Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 009 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos para las pruebas de acceso a la Universidad en Andalucía de la asignatura Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. Está clasi cados por convocatorias y llevan un código como el siguiente: 009-3-B-, que signi ca ejercicio de la opción B del modelo 3 de la convocatoria de 009. Ejercicio 1 (009-1-A-) (a) [1 5] Halle las funciones derivadas de las funciones de nidas por las siguientes expresiones: f (x) = x 3 3 ; g (x) = ln x x ; h (x) = x e3x : (b) [1 5] Determine el dominio y las asíntotas de la función m (x) = x + 3 x 4. Solución : Apartado (a). Las derivadas se calculan siguiendo las reglas usuales de derivación: h f 0 (x) = x 3 i 3 0 = 3 x 3 4x = 1x x 3 : ln x g 0 (x) = x 0 = 1 x x ln x 1 x = 1 ln x x : h 0 (x) = x e 3x 0 = 1 e 3x +x e 3x 3 = (1 + 3x) e 3x : f 0 (x) = 1x(x 3) g 0 (x) = 1 ln x x h 0 (x) = (1 + 3x) e 3x Apartado (b). El único punto prohibido para m es el número donde se anula el denominador, es decir, x = 4. Por tanto, el dominio de m es R f4g. Dado que m es una función * Profesor del I.E.S. Acci de Guadix (Granada) - http://www.ies-acci.com/antonioroldan/index.html 1
hiperbólica (por ser un cociente de polinomios de grado uno), podemos calcular sus asíntotas realizando la división: x + 3 x 4 x + 11 m (x) = x + 3 x 4 = + 11 x 4 : De la expresión obtenida deducimos que m posee una asíntota vertical en x = 4 y una asíntota horizontal en y =. Podemos con rmarlo con el cálculo de los siguientes límites: lm m (x) = lm + 11 = 1 x!4 x!4 x 4 ) A.V. x = 4: lm + 11 = x!1 x!1 x 4 ) A.H. y = : El dominio de la función m es R f4g. La función m posee a la recta x = 4 como asíntota vertical y a la recta y = como asíntota horizontal. >< 1 x; si x 0; Ejercicio (009-1-B-) (a) [1 5] Sea la función f (x) = Estudie >: 1 x + 1 ; si x > 0: su continuidad y su derivabilidad. (b) [1 5] Se consideran las funciones: g (x) = (x + 1) 3 ; h (x) = x 1 x. Halle sus funciones derivadas. Solución : Apartado (a). De entrada, la función f es continua y derivable en R f0g ya que en el intervalo abierto ] 1; 0[ coincide con una función polinómica y en el intervalo abierto ]0; +1[ coincide con una función hiperbólica (cuyo denominador no se anula en ]0; +1[, ya que sólo lo hace en x = continuidad en x = 0. f (0) = 1 0 = 1 (existe f (0) ) >< >: f (0 ) = lm 1). Sólo queda por estudiar qué ocurre en x = 0. Estudiamos primero su f (x) = lm (1 x) = 1 f (0 + 1 ) = lm f (x) = lm + + x + 1 = 1 9 >= >; ) lm f (x) = 1 (f posee límite en x = 0) f (0) = 1 = lm f (x) (los dos valores anteriores coinciden): Andalucía Antonio Roldán
Por cumplir estas tres condiciones, f es continua en x = 0, de lo que deducimos que f es continua en R. Estudiamos ahora su derivabilidad en x = 0. Su primera derivada es, para x < 0, f 0 (x) =, y para x > 0, 1 0 = x + 1 0 (x + 1) 1 1 (x + 1) = 1 (x + 1) : Por tanto, la primera derivada de f es, al menos, ; si x < 0; >< x 6= 0; f 0 (x) = 1 >: ; si x > 0: (x + 1) Estudiamos los límites laterales de la función derivada: f 0 0 = lm f 0 (x) = lm ( ) = ; f 0 0 + = lm + f 0 (x) = lm + 1 (x + 1) = 1 1 = 1: Como estos límites laterales no son iguales, deducimos que la función f no es derivable en x = 0. La función f es continua en R y derivable en R f0g. Apartado (b). Las derivadas se calculan siguiendo las reglas usuales de derivación: g 0 (x) = h (x + 1) 3i 0 = 3 (x + 1) = 6 (x + 1) : x 1 h 0 (x) = x 0 = 1 x (x 1) x ln ( x ) = x (1 (x 1) ln ) ( x ) = 1 (x 1) ln x : g 0 (x) = 6 (x + 1) ; h 0 (x) = 1 (x 1) ln x : Ejercicio 3 (009--A-, Septiembre) La función derivada de una función f viene dada por f 0 (x) = 3x 1x + 9. (a) [1 5] Obtenga los intervalos de monotonía de la función f y los valores de x en los que dicha función alcanza sus extremos locales. (b) [0 75] Determine los intervalos de concavidad y convexidad de la función f. (c) [0 75] Sabiendo que la grá ca de f pasa por el punto (; 5), calcule la ecuación de la recta tangente a la grá ca de f en dicho punto. Andalucía 3 Antonio Roldán
Solución : No debemos confundir la función f con su primera derivada f 0. El ejercicio nos indica f 0, pero no f. Veremos que no hace falta conocer f. Lo que sí está claro es que, dado que f 0 (x) = 3x 1x + 9 es una función continua en R (por ser una función polinómica), sabemos que f es una función derivable en R y, por tanto, también es continua en R. Apartado (a). Para calcular la monotonía de f, determinamos sus puntos críticos, es decir, los puntos que anulan a la primera derivada. f 0 (x) = 0, 3x 1x + 9 = 0, x 4x + 3 = 0,, x = 4 p 16 4 1 3 1 = 4 p 4 = 4, fx 1 = 1; x = 3g: Por tanto, f posee dos puntos críticos, x 1 = 1 y x = 3, que son los candidatos a extremos relativos. Hacemos la siguiente tabla para estudiar la monotonía de f. f 0 + max mn + f % 1 & 3 % f 0 (0) = 9 > 0; f 0 () = 3 < 0; f 0 (4) = 9 > 0: De la tabla anterior deducimos la siguiente solución. La función f es (estrictamente) creciente en ] 1; 1[ [ ]3; +1[ y es (estrictamente) decreciente en ]1; 3[. Además, posee un máximo relativo en x = 1 y un mínimo relativo en x = 3. Apartado (b). Para determinar los intervalos de concavidad y convexidad de la función f, utilizamos la segunda derivada de f, que es f 00 (x) = 6x 1, para cada x R, y estudiamos dónde se anula: f 00 (x) = 0, 6x 1 = 0, x = : El único punto candidato a punto de in exión es x =. La siguiente tabla nos indica la curvatura de f. f 00 P.I. + f 00 (0) = 1 < 0; f 00 (3) = 6 > 0: f \ [ La función f es cóncava en ] 1; [ y es convexa en ]; +1[. Apartado (c). Decir que la función f pasa por el punto (; 5) es lo mismo que decir que f () = 5. Sabiendo que f 0 () = 3, ya podemos calcular la ecuación de la recta tangente a la grá ca de la función f en el punto x = : y f () = f 0 () (x ), y 5 = 3 (x ), y = 3x + 6 + 5, y = 3x + 11: Andalucía 4 Antonio Roldán
La ecuación de la recta tangente a la grá ca de f en el punto x = es y = 3x + 11. Ejercicio 4 (009--B-, Septiembre) Sea la función f (x) = ax 3 + bx + x. (a) [1 5] Determine el valor de los parámetros a y b sabiendo que la función f tiene un máximo en x = 1 y que f (1) =. (b) [1 5] Para a = b = 1, halle la ecuación de la recta tangente a la grá ca de f en el punto de abscisa x = 0. Solución : Apartado (a). Como la función f es una función polinómica, sabemos que es derivable en su dominio (R). De hecho, su primera derivada es f 0 (x) = 3ax + bx + 1 para cada x R. Como f posee un máximo en x = 1, su primera derivada en este punto debe anularse. Tenemos entonces dos ecuaciones con dos incógnitas: ( ( ( ( f (1) = ; a + b + 1 = ; a + b = 1; a + b = 1; f 0,,, (1) = 0 3a + b + 1 = 0 3a + b = 1 a = 3: De aquí se deduce inmediatamente que los valores de a y b deben ser: a = 3 y b = 4: Apartado (b). Si a = b = 1, la función f toma el valor f (x) = x 3 + x + x, para cada x R, y su primera derivada es f 0 (x) = 3x + x + 1, para cada x R. De esta forma, f (0) = 0 y f 0 (0) = 1. Así, la ecuación de la recta tangente a la grá ca de la función f en el punto x = 0: y f (0) = f 0 (0) (x 0), y 0 = 1 x, y = x: y = x. La ecuación de la recta tangente a la grá ca de f en el punto x = 0 es < x + x; si x < 0; Ejercicio 5 (009-3-A-, Junio) Sea la función f (x) = : x ; si x 0: x + 1 (a) [] Analice la continuidad y la derivabilidad de la función f en su dominio. Andalucía 5 Antonio Roldán
(b) [0 5] Determine la asíntota horizontal, si la tiene. (c) [0 5] Determine la asíntota vertical, si la tiene. Solución : Apartado (a). En el intervalo abierto R = ] 1; 0[, la función f está de nida de forma polinómica (un trozo de parábola), por lo que es continua y derivable en este intervalo. De la misma forma, En el intervalo abierto R + = ]0; +1[, la función f está de nida de forma racional (un trozo de hipérbola), de manera que el denominador no se anula en todo este intervalo (sólo lo hace en x = 1). Por tanto, en este otro intervalo, f también es continua y derivable. Hemos deducido, pues, que f es continua y derivable en Rf0g, y queda por estudiar qué ocurre en x = 0. f (0) = 0 0 + 1 = 0; >< >: f (0 ) = lm f (x) = lm x + x = 0 f (0 + x ) = lm f (x) = lm + + x + 1 = 0 0 + 1 = 0 f (0) = 0 = lm f (x) : 9 >= >; ) lm f (x) = 0; De las tres propiedades anteriores deducimos que f es continua en x = 0 y, por tanto, es continua en R. Estudiamos a continuación su derivabilidad en x = 0. En puntos distintos de cero su primera derivada se obtiene derivando cada trozo: >< x + 1; si x < 0; x 6= 0; f 0 (x) = 1 >: (x + 1) si x > 0: Estudiamos si existen los límites laterales de la función primera derivada en x = 0: f 0 0 = lm f 0 (x) = lm (x + 1) = 0 + 1 = 1; f 0 0 + = lm + f 0 (x) = lm + 1 (x + 1) = 1 (0 + 1) = 1: Como f es continua en R, derivable alrededor de x = 0 y en este punto existen los límites laterales de la función derivada y son iguales, concluimos que f es derivable en x = 0 y su derivada en este punto coincide con los límites laterales de la derivada en dicho punto. La función f es continua y derivable en R. Apartado (b). A la izquierda (en 1), f no posee ninguna asíntota horizontal, pues coincide con una función parabólica (es todo caso, se dice que posee una rama parabólica). Se comprueba de una manera sencilla que: lm f (x) = lm x! 1 x! 1 x + x = lm ( x) + ( x) = lm x!+1 x!+1 x x = +1: Andalucía 6 Antonio Roldán
Sin embargo, a la derecha (en +1), f coincide con una función hiperbólica, que posee una asíntota horizontal. Es sencillo calcular: lm f (x) = x!+1 lm x!+1 x x + 1 = 1: Por consiguiente, la recta y = 1 es asíntota horizontal de f (a la derecha). La recta y = 1 es asíntota horizontal de la función f (a la derecha). Apartado (c). La función f no posee ninguna asíntota vertical pues es continua en todo R. Dibujamos la función f para comprobar algunos de los datos del ejercicio anterior. y 1 1 1 3 4 1 x Ejercicio 6 (009-3-B-, Junio) Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de una ciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la función: C (t) = 0 0 t + 4t + 5; 0 t 5 (t = años transcurridos desde el año 000). (a) [1] En qué año se alcanzará un máximo en el nivel de contaminación? (b) [1] En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero? (c) [1] Calcule la pendiente de la recta tangente a la grá ca de la función C(t) en t =. Interprete el resultado anterior relacionándolo con el crecimiento o decrecimiento. Solución : Como la función C es claramente un trozo de parábola cóncava, no nos cuesta ningún trabajo dibujarla. Su vértice está situado en: t v = b a = 4 0 0 4 = 10: Andalucía 7 Antonio Roldán
Con tres puntos de una tabla de valores (los extremos del intervalo de de nición y el vértice de la parábola) podemos dibujar la función C: t C (t) 0 5 10 45 5 0 y 40 30 0 10 0 0 5 10 15 0 5 x Apartado (a). El máximo de la función C está en t = 10, pues es su vértice. Por tanto, como partimos del año 000, el año de máxima contaminación será el año 010. Apartado (b). La función anterior únicamente vale cero (corta al eje de abscisas) cuando t = 5, por lo que deducimos que: el año de contaminación cero será el año 05. Apartado (c). La pendiente de la recta tangente a la grá ca de la función C = C(t) en t = es la derivada C 0 (). Como C 0 (t) = 0 0 4t + 4, resulta que C 0 () = 3 0 + 4 = 0 0 > 0. Por consiguiente, la pendiente de la recta tangente a la grá ca de la función C = C(t) en t = es C 0 () = 0 0. Que esta pendiente sea positiva signi ca que la función C = C(t) es estrictamente creciente en t =, es decir, el nivel de contaminación crece en 00. Ejercicio 7 (009-4-A-) Un almacenista de frutas ha estimado que el bene cio que le produce cada kilogramo (kg ) de fresas depende del precio de venta de acuerdo con la función B (x) = x + 4x 3; siendo B (x) el bene cio por kg y x el precio de cada kg, ambos expresados en euros. (a) [1 5] Entre qué precios se producen bene cios para el almacenista? Andalucía Antonio Roldán
(b) [1 5] Qué precio maximiza los bene cios? (c) [0 5] Si tiene en el almacén 10000 kg de fresas, cuál será el bene cio máximo que podrá obtener? Solución : Apartado (a). Dado que se trata de una función parabólica de vértice x v = b=(a) = 4=( ) =, podemos representarla grá camente de manera muy sencilla haciendo una tabla de valores. Obsérvese que escribimos x 0 pues no tiene sentido que se venda a un precio negativo. x B (x) y 0 3 1 0 1 3 0 4 3 0 4 4 6 Observamos que la función toma valores negativos y positivos. Habrá bene cios para el almacenista si la función es positiva, pues el bene cio por kg es positivo. Estudiamos cuándo la función B (t) se anula (aunque la tabla de valores ya nos indica estos puntos). x B (x) = 0, x + 4x 3 = 0, x = 4 p 16 4 ( 1) ( 3) Por consiguiente,, fx 1 = 1; x = 3g : euros. el almacenista consigue bene cios si vende cada kg de fresas entre 1 y 3 Apartado (b). El vértice de la parábola es x =, y se trata de un máximo ya que la parábola es cóncava. fresas. El precio que maximiza los bene cios es de euros por kilogramo de Apartado (c). Si tiene 10000 kg de fresas y cada kg se vende a euros, evidentemente: el máximo bene cio posible es de 0000 euros. Andalucía 9 Antonio Roldán
>< 3 x ; si x 1; Ejercicio (009-4-B-) Sea la función f (x) = >: x 6x + ; si x > 1: (a) [] Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f. (b) [1] Calcule la ecuación de la recta tangente a la grá ca de f en el punto de abscisa x = 3. Solución : Apartado (a). De entrada, la función f es continua y derivable en R f1g ya que en el intervalo abierto ] 1; 1[ coincide con una función exponencial y en el intervalo abierto ]1; +1[ coincide con una función parabólica. Sólo queda por estudiar qué ocurre en x = 1. Estudiamos primero su continuidad en x = 1. f (1) = 3 1 = 3 (existe f (1) ) < : f (1 ) = lm x!1 3x = 3 f (1 + ) = lm x!1 + x 6x + = 3 9 = ; ) lm x!1 f (1) = 3 = lm x!3 f (x) (los dos valores anteriores coinciden): f (x) = 3 (f posee límite en x = 1) Por cumplir estas tres condiciones, f es continua en x = 1, de lo que deducimos que f es continua en R. Estudiamos ahora su derivabilidad en x = 1. Su primera derivada es, para x < 1, f 0 (x) = 3 x ln 3, y para x > 0, f 0 (x) = x 6. Por tanto, la primera derivada de f es, al menos, >< 3 x ln 3; si x < 1; x 6= 1; f 0 (x) = >: x 6; si x > 1: Estudiamos los límites laterales de la función derivada: f 0 1 = lm f 0 (x) = lm x!1 x!1 (3x ln 3) = 3 ln 3; f 0 1 + = lm f 0 (x) = lm (x 6) = 4: x!1 + x!1 + Como estos límites laterales no son iguales, deducimos que la función f no es derivable en x = 1. La función f es continua en R y derivable en R f1g. Apartado (b). Dado que f (3) = 9 1 + = 1 y f 0 (3) = 6 6 = 0, sólo tenemos que sustituir en la fórmula de la ecuación de la recta tangente a f en a = 3: y f (a) = f 0 (a) (x a), y ( 1) = 0 (x 3), y = 1: Andalucía 10 Antonio Roldán
La ecuación de la recta tangente a la grá ca de la función f en el punto x = 3 es y = 1. Ejercicio 9 (009-5-A-) Sea la función f (x) = x 3 1. (a) [1] Calcule los puntos de corte de la grá ca con los ejes, su monotonía y extremos relativos, si los tuviese. (b) [1] Determine su curvatura y su punto de in exión. (c) [1] Halle los puntos de la grá ca en los que la recta tangente tiene pendiente 3. Solución : Apartado (a). Los puntos de corte con los ejes son: ( OX! f (x) = 0, x 3 = 1, x = 1; (1; 0) : OY! x = 0 ) f (0) = 0 1 = 1; (0; 1) : Para estudiar su monotonía, observamos que su primera derivada es f 0 (x) = 3x 0, para cada x R, lo que demuestra que la función f es (estrictamente) creciente en R (su primera derivada sólo se anula en un único punto y en los demás es estrictamente positiva). Por tanto, no posee ningún extremo relativo. La función f corta al eje OX en el punto (1; 0), y al eje OY en el punto (0; 1). Se trata de una función (estrictamente) creciente en R y, por tanto, no posee ningún extremo relativo. Apartado (b). Dado que f 00 (x) = 6x para cada x R, la segunda derivada de f sólo se anula en x = 0. La siguiente tabla pone de mani esto la curvatura de f y su punto de in exión. f 00 P.I. + f \ 0 [ Por tanto, la curvatura de f es la siguiente. Curvatura < : f es cóncava en ] 1; 0[ ; f es convexa en ]0; +1[ : Punto de in exión en (0; 1). Andalucía 11 Antonio Roldán
Apartado (c). Dado que f 0 (a) es la pendiente de la recta tangente en el punto x = a (si f es derivable en x = a), tenemos que resolver la ecuación: f 0 (x) = 3, 3x = 3, x = 1, x = 1: Por tanto, f posee dos puntos en los que la pendiente de la recta tangente sea 3. Dado que f ( 1) = 1 1 = y f (1) = 1 1 = 0, deducimos que: los puntos de la grá ca de f en los que la recta tangente tiene pendiente 3 son ( 1; ) y (1; 0). >< x + 1; si x < 1; Ejercicio 10 (009-5-B-) Sea la función real de variable real f (x) = >: x 1; si x 1: (a) [1] Represente grá camente la función. (b) [1] Estudie la continuidad de la función. (c) [1] Estudie la derivabilidad de la función. Solución : Apartado (a). Completamos una tabla de valores para representar la función f. Observamos que tiene un primer trozo de línea recta decreciente y un segundo trozo de línea recta creiente, y que f (1 ) = 0 = f (1 + ). x f (x) y 1 0 1 1 0 1 3 0 4 x 3 1 Apartado (b). Es sencillo demostrar que f (x) = jx 1j, lo que nos dice que f es continua en R (composición de funciones continuas). No obstante, realizamos todos los cálculos necesarios como si no nos diésemos cuenta de lo anterior. De entrada, la función f es continua y derivable en R f1g ya que en el intervalo abierto ] 1; 1[ coincide con una función polinómica y en el intervalo abierto ]1; +1[ coincide con otra Andalucía 1 Antonio Roldán
función polinómica. Sólo queda por estudiar qué ocurre en x = 1. f (1) = 1 1 = 0 (existe f (1) ) < : f (1 ) = lm x!1 ( x + 1) = 0 f (1 + ) = lm (x x!1 + 1) = 0 9 = ; ) lm x!1 f (x) = 0 (f posee límite en x = 1) f (1) = 0 = lm x!1 f (x) (los dos valores anteriores coinciden): Por cumplir estas tres condiciones, f es continua en x = 1, de lo que deducimos que f es continua en R. La función f es continua en R. Apartado (c). Estudiamos ahora su derivabilidad en x = 1. Su primera derivada es, para x < 1, f 0 (x) = 1, y para x > 0, f 0 (x) = 1. Por tanto, la primera derivada de f es, al menos, >< 1; si x < 1; x 6= 1; f 0 (x) = >: 1; si x > 1: Claramente, los límites laterales de la función derivada son distintos, pues: f 0 1 = lm x!1 ( 1) = 1; f 0 1 + = lm x!1 + 1 = 1: Como estos límites laterales no son iguales, deducimos que la función f no es derivable en x = 1. La función f es derivable en R f1g. Ejercicio 11 (009-6-A-) Sea la función f (x) = x 1 x 1. (a) [1] Halle la ecuación de la recta tangente a la grá ca de f en el punto (0; 1). (b) [1] Estudie la monotonía de f. (c) [1] Halle las asíntotas, los puntos de corte con los ejes y represente grá camente la función. Solución : Apartado (a). En primer lugar, observamos que dom f = R f1=g, pues el denominador de f se anula únicamente en el punto x = 1=. Además, f (0) = 1, lo que está acorde con el hecho de que el punto elegido es (0; 1). Calculamos su primera derivada: x R f1=g ; f 0 (x) = 1 (x 1) (x 1) x 1 x + (x 1) = (x 1) = 1 (x 1) : Andalucía 13 Antonio Roldán
Dado que f 0 (0) = 1=( 1) = 1, sólo tenemos que sustituir en la fórmula de la ecuación de la recta tangente a f en a = 0: y f (a) = f 0 (a) (x a), y 1 = 1 (x 0), y = x + 1: La ecuación de la recta tangente a la grá ca de f en x = 0 es y = x + 1. Apartado (b). Dado que la primera derivada de f es siempre (estrictamente) positiva (en todo su dominio), deducimos que f es una función (estrictamente) creciente. La función f es (estrictamente) creciente. Apartado (c). Dado que f es una función hiperbólica (por ser un cociente de polinomios de grado uno), podemos calcular sus asíntotas realizando la división: x 1 x 1 x + 1= 1= 1= f (x) = x 1 x 1 = 1 1= x 1 : De la expresión obtenida deducimos que f posee una asíntota vertical en x = 1= y una asíntota horizontal en y = 1=. Podemos con rmarlo con el cálculo de los siguientes límites: 1 1= lm f (x) = lm = 1 ) A.V. x = 1 x!1= x!1= x 1 : 1 lm f (x) = lm 1= = 1 ) A.H. y = 1 x!1 x!1 x 1 : Los puntos de corte con los ejes son: ( OX! f (x) = 0, x 1 = 0, x = 1; (1; 0) : OY! x = 0 ) f (0) = 1=( 1) = 1; (0; 1) : Dibujamos la función f sabiendo que es una hipérbola estrictamente creciente cuyas asíntotas son conocidas. y La función f posee a la recta x = 1= como asíntota vertical y a la recta y = 1= como asíntota horizontal. Además, corta al eje OX en el punto (1; 0) y al eje OY en el punto (0; 1). 1 1 x Andalucía 14 Antonio Roldán
Ejercicio 1 (009-6-B-) Sea la función f : R! R de nida mediante >< e x ; si x 0; f (x) = >: x 3 x + 1; si x > 0: (a) [1] Es continua en x = 0? Es continua en su dominio? (b) [1] Es derivable en x = 0? Es derivable en su dominio? (c) [1] Halle la ecuación de la recta tangente a la grá ca de f en el punto de abscisa x = 1. Solución : Apartado (a). De entrada, la función f es continua y derivable en R f0g ya que en el intervalo abierto ] 1; 0[ coincide con una función exponencial y en el intervalo abierto ]0; +1[ coincide con una función polinómica. Sólo queda por estudiar qué ocurre en x = 0. f (0) = e 0 = 1 (existe f (0) ) < : f (0 ) = lm e x = e 0 = 1 f (0 + ) = lm + x3 x + 1 = 1 9 = ; ) lm f (x) = 1 (f posee límite en x = 0) f (0) = 1 = lm f (x) (los dos valores anteriores coinciden): Por cumplir estas tres condiciones, f es continua en x = 0, de lo que deducimos que f es continua en R. La función f es continua en R. Apartado (b). Estudiamos ahora su derivabilidad en x = 0. Su primera derivada es, para x < 0, f 0 (x) = e x, y para x > 0, f 0 (x) = x 1. Por tanto, la primera derivada de f es, al menos, >< e x ; si x < 0; x 6= 0; f 0 (x) = >: x 1; si x > 0: Calculamos los límites laterales de la función derivada en x = 0: f 0 0 = lm e x = e 0 = 1; f 0 0 + = lm (x 1) = 1: + Como estos límites laterales son iguales, deducimos que la función f es derivable en x = 0 y, con ello, en todo R. La función f es derivable en R. Andalucía 15 Antonio Roldán
Apartado (c). Dado que f (1) = 1 1 + 1 = 1 y f 0 (1) = 1 = 1, sólo tenemos que sustituir en la fórmula de la ecuación de la recta tangente a f en a = 1: y f (a) = f 0 (a) (x a), y 1 = 1 (x 1), y = x: La ecuación de la recta tangente a la grá ca de f en x = 1 es y = x. Andalucía 16 Antonio Roldán