Matemáticas Sesión # 1. Fundamentos del Álgebra.
Contextualización Esta sesión está diseñada para ofrecer una breve explicación de los principios aritméticos y algebraicos que se requieren para el manejo correcto de las matemáticas, tal es el caso de los números reales, la prioridad de los operadores, el uso de paréntesis, redondeo de decimales. También recordaremos el cálculo de razones, proporciones y porcentajes. Estos temas son de gran importancia para el uso correcto de los temas que vienen después, lo más seguro es que la exposición rápida de estos conceptos te resulte de mucho beneficio. Al final aprenderás a manejar estos números y propiedades de una manera más sencilla y eficaz.
Introducción al tema. Esta sesión está diseñada para ofrecer un repaso breve sobre algunos términos y métodos para manipulación de las matemáticas. Los números reales son el conjunto universal de los números, pero Cuáles son los números reales y cuáles son sus propiedades? Es importante entender que la aplicación correcta de la prioridad de operadores y el manejo correcto de los paréntesis nos dan la solución correcta al resolver una expresión matemática. Las razones y proporciones son de gran uso en diversas disciplinas; por ejemplo en la ingeniería se emplean las escalas para realizar maquetas, en contabilidad se realizan muchos movimientos financieros y en la vida diaria para efectuar operaciones aritméticas.
Prioridad de operadores y uso de paréntesis En matemáticas las operaciones aritméticas tales como la suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación tiene un orden o prioridad de uso para solucionar de manera correcta cuando se agrupan varias operaciones, es importante definir la prioridad que tomaran los operadores en una expresión para la solución correcta. Por orden de aplicación en una expresión debemos de resolver: 1.- Potenciación o radicación Por ejemplo si tenemos: 32 + 2x5 6/2 Primeramente debemos de resolver 32 = 9, luego la multiplicación de 2x5 = 10, ahora la división de 6/2 = 3 y por ultimo realizaremos las sumas y restas que se tienen en la expresión: 9 + 10 3 = 19 3 = 16, El 16 es la solución correcta a nuestra expresión aritmética. 2.- multiplicación y divisiones 3.- sumas y restas
Ejemplos: resuelve las siguientes expresiones aritméticas En algunas expresiones aritméticas se requiere el uso de los paréntesis para indicar que algunas operaciones se deben efectuar antes que otras, o que deben considerarse como un sólo número. Los paréntesis como [ ], { }, se utilizan para situaciones en las que intervienen varias operaciones secuenciadas. Para sumar (5 + 7) 6, se debe efectuar primero (5 + 7) y después restar 6 al resultado. (5+7) 6 = 12 6 = 4 Para resolver 4 + (6 + 52) Primero se resuelve la potencia 52= 5x5 = 25 Después se realiza la suma que está entre paréntesis: (6+25 = 31) Finalmente se resuelve la operación completa: 4+31 = 35
Características importantes a considerar en el uso de los paréntesis con los signos: Un paréntesis precedido del signo + puede eliminarse sin afectar el signo de los sumandos que contiene. Si el signo que precede al paréntesis es negativo esto afecta al resultado de la operación contenida en dicho paréntesis. Ejemplos: (7 2) + 3 = 5 + 3 = 8 No es lo mismo que: 7 (2 + 3) = 7 5 = 2-5 - (23 32) En este ejemplo, primero se resuelven las potencias que se ubican dentro del paréntesis: 2 x 2 x 2 = 8 y 3 x 3 = 9 De esta manera se resuelve la resta del paréntesis: 8 9 = - 1 Posteriormente se realiza la operación completa: -5 +1 = - 4
Redondeo de decimales Primeramente debemos saber si estamos redondeando a décimas, centésimas, etc. O a tantas cifras decimales como se requiera y así sabrás cuánto quedará del número cuando hayas terminado. Ejemplos Porque... 3.1416 redondeado a las centésimas es 3.14... la cifra siguiente (1) es menor que 5 2.2635 redondeado a las décimas es 2.3... la cifra siguiente (6) es 5 o más 3.2715 redondeado a 3 cifras decimales 3.271... la cifra siguiente (5) es menor que 5
Cálculo de razones, proporciones y porcentajes. Razón. Considere los números a y b. la razón en ellos es el cociente que se obtiene al dividirlos: Ejemplo: Proporción. Es la igualdad que se formula entre dos razones: y se lee: a es a b COMO c es a d. Esta misma proporción se puede escribir como ad = bc
Proporcionalidad directa (regla de tres directa): En una proporción en la que solo se nos dan el valor de 3 datos, podemos calcular el cuarto de una manera sencilla. Ejemplo: Un camión recorre 220 kilómetros con 30 litros de gasolina. Cuántos kilómetros podría recorrer con 100 litros? La proporción que se tiene es: aquí la x representa la cantidad a buscar por lo tanto se tiene que despejar de nuestra proporción:
Porcentaje. Como "por ciento" quiere decir "por cada 100" se debe de pensar siempre que "hay que dividir por 100" Así que 25% quiere decir 25/100 Y 100% es 100/100, o exactamente 1 (100% de cualquier número es el mismo número) Y 500% es 500/100, o exactamente 5 (500% de cualquier número es el quíntuple del número)
Números reales. Considere todos los números (racionales e irracionales) que pueden medir longitudes, junto con sus negativos y el cero. A estos números se les llama números reales. Los números reales pueden verse como etiquetas para puntos a lo largo de una línea horizontal. Allí ellos miden la distancia, a la derecha o izquierda (la distancia dirigida), a un punto fijo llamado origen y marcado con 0. Extraído de: http://contenidosdigitales.ulp.edu.ar/exe/matematica1/recta_numerica.jpg solo para fines educativos.
Algunas propiedades de las operaciones aritméticas con los números reales. Dados dos números reales x y y, podemos sumarlos y multiplicarlos para obtener dos nuevos números reales x+y y x*y (también escrito sencillamente como xy). La suma y la multiplicación tienen las siguientes propiedades conocidas: 1. Leyes conmutativas. x+y = y + x xy = yx
2. Leyes asociativas. x + (y + z) = (x + y) + z x(yz) = (xy)z 3. Leyes distributivas. x(y + z) = xy + xz 4. Elementos identidad. Existen dos números distintos 0 y 1 que satisface x + 0 = x y x*1 = x, para todo número real x. 5. Inversos. Cada número tiene un inverso aditivo (llamado también opuesto), -x, que satisface x+(-x) = 0. También cada número x, excepto el 0, tiene un inverso multiplicativo (también conocido como reciproco), x-1, que satisface x*x-1=1
Conclusión En los números reales es importante entender que la prioridad de operadores se debe de aplicar de manera adecuada para la solución correcta de nuestras expresiones aritméticas, el redondear números nos permite que nuestros procesos sean más simples de solucionar ya que reducimos el número de decimales que se puedan tener en un número. Las razones, proporciones y porcentajes son otro tipo de cálculos que podemos realizar con los números reales y el definir estos números nos ayuda a identificar claramente el manejo correcto de ellos a través de sus propiedades, es importante tener claro estos conceptos que son el principio del fundamento algebraico. En la siguiente sesión aplicaremos más a detalle estos principios algebraicos para el manejo de los polinomios y expresiones racionales. Extraído de: http://files.matematicasjuanhwhite.webnode.es/system_preview_detail_200000013-
Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet. Clasificación de los números reales: Math2me. Clasificación de los números reales. Recuperado el día: 7 de abril del 2014: https://www.youtube.com/watch?v=kxftic7dffa Jerarquía de las operaciones (Prioridad de operadores). Math2me. Eliminación de paréntesis. Recuperado el día 7 de abril del 2014: https://www.youtube.com/watch?v=izbhmmg-h8i Explicación de cómo encontrar porcentajes utilizando fracciones. Math2me. Porcentajes con fracciones. Recuperado el día 7 de abril del 2014: https://www.youtube.com/watch?v=jrhb3fxd0u8 Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.
Bibliografía Purcell, E., Varberg, D., Rigdon, S. (2003). Calculo diferencial e integral. (8ta edicion). Ed. Pearson. ISBN: 013081137-8 Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para administración y economía. (10ª ed.). México: Editorial Cengage Learning. ISBN: 970-686-278-1