UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO FACULTAD DE INGENIERIA ANALISIS DE SISTEMAS Y SEÑALES TAREA. TRANSFORMADAS LAPLACE, FOURIER, Z ALUMNOS: CRUZ NAVARRO JESUS ALBARRÁN DÍAZ KARLA GRUPO: 4 SEMESTRE: 28-2
TRANSFORMADA DE LAPLACE Dada una función x(t) de la variable t de tiempo continuo, la transformada de Laplace bilateral de x(t), denotada por X(s), es una función de la variable compleja s= σ+jω definida por: La transformada de Laplace X(s) es una función compleja de la variable compleja s. En otras palabras dado un número complejo s, el valor X(s) de la transformada en el punto s es, en general, un número complejo. La transformada de Laplace unilateral de x (t), que también se denota por X(s) se define como En esta ultima ecuación se ve que la transformada unilateral depende sólo de los valores de la señal para x(t)>. Esta es la razón por la que la definición anterior se denomina unilateral. FUNCIÓN ESCALÓN Supóngase que x(t) es l función escalón unitario u(t). La transformada de Laplace U(s) de u(t) está dada por: Ahora, exp(-st) evaluada en t= se define mediante Al poner s= σ+jω en el lado derecho de la ecuación anterior, se tiene: =
El límite que se presenta existe si y solo sí σ>, lo que equivale a que Re s>. Si Re s>, el límite que aparece es igual a cero y la expresión para U(s) se reduce a = También se tiene que Para todos los números reales σ tales que σ>. Así que la región de convergencia absoluta de U(s) es el conjunto de todos los números complejos s tales que Re s> FUNCIÓN IMPULSO Sea x(t) el impulso unitario δ(t). La transformada de Laplace X(s) esta dada por El límite inferior de la integral que se ve en la definición anterior se debe tomar a -, puesto que el pulso δ(t) no esta definido en t=. Como δ(t)= para todo t, se tiene Por tanto, Puesto que ; para todo los números reales σ La región de convergencia absoluta de la transformada de Laplace de δ(t) es todo el plano complejo. En consecuencia, X(s) existe y es igual a 1 para todos los números complejos s.
FUNCIÓN EXPONENCIAL Ahora sea, donde b es un número real arbitrario. La transformada de Laplace X(s) esta dada por Para evaluar el lado derecho de la ecuación anterior en t=, se tiene exp[-(s+b) ] = Al poner s= σ+jω en el lado derecho de la ecuación se tiene: ]= Este límite existe si solo sí σ+b>, en cuyo caso el límite es igual a cero y la transformad de Laplace X(s) es La región de convergencia absoluta de la transformada X(s) dada por ese conjunto de todos los números complejos s tales que Re s>-b. FUNCIÓN RAMPA Sea x (t)=; t< x (t)=at ; t> Aplicando la definición de transformada de Laplace, e integrando por partes tenemos:
= Y finalmente: X(s)= FUNCIÓN SENOIDAL Sea x (t) = Utilizando la formula de Euler para cos ω : Cada una de estas integrales converge si y solo sí Re s>, para este caso: con Re s> con Re s> con Re s>
FUNCIÓN PULSO Consideremos la función pulso: Su transformada de Laplace se obtiene aplicando la definición dada al inicio: ; Para toda s. TRANSFORMADA DE FOURIER En nuestro estudio de la integral de Fourier compleja para una función, vimos que los coeficientes de Fourier para esta integral, están dados por: F{ f ( t) }( w) = f t ( )e jωt dt La integral impropia que aparece en estos coeficientes (conocida como la transformada de Fourier de ), resulta ser de gran importancia en el análisis de Fourier y en la múltiples aplicaciones de esta rama de la ciencia. Solo por mencionar algunas, digamos que la transformada de Fourier se aplica en el estudio de señales y sistemas, así como en óptica; aparece en los aparatos sofisticados modernos como los que se usan para tomar una tomografía, también surge en las técnicas analíticas como la resonancia magnética nuclear, y en general, en todo tipo de instrumentación científica que se use para el análisis y la presentación de datos.
FUNCIÓN ESCALÓN La funcion escalon se define como: ( ) = 1,t u t,t < Por tanto, la transformada de Fourier se obtiene como : x(w) = x(w) = x(w) = lim t t u(t)e jtω dt 1e jtω dt e jtω dt e jtω dt x(w) = 1 jω FUNCIÓN IMPULSO La funcion impulso se define como: ( ) = 1,t = δ t,t La transformada de Fourier no es transformable porque no es absolutamente integrable, pero por definición se sabe que: δ(t) FT 1 FUNCIÓN EXPONENCIAL La señal esta definida como: x(t) = e at La transformada se evalua como: x( jw) = e at e jtω dt
1 x( jw) = a + jw e ( a + jw)t Esto es x( jw) = 1 a + jw Ahora, para a< la funcion sera exponencial decreciente y para a> la funcion sera exponencial creciente. FUNCIÓN RAMPA Sea La transformada es : ( ) = (t),t u t,t < x(w) = te jtω dt Como es una integral impropia se adiciona un limite. x(w) = lim b b te jtω dt Como el limite no existe la funcion rampa no tiene transformada de Fourier. FUNCIÓN SENOIDAL Esta funcion es de la forma: f (t) = sen(ωt) Aplicando la transformación se obtiene: f (ω) = sen(ωt) e jωt dt
Usando las formulas de Euler y sustituyendo f (ω) = e jωt e jωt e jωt dt 2 j f (ω) = 1 e jωt e jωt 2 j ( )e jωt dt f (ω) = 1 e j(ω ω )t e j(ω ω )t 2 j ( )dt f (ω) = 2π 2 j [ δ(ω ω ) δ(ω ω )] FUNCIÓN PULSO Se aplica la formula de Fourier ( ) = u t si t < a k si a t a si t > a F(ω) = a a ke jωt dt Se completa el diferencial y se integra F(ω) = k jω e jωt a F(ω) = 1 [( jω e jωt e jωt )] Usando las formulas de Euler para seno y coseno [ ] F(ω) = 1 cos(ωa) jsen(ωa) cos(ωa) jsen(ωa) jω F(ω) = 2ksen(ωa) ω a
TRANSFORMADA Z La Transformada Z convierte una señal que esté definida en el dominio del tiempo discreto (que es una secuencia de números reales) en una representación en el dominio de la frecuencia compleja. El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo. en los casos en que x[n] está definida únicamente para n, la transformada Z unilateral se define como: X(z) = Z x(k) [ ] = x(k)z k En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es causal. En este caso, la Transformada Z resulta una serie de Laurent, con ROC del tipo z > R ; es decir que converge "hacia afuera". k= FUNCIÓN ESCALÓN La funcion escalon se define como: ( ) = 1,t u t y aplicando la formula de transformada z X(z) = Z x(1),t < [ ] = z k X(z) = Z[ x(1) ] = 1 z + 1 k= z + 1 + = 1 2 z esta serie geometrica converge en el siguiente termino: [ ] = X(z) = Z u(t) 1 1 z = z 1 z 1
FUNCIÓN IMPULSO La funcion impulso (o delta de Dirac) se define como: ( ) = 1,t = δ t la transformada solo existe en t= asi que:,t X(z) = Z[ δ(t) ] = 1 z =1 FUNCIÓN EXPONENCIAL La señal esta definida como: La Transformada Z se evalua como: x(t) = e at X(z) = Z x(kt) [ ] = e akt z k k= X(z) =1+ e at z 1 + e 2aT z 2 + e 3aT z 3 + = se identifica como una serie geometrica y se evalua X(z) = 1 z e at Si a > entonces la funcion sera creciente, si a<o entonces sera decreciente. FUNCIÓN RAMPA Sea x(kt) kt si si k k < La transformada es :
X(z) = Z x(kt) [ ] = ktz k k= X(z) = T(z 1 + 2z 2 + 3z 3 + = Esta es otra serie geometrica que converge en: X(z) = Tz (z 1) 2