos el áea de la(s) base(s). Utilizando los desaollos planos de las figuas es fácil deduci que: - el áea lateal del pisma egula es el poducto del peímeto de la base po la altua del pisma, - el áea lateal de la piámide egula es el poducto del peímeto de la base po la apotema de la piámide, dividido po 2, - el áea lateal del cilindo ecto es el poducto de 2 π, po el adio de la base y po la altua del cilindo, - el áea lateal del cono ecto es la del secto cicula cuyo adio es la geneatiz del cono y cuyo aco mide la longitud de la cicunfeencia de la base. El cálculo del áea de figuas no desaollables equiee técnicas distintas a las que acabamos de ve, específicas paa cada caso. Citaemos a modo de infomación el áea de la esfea A = 4 2 11
6. Resolución de algunos ejecicios tipo 8.1. En la figua el tiángulo sombeado es equiláteo y compate lado con un cuadado, cuyo cento petenece a los semicículos de colo blanco. Si el lado del cuadado es de 24 cm, cuál es la supeficie de toda la zona sombeada? Solución Áea del cuadado: 24 576 De la supeficie del cuadado, sólo se considea la que dejan libe dos semicículos de adio 12 La supeficie ocupada po esos dos semicículos es equivalente a la de un cículo de adio 12, es deci, a: 12 144. Además inteviene la supeficie de un tiángulo equiláteo de base 24, cuya altua es, aplicando Pitágoas: 24 12 12 2 12 12 2 12 12 2 1 12 3 El áea de dicho tiángulo es: 24 12 3 144 3 2 El áea de la zona sombeada es: 576 144 144 3 576 144 3 373,025 8.2. Este ejecicio se ealiza con las piezas del Tangam y es completamente simila a uno de los que apaecen esueltos en la sección 3 de este tema. Figua 1 Figua 2 Figua 3 Figua 4 Tomando como unidad de supeficie la figua 1, calcula la supeficie del esto de las figuas. Solución Actuando como en el ejecicio mencionado y viendo que la Figua 1 es equivalente a 8 TP, la Figua 2 a 10 TP, la Figua 3 a 4 TP y la Figua 4 a 7 TP, podemos afima que tomando como unidad la Figua 1, las áeas de las estantes son, y espectivamente. 8.3. Dibuja en una tama cuadada, si es posible, un cuadiláteo semejante al de la figua, cuya áea sea: a) el doble b) el tiple 12
Solución a) Si la figua ha de se semejante a la dada y con doble áea, habá de tene los mismos ángulos que la figua inicial y po lados los de la inicial multiplicados po 2. Po tanto como los lados de la figua miden 1, 2, 10 y 5 (empezando en y siguiendo el oden contaio a las agujas del eloj), los de la figua pedida medián espectivamente 2, 2, 2 5 y 10 (ya sea en sentido antihoaio u hoaio). En la imagen anteio se muesta cómo elegido un punto de la tama (1º), se considean todos los puntos de la tama que distan de él 2 (cicunfeencia con cento en 1º y adio 2, C1º, 2). De esos puntos se elige uno, (2º), y se deteminan los puntos de la tama que distan de él 2; tazando una cicunfeencia C2º,2 con cento en 2º y adio 2. Eso significa que el vétice denotado po 2º se coespondeá con A y el denotado po 1º con B y que el coespondiente a D estaá en la cicunfeencia C2º,2. Puesto que D dista de B 5, su vétice coespondiente estaá sobe la cicunfeencia C1º, 10 con cento en 1º y adio 10. Po tanto, un punto común a las cicunfeencias C2º,2 y C1º, 10, (3º), seá el coespondiente a D. El punto C se coespondeá con un punto (4º) que diste 10 de (1º) y 20 de (3º). El punto 4º es po tanto un punto de intesección de las cicunfeencias C1º, 10 y C3º, 20. Tenemos como candidato el polígono con vétices 1º2º3º4º peo aún hay que ve que los ángulos de este polígono son iguales a los ángulos del polígono de patida. Paa ello dividimos cada cuadiláteo en dos tiángulos mediante diagonales que se coespondan, es deci, que dejen en un mismo semiplano a segmentos popocionales. En la imagen 1 y 2 son popocionales a 2 y 2. Veamos si los tiángulos son semejantes. Paa ello, y gacias al tece citeio de semejanza de tiángulos, basta ve si las diagonales tazadas están en la misma azón que los lados. En nuesto caso, las diagonales espectivas miden 5 y 10. Como 10 = 2 5, tenemos que los tiángulos ABD y 2º1º3º son semejantes y lo son también los tiángulos DCB y 3º4º1º. Po tanto sus ángulos coespondientes son iguales, lo que gaantiza la igualdad de los ángulos de los cuadiláteos BADC y 1º2º3º4º. Es posible conclui pues que los cuadiláteos constuidos son semejantes. b) El azonamiento sigue las mismas pautas que el del apatado anteio peo ahoa sabemos que los lados del polígono buscado deben medi 1 3, 2 3, 10 3 y 5 3, es deci, 3, 6, 30, 15. Peo 3 no se puede constui en una tama cuadada puesto que paa que ello fuese factible, 3 debeía pode escibise como suma de cuadados y no es así: Paa toda paeja de enteos positivos y, se tiene 3. Po tanto es imposible constui sobe la tama un cuadiláteo de las caacteísticas indicadas. 13
ANEXO: De este tema hay que sabe, al menos, Detemina áeas de figuas constuidas en la tama cuadada po complementación y/o descomposición. Detemina áeas de figuas constuidas con el tangam utilizando distintas unidades de medida. Reconoce las difeentes figuas espaciales descitas en este tema y utiliza coectamente los téminos elacionados. Aplica las fómulas de cálculo de áeas a situaciones concetas. 14