MATEMÁTICAS º ESO Bloque I. Números y medidas. Tema : Potencias y raíces. Uso de la calculadora TEORÍA 1. POTENCIAS * Una potencia es una multiplicación de factores iguales. Se escribe a n e indica que el número a se multiplica por si mismo n veces. El número a se llama base y el número natural n se llama exponente. Si el exponente es, se lee al cuadrado; si es, al cubo; si es, a la cuarta; si es, a la quinta; etc. * Cuando la base a es un número negativo hay que encerrarlo entre paréntesis. Por ejemplo ( ) significa que el número se multiplica por si mismo cuatro veces y por tanto su valor es 16. En cambio en la potencia la base es y por tanto su valor es 16 al tener un menos delante. Observa que (nº negativo)par = positivo, en cambio, (nº negativo)impar = negativo * La base de la potencia puede ser cualquier número real. Por ejemplo $ % = & #, es decir, es 9 () = () # () = però = # = () = () # () # () = 1 i = # # = 1. POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO O CERO. LA NOTACIÓN CIENTÍFICA * Se define a 0 =1 para cualquier base a distinto de cero, por ejemplo: 7 0 = 1 * Se define las potencias de exponente negativo así: a n = 1 a n. Por ejemplo, = 1, es decir, = 1 8. a * Se verifica $ % # b& (n = $ b% # a & n. Por ejemplo $ % # & ( = $ % # & * Observa que una potencia de base es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique el 1 exponente si éste es positivo o anteponiendo tantos ceros (será un decimal) como indique el exponente si éste es negativo. Observa los ejemplos: =00, = 1 = 1 00 = 0,001 = 9
MATEMÁTICAS º ESO Bloque I. Números y medidas. Tema : Potencias y raíces. Uso de la calculadora TEORÍA * Escribir un número en notación científica es expresarlo de la forma a n siendo a un número entero o decimal mayor o igual que 1 y menor que y n un número entero. La notación científica se utiliza para expresar números muy grandes o muy pequeños. Observa los ejemplos donde pasamos un número a notación científica o viceversa: 0 =,0 ; 0,00090 = 9,0 # ;,1 =,1 ; 7 6 = 7000000;,1 # = 0,01 ERV: 1,, i. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS * Para multiplicar dos potencias de igual base, se suman los exponentes: a m a n = a m +n * Para dividir dos potencias de igual base, se restan los exponentes: a m : a n = a m n a m a n = a m n * La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores: (a b) n = a n b n * La potencia de un cociente es igual al cociente entre las potencias del dividendo y del divisor: ( a : b) n = a n : b n a % $ # b & n = a n b n * Para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes: ( a m ) n = a m n
MATEMÁTICAS º ESO Bloque I. Números y medidas. Tema : Potencias y raíces. Uso de la calculadora TEORÍA a) = ( ) = 6 = 6 6 6 6 =196 = # % 6& $ b) 6 ( = (6 : ) = = = 7 c) = + = 8 = 6 d) ) = +()) = ) = = e) ) ) = )+()) = )) = )8 = 1 8 = 1 6 f ) : = ) = = g) : ) = )()) = + = 8 = 6 h) ) : = )) = )8 = 1 8 = 1 6 i) ) : ) = ))()) = )+ = ) = 1 = 1 j) ( ) = = 6 = 6 k) ( ) ) = ()) = )6 = 1 = 1 6 6 l) ( ) ) ) = ())()) = 6 = 6 m) $ % ( $ % # 6& # & % n) $ # & 6 : $ % # & o) $ % ( $ % # & # & p) $ % ( $ % # & # & = $ % # & = ) = 6 ( % $ # & = : 6 % $ # & = $ % # & + = $ % # & +()) = 1 % $ # 0& = $ % # & = 1 % $ # 60& 7 = $ % # & = $ 1% # & ) = 1 % $ # & = $ % # & = 1 8 ) = 1 16 q) ( ( ( ) ) ) ( = ( ( (()) )+ = ( ( )6 = = 1+)6 = )1 = )1) = ) = 1 = 1 8 r) ( ( ) ) ( 6 ) ( = ( ) ( ( ( ) ) ( = = ( ) ( ( ) ( = + ( )+ ) ( = 6 ( )8 ) ( = = 6+ ( )8) = 8 ( )1 = 8 1 =. ERRORES HABITUALES * No es igual a n que a n. Por ejemplo, estaría mal decir que es igual a ya que = = y en cambio =1. * No es igual (a) n que a n. Por ejemplo, estaría mal decir que () es igual a ya que () = () # () = 9 y en cambio = # = 9. * No es igual (a + b) n que a n + b n. Por ejemplo, estaría mal decir que ( + ) es igual a + ya que ( + ) = = y en cambio + = + 9 =1. * No es igual a n que a n. Por ejemplo, estaría mal decir que es igual a ya que = 1 = 1 8 y en cambio = # # = 8. ERV, 6, 7, 8, 9 y
MATEMÁTICAS º ESO Bloque I. Números y medidas. Tema : Potencias y raíces. Uso de la calculadora TEORÍA. RAÍCES * La raíz de índice n del número a (radicando) es el número b tal que b n = a, es decir: * Cuando el índice es se llama raíz cuadrada, cuando el índice es se llama raíz cúbica. * Se llaman cuadrados perfectos a los cuadrados de los números enteros. Se llaman cubos perfectos a los cubos de los números enteros. * Observa que: Si el radicando es positivo y el índice es par entonces hay dos raíces. Si el radicando es negativo y el índice es par entonces no hay raíces. Cuando el índice es impar siempre hay una única raíz sea cual sea el radicando. 9 = 7 ya que 7 = 9 Pero 0 no es exacta, entonces calculamos la raiz entera : = < 0 # % < 0 < 6 % 0 & 6 = 6 > 0$ ERV 11, 1, 1, 1, 1 y 16 6. ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS RAÍCES * De forma similar a las potencias, las raíces tienen propiedades que nos permiten simplificar expresiones. Durante este curso estudiamos solamente dos: n 1) a b n n = a b ) n a n = a n b b
MATEMÁTICAS º ESO Bloque I. Números y medidas. Tema : Potencias y raíces. Uso de la calculadora TEORÍA 1 = 1 = 6 = 6 = = 8 = ERV: 17 7. JERARQUIA DE LAS OPERACIONES Y USO DEL PARÉNTESIS * La jerarquía de las operaciones y el uso del paréntesis dice que cuando se tienen distintas operaciones combinadas se ha de seguir el orden: a) Paréntesis. b) Potencias y raíces. c) Multiplicaciones y divisiones. d) Sumas y restas. e) Si las operaciones tienen el mismo nivel, se empieza por la izquierda. Exemples: 16 ( ) # 9 = = (1) 9# 7 = = (1) 6 = = +1 6 = = 6 = = 60 ERV 18
MATEMÁTICAS º ESO Bloque I. Números y medidas. Tema : Potencias y raíces. Uso de la calculadora TEORÍA 8. USO DE LA CALCULADORA * Mediante varios ejemplos estudiamos el uso de la calculadora marca CASIO más común. Nota: La tecla en y son equivalentes, pero se utiliza la segunda cuando operamos con fracciones. 1) = ) ( 7 + ) : ( ) = 7 o 7 ) ( 1) = 1 ) ( + ( 1) 1) = 1 1 1 ) 8 + = 1 8 1 6) + 1 = 7,81L 1 6 7) Simplifica (fracción propia) 9 6 9 8) Simplifica 6 9 (fracción impropia) 9 6 9) 1 1 = 1 6 6 11 ) + = 6 6 $ 6 11) % : = & # 1 1) = 1) + = 1 1) + ( ) = 11 1) = & # 81 16) $ = % 16 6
MATEMÁTICAS º ESO Bloque I. Números y medidas. Tema : Potencias y raíces. Uso de la calculadora TEORÍA 17) = 16 18) 1 = 0, 1 1 1 1 19), +,01 =, 1 01 1 1 1 0),,01 = 1, 7 1 01 1 8 1 1) 1,01 =,0 1 01 8 ) + 1 ( 7) = 7 1 ) 9 = 9 ) 8 = 8 ) 16 = 16 6) =,06L + ( ) 7) 1 = 1 1 8) (1 ) + ( ) = 1 1 ERV 19, 0 y 1 9. PROBLEMAS CON POTENCIAS Y RAÍCES ERV del al 8 7
MATEMÁTICAS º ESO Bloque I. Números y medidas. Tema : Potencias y raíces. Uso de la calculadora. Ejercicios resueltos en http://www.josejaime.com/videosdematematicas Potencias 1. (1º ESO) a) Calcula, 1 & # 0, 0,, $, 7, 0, ( ), % (el último con la calculadora o con wiris) b) Halla los cuadrados y los cubos perfectos menores de 00. c) Pasa a notación científica los números 7000000 y 0,00001 d) Pasa a notación decimal los números,7 y, ( ), 1,, e) Tenemos una finca cuadrada cuyo lado mide m. Cuál es el precio de venta si cada f) Calcula el volumen de un cubo de m de arista.. Calcula paso a paso: a) (1 7) b) ( ) c) ( ) : 7 d) 8 ( ) : 6 e) 1 [ ( )] : f) [ ( 7) ]. a) Escribe como fracción: a1) ; a) ; a) ( ) ; a) ( ) ; a) & # ; a6) $ % b) Escribe en forma de potencia siendo la base un número primo: 1 1 1 b1) b) b) 16 81. Efectúa las siguientes operaciones: 1 1 0 a) + 0 b) + + 0 6 ( 1) Propiedades de las potencias. (1º ESO) a) Expresa el resultado en forma de una única potencia. 7 6 a1) a) : a) a) b) Qué expresiones son ciertas y cuáles son falsas? b1) 7 = 7 b) ( ) = b) ( ) = a) ( ) c) 1 m vale 0? & # $ ; a7) $ ; a8) % ; a9) % & # 6 : a6) ( x ) x : x 1 ( ) d) b) ( + ) = + b) ( + ) = 6. Escribe el resultado en forma de una sola potencia aplicando las propiedades de las potencias: 9 a) b) c) d) ( ) 8 e) 7 f) g) 9 9 7 7. Sustituye cada uno de los recuadros por el signo = o en las siguientes expresiones: a) 7 1 b) ( ) c) ( ) d) ( + ) e) ( ) f) ( ) g) & # $ % h) ( ) 8. Escribe el resultado en forma de una sola potencia de base un número primo o fracción irreducible, aplicando las propiedades de las potencias: & # a) $ % 6 & # $ % & # b) $ % 0 & 6 # : $ % 1 c) d) 9. Escribe como una única potencia de base un número primo: 6 a) b) 16 :8 c) 1 8 d) : e) ( ) e) f) 7 & # ( ) ( $ f) % : 7 % & $ # (,) g) ( ) 8 : 8
MATEMÁTICAS º ESO Bloque I. Números y medidas. Tema : Potencias y raíces. Uso de la calculadora. Ejercicios resueltos en http://www.josejaime.com/videosdematematicas. Simplifica y calcula utilizando las propiedades de las potencias: ( ) a) Raíces. ( ) ( ) a a b) a a a a b c) ( ) ( ) a b b a b d) 81 7 8 9 e) 1 6 11. (1º ESO) a) Calcula mentalmente, 0 y b) Calcula la raíz cuadrada por defecto y por exceso de 90. Hállala con la calculadora o con wiris. c) Realiza las siguientes operaciones sin calculadora 7 0 : 81 + 1 9 + 16 : 16 ( ( ) ) ( ) ( ) d) Un terreno cuadrado tiene 6 m de área. Cuál es su perímetro? 1. (1º ESO) a) Halla sin calculadora 986 y comprueba el resultado b) Halla sin calculadora 697. Comprueba que radicando = raíz + resto. Halla 697 con dos decimales. c) Un tablero de madera de forma cuadrada tiene una superficie de 9,m. Calcula lo que mide cada lado redondeando a los centímetros. Y si la superficie fuera de 0,869m? 1. Calcula, si existe, la raíz cuadrada: (en algunos casos tendrás que utilizar el algoritmo del cálculo de la raíz cuadrada que estudiaste en cursos anteriores) a) 1 b) 0 c) d) 0 e) 8 f) 7 g) 180, 1. Calcula, si existe, la raíz cúbica. Cuando no sea un cubo perfecto debes hallar entre qué dos números enteros se encuentra la raíz cúbica. a) 1 b) 0 c) 8 d) 7 e) 00 f) 16 g) 0 1. (1º ESO) Calcula el valor de x en cada caso: x a) = 16 b) = x c) x = 8 d) x = 1 e) x = ± 7 f) 81 = x g) 0 = x h) x = ± 1 i) 01 x =,01 j) 0,0 x = k) 16. Calcula las raíces descomponiendo previamente los números del radicando: 1 a) 6 6 b) 16 c) 6 096 d) e) 6 6 Propiedades de las raíces. 17. Aplicando las propiedades de las raíces y de las potencias, calcula: 81 a) b) Jerarquía de las operaciones. c) 6 a a d) ( ) 7 7 a a e) = 6 f) 16 7 ( a ) 7 x 7 a a 18. Realiza las siguientes operaciones teniendo muy en cuenta la jerarquía y los paréntesis: a) b) ( ) c)( ) : 1 + d) (1 ) + ( ) : ( ) a 7 g) 00 9
MATEMÁTICAS º ESO Bloque I. Números y medidas. Tema : Potencias y raíces. Uso de la calculadora. Ejercicios resueltos en http://www.josejaime.com/videosdematematicas Uso de la calculadora. 19. Realiza con la calculadora las operaciones siguientes. Para poder corregir la actividad debes escribir las teclas que pulsas y el orden en que lo haces. Comprueba el resultado con wiris: + a) + + ( 1) b)( + ) c) e) 8 + 16 f) 1 1 + + + 8 6 1 1 g) 1 1 6 d) h) ( + ) 7 8 1 1 1 1 0. (1º ESO) Haz las operaciones con la calculadora y redondea el resultado a dos decimales + ( )( ) 1. Realiza con la calculadora las operaciones siguientes de números escritos en notación científica. Para poder corregir la actividad debes escribir las teclas que pulsas y el orden en que lo haces. 1 7 a) 1,,01 b), 7,01 c),01 Problemas con potencias o raíces.. (1º ESO) En una manzana de casas hay 6 casas, cada una tiene 6 pisos y cada piso 6 viviendas y en cada vivienda hay una media de 6 personas. Expresa en forma de potencia el número medio de personas que viven en la manzana y halla dicho número.. (1º ESO) Alba ve una noticia en la televisión y, cuando llega a clase, en cinco minutos se la cuenta a amigos, cada uno de estos se la cuenta cada minutos a otros, y así sucesivamente. Si el centro donde estudia tiene 70 alumnos, cuánto tiempo tardan en enterarse todos los alumnos del centro?. (1º ESO) Se desea vallar una finca que tiene forma cuadrangular y cuya área es de 776 valla cuesta a 1, cuánto cuesta vallarla? m. Si el metro de. (1º ESO) Una pared de un cuarto de baño es cuadrada y tiene en total 1 azulejos cuadrados. Si cada azulejo mide cm, cuánto mide de longitud la pared? 6. (1º ESO) Escribe en forma de potencia el número de bisabuelos que tiene cada persona, y calcula el resultado. 7. (1º ESO) Dejamos caer una pelota desde 1 m de altura. Cada bote sube de alto los / del anterior. Escribe en forma de potencia la altura que alcanzará al tercer bote, y halla el resultado. 8. (1º ESO) Un 1ibro de matemáticas mide de grosor 1, m y tiene 80 páginas. Calcula el grosor de cada hoja en metros y notación científica. 9. (1º ESO) Calcula en notación científica el número de segundos que tiene un año bisiesto. 0. (1º ESO) Un cine tiene igual número de filas que de columnas. Venden todas las entradas para una sesión, obteniendo 67. Si han vendido cada entrada a, cuántas filas tiene el cine? 1. (1º ESO) Queremos poner baldosas en el suelo de una habitación cuadrada, y en cada lado caben 1 baldosas. Si cada baldosa cuesta 1,, cuánto cuestan todas las baldosas que necesitamos?. (1º ESO) En qué cifras puede terminar un cuadrado perfecto?. (1º ESO) Halla el número cuya raíz cuadrada entera es 7 y da 1 de resto.
MATEMÁTICAS º ESO Bloque I. Números y medidas. Tema : Potencias y raíces. Uso de la calculadora. Ejercicios resueltos en http://www.josejaime.com/videosdematematicas. (1º ESO) Tenemos una habitación cuadrada de, m de lado y queremos alicatarla con baldosas de cm de lado. Cuántas baldosas tenemos que comprar?. (1º ESO) Para embalar calcetines, introducimos cada par en una caja pequeña de forma cúbica. A su vez, introducimos en cajas mayores, las cajas pequeñas, de forma que caben 6 cajas de calcetines en el fondo de una caja grande y 6 cajas en cada columna. Escribe en forma de potencia el número total de cajas de calcetines. Si cada caja de calcetines cuesta, cuál será el valor de la caja grande que contiene las cajas pequeñas con los pares de calcetines? 6. En una ciudad hay centros educativos. Cada centro educativo tiene aulas, y cada aula tiene alumnos. Expresa en forma de potencia de base el menor número entero posible el número total de alumnos que tiene dicha ciudad, y halla el número de alumnos. 7. El disco duro de un ordenador tiene 00 Gb de capacidad. Si 1 Gb = Mb, 1 Mb = Kb y 1 Kb = bytes, cuál es la capacidad del disco duro en bytes y notación científica?. Nota: Es habitual considerar, por ejemplo, que un 00 bytes es 1 Kb en lugar de 00:=0.9766 Kb, ya que se redondea ( = 00 ) de ahí que en el mercado, un disco duro de 00 Gb tiene 1.000.000.000.000 bytes en lugar del número calculado en el ejercicio. 8. Una parcela es cuadrada, y la medida de su área es 600 m. Halla el área de otra parcela cuyo lado sea el doble. 9. Se tiene un metro cúbico lleno de agua destilada. Entre cuántas personas podrán levantarlo si cada una puede con 1 kg? 11
MATEMÁTICAS º ESO Bloque I. Números y medidas. Tema : Potencias y raíces. Uso de la calculadora. Ejercicios resueltos en http://www.josejaime.com/videosdematematicas SOLUCIONES: 1. Ver vídeo.. Ver vídeo. a) 6; b) 1; c) ; d) ; e) ; f) 0. Ver vídeo.. Ver vídeo. a) 1/8; b) /8; c) 77/81; d) /. Ver vídeo. 6. Ver vídeo. 7. Ver vídeo. 8. Ver vídeo. 9. Ver vídeo.. Ver vídeo. a) 9 ; b) a 17 ; c) a/b 7 ; d) ; e) / 11. Ver vídeo. 1. Ver vídeo. a) 08; b) 6,0; c),0 m; 0,9 m 1. Ver vídeo. a) ± 1, b) 0; c) ± ; d) No existe; e) ; f) 1 aprox.; g),8 1. Ver vídeo. a) 1; b) 0; c) ; d) ; e) ; f) < 16 < ; g) < 0 < 1. Ver vídeo. a) ; b) 9; c) ; d) ; e) 9; f) ± 9 ; g) 0; h) 1; i) ; j) ; k) 16. Ver vídeo. a) ; b) 6; c) ; d) ; e) 1/; f) /; g) / 17. Ver vídeo. a) ; b) ; c) a ; d) a; e) a 18. Ver vídeo. a) 18; b) 6; c) 1; d) 1 19. Ver vídeo. a) ; b) 116; c) /; d) 1/; e) 1; f) 1/ ; g) 1/; h) 1/ 0. Ver vídeo. 0,1 1. Ver vídeo. a) 16, ; c) 1,00877 ; b) 6,0 11. Ver vídeo. 6 ; 196 personas. Ver vídeo. Tardarán 0 minutos.. Ver vídeo. 68. Ver vídeo. m 6. Ver vídeo. : 8 bisabuelos 7. Ver vídeo. 0,7 ; 0,187 m 8. Ver vídeo. 0,00006 m; 9. Ver vídeo. 0. Ver vídeo. 1 filas 1. Ver vídeo. 16 7,16 sg. Ver vídeo. 0, 1,,, 6, 9. Ver vídeo. 7. Ver vídeo. 169 baldosas. Ver vídeo. 80 6. Ver vídeo. 6 ; 16 alumnos -,6 m 1 7. Ver vídeo. 1,07718 bytes 8. Ver vídeo. 600 m 9. Ver vídeo. 8 personas 1