Lógica Proposicional

Lógica Proposicional

La lógica se define como la ciencia del razonamiento, o como el estudio de los métodos y principios usados para distinguir el razonamiento correcto del incorrecto. La lógica, está inserta en cualquier Situación de la vida cotidiana, en cualquier decisión que debemos tomar, es necesario que apliquemos lógica. Es importante que todo ser humano utilice el intelecto que posee para realizar distintas labores. Sin lógica, nada bueno podría lograrse. La lógica se ve en cosas tan simples como por ejemplo:

Si voy a cruzar la calle y veo que hay vehículos pasando, no puedo cruzar porque me podrían atropellar. Eso me lo indica la lógica. Si tengo frío, me abrigo. Eso también es gracias a la lógica.

Por su parte, la lógica simbólica es el estudio de la lógica mediante la matemática, es decir, que incorpora la exactitud y rigor matemáticos. Para entrar en este punto de la lógica simbólica, es necesario antes tener en claro lo que es el razonamiento. Así, se puede definir un razonamiento lógico, aplicable a cualquier tipo de disciplina, incluso con la vida cotidiana.

A continuación se define lo que es Razonamiento. Un razonamiento es cualquier grupo de oraciones declarativas, tal que una de ellas (conclusión) se afirma que se deriva de otras, llamadas premisas, las cuales se consideran evidencia de la verdad de la primera. Aquí les dejo una frase dicha por este gran científico llamado Albert Einstein: Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la electricidad y la energía atómica: la voluntad.

Teniendo mas en claro lo que es la lógica y el razonamiento, y la importancia que tienen para la realización de cosas tan elementales como cruzar la calle o abrigarme si hace frío y en la toma de decisiones importantes, entraremos en el terreno de la lógica simbólica, tal cual debe estudiarse como un contenido matemático.. Con ustedes Lógica Simbólica!!!!!!!!!!!!

Lógica. Es el estudio basado en las proposiciones. Para saber que tipo de estudio realiza la lógica, debemos comprender lo que es una proposición. Proposición: Es una expresión que tiene sentido en un lenguaje y cuya característica es la deserverdaderaofalsa,peronoambasalavez.

Ejemplo: 1.- 5*(7+3) = 5*7 + 5*3 Expresión en lenguaje matemático. Es verdadera. 2.- VAYA! No es una proposición. Observación: 1.- Las proposiciones se simbolizan por letras, tales como: p, q, r, s 2.- Como las proposiciones se caracterizan por ser verdaderas o falsas, para simbolizar esta situación, sí p es una proposición verdadera, anotaremos v(p) = 1 ; q es una proposición falsa, anotaremos v(q) = 0.

Tipos de Proposición. 1.- Simples: Las proposiciones simples, expresan solamente una idea. 2.- Compuestas: Son aquellas que se forman por proposiciones simples más conectivos lógicos. Conectivos lógicos. 1.- Conjunción: Si p, q son proposiciones simples, la conjunción de ellas corresponde a laexpresión pyq,loquesimbolizaremospor " p q" 2.- Disyunción: Si p, q son proposiciones simples, la disyunción de ellas corresponde a la expresión p o q, la que simbolizaremos por " p q" en el caso de ser una disyunción incluyente o " p q" en el caso de ser una disyunción excluyente.

Ejemplo: a) Genéticamente tengo los ojos cafés o verdes (Disyunción Excluyente). b) Iré a la Universidad hoy o mañana (Disyunción Incluyente). 3.-Negación: Si p es una proposición simple, la negación de ella corresponde a la expresión no p y la simbolizaremos por,, 4.-Implicancia: Si p, q son proposiciones simples, la implicancia de ellas corresponde a la expresión si p.. Entonces q, p implica q, q si p, p solo si q, lo que simbolizaremos por " p q" Observación: p p Np En la implicancia, p recibe el nombre de Antecedente y q recibe el nombre de Consecuente.

5.- Equivalencia: Si p, q son proposiciones simples, la equivalencia de ellas corresponde a laexpresión psiysólosiq loquesimbolizaremospor. " p q" Observación: Se llama fórmula proposicional (F.P) a aquella expresión que contiene más de un conectivo. p q Valor de Verdad de las proposiciones compuestas. p q p q p q _ p p q p q 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1

Ejemplo: Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. 1.- [ p q] ( p r) ( q r) Si v(p) = 0 v(q) = 1 v(r) = 0 Resolución. [ 1 0] ( 0 0) ( 0 0) 0 [ 0 0] 1 0 0 Por lo tanto la fórmula proposicional es falsa.

Tautologías, Contradicciones y Contingencias. Si se da a las proposiciones simples que figuran en una fórmula proposicional todos los posibles valores de verdad y la fórmula proposicional toma siempre el VALOR 1, entonces dicha fórmula corresponde a una Tautología. Si la fórmula proposicional toma siempre el VALOR 0 entonces se trata de una contradicción. Si en algunas oportunidades lafórmulaproposicionaltoma AVECESVALOR1OVALOR0 oalmenos UNODEELLOS, se trata de una Contingencia. Métodos de Demostración. Para demostrar que una fórmula proposicional es una Tautología, Contradicción o Contingencia, consideraremos 4 tipos de demostraciones: Tabla de Verdad, Método Indirecto, Método de deducción Natural y Simplificación de expresiones.

1.- Tabla de Verdad. La tabla de verdad consiste en dar todos los posibles valores a las proposiciones simples que intervienen en la Fórmula proposicional y para ellos hay que considerar que el número de alternativas depende del número de proposiciones simples, si n es el número de proposición simples el número de alternativas que tendrá en la tabla de verdad será. 2 n Ejemplo: Determine si la siguiente fórmula proposicional corresponde a una Tautología. ( p q) ( q p) p q 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 p q q p ( p q) ( q p)

2.- Método Indirecto. Consiste en suponer que una Tautología no admite el valor de verdad 0y si suponemos que si lo admite, debemos encontrar necesariamente una CONTRADICCIÓN. Observación: El método indirecto permite demostrar si una fórmula proposicional es una Tautología, pero no podemos determinar si se trata de una contradicción o una contingencia. Ejemplo: Demuestre utilizando Método Indirecto que la siguiente fórmula proposicional es una Tautología. ( ) ( ) ( ) v r v q v p = 1 = 1 = 1 (( ) ) ( ) p q r p q r 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 La Fórmula Proposicional es una 0 Tautología.

Observación: Para trabajar el Método Indirecto es conveniente hacerlo siempre teniendo la fórmula proposicional como signo FUERTE un SIGNO DE IMPLICACION, si no lo tiene, trate de simplificar la expresión ó llevarla a una expresión equivalente con implica. 3.- Método de Deducción Natural. Este método tiene la característica de ser perfectamente estructurado, sólo debe conocer las principales tautologías y además tener claro cual es la característica del valor de verdad de las P.C. Considerando esto último, agregaremos dos reglas que tienen relación con la CONJUNCIÓN. a.- Regla de Simplificación: Si también lo es. p es verdadero, entonces p es verdadero y q b.- Regla de Adjunción: Si p es verdadero y q es verdadero, entonces verdadero. q p q es

Observación: En método de deducción natural, lo primero que se debe poner es pedir demostrar la Fórmula proposicional, esto se llama petición. Una vez realizado este paso, se puede elegir la demostración directa o indirecta, y en seguida debe aplicar las principales Tautologías para llegar al término de su demostración. Ej: Demostrar (( ) ) ( ) p q r p q r (( p q ) r ) ( p q ) r 1.- Dem (Pet)(3. D.C) 2.- ( ( p q ) r ) ( p q ) (Sup) 3.- Dem r (Pet)(10, 11 D.I) 4.- r (3 Sup) 5.- ( p q ) r (2 Simp) 6.- p q (2 Simp) 7.- ( p q ) r r (4, 5 Adj) 8.- ( p q) (7 M. Toll) 9.- p q (8 Morgan s) 10.- p (9 Simp) 11.- P (6 Simp)

La Fórmula proposicional anterior es una Tautología. 4.- Simplificación de Expresiones. En el método de simplificación de expresiones no siempre puedo llegar a determinar que la Fórmula Proposicional es una Tautología, en muchas oportunidades puedo simplificar la expresión y para identificar si es Tautología, se debe ocupar cualquiera de los métodos anteriores. Para simplificar expresiones, se debe conocer las principales Tautologías. Principales Tautologías. 1 Ley de Identidad 2 Ley de Idempotencia 3 Ley de Idempotencia 4 Principio de tercer Excluido p q ( ) p q p ( ) p p q p p

5 Principio de Contradicción 6 Ley Conmutativa 7 Ley Conmutativa 8 Ley Conmutativa 9 Ley Asociativa 10 Ley Asociativa 11 Ley Distributiva 12 Ley Distributiva 13 Ley de Identidad 14 Ley de Identidad ( p p ) ( p q) ( q p) ( p q) ( q p) ( p q) ( q p) p ( q r) ( p q) r p ( q r) ( p q) r ( ) ( ) ( ) p q r p q p r ( ) ( ) ( ) p q r p q p r ( p 0) ( p ) 1 1 p

15 Ley de Identidad 16 Ley de Identidad 17 Ley de Doble Negación 18 Ley de Absorción 19 Ley de Absorción 20 Ley de De Morgan s 21 Ley de De Morgan s ( p ) ( p 1) 0 0 p ( ) p p p p q p p ( p q) p ( p q) ( p q) ( p q) ( p q)

Ej: Simplificar ( p q) ( p r) ( q r) ( p q ) ( p r ) ( q r ) ( q p ) ( p r ) ( q r ) ( q p ) ( p r ) ( q r ) ( q p ) ( p r ) ( q r ) ( q r ) ( q r ) 1 T.5 y T.12 De Morgan s T.12 T.13 Ley Identidad

Argumentos Sonunaseriedeexpresionesenlenguajenaturalyposee2partes: 1.- Premisas: Se caracteriza por un punto seguido. 2.- Conclusión: Se caracteriza por un punto a parte. Simbólicamente un argumento es una Fórmula Proposicional. [.1.2.3...] Ejemplo: prem prem prem etc c Si dejo este trabajo o dejo de pintar, entonces no realizaré mis sueños. He aceptado el trabajoyhedejadodepintar. No realizaré mis sueños.

Observación: Para formar la Fórmula Proposicional, en primer lugar deberá identificar las proposiciones simples que intervienen, para así con ellas formar las premisas y unirlas a la conclusión para su posterior demostración. Proposiciones Simples: P=Yoaceptoestetrabajo Q=Yodejodepintar R=Yorealizarémissueños Premisas: p q ( ) p q r 1.- 2.- Conclusión: C r

Fórmula Proposicional: (( ) ) ( ) p q r p q r 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 Por lo tanto, la fórmula proposicional es una Tautología, por lo tanto el argumento es válido.

Cuantificadores. Si tenemos la expresión x es verde no es exactamente lo mismo que tener las hojas son verdes o el pasto es verde. En las 2 últimas nos damos cuenta que son proposiciones con un valor de verdad, sin embargo la primera no tiene un valor de verdad establecido. Para saberlo, necesitamos un sujeto. x es verde, es una expresión llamada función proposicional y que la podemos simbolizar por V(x) = x es verde. Definición: Siaunafunciónproposicionalseleagregauncuantificadorentoncesestapasaaseruna proposición. Ejemplo: Todas las cosas son verdes Algunas cosas son verdes Cuant. + f.prop Proposición Cuant. + f.prop. Proposición

Existen 2 tipos de cuantificadores: 1.- Cuantificador Universal: Para todo 2.- Cuantificador Existencial: Existe Observación: Existe un único se simboliza ( ) ( ) ( ) ( ) xp x p x p x p x 1 2... n ( ) ( ) ( ) ( ) xp x p x p x p x 1 2... n! ( ) ( ) ( ) ( )! xp x p x1 p x2... p xn

Observación: Cuando escribamos de lenguaje natural a lenguaje simbólico usando cuantificadores, asociemos el PARA TODO ( ) con un IMPLICA y el EXISTE con un conectivo Y. ( ) Ejemplo: 1.- Los hombres son imperfectos. Identificación de funciones proposicionales. H(x)=xeshombre I(x)=xesimperfecto x H x ( ) I ( x) 2.- Algunos número son pares. N(x)=xesnúmero P(x)=xespar x N x ( ) P( x)

( xp ( x) ) x P ( x) Negación de expresiones cuantificadas. ( ) ( xp x ) x P ( x) Ejemplo: 1.- Los hombres son imperfectos. ( ( ) I ( x) ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) I ( x) ) x H x x H ( x) I ( x) x H x I x x H x Respuesta: Existen hombres que no son imperfectos.