09 Tema 9 Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Aplicaciones de la derivada primera para el estudio de la variación de una función El signo de la derivada primera de una función permite conocer los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la curva asociada a ella Además, en muchos casos posibilita la determinación de máimos y mínimos relativos Crecimiento y decrecimiento f () es creciente en un punto = a si f ( a h) f ( a) f ( a + h), para h > 0 y pequeño f () es decreciente en un punto = a si f ( a h) f ( a) f ( a + h), para h > 0 y pequeño La función f () es creciente (decreciente) en un intervalo cuando crece (decrece) en todos los puntos de él Caracterización mediante la derivada primera Si f ( a) > 0 f () es creciente en = a En general, si una función f () es tal que f ( ) > 0 para todo de un intervalo, entonces f () es creciente en ese intervalo La demostración de este resultado es fácil, pues si f ( a) > 0, se tiene f( a+ h) f( a) f( a+ h) f( a) que f ( a) = lím > 0 > 0 en un h 0 h h entorno de a Esto implica que los dos términos de la fracción deben tener el mismo signo Luego: Si h > 0, (a la derecha de a), entonces f( a+ h) f( a) > 0 f( a) < f( a+ h) Luego f es creciente en a Si h < 0, (a la izquierda de a), entonces f( a h) f( a) < 0 f( a h) < f( a) Luego f es creciente en a Si f ( a) < 0 f () es decreciente en = a Si una función f () es tal que f ( ) < 0 para todo de un intervalo, entonces f () es decreciente ese el intervalo Máimos El punto a es un máimo relativo cuando la función es creciente a su izquierda y decreciente a su derecha Por tanto: a es un máimo si: f ( a ) > 0, f ( a ) = 0, f ( a + ) < 0 (En un máimo, la recta tangente a la curva es horizontal: su pendiente vale 0) Mínimos El punto a es un mínimo relativo cuando la función es decreciente a su izquierda y creciente a su derecha Por tanto: a es un mínimo si: f ( a ) < 0, f ( a ) = 0, f ( a + ) > 0 (En un mínimo, la recta tangente a la curva es horizontal: su pendiente vale 0)
0 Ejemplo: La función f ( ) = + es creciente a la izquierda del punto =, y decreciente a su derecha, pues f ( ) = + es positiva para < y negativa para > Por tanto, f ( ) = + tiene un máimo en = (Es evidente que f () = 0 ) La determinación de los puntos singulares de una función (aquellos en los que la derivada vale 0, llamados también puntos estacionarios; y los puntos en lo que la función no está definida), permitirá obtener el crecimiento, el decrecimiento, los máimos y los mínimos Advertencias: No siempre que f ( ) = 0 se tiene un máimo o un mínimo; ni siquiera esto es una condición necesaria (lo es sólo para funciones derivables) Puede haber mínimo sin que f ( ) = 0 Así, la función f ( ) = tiene un mínimo en = 0 y en ese punto no es derivable la función Puede suceder que f ( ) = 0 y no haya mínimo ni máimo Así pasa en el punto = 0 para la función f ( ) = Su derivada, f ( ) =, se anula en = 0, pero: Si < 0, (por ejemplo, = ), f () > 0 f () es creciente Si > 0, (por ejemplo, = ), f () > 0 f () es creciente Por tanto, en = 0 no hay máimo ni mínimo Hay un punto de infleión Trazado de gráficas con ayuda de la derivada primera Dada la función y = f (), para dibujarla es útil el siguiente proceso: ) Determinar los puntos en los que no está definida f () Dominio de definición ) Hallar la derivada f () ) Calcular las soluciones de la ecuación f ( ) = 0 (puntos singulares) 4) Marcar sobre el eje OX los puntos singulares y aquellos en los que la función no está definida Esos puntos dividen al eje OX en varios intervalos ) Estudiar el signo de la derivada en cada intervalo anterior: deducir si la función es creciente o decreciente (Basta con probar un punto de cada intervalo y ver si f () es positiva o negativa) ) Deducir (de lo anterior) dónde se dan los máimos y los mínimos, si es el caso 7) Trazar la gráfica ajustándose a la información obtenida y dando algunos de sus puntos, entre ellos los correspondientes a los puntos singulares y a los cortes con los ejes de coordenadas Ejemplo: Trazado de la gráfica de la función f ( ) = ) Está definida siempre: Dom(f) = R ) y ) 4 4 f ( ) = = 0 ( ) = 0 = 0, =, = 4), ) y ) Se marcan los puntos en la recta, y se observa que: Si <, (por ejemplo, = ), f () > 0 f () es creciente
Si < < 0, (por ejemplo, = ), f () < 0 f () es decreciente en hay máimo = Si 0 < <, (por ejemplo, = ), f () < 0 f () es decreciente en = 0 no hay ni máimo ni mínimo Si >, (por ejemplo, = ), f () > 0 f () es creciente en mínimo 7) Dando algunos valores se obtiene la gráfica adjunta Para = 0, f ( 0) = 0 punto (0, 0) Para =,, f ( / ), 0 punto (,,,0) Para =,, f ( / ), 0 punto (,,,0) Los cortes con el eje OX son las soluciones de = 0, que son = 0 y = ± puntos (,0), (0, 0) y (,0) = hay Aplicaciones de la derivada segunda Curvatura: concavidad y conveidad; infleión La concavidad y la conveidad dependen del punto de vista del que mira Aquí se mirará siempre desde la parte negativa del eje OY Por tanto, la concavidad será así: ; y la conveidad, así: Concavidad y conveidad Observa lo que sucede en un intervalo de concavidad Las tangentes a la curva están por encima de ella Las rectas tangentes, de izquierda a derecha, tienen cada vez menor pendiente O, lo que es lo mismo, sus pendientes decrecen (La pendiente viene dada por la derivada) Luego la derivada decrece: f () es decreciente En consecuencia, su derivada (la de f () ) será negativa: f ( ) < 0 Los máimos se dan siempre en una concavidad Por tanto, si en = a hay un máimo de f (), se cumplirá que f ( a) < 0 Ejemplos: a) La función f( ) = + es cóncava, pues su derivada segunda es siempre negativa: f ( ) = + f ( ) = < 0 b) La función logaritmo, f( ) = ln es cóncava en todo su dominio: R + Efectivamente, derivando: f ( ) = f ( ) = < 0 para todo
Observa lo que sucede en un intervalo de conveidad Las tangentes a la curva están por debajo de ella Las rectas tangentes, de izquierda a derecha, tienen cada vez mayor pendiente O, lo que es lo mismo, sus pendientes crecen (La pendiente viene dada por la derivada) Luego la derivada crece: f () es creciente En consecuencia, su derivada será positiva: f ( ) > 0 Los mínimos se dan siempre en una conveidad Por tanto, si en = a hay un mínimo de f (), se cumplirá que f ( a) > 0 Resumiendo: Si f ( ) < 0 en el intervalo (, ) f () es cóncava en ese intervalo Si f ( ) > 0 en el intervalo (, ) f () es convea en ese intervalo Ejemplos: a) La función f( ) = es convea, pues su derivada segunda es siempre positiva: f ( ) = f ( ) = > 0 b) La función eponencial, f( ) = e es convea siempre, pues su derivada segunda es siempre positiva: f ( ) = e f ( ) = e > 0 para todo Máimos y mínimos Si f (a) = 0 y f ( a) < 0 f () tiene un máimo en = a Si f (a) = 0 y f ( a) > 0 f () tiene un mínimo en = a El recíproco no es cierto Esto es, puede suceder que f () tenga un máimo (o un mínimo) en = a siendo f (a) = 0 y f ( a) = 0 (sin que f ( ) < 0 o f ( a) > 0 ) En definitiva: La condición necesaria para que en = a se dé un máimo o un mínimo es que f (a) = 0; pero no es condición suficiente Ejemplos: a) La función f( ) = +, vista anteriormente, cumple: f ( ) = + la derivada se anula en = Como f ( ) = < 0 para todo, en = se da un máimo b) La función f( ) = sin, cumple: Su derivada primera: f ( ) = cos, se anula cuando cos = 0 Su derivada segunda: f ( ) = sin π toma valores negativos cuando = + kπ Por ejemplo en en esos puntos tendrá máimos π = + kπ π = o en π π = + π=
π = + + π Por ejemplo en π 7π = + π= en esos puntos tendrá mínimos toma valores positivos cuando ( k ) π π = +π= o en Puede observarse que los máimos se dan en concavidades; y los mínimos, en conveidades Puntos de infleión Los puntos en los que la curva cambia de cóncava a convea, o al revés, se llaman puntos de infleión; en esos puntos, la tangente corta a curva Se cumple también que: Si = a es un punto de infleión de f () f ( a) = 0 El recíproco no es cierto Esto es, puede suceder que f ( a) = 0 y en = a no haya punto de infleión Por tanto, que f ( a) = 0 es condición necesaria, pero no suficiente 4 Criterio general para la determinación de puntos máimos, mínimos y de infleión Si = a es un punto que cumple: ) f ( a) = 0, f ( a) = 0, f ( a) = 0, f n ) ( a) = 0 y f n ( a) 0, entonces: ) Si n es par y f n ( a) < 0, en = a hay un máimo ) Si n es par y f n ( a) > 0, en = a hay un mínimo Si n es impar, en = a hay un punto de infleión, aunque f ( a) 0 Ejemplos: a) La función f ( ) =, vista en un ejemplo anterior, cumple: 4 4 f ( ) = = 0 si = 0, =, = Los puntos = 0, =, = son candidatos a máimos o mínimos Para decidirlo se hace la derivada segunda: f ( ) = 0 0 = 0 4( ) = 0 = 0, = ± Como: f ( / ) < 0, en = / se da un máimo relativo f ( 0) = 0, en = 0 se da un punto de infleión (Es un punto de infleión con tangente horizontal) f ( / ) > 0, en = / se da un mínimo relativo Otros puntos de infleión son = / y = / Para confirmar que los tres puntos indicados son de infleión hay que ver que f ( ) = 0 es 0 en los tres casos: así es, como puede comprobar el lector interesado
4 b) La función 4 f ( ) =, cumple: f ( ) = 4 = 0 en = 0; f ( ) = = 0 en = 0; f ( ) = 4 = 0 en = 0; f ( ) = 4 > 0 en = 0 se da un mínimo c) La función f ( ) =, cumple: 4 f ( ) = = 0 en = 0; f ( ) = 0 = 0 en = 0; 4) f ( ) = 0 = 0 en = 0; f ( ) = 0 = 0 en = 0; ) f ( ) = 0 en = 0 se da un punto de infleión 4 Sugerencias para la representación gráfica de una función 4) Para representar una función f (), puede seguirse el esquema siguiente: ) Determinar el dominio de definición y el recorrido de f () (Esto permite el estudio de posibles discontinuidades y de las regiones : intervalos en los que f () es positiva o negativa; para su determinación deben conocerse los puntos de corte de la curva con el eje OX) ) Asíntotas Puede haberlas verticales, horizontales y oblicuas Verticales Si lím f () = la recta = a es asíntota vertical f () a Las asíntotas verticales sólo pueden darse en puntos en los que la función no esté definida Horizontales Si lím f ( ) = b la recta y = b es una asíntota horizontal de f () f ( ) Oblicuas Si lím = m (m 0 y m ) y lím ( f ( ) m) = n, (n ) la recta y = m + n es una asíntota oblicua de la curva y = f () Es muy útil determinar, mediante el cálculo de límites laterales, la posición de la curva respecto de las asíntotas ) Simetrías Hay dos tipos de simetrías Función par : f () es simétrica respecto del eje OY Se cumple que f ( ) = f ( ) Función impar : f () es simétrica respecto del origen: Se cumple que f ( ) = f ( ) El estudio de las simetrías no es imprescindible, aunque facilita el trazado de la curva 4) Periodicidad f () es periódica de período p si f ( + p) = f ( ) Las funciones periódicas se representan en un intervalo de amplitud p; después se repite el dibujo En la práctica, sólo se tiene en cuenta en las funciones trigonométricas ) Puntos singulares e intervalos de variación y curvatura Con la derivada primera, f () : Crecimiento y decrecimiento Máimos y mínimos Con la derivada segunda, f () : Concavidad, conveidad y puntos de infleión; y confirmación de máimos y mínimos ) Determinar algunos puntos significativos de la curva y = f () Puntos máimos, mínimos y de infleión Puntos de corte de la curva con los ejes
7) Trazado de la curva Todas las piezas deben encajar En caso contrario habrá que revisar los cálculos realizados A continuación se practica con ejemplos y ejercicios Ejemplos: a) Para la función f ( ) = se tiene: ( ) Dominio: R {} Regiones (signo): por debajo del eje OX (negativa) si < 0; por encima de OX si > 0 (ecluido el punto = ) Asíntotas: Como lím f ( ) = lím Como lím f () = ± 0 = = + la recta = es una asíntota vertical ( ) = ± ( ) lím = (L H) = lím ± ( ) es asíntota horizontal Hacia la asíntota va por debajo del eje, pues toma valores negativos Hacia + la asíntota va por encima del eje, pues el signo de la función es positivo Derivada primera: ( ) ( ) = ( ) 4 ( ) f ( ) = Se anula en = Se marcan los puntos y en la recta Si <, f () < 0 f () es decreciente Si < <, f () > 0 f () es creciente En = hay mínimo Si >, f () < 0 f () es decreciente Derivada segunda: + 4 f ( ) = Se anula en = ( ) 4 Se marcan los puntos y en la recta Si <, f () < 0 f () es cóncava ( ) Si < <, f () > 0 f () es convea ( ) Si >, f () < 0 f () es convea ( ) Como f ( ) = > 0, se confirma que en = hay un mínimo relativo 8 Con toda esta información y calculando algunos puntos se puede hacer su representación gráfica Algunos puntos: (, 0,87); (, 0,); (, 0,); (0, 0); (0,, ); (, ); (, 0,7) = = 0 la recta y = 0 ±
b) Para la función f( ) = e se tiene: Su dominio es R; y siempre es positiva ( ) Es par: f( ) = e = e Tiene una asíntota horizontal: lím e = 0 + La curva va por encima de la asíntota, y = 0 ± Crecimiento y decrecimiento: f ( ) = e se anula en = 0 Si < 0, f () > 0 la función crece Si > 0, f () < 0 la función decrece En = 0 hay un máimo Concavidad y conveidad: f ( ) = e + 4e = ( + 4 ) e se anula en = ± Si < /, f ( ) > 0 la función es convea ( ) Si / < < /, f ( ) < 0 la función es cóncava ( ) Si > /, f ( ) > 0 la función es convea ( ) Pueden darse algunos valores: (, e ) (, 0,7), ( /, e ) / ; (0, ); / ( /, e ) ; (, 0,7) Su gráfica es la adjunta: c) Para la función f( ) = sin + cos se tiene: Dominio: R Y siempre toma valores entre y Es periódica de período π, pues f( ) = sin ( + π ) + cos( + π ) = sin + cos Se representará la función en uno de los periodos: intervalo [ π/4, 7π/4] Es obvio que no tiene asíntotas Crecimiento y decrecimiento: f ( ) = cos sin Se anula cuando sin = cos f ( ) = cos sin > 0 si decreciente si π/4 < < π/4 Concavidad y conveidad: π = + kπ (Má o mín) 4 π π < < o si π 7 π < < la función es creciente; será 4 4 4 4 f ( ) = sin cos Se anula cuando sin = cos f ( ) = sin cos > 0 si π π 4 4 π = + kπ (Puntos de inf) 4 < < la función es convea; y cóncava en el resto El valor máimo lo toma en π/4 y vale ; el mínimo en π/4, y vale En los puntos de infleión la función toma el valor 0 La función tiene infinitos máimos, infinitos mínimos e infinitos puntos de infleión
7 Ejercicio cos Dada la función f ( ) = Se pide: a) Sus asíntotas b) Los puntos de corte de la gráfica de f con el eje de abscisas; y el signo de la función c) Cuántos máimos y mínimos tiene? Indica algunos de ellos Solución: a) La función no está definida en = 0 En esa abscisa habrá una asíntota vertical si el límite se hace infinito cos 0 sin Como lím = = ( ) = = 0 0 0 L H lím No hay asíntota vertical 0 cos Tiene una asíntota horizontal, pues lím = 0 La asíntota es la recta y = 0 b) La función se anula siempre que cos = 0 = kπ, k Z Salvo en esos puntos, como cos > 0, el signo de la función dependerá del denominador, de Por tanto, será negativa si < 0; y positiva, si > 0 c) La función se anula en los etremos de cada uno de los intervalos [ k π, ( k + ) π] Como la función es continua y derivable en cada uno de esos intervalos, salvo en [ π, π], por el teorema de Rolle, en cada caso habrá un punto que anule la derivada En todos esos puntos se da un máimo o un mínimo Cuando k > 0 se tienen máimos; si k < 0 se tienen mínimos (Los demás máimos y mínimos se dan cuando f ( ) = 0, que, como se dijo antes, sucede en = kπ : si = + kπ, se dan mínimos; si = kπ, máimos) Todo lo dicho puede ilustrase con la gráfica de f Ejercicio Haz un esbozo gráfico de la función f ( ) = ln( ) Solución: Dominio: R [, ] La epresión ln( ) sólo tiene sentido si > 0 Asíntotas: lím ln( ) = + En = y en = la función tiene sendas asíntotas verticales, pues ( ) ± No tiene asíntota horizontal, pues lím ( ln( ) ) = Observación lím ( ln( ) ) = [ ] : Si se sustituye se tiene que Esta indeterminación puede resolverse como sigue:
8 e e lím ( ln( ) ) = lím ( ln( e ) ln( ) ) = lím ln ln lím = Como e e e lím = ( L H ) lím ( L H ) lím ( ) = = = = = = lím ( ln( ) ) = Tampoco tiene asíntota oblicua, pues si fuese la recta y = m + n se tendría: ln( ) ln( ) / ( ) m = lím = lím = ( L H ) = lím = 0= ( ln( ) ) ( ln( ) ) n = lím = lím = Como n debe ser distinto de, se deduce que no hay asíntota oblicua Crecimiento y decrecimiento: f ( ) = = f ( ) = 0 si = 0 = ± Además hay que tener en cuenta los puntos = y = Con esto: Si <, f () > 0 f() crece (Entre y no hay curva) Si < < +, f () < 0 f() decrece Si > +, f () > 0 f() crece (En = + habrá un mínimo) Concavidad y conveidad: + f ( ) = > 0 para todo punto de su dominio ( ) La función es convea ( ) en todo su dominio Algunos puntos: (,,); (, 0,9); (+, 0,84); (4,,9) Su gráfica es la adjunta Ejercicio Dada la función f( ) = ln, determina su dominio, asíntotas, crecimiento y decrecimiento + y concavidad y conveidad Haz un esbozo gráfico de ella Solución: Dominio: R [, 0] Hay que descartar los valores de tales que 0 + Asíntotas: En = (por la izquierda) y en = 0 (por la derecha) la función tiene sendas asíntotas verticales, pues: + 0 + lím ln = ln = + + 0 ; lím ln = ln ln 0 + = = 0 + Tiene una asíntota horizontal, pues lím ln = ln La asíntota es y = ln ± + Hacía, la curva va por encima de la asíntota, pues > ; hacia +, sucede al revés +
9 Crecimiento y decrecimiento: f( ) = ln = ln ln( + ) f ( ) = = + + ( + ) El valor de la derivada es positivo en todo su dominio, luego la función siempre es creciente Concavidad y conveidad: + f ( ) = ( + ) Si <, f ( ) > 0 f es convea ( ) Si > 0, f ( ) < 0 f es cóncava ( ) Un esbozo de su gráfica es la figura adjunta Ejercicio 4 Se considera la curva definida por la función y = Se pide: + a) Dominio de definición, cortes con los ejes, simetrías y asíntotas b) Intervalos de crecimiento de la función Tiene etremos la función? c) Una representación aproimada de la curva Solución: a) La función está definida siempre, pues el denominador no se anula en ningún caso Corte ejes: si = 0 y = 0 punto (0, 0); si y = 0 = 0 el mismo punto La función es simétrica respecto del origen de coordenadas (impar), pues ( ) f ( ) = = = f ( ) ( ) + + Tiene una asíntota oblicua (y = m + n), pues: f ( ) m = lím = lím = ; n = lím ( f ( ) m) = lím = = 0 ( + ) lím + + La asíntota es la recta y = + Como y = = = se tiene: + + + cuando +, la curva va por debajo de la asíntota ( resta) + cuando, la curva va por encima de la asíntota ( suma) + ( + ) ( ) ( + ) b) Derivando: y = = ( + ) ( + ) Salvo en = 0, la derivada siempre es positiva la función es creciente siempre En consecuencia no tiene etremos En = 0 hay un punto de infleión con tangente horizontal c) Algunos valores de la curva son: (0, 0), (, /), (, 8/), (, 7/0), y sus simétricos Representándolos se obtiene la gráfica adjunta
0 Optimización de funciones Problemas de optimización La optimización es uno de los problemas económicos más interesantes de resolver Consiste en determinar el valor que maimiza (beneficios) o minimiza (costes) una función sujeta a determinadas condiciones Un problema de optimización clásica es el siguiente: Se desea construir, al lado de una carretera, una zona de descanso para automovilistas Tendrá forma rectangular y estará vallada por los tres lados no adyacentes a la carretera Si su superficie es de 700 m², qué dimensiones debe tener para que el coste de la valla sea mínimo? La situación planteada se representa en la figura adjunta, que en este, como en la mayoría de los casos, es clave para entender el problema Planteamiento y resolución de un problema de optimización Un problema de optimización vendrá dado, generalmente, en términos de enunciado Se dice que está planteado cuando se sabe eactamente qué función hay que hacer máima o mínima; quedará resuelto cuando se halle y critique la solución Para ello, puede seguirse el proceso que se detalla a continuación: ) Saber qué objetivo hay que hacer máimo o mínimo Esto se deduce de la lectura del enunciado En el ejemplo anterior hay que hacer mínimo el coste de la valla (Este mismo ejemplo nos servirá para ilustrar los demás pasos) ) Epresar en forma de función el objetivo propuesto El coste de la valla será mínimo cuando su longitud (L) sea mínima Por tanto, la función que hay que hacer mínima es L= + y Generalmente esta función dependerá de varias variables; aquí, de dos Hay que determinar cuál de ellas depende de la(s) otra(s) y buscar en el enunciado la relación que liga esas variables; esta relación siempre es una igualdad Se obtendrá así una función de una sola variable, que puede designarse por f( ) o por cualquier otra letra Aquí se ha elegido L En L= + y aparecen dos variables, e y, que son las medidas del largo () y ancho (y) de la zona de descanso Qué relación eiste entre e y? Como se dice que la superficie de la zona es de 700 m², y esta 700 700 superficie vale S= y, se tendrá que y = 700 De donde y = L ( ) = + (Aquí termina el planteamiento del problema Ahora hay que resolverlo) ) Determinar el máimo o mínimo buscado Los óptimos se encuentran entre los puntos críticos de la función, que son las soluciones de f ( ) = 0 Para que sea máimo hay que eigir que f ( ) < 0 ; y para que sea mínimo, que f ( ) > 0 En este caso hay que buscar un punto que cumpla: L ( ) = 0 y L ( ) > 0 700 4400 Como L ( ) = + = + 4400 L ( ) = = 0 = 4400 = ±0 La solución = 0 hay que descartarla por no ser del dominio de definición de la función 8800 La derivada segunda: L ( ) = y L (0) = > 0 Por tanto, el mínimo pedido se obtiene cuando = 0 metros e y = 0 m
Ejercicio Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de cm de larga por 4 de ancha Para ello se recortará un cuadradito en cada esquina y se doblará Cuál debe ser el lado del cuadradito cortado para que el volumen de la caja resultante sea máimo? Solución: A partir del enunciado y siguiendo el proceso aplicado en el ejemplo anterior se tiene: ) El objetivo es que el volumen de la caja sea máimo La caja es un prisma rectangular, cuyo volumen = área de la base por la altura ) Para obtener la función conviene hacer un dibujo 4 Si se corta un cuadradito de lado, el volumen de la caja obtenida será: V( ) = ( )(4 ) V( ) = 4 + 78 4 ) Los puntos máimos o mínimos se encuentran, si eisten, entre las soluciones de V = 0 8 ± 08 V ( ) = 4+ 78 = 0 = (se ha simplificado) Se obtienen 4, y 4,4 4) Para ver para qué valor se obtiene el máimo se hace V ( ) = 4 4 y se evalúa en esas soluciones Como V ( 4,) < 0 y V ( 4,4) > 0, el máimo se da para = 4, Esta es la solución buscada El valor = 4,4 no es posible, pues 4 cm no da para cortar dos trozos de ese tamaño Ejercicio El coste de fabricación de unidades de un determinado producto viene dado por la función C ( ) = 0, + + 00 Todas las unidades producidas se venden a un precio dado por p ( ) = 0, (C() y p() en unidades monetarias, um) Calcula el nivel de producción que: a) Minimiza el coste medio por unidad Cuál es ese coste? b) Maimiza los beneficios A cuánto asciende ese beneficio? Solución: El nivel de producción es el número de unidades que hay que producir para alcanzar un determinado fin a) El objetivo es determinar el número de unidades que hay que producir para que el coste medio por unidad, M(), sea mínimo El coste por unidad se halla dividiendo el coste total, C(), entre las unidades producidas, : 00 M( ) = 0,+ + 00 Para que M() sea mínimo, su derivada debe ser 0: M ( ) = 0, = 0 = 000, 00 Como M ( ) = M ( 000) > 0 Luego, el mínimo se da cuando = 000
El precio unitario mínimo será M ( 000 ) 9,4 um Observación: En este caso, la variable es discreta y sólo puede tomar valores enteros (de hecho, en el conteto del problema, la función considerada no es continua, y, por ende, tampoco derivable), por ello, la solución = 000 =, no es posible; la respuesta debe ser = o = Como M() = 9,8 y M() = 9,, debe elegirse = b) El objetivo es maimizar los beneficios obtenidos por la fabricación y venta de unidades de producto Estos beneficios, B(), se hallan restando los costes a los ingresos: B() = Ingresos totales Costes totales Los ingresos, I(), se calculan multiplicando el número de unidades vendidas por el precio por unidad Por tanto, I( ) = p( ) = ( 0,) = 0, De donde, B ( ) = I ( ) C ( ) = 0, 0, + + 00 B ( ) = 0,4 + 00 ( ) ( ) Para que B() sea máimo, B ( ) = 0 : B ( ) = 0,8+ = 0 = 7, Como B ( ) = 0,8 < 0, el punto hallado da el máimo beneficio, que asciende a B(7,) = 0, um Nota: Como en el apartado a), la respuesta debe ser = 7 o = 8 En este caso es indiferente, pues B(7) = B(8) = 0,4 Ejercicio En el primer cuadrante y entre la curva y = y la recta y = se inscribe un rectángulo con uno de sus lados sobre el eje OY Determina sus vértices para que tenga superficie máima Solución: Si (, y) es el vértice sobre la curva, las dimensiones del rectángulo serán: base = ; altura y Como y =, su superficie viene dada por: S = ( y) S ( ) = ( ) = 4 El máimo de S se da en la solución de S = 0 que hace negativa a S Derivando: S ( ) = 4 = 0 = /4 Como S ( ) = < 0 siempre, para el valor = /4 se tiene la abscisa del vértice buscado La ordenada será y = /4 Por tanto, los vértices son: (0, /4); (0, ); ( /4, ); ( /4, /4)
Problemas Propuestos Crecimiento y decrecimiento Máimos y mínimos relativos; puntos de infleión f ( ) = +, determina: a) Los puntos de corte con el eje OX; y su signo b) Sus máimos y mínimo c) Sus puntos de infleión Dada la función ( )( ) 4 Comprueba que la función y = es decreciente en todo su dominio Halla los máimos y mínimos de la función sin f ( ) = en el intervalo [0, ] cos 4 Halla los puntos de infleión de la gráfica de la función f ( ) = ln( + ) 4 Demuestra que la función f ( ) = + 0 nunca es decreciente Es posible que, a pesar de lo anterior, tenga puntos de infleión? + Dada la función f ( ) = ( ) e, halla: a) Sus intervalos de crecimiento y decrecimiento; y sus máimos y mínimos b) Sus puntos de infleión y sus intervalos de concavidad y conveidad 7 Halla la ecuación de la recta tangente a f ( ) = + en su punto de infleión Estudio de una función dependiente de uno o más parámetros 8 Halla el valor que debe tomar a para que la función relativo en = a f ( ) = tenga un mínimo + 9 Estudia los máimos y mínimos relativos de la función f ( ) = + a + dependiendo de los valores de a 0 Halla el valor de a para que f ( ) = a + tenga un punto de infleión en = p+ Comprueba que la función f ( ) = e tiene un mínimo local en = 0 para cualquier valor de p Tendrá algún punto de infleión? Halla el valor de p para que la función ( ) = f e + p a) Un mínimo b) Un máimo c) Un punto de infleión tenga:
4 Sea la función f ( ) = a + + 0, a 0 a a) Halla los valores de a para los cuales la función f () tiene un máimo en = b) Calcula los etremos relativos de f () para a = 4 (Propuesto en Selectividad, Castilla la Mancha) Calcular los valores de a y b para que la gráfica de la función punto (, ) y admita en ese punto una tangente horizontal 4 f ( ) = a + b + pase por el b a) Calcula los valores de a y b para que la gráfica de f ( ) = a + tenga un mínimo relativo en el punto (/, 4) b) Para esos valores de a y b, calcula las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f () Esboza su gráfica (Propuesto en Selectividad) De la función f: R R definida por f ( ) = a + b + c + d se sabe: tiene un máimo en = ; su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa = ; tiene un punto de infleión en el punto de abscisa = 0 Calcula a, b, c y d sabiendo, además, que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = tiene pendiente 9 7 Halla los valores de los coeficientes b, c y d para que la gráfica de la función y = + b + c + d corte al eje OY en el punto (0, ), pase por el punto (, ) y, en ese punto, tenga tangente paralela al eje OX Representa gráficamente la función obtenida dando algunos de sus puntos Representación gráfica de una función 8 Dada la función f ( ) = : a) Halla sus intervalos de crecimiento y decrecimiento; y sus máimos relativos b) Determina sus intervalos de concavidad y conveidad; y sus puntos de infleión c) Traza su gráfica 9 Dada la función f ( ) =, se pide: a) Su dominio, posibles simetrías y asíntotas b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento Sus máimos y mínimos c) Puntos de infleión e intervalos de concavidad y conveidad d) Su representación gráfica 4 0 Dada la función f ( ) =, se pide: a) Su dominio, asíntotas, crecimiento y decrecimiento, máimos y mínimos, concavidad y conveidad b) Haz su representación gráfica
Esboza la gráfica de la función f ( ) = Representa gráficamente la función f ( ) = e, calculando: asíntotas; intervalos de crecimiento y de decrecimiento; máimos, mínimos y puntos de infleión ( + ) Dada la función f ( ) =, halla: e a) Dominio de definición y asíntotas b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento c) Etremos locales y los puntos de infleión d) Un esbozo gráfico 4 (Propuesto en Selectividad) Dibuja la gráfica de la función f ( ) =, determinando su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y asíntotas (Propuesto en Selectividad) Sea f la función dada por f ( ) = +, R a) Estudia la derivabilidad de f en = 0 mediante la definición de derivada b) Determina los intervalos de monotonía de f y sus etremos relativos c) Esboza la gráfica de f Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función etremos relativos, puntos de infleión y asíntotas Esboza su gráfica f ( ) =, sus e ln 7 Sea la función f ( ) = Haz una representación gráfica aproimada determinando sus asíntotas y sus etremos relativos 8 Halla los máimos y mínimos relativos de las siguientes funciones definidas en el intervalo [0, 8] Dibuja sus gráficas a partir de esos datos y de los cortes con los ejes π π a) f( ) = sin b) g ( ) = sin 4 9 Representa gráficamente la función f( ) = sin en el intervalo π < < π
Problemas de optimización 0 La suma de dos números positivos es ; encuentra aquellos cuya suma de cuadrados sea mínima (Propuesto en selectividad, Aragón 007) Obtener las dimensiones de tres campos cuadrados de modo que: ) El perímetro del primero de ellos es el triple del perímetro del tercero ) Se necesitan eactamente 4 metros de valla para vallar los tres campos ) La suma de las áreas de los tres campos sea la mínima posible (Propuesto en Selectividad) Determina las medidas de los lados de un rectángulo de área, de modo que la suma de las longitudes de tres de sus lados sea mínima (Propuesto en Selectividad, Murcia 000) Las curvas y = e y = se cortan en los puntos P y Q Encuentra el punto A que está situado sobre la curva y = área máima, entre P y Q, y que determina con P y Q un triángulo PAQ de 4 (Propuesto en Selectividad, Murcia 000) Determina las dimensiones de los lados y el área del rectángulo de área máima que, teniendo uno de sus lados sobre el diámetro, se puede inscribir en un semicírculo de m de radio (Propuesto en Selectividad, Aragón 0) Descomponer el número en dos sumandos positivos de forma que el producto del primero por el cuadrado del segundo sea máimo Determina las medidas de los lados de un triángulo rectángulo de perímetro y cuya área sea máima 7 (Propuesto en Selectividad, Madrid 99) Sea la parábola y = 4 + 4 y el punto (p, q) sobre ella con 0 p Se forma un rectángulo de lados paralelos a los ejes con vértices opuestos (0, 0) y (p, q) Calcula (p, q) para que el área de este rectángulo sea máima 8 Se desea construir un depósito de latón con forma de cilindro de área total igual a 4 m Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que el volumen sea máimo 9 El coste de fabricación de unidades de un determinado producto viene dado por la función C ( ) = 0,0 + 4+ 80 Todas las unidades producidas se venden a un precio dado por p ( ) = 00 (C() y p() en unidades monetarias, um) Calcula el nivel de producción que: a) Minimiza el coste medio por unidad Cuál es ese coste? b) Maimiza los beneficios A cuánto asciende ese beneficio?
7 Otros problemas 40 (Propuesto en Selectividad, Madrid) Sea f: R R una función derivable en todo R Se sabe que f(0) = ; f( ) = 0 y f() = 0 Además, la gráfica de su derivada es: Dibuja la gráfica de f( ) 4 Sea f una función de la que se sabe que la gráfica de su derivada f tiene la forma que aparece en la figura: Determina, en cada caso, si f( ) tiene máimos, mínimos (relativos) o puntos de infleión en los puntos de abscisa = y = 4 (Propuesto en Selectividad, País Vasco) El beneficio obtenido por la producción y venta de kilos de un artículo viene dado por la función B ( ) = 0,0 +, 80 a) Determina los kilos que hay que producir y vender para que el beneficio sea máimo b) Determina los kilos que hay que producir y vender como máimo para que la empresa no tenga pérdidas 4 Demuestra que la función f ( ) = e + corta una sola vez al eje OX 44 Demuestra que la ecuación + + = 0 tiene una sola raíz real m 4 Determina si la función f ( ) = tiene máimos, mínimos y puntos de infleión + Depende del valor que tome m? 4 Dada la función f ( ) = : a a) Hay algún valor de a para el que se pueda evitar la discontinuidad en = a? b) Hay algún valor de a para el que la función tenga un máimo? 47 Dada la función f ( ) = + e, se pide: a) Sus máimos y mínimos relativos, si los tiene b) Demuestra que corta dos veces al eje OX en el intervalo [, ]
8 Soluciones a) = ; = b) Ma (, ) Min (, 0) c) = = π/, máimo; = π/, mínimo 4 = ± a) Decrece: < 0; crece, > 0 b) = ; <, cóncava ( ); >, convea ( ) 7 y = 8 a = 8 9 En = 0 hay máimo si a < 0, y mínimo si a > 0 En = a / hay mínimo si a < 0, y máimo si a > 0 0 a = /8 a) Si p > 0, en = ln p hay un mínimo b) No hay máimo c) No tiene PI a) a = o a = b) máimo, (, /); mínimo, (, /) 4 a = 4, b = a) a = 4; b = b) AV, = 0; AO, y = 4 ; Má, ( /, 4); mín, /, 4) b = 0; a = ; c = ; d = 7 b = ; c = 8; d = (4/,,), má; (/,,07), PI; (, ), mín 8 Crece: <, > Má, = ; min, = + ; PI, = 0 y = ± / 9 R {, }; impar); =, =, y = b) c) <, ( ); < < 0, ( ); 0 < <, ( ); >, ( ) 0 a) R {} AV, = ; AO, y = 4 + ; =/, má; = /, mín Crec (, /) (/, ) Decrec: ( /, ) (, / ) ; <, ( ); >, ( ) AV, = 0; AO, y = Decrece siempre AH, y = 0 Dec: (, ); cre: (, + ) =, mín; =, PI <, ( ); >, ( ) a) AH, y = 0 b) < o >, decrece; < <, crece c) (, 0), mín; (, 0,7), PI; (,,47), máimo; (+,,0), PI 4 R {} AV, = ; AH, y =, ( ); y =, (+ ) Si < 0, decrece; > 0 {}, crece No derivable en = 0 b) Minimos: = / y = /; ma, = 0 Si < 0, crece; > 0, decrece ; Ma, = 0 PI: = ; = AH, y = 0 7 AV, = 0 + ; AH, y = 0 Má, ( e /, /e) 8 a) Má, ; mín, b) Má, =, = ; mín, =, = 7 9 = π/, máimo; = π/, mínimo; = 0, PI 0 8 y 8 9 m, 0 m y 4 m = e y = A =, 4 base = ; altura: y = S = 4 m 4 = 4 e y = 8 =, y =, z = 7 p = /, q = /9 8 r = h = π π 9 a) = 4000 ;, um b) = 9,08; 9 um 40 Crece; (, 0) ( + ); decrece, (, ) (0, ) Min, y ; má, 0; PI, y 4 a) =, PI; =, máimo b) =, máimo; =, PI 4 a) 80 kg b) 00 kilos 4 Si m > 0, un máimo Si m < 0, un mínimo Si m 0, PI en = y = 4 a = / b) No 47 Máimo en = ln