Uiversidad Nacioal de Sa Jua Facultad de Igeiería Departameto de Electróica y Automática RESPUESTA EN FRECUENCIA DE SISTEMAS LINEALES, INVARIANTES EN EL TIEMPO. Cátedra: Cotrol I. Carreras: Igeiería Electróica y Bioigeiería. Autores: Ig. Mario Alberto Perez. Ig. Aalía Perez Hidalgo. Dra. Bioig. Elisa Perez Bereguer. Ate. Alumo Bruo Adrover.
RESPUESTA FRECUENCIAL - Itroducció. Ya se ha ivestigado la respuesta de compoetes y sistemas a varios tipos de etradas e el domiio temporal. Se vio que la fució respuesta c t cotiee dos térmios, u térmio trasitorio la solució complemetaria y u térmio de estado estacioario o costate la solució particular, obteidos ambos por la solució de la ecuació del sistema, cuado es aplicada ua excitació e la etrada. El presete capítulo se dedicará al estudio de la respuesta e estado estable de compoetes y sistemas cuado sea excitados por ua señal seoidal de amplitud fia pero co ua frecuecia que varía e u cierto rago. Este cocepto se ilustra e la figura, e la cual u sistema lieal es excitado por ua señal se t b se t φ. a, la respuesta es [ ] Figura. La forma de las odas de etrada y salida se ilustra e la figura. Figura. Este resultado obteido cocuerda totalmete co lo ya visto como solució particular de u sistema cuado era excitado por ua señal armóica de la forma r t H set, dode H es la amplitud costate y la frecuecia agular de etrada, estado el sistema e estado estacioario. Para el caso de u sistema de primer orde la solució particular era: Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol -
K H c t se t φ arctg T φ Como se ve, tato la amplitud de la respuesta c t como la fase so ambas fucioes de la frecuecia de la etrada, lo que corrobora lo dicho ateriormete. El siguiete gráfico ilustra lo que se acaba de mecioar: Figura 3. Es comú e el aálisis frecuecial que el iterés se cetre e el estudio de las siguietes relacioes: a La relació de amplitud b a la desiga como M., que se la deomia relació de magitud y se b El águlo de fase φ. U águlo de fase egativo recibe el ombre de retardo de fase, y u águlo de fase positiva es deomiado adelato de fase. Se tratará ahora la determiació de iformació sobre la respuesta a la frecuecia, de u modo aalítico, auque tales datos se puede obteer experimetalmete si el sistema existe. Las medicioes de respuesta e frecuecia e geeral so simples y puede ser efectuadas co exactitud usado geeradores de señal seoidales fácilmete obteibles y equipos de medició precisos. Frecuetemete se puede determiar experimetalmete, las fucioes trasferecia de compoetes complicados e prueba de respuesta de frecuecia. Además, el método de respuesta de frecuecia tiee la vetaa de que se puede diseñar u sistema de maera que los efectos del ruido ideseable sea despreciables, y de que ese aálisis y diseño pueda extederse a ciertos sistemas de cotrol o lieales. Obteer la respuesta frecuecial es importate puesto que proporcioa medios coveietes para obteer la respuesta e el estado estable pera cualquier sistema lieal sueto a ua señal seoidal. Tambié está relacioado ítimamete co el método de aálisis frecuecial que se verá más adelate. El procedimieto simple para obteer la respuesta a la frecuecia, coteido e cuatro pasos, es el siguiete: Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol -
- Se obtiee la fució de trasferecia para el compoete o sistemas a aalizar. Es decir: C s F s R s Dode C s es la trasformada de la salida y R s la trasformada de la etrada, y dode se ha despreciado todas las codicioes iiciales porque se vio o afectada la respuesta e estado estable. - E la fució de trasferecia se sustituye s por. La ustificació de esta sustitució se hará más adelate. 3 - Para varios valores de la frecuecia, se determia la relació de magitud M y el águlo de fase φ. 4 - Se grafica los resultados de 3 e coordeadas polares o rectagulares. Estas gráficas o solamete sa medios coveietes para presetar los datos de respuesta a la frecuecia, sio que tambié so la base para los métodos de aálisis y diseño que se verá e capítulos posteriores. Auque la respuesta de frecuecia de u sistema de cotrol de ua image cualitativa de la respuesta trasitoria, la correlació etre frecuecia y respuestas trasitorias, es idirecta, excepto e el caso de sistemas de segudo orde. Al proyectar u sistema de lazo cerrado, se puede austar la característica de respuesta de frecuecia, usado diversos criterios de diseño para obteer características de respuesta trasitoria aceptables. Ua vez etedida la correlació idirecta etre diversas medicioes de la respuesta trasitoria y la respuesta de frecuecia, puede utilizarse vetaosamete el método de respuesta de frecuecia. El diseño de u sistema de cotrol basado e este procedimieto, se fuda e la iterpretació de las características de respuesta a la frecuecia. Este aálisis de u sistema de cotrol, idica gráficamete qué modificacioes hay que hacer e la fució de trasferecia de lazo abierto para obteer las características deseadas de respuesta trasitoria. Lógicamete se podría hacer la preguta de por qué es ta importate el aálisis de la respuesta de sistemas a ua señal seoidal, cuado e la práctica, los sistemas de cotrol raramete está expuestos a señales armóicas. La respuesta es que la iformació obteida por el aálisis seoidal puede usarse para establecer la aturaleza de la respuesta a ua gra variedad de señales. Además, el aálisis es coveiete para maearlo matemática y experimetalmete. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 3
- Justificació de la Sustitució de s por. Ya se ha visto que para realizar el aálisis frecuecial es ecesario sustituir s por e la fució de trasferecia. Esta sustitució será ahora ustificada. El procedimieto cosistirá e trabaar co ua fució de trasferecia geeral, obteiedo primero la respuesta e el estado estable a ua señal seoidal usado la trasformada de Laplace, y después haciedo la sustitució de s por. Si ambas solucioes resulta idéticas la sustitució es válida. Se supoe ua fució de trasferecia geeral co u umerador N s y u deomiador D s. C s N s F s R s D s La señal de etrada será ua seoide co amplitud igual a uo se t. La trasformada de R s es: s ; por lo tato: N s N s N s C s R s D s s D s s s D s Hay que recordar que todas las codicioes iiciales puede despreciarse porque éstas o afecta la respuesta e el estado estable. Desarrollado e fraccioes parciales: C s C C C 3... s s s r s r s r C C 3 s,., so factores de D s. Para u sistema estable los C3 trasitorios desaparece o sea las trasformadas iversas de se s r aula coforme t y la respuesta e el estado estable es: Dode s r, r C t SS t Ce C e t Las costates C y C se determia por el método: 4 C N s lim S r D s s r o sea para este caso: Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 4
Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 5 D N s s s s D s N C r s s D s N C S r S D N C 5 D N s s s s D s N C S D N C 6 Como alterativa, la fracció D N puede expresarse de la siguiete forma: B A D N 7 B A D N 8 Dode A y B so úmeros reales y so fucioes de la frecuecia. Por lo tato: [ ] A B C y [ ] A B C Sustituyedo estos valores e la ecuació 4: [ ] [ ] t t SS e B A e B A t C 9 t t t t SS e B e A e B e A t C 0 t t t t SS e e B e e A t C t B t se A t C SS cos La respuesta e estado estable se ve que está compuesta por ua seoide más ua coseoide. La suma de estas dos odas se lleva a cabo por adició vectorial como se muestra e la figura 4.
Figura 4. Aquí u vector o fasor de magitud A se cosidera que esta girado e direcció cotraria a las maecillas del relo co ua frecuecia. La proyecció de este vector sobre el ee imagiario produce la seoide requerida. U vector de magitud B se muestra adelatado 90 co respecto al primer vector, su proyecció sobré el ee imagiario produce la coseoide requerida, Los dos vectores puede reemplazarse par u solo vector de magitud: A B Y águlo de fase: B φ arc. tg A Por lo tata la 0 puede escribirse como: C SS t A B se t φ Dode: B φ arc. tg A Hay que recordar que la señal de etrada era ua seoide ca amplitud uitaria Por tato, la relació de magitud, es decir el cociete etre las amplitudes de salida y etrada es: M A B 3 Y el águlo de fase: B φ arc. tg 4 A Debe recoocerse que el águlo de fase tambié puede ser egativo. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 6
Habiedo completado la solució usado trasformada de Laplace, falta demostrar que el mismo resultado puede tambié puede obteerse directamete haciedo la sustitució de s por e: Cs Ns C N A B Rs Ds R D 5 C A B se t φ R M A B 6 B φ arctag A 7 Que es el mismo resultado obteido ateriormete, ahora co meos esfuerzo. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 7
3- Respuesta de Frecuecia a partir de los Diagramas de Polos y Ceros. Se puede determiar gráficamete la respuesta de frecuecia a partir de los diagramas de polos y ceros de la fució de trasferecia. Sea la siguiete fució de trasferecia: Gs Ks z ss p 8 Dode p y z so reales. Se puede obteer la respuesta e frecuecia de esta fució de trasferecia de la relació: G K z s p 9 Los factores z, p so magitudes compleas como puede verse e la figura 5. Figura 5: Determiació de la respuesta de frecuecia e el plao compleo. La amplitud de G es: G K z p 0 KAP G OP BP Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 8
Y el águlo de fase de G es: G z p G arc tag 90º arc tag z p 3 G φφ φ 4 Dode los águlos φ, φ y φ está defiidos e la figura 5. Se hace otar que se defie como setido positivo para la medició de águlo a la rotació ati horaria. Del aálisis de la respuesta trasitoria de los sistemas de lazo cerrado, se sabe que u par de polos compleos cougados cercaos al ee produce u modo altamete oscilatorio de la respuesta trasitoria. E el caso de la respuesta frecuecial, u par de polos así ubicados ha de producir ua respuesta de pico elevado. Sea, por eemplo, la siguiete fució de trasferecia: K Gs s p s p 5 Dode p y p so compleos cougados como se ve e la figura 6. Se puede hallar la respuesta e frecuecia de esta fució de trasferecia. Figura 6: Determiació de la respuesta e frecuecia e el plao compleo. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 9
G K p p 6 K G 7 AP BP G φ φ 8 Dode los águlos φ y φ está defiidos e la figura 6. Como AP BP es muy pequeño e la cercaía de, G es muy grade. De maera que u par de polos compleos cougados cerca del ee ha de producir ua respuesta de frecuecia de pico elevado. Iversamete, si la respuesta de frecuecia o es de picos elevados, la fució de trasferecia o ha de teer polos compleos cougados cerca del ee. Ua fució de trasferecia así o ha de presetar respuesta trasitoria altamete oscilatoria. Como la respuesta e frecuecia idirectamete describe la posició de los polos y ceros de la fució de trasferecia, se puede estimar las características de respuesta trasitoria del coocimieto de sus características de respuesta de frecuecia esto se etederá más claramete cuado se estudie el cocepto de estabilidad relativa. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 0
4- Especificacioes e el Domiio Frecuecial. Se ha puesto de maifiesto ateriormete que la iformació que se busca e el aálisis de u sistema de cotrol es ormalmete la respuesta temporal. Si embargo, e geeral, la respuesta temporal es difícil de obteer aalíticamete a causa de la catidad de cálculos que implica. Por cosiguiete, la respuesta frecuecial de u sistema de cotrol se obtiee a meudo por medio de métodos gráficos represetacioes polares y rectagulares tales como los diagramas de Nyquist y Bode que se estudia más adelate y luego, la iterpretació del comportamieto del sistema e el domiio temporal se basa e las relacioes etre ambos domiios, temporal y frecuecial. El puto de partida para el aálisis e el domiio frecuecial es la fució de trasferecia. Para u sistema de cotrol co realimetació uitaria, la fució de trasferecia de lazo cerrado es: C s R s G s 9 G s E codicioes de régime siusoidal, s, la ecuació 9 se covierte e: C G M 30 R G Cuado M se escribe e forma de amplitud y fase, se tiee: M M φ 3 Dode: m G M 3 G Y φm G G 33 El sigificado de M e u sistema de cotrol es similar a la gaacia o amplificació de u amplificador electróico. E u amplificador de audiofrecuecia, por eemplo, el criterio ideal de proyecto es que el amplificador tega ua curva de gaacia plaa para las audiofrecuecias. E los sistemas de cotrol, si embargo. La situació ideal e alguas ocasioes es que la salida siga a la etrada e todo istate o, simplemete, que el módulo de M sea igual a la uidad para todas las frecuecias. Pero e la expresió de la ecuació 3 se ve que M solo pede ser igual a la uidad cuado G es ifiito o, e otras palabras, la gaacia del sistema debe ser ifiita para todas las frecuecias. Esto es imposible de coseguir e la práctica y además o es coveiete puesto que la mayoría de los sistemas Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol -
de cotrol resulta iestables para valores elevados de gaacia. Además, todos los sistemas de cotrol está suetos a ruidos, es decir, además de respoder a la señal de etrada los sistemas debe ser capaces de rechazar y suprimir los ruidos y las señales ivolutarias. Esto sigifica que, e geeral, la respuesta e frecuecia de u sistema de cotrol debe de teer u puto de corte característico y, alguas veces ua bada pasate o o pasate característica. Figura 7: Comparació de las características de magitud y fase de u filtro pasa bao ideal a y de u sistema de cotrol típico b La característica de fase de la respuesta e frecuecia tiee tambié su importacia. La situació ideal es que la fase sea ua fució lieal de la frecuecia detro de la bada de la señal de etrada. La figura 7 represeta las características de gaacia y de fase de u filtro pasa bao ideal, imposible de realizar físicamete. Las características típicas de amplitud y fase de u sistema de cotrol está dibuadas e la figura 7b. Se ve que la gaacia dismiuye al crecer la frecuecia. Ello es debido a los efectos de las iercias e iductacias de los sistemas físicos, por lo que toda respuesta cesa cuado la frecuecia tiede a ifiito. Las especificacioes más usadas de las características de u sistema de cotrol e el domiio frecuecial so las siguietes; - Acho de bada. El acho de bada, A. B., se defie como la frecuecia a la cual el módulo de M vale el 70.7 % del ivel a frecuecia cero o 3 db por debao del ivel de frecuecia ula figura 8. E geeral, el acho de bada idica les características de filtrae de ruido del sistema. El acho de bada da, tambié, ua mecida de las propiedades de la respuesta trasitoria. U acho de bada largo idica, ormalmete, que las señales de alta Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol -
frecuecia pasará a la salida. Es decir, la respuesta trasitoria debe de teer u tiempo de subida rápido acompañado de u amplio rebase. Por el cotrario, si el acho de bada es chico, solo pasará las señales de baa frecuecia; por cosiguiete, la respuesta temporal será leta. - Factor de resoacia M r. Se defie como el valor máximo de M, que proporcioa además idicació de la estabilidad relativa del sistema. Si se recuerda la figura 0 y como se verá más adelate, cuado se estudió el diagrama de Bode de u sistema de segudo orde se obtiee distitas curvas de respuesta para distitos valores de δ.es evidete que a valores elevados de M correspode amplios rebases de la respuesta temporal. r Cuado se proyecta se admite, geeralmete, que el valor oprimo de estar compredido etre. y.5. M r debe Figura 8: Curva de amplitud de u sistema. 3 Frecuecia de resoacia r. Es la frecuecia para la que se produce el factor de resoacia. 4 - Razó de corte. A meudo para frecuecias elevadas es importate la razó de corte de la curva de respuesta, e frecuecia, puesto que idica la capacidad del sistema para distiguir la señal de ruido. Si embargo, las características de corte agudo se acompañadas ormalmete de valores elevados de M, lo que sigifica que el sistema es poco estable. r 5 - Marge de amplitud y Marge de fase. Estas dos catidades que so ua medida de la estabilidad relativa de u sistema. Será defiidos más adelate cuado se estudie los diagramas de Bode y Nyquist. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 3
4.- Especificacioes E El Domiio Frecuecial Para U Sistema De Segudo Orde E u sistema de segudo orde, el factor de resoacia M r y la frecuecia de resoacia depeder, úicamete riel coeficiete de amortiguamieto δ r y de la frecuecia atural si amortiguamieto del sistema. Si se cosidera la fució de lazo cerrado de segudo orde: M 34 δ M 35 δ Al utilizar la frecuecia reducida expresió: u, el módulo de M toma la M u 36a u δu Y la fase de M : δu M : φ m u tg 36b u La frecuecia de resoacia se determia derivado M u co respecto a u e igualado a cero, es decir: M u u [ ] 3 3 u δu 4u 4u 8uδ 0 37 De dode: 3 4u 4u 8uδ 0 38 Por cosiguiete: u 0 39 Y Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 4
u u r r δ 40 La solució dada e la ecuació 39 idica meramete que la pediete de la curva M vale cero para 0 0; o es u máximo. De la ecuació 40 se obtiee la frecuecia de resoacia que vale: r δ 4 Evidetemete, la ecuació 4 es válida solamete para δ o δ 0. 707, puesto que de otra maera r sería imagiario. Esto sigifica simplemete que para todos los valores de δ > 0. 707 o hay resoacia o M r e la curva M e fució de. La curva M es iferior a uo para todos los valores de > 0 si el coeficiete de amortiguamieto es mayor que 0.707 Sustituyedo la ecuació 40 e la 36a y simplificado se obtiee: M r 4 δ δ Es importate observar que M r es fució de δ solamete, mietras que r es fució de y δ. Las figuras 9 y 0 represeta respectivamete las curvas de M r y de u r e fució de δ. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 5
Figura 9: M r e fució de δ para u sistema de segudo orde. Figura 0: u r e fució de δ para u sistema de segudo orde. E resume se observa que a medida que el factor de amortiguamieto δ tiede a cero, la frecuecia de resoacia tiede a r. Para 0 < δ < 0. 707, la frecuecia de resoacia es meor que la frecuecia atural co amortiguamieto d r δ, que aparece e la respuesta trasitoria. Para δ > 0.707 o hay pico resoate, la amplitud de G decrece moótoamete cuado la frecuecia crece. Esto sigifica que o hay pico e la curva de respuesta para δ > 0. 707 La amplitud es meor que 0 db para todos los valores de > 0. Debe recordarse que para 0.707 < δ <, la respuesta escaló es oscilatoria, pero las oscilacioes so muy bie amortiguadas y apeas perceptibles. Cuado δ tiede a cero M r tiede a ifiito. Esto sigifica que si el sistema o amortiguado es excitado a su frecuecia atural, la magitud de G se hace ifiito. Se puede obteer el águlo fase de G, a la frecuecia que se produce el pico de resoacia. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 6
δ G tg 43 δ Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 7
5 - Gráficas Polares Como se había mecioado ateriormete, para varios valores de se obtiee los valores de M y φ los que podía ser graficados e coordeadas polares o rectagulares. Se verá a cotiuació la primera de estas formas de represetació frecuecial. El diagrama polar de ua fució de trasferecia seoidal G es u diagrama de la amplitud de G e fució del águlo de G e coordeadas polares al variar desde cero a ifiito. Se hace otar que e los diagramas polares, se mide u águlo 'de fase positivo egativo e setido atihorario e setido horario desde el ee positivo real. El diagrama polar frecuetemete recibe el ombre de diagrama de Nyquist. E la figura hay u eemplo de ese diagrama. Cada puto del diagrama polar de G represeta el puto termial de u vector pera u valor determiado de. E el diagrama polar es importate mostrar la graduació de frecuecia sobre el diagrama. Las proyeccioes de G e los ees real e imagiario so sus compoetes real e imagiario. Tato la amplitud G como el águlo de fase G debe ser calculados directamete para cada frecuecia para peder costruir los diagramas polares. Si embargo, como el diagrama rectagular logarítmico que se verá posteriormete es fácil de costruir, la iformació ecesaria para trazar el diagrama polar puede ser obteida directamete del diagrama logarítmico si se dibua previamete aquél y se covierte decibeles e ua magitud ordiaria usado la figura 33. Figura. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 8
Pera dos sistemas coectados e cascada la fució de trasferecia total de la combiació, e ausecia de efectos de carga, es el producto de las dos fucioes de trasferecia idividuales. Si se ecesita la multiplicació de dos fucioes de trasferecia seoidales, esta puede lograrse multiplicado las fucioes de trasferecia seoidales e cada frecuecia realizado la multiplicació co álgebra complea. Es decir, si: G G G Etoces: G G G 44 Dode: G G G 45a G G G 45b E la figura se muestra el producto de G. G Figura. E geeral, si se desea u diagrama polar de G. G es coveiete trazar u diagrama logarítmico de G. G y luego covertirla e u diagrama polar Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 9
e lugar de dibuar los diagramas polares G y de G multiplicado estos dos e el plao compleo. Ua vetaa de usar u diagrama polar es que preseta las características de respuesta de frecuecia de u sistema e todo el rago de frecuecias e u úico diagrama. Ua desvetaa es que el diagrama o idica claramete las cotribucioes de cada uo de los factores idividuales de la fució de trasferecia de lazo abierto. 5.- Factores Itegral Y Derivativo ±. El diagrama polar de G es el ee imagiario egativo, pues: G 90º 46 El diagrama polar de G es el ee positivo imagiario, pues: G 90º 47 ± 5.- Factores De Primer Orde T Para la fució de trasferecia seoidal: T T G tg T 48 Los valores de G e 0 y so respectivamete: T G 0 0º 49 Y G T 45º Al teder a ifiito: 50 G 0 90º 5 El diagrama polar de esta fució de trasferecia es ua semicircuferecia al variar la frecuecia desde cero a ifiito, como se ve e la figura 3a. El cetro está ubicado e 0.5 sobre el ee real y el radio es igual a 0.5. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 0
Figura 3. a: Diagrama polar de T, b: Diagrama de G e el plao x-y. Para probar que el diagrama polar es ua semicircuferecia se defie: G X Y 5 Dode: X T Parte real de G 53 Y T T Parte imagiaria de G 54 Etoces se obtiee: X Y T T T T 55 Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol -
Etoces e el plao x-y, G es u círculo co cetro e X/; Y0 y co u radio igual a / como puede verse e la figura 3b. La semicircuferecia iferior correspode a 0 y la semicircuferecia superior correspode a 0. El diagrama polar de la fució de trasferecia T es simplemete la mitad superior de la líea recta que pasa por el puto,0 e el plao compleo y paralelo al ee imagiario, como puede verse e la figura 4. El Diagrama polar de T tiee u aspecto totalmete diferete al de T. Figura 4: Diagrama polar de T Si: G T T tg T 56 Para 0 : G 0 0º 57 Para : G 90º 58 5.3- Factores Cuadráticos δ Las porcioes de alta y baa frecuecia del diagrama polar de la fució de trasferecia seoidal siguiete: ± Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol -
G δ > 0 δ Está dadas respectivamete por: 59 lim G 0º y lim G 0 80º 0 El diagrama polar de esta fució de trasferecia seoidal comieza e 0º y fializa e 0 80º al aumetar desde cero a ifiito. Así, la porció alta frecuecia de G es tagete al ee real egativo. Figura 5. Los valores de G e el rago de frecuecias de iterés puede ser catalogados directamete. E la figura 5, hay eemplos de diagramas polares de la fució de trasferecia recié aalizada. La forma exacta de u diagrama polar depede del valor de la relació de amortiguamieto δ, pues la forma geeral es la misma, tato para el caso subamortiguado 0< δ < como para el caso sobreamortiguado δ >. Para el caso subamortiguado e se tiee G y el águlo de δ fase es - 90. Por tato, se puede ver que la frecuecia a la cual el lugar G itersecta al ee imagiario es la frecuecia atural o amortigua da. E el diagrama polar, el puto de frecuecia cuya distacia desde el Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 3
orige es máxima, correspode a la frecuecia de resoacia r. Se obtiee el valor pico de G como la relació etre el módulo del vector a la frecuecia de resoacia y el módulo del vector e 0. Se idica la frecuecia de resoacia e el diagrama polar como puede verse e la figura 6. Figura 6: Diagrama polar que muestra el pico de resoacia y la frecuecia de resoacia Para el caso sobreamortiguado, cuado δ es bastate mayor que la uidad el lugar de G se aproxima a ua semicircuferecia. Se puede ver esto del hecho de que para u sistema fuertemete amortiguado, las raíces características so reales y es ua mucho más pequeña que la otra. Como para u valor de δ suficietemete grade el efecto de la raíz más grade e la respuesta se hace muy pequeña, el sistema se comporta como u sistema de primer orde. Para la fució de trasferecia seoidal: r G δ δ G 60a 60b La porció de baa frecuecia de la curva es: lim G 0º 6 0 Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 4
Y la porció de alta frecuecia es: lim G 80º 6 Como la parte imagiaria de G es positiva para > 0 y es moótoamete creciete; la parte real de G es moótoamete decreciete desde la uidad, la forma geeral del diagrama polar de G de la ecuació 60a es como puede verse e la figura 7. El águlo de fase está etre 0 o y 80. Figura 7: Diagrama polar de G δ Eemplo : Sea la siguiete fució de trasferecia de segudo orde: Gs sts Trazar u diagrama polar para esta fució de trasferecia. E primer lugar se escribe la fució de trasferecia seoidal: T G T T T El tramo de baa frecuecia de la curva es: lim G T 90º 0 El tramo de alta frecuecia de la curva es: lim G 0 0 0 80º Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 5
E la figura 8 se muestra la forma geeral del diagrama polar G.El diagrama de G es asitótico a la recta vertical que pasa por el puto - T, 0. Como esta fució de trasferecia ivolucra itegració s, la forma del diagrama polar difiere sustacialmete de las fucioes de trasferecia que o tiee itegració. 5.4- Retardo De Trasporte. Figura 8. Alguos elemetos e los sistemas de cotrol se caracteriza por su tiempo muerto o retraso de trasporte, durate el cual o da salida a la señal de etrada que se les haya aplicado; hay u periodo muerto de iactividad que demora la trasmisió de la señal recibida. La figura 9 muestra el diagrama de bloques del elemeto demorador. Figura 9. La figura 0 idica la salida ct rt T. ut T que tiee la misma forma que la etrada, pero demora u tiempo T. La demora es ua característica o lieal que, afortuadamete, puede ser represetada por su trasformada de Laplace. Así: Cs st Gs e 63 Rs Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 6
Figura 0. T G e 64 Puede ser escrito: G cost set 65 Como el módulo G es simple la uidad y el águlo de fase varía liealmete co, el diagrama polar del retardo de trasporte es u círculo de radio uitario, como puede verse e la figura. Figura : Diagrama polar del retardo de trasporte. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 7
A frecuecias baas, el retardo de trasporte T y el retardo de primer orde T se comporta e forma similar, lo que puede verse e la figura. e Figura : Diagramas polares de T e y T T e Los diagramas polares de y T so tagetes etre sí e 0. Puede verse esto del hecho que para T : T e T y T T Si embargo, para T ; hay ua diferecia esecial etre T como puede verse tambié e la figura. T e Eemplo : Obteer el diagrama polar de la siguiete fució de trasferecia L e G T Se puede escribir: L G e T y Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 8
El módulo y el águlo de fase so respectivamete: L G e. T T Y L G e T L tg T Figura 3. Como el módulo dismiuye desde la uidad e forma moótoa y el águlo de fase tambié dismiuye moótoa e idefiidamete, el diagrama polar de la fució de trasferecia dada es ua espiral, como puede verse e la figura 3. 5.5- Formas Geerales De Los Diagramas Polares Los diagramas polares de ua fució de trasferecia de la forma G G K Ta Tb λ T T...... m m b a... 66 0... b 67 a 0 Dode el grado del poliomio deomiador es mayor que el del deomiador, tedrá las siguietes formas geerales: Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 9
- Para λ 0 o sistemas de tipo 0: el puto de iiciació del diagrama polar que correspode a 0 es fiito y está sobre el ee positivo real. La tagete al diagrama polar e 0 es perpedicular al ee real. El puto termial que correspode a, está e el orige y la curva coverge al orige y es tagete a uo de los ees. - Para λ o sistemas tipo : el térmio e el deomiador cotribuye -90 al águlo de fase total de G para 0. E 0, el módulo de G es ifiito y el águlo de fase es -90. A frecuecias baas, el diagrama polar es asitótico a ua líea paralela al ee imagiario egativo. E, el módulo se hace cero y la curva coverge al orige y es tagete a uo de los ees. 3 - Para λ o sistemas tipo : el térmio e el deomiador cotribuye -80 al águlo de fase total de G para 0. E 0, la amplitud de G es ifiita y el águlo de fase es igual a -80. E baas frecuecias, el diagrama polar es asitótico a ua líea recta paralela al ee real egativo. E, el módulo se hace cero y la curva es tagete a uo de los ees. E la figura 4, se ve las formas geerales de las porcioes de baa frecuecia de los diagramas polares de los sistemas tipo 0, tipo y tipo. Se puede ver que si el arado del poliomio deomiador de G es mayor que el del umerador, los lugares de G coverge al orige e setido horario. E, los lugares so tagetes a uo u otro de los ees, como se ve e la figura 5. Figura 4: Diagramas polares de sistemas tipo 0, tipo y tipo. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 30
Para el caso e que los grados del poliomio umerador y deomiador de G so iguales, el diagrama polar comieza a ua distacia fiita sobre el ee real y fializa e u puto sobre el ee real. Figura 5: Diagramas polares de fucioes de trasferecia co diámica de umerador. Se hace otar que cualquier forma complicada de las curvas de los diagramas polares es causada por la diámica del umerador, es decir, por las costates de tiempo del umerador de la fució de trasferecia. E la figura 6 se ve eemplos de diagramas polares de fucioes de trasferecia co diámica de umerador. Figura 6: Diagramas polares de fucioes de trasferecia co diámica de umerador. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 3
Al aalizar sistemas de cotrol, hay que determiar co exactitud el diagrama polar de G e el rago de frecuecias de iterés. E la tabla se aduta distitos diagramas polares para diversas fucioes de trasferecia. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 3
Factor Lugar Polar de la Respuesta a Ts b Ts c Ts, T s d Ts, T s e Ts como g, co δ f Ts Ts como g, co δ > g Ts T s T Tabla. Aálisis Frecuecial de Sistemas - Cotrol - 33