AÑOS

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I Resuelve Página 9 Distribución de edades Las edades de los habitantes de una población se distribuyen según la gráfica adjunta (comprueba que bajo esta gráfica hay, exactamente, 00 cuadraditos). 0 0 0 0 80 00 AÑOS Si elegimos al azar un habitante de esa población, la probabilidad de que tenga entre y años es del % (compruébalo): P [ x ] = 0, Halla las siguientes probabilidades e interpreta lo que significan: a) P [x ] b) P [ x ] c) P [x 80] d) P [ x 70] Contamos los cuadraditos que hay en el intervalo y dividimos por el número total de cuadraditos (que es 00). Así: a) P [x ] = = 0, 00 La probabilidad de que un habitante, elegido al azar en esa población, tenga menos de años es del %. b) P [ x ] = 8 = 0,8 00 La probabilidad de que tenga entre y años es del 8 %. c) P [x 80] = 9 = 0,9 00 La probabilidad de que tenga menos de 80 años es del 9 %. d) P [ x 70] = 7 = 0,7 00 La probabilidad de que tenga entre y 70 años es del 7 %.

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad Tiempos de espera El autobús que nos lleva al trabajo es un tanto impuntual. Debe pasar a las 8, pero puede retrasarse hasta 0 minutos. Sin embargo, es más probable que llegue cerca de las 8 h que cerca de las 8 h y 0 min. Si llegamos a la parada a las 8 en punto, la gráfica adjunta nos ayuda a calcular la probabilidad del tiempo de espera. 0 0 0 TIEMPO (en minutos) La probabilidad de que tengamos que esperar entre 0 y minutos es del % (compruébalo). Es decir: P [0 x ] = 0, Halla e interpreta estas probabilidades: a) P [x ] b) P [ x 0] c) P [x 0] d) P [ x ] a) Tenemos que contar el número de cuadraditos que hay entre las verticales que corresponden a 0 y a y dividirlo entre 00. P [x ] = 0,9 El 9 % de las veces tenemos que esperar menos de minutos. b) P [ x 0] = 0, El, % de las veces tenemos que esperar entre y 0 minutos. c) P [x 0] = 0,7 El 7 % de las veces tenemos que esperar menos de 0 minutos. d) P [ x ] = 0,07 El 7, % de las veces tenemos que esperar entre y minutos.

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad Distribuciones de probabilidad Página Hazlo tú. Calcula: a) P [ x ] b) P [ x,] a) P [ x ] = ( ) b) P [ x,] = Hazlo tú. Calcula: 0, = 0, = = 0,7 a) P [0 x ] b) P [ x ] a) P [0 x ] = ( /) 8 = = 0, 8 b) P [ x ] = ( 8 / ) + ( 8 /) = 7 = 0,7 k, x é[ 8, ] Calcula k para que f (x) = * sea una función de densidad. Halla las probabilidades: 0, x è[ 8, ] a) P [ < x < ] b) P [ < x ] c) P [x = ] d) P [ < x 0] Como el área bajo la curva ha de ser igual a, tenemos que: P [ < x < + ] = P [ x 8] = k = k = a) P [ < x < ] = ( ) = b) P [ < x ] = P [ x ] = ( ) c) P [x = ] = 0 d) P [ < x 0] = P [ x 8] = (8 ) = = mx, x é[ 7, ] Calcula m para que f (x) = * sea una función de densidad. Halla las probabilidades: 0, x è[ 7, ] a) P [ < x < ] b) P [ x < 7] c) P [ x ] d) P [ x < ] El área bajo la curva (área del trapecio señalado) ha de ser igual a : 7 m m Área = P [ < x < + ] = P [ x 7] = ( 7 m + m) = 0m = m = 0 = 7 a) P [ < x < ] = ( 0 / + / 0 ) = 8 = b) P [ x < 7] = ( 70 / + / 0 ) = = 0 0 c) P [ x ] = ( 0 / + / 0 ) = 0 = d) P [ x < ] = P [ x 7] = ( 70 / + / 0 ) = 0 0

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad La distribución normal Página En una distribución N (0, 0), calcula: a) P [x > 0] b) P [0 < x < 0] c) P [0 < x < 0] d) P [0 < x < 0] e) P [90 < x < 00] f ) P [90 < x < 0] g) P [x < 00] a) P [x > 0] = 0, 0 b) P [0 < x < 0] = 0, 8 = 0, 00 0 0 8,% c) P [0 < x < 0] = 0, 9 = 0,77 80 90 00 0 0 0 0 0,9 d) 0,9 0,8 = 0,78 0 0 0 0, 78 P [0 < x < 0] = = 0,9 e) Por simetría, igual que el anterior: P [90 < x < 00] = 0,9 90 00 0 f ) P [90 < x < 0] = 0,8 + 0,9 = 0,88 90 00 0 0 g) P [x < 00] = 0, 8 = 0,87 00 0

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad Cálculo de probabilidades en distribuciones normales Página Calcula las probabilidades de los apartados a), b) y c) del ejercicio resuelto anterior. Estima el valor aproximado de las probabilidades d), e) y f) del mismo ejercicio. a) P [x > μ] = 0, b) P [μ < x < μ + σ] = 0,77 c) P [x < μ σ] = 0,87 d) P [x < μ + 0,σ] = 0,9 e) P [x > μ +,7σ] = 0,00 f ) P [x + 0,σ < x < μ +,7σ] = 0,8 Página Halla las siguientes probabilidades: a) P [z 0,8] b) P [z <,] c) P [z < ] d) P [z <,87] e) P [z <,] f ) P [z 0] g) P [z < ] h) P [z = ] Mirando directamente la tabla, obtenemos: a) 0,799 b) 0,9 c) 0,977 d) 0,99 e) 0,990 f ) 0,000 g) h) 0 Di el valor de k en cada caso: a) P [z k ] = 0,709 b) P [z < k ] = 0,8997 c) P [z k ] = 0,00 d) P [z < k ] = 0,70 a) k = 0, b) k =,8 c) k = 0,0 d) k = 0, Di el valor aproximado de k en cada caso: a) P [z < k ] = 0,9 b) P [z k ] = 0, a) k,8 b) k 0,0 Página Halla: a) P [z >,] b) P [z <,] c) P [z >,] d) P [, < z <,9] e) P [,9 < z <,] f ) P [, < z <,9] g) P [,9 < z <,9] a) P [z >,] = P [z <,] = 0,90 = 0,098 b) P [z <,] = P [z <,] = 0,90 = 0,098 c) P [z >,] = P [z <,] = 0,90 d) P [, < z <,9] = P [z <,9] P [z <,] = 0,970 0,90 = 0,078 e) P [,9 < z <,] = P [z <,] P [z <,9] = ( 0,90) ( 0,970) = 0,078 f ) P [, < z <,9] = P [z <,9] P [z <,] = 0,970 ( 0,90) = 0,878 g) P [,9 < z <,9] = P [z <,9] P [z <,9] = (0,970) ( 0,970) = 0,9

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad Halla, a partir de la tabla, las siguientes probabilidades: a) P [ z ] b) P [ z ] c) P [ z ] d) P [ z ] e) P [0 z ] f ) P [0 z ] a) P [ z ] = P [z < ] P [z < ] = 0,8 ( 0,8) = 0,8 b) P [ z ] = P [z < ] P [z < ] = 0,977 ( 0,977) = 0,9 c) P [ z ] = P [z < ] P [z < ] = 0,9987 ( 0,9987) = 0,997 d) P [ z ] = P [z < ] P [z < ] = ( ) = e) P [0 z ] = P [z < ] P [z < 0] = 0,8 0, = 0, f ) P [0 z ] = P [z < ] P [z < 0] = 0, = 0, Página 7 7 En una distribución N (7, ), halla las siguientes probabilidades: a) P [x 7] b) P [x 80,] c) P [7 x 80,] d) P [ x 80,] e) P [ x 70] f ) P [x = 7] g) P [x > 9] h) P [x < ] a) P [x 7] = P < z < 7 7 F = P [z < 0] = 0, b) P [x 80,] = P [x < 80,] = P < z < 80, 7 F = P [z <,] = 0,89 = 0,0 c) P [7 x 80,] = P [x < 80,] P [x 7] = P < z < 80, 7 F P < z < 7 7 F = = P [z <,] P [z < 0,] = 0,89 0,7 = 0,9, d) P [ x 80,] = P [x < 80,] P [x ] = P < 80 7 z < F P < z < 7 F = = P [z <,] P [z < ] = P [z <,] ( P [z < ]) = = 0,89 ( 0,977) = 0,87 e) P [ x 70] = P [x < 70] P [x ] = P < z < 70 7 F P < z < 7 F = = P [z < 0,] P [z < ] = ( P [z < 0,]) ( P [z < ]) = = ( 0,9) ( 0,977) = 0,87 f ) P [x = 7] = 0 g) P [x > 9] = P < z < 9 7 F = P [z < ] = 0,9987 = 0,00 h) P [x < ] = P < z < 7 F = P [z < ] = P [z < ] = 0,9987 = 0,00

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad La distribución binomial se aproxima a la normal Página 9 Calcula las probabilidades de las siguientes distribuciones binomiales mediante su correspondiente aproximación a la normal. En todas ellas, ten en cuenta el ajuste de media unidad que hay que hacer al pasar de una variable discreta a una con tinua. a) x es B (00; 0,). Calcula P [x = 0], P [x < ] y P [ < x < ]. b) x es B ( 000; 0,0). Calcula P [x > 0] y P [x < 80]. c) x es B (0; 0,9). Calcula P [x > ] y P [x 0]. a) x es B (00; 0,) x' es N (0; ) P [x = 0] = P [9, < x' < 0,] = P [ 0,7 < z < 0,7] = 0, P [x < ] = P [x',] = P [z,8] = 0,00 P [ < x < ] = P [, x',] = P [, z,] = 0,8 b) x es B ( 000; 0,0) x' es N (0;,7) P [x > 0] = P [x' 0,] = P [z,7] = 0,0089 P [x < 80] = P [x' 79,] = P [z,] = c) x es B (0; 0,9) = x' es N (;,) P [x > ] = P [x',] = P [z 0,] = 0,0 P [x 0] = P [x' 0,] = P [z,8] = 0 7

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad Ajuste de un conjunto de datos a una distribución normal Página 7 La tabla adjunta corresponde a las estaturas de 00 chicas. Estudia si es aceptable considerar que provienen de una distribución normal. extremos de intervalos 8, -, - 8, -, - 8, -, - 8, - 7, - 78, - 8, frecuencias 7 8 9 Calculamos los parámetros de la distribución: extremo inf. extremo sup. x i f i f i x i f i x i 8,, 8,, 8,, 8, 7, 78,, 8,, 8,, 8, 7, 78, 8, 7 7 8 7 8 9 8 0 0 0 8 908 0 0 90 9 7 900 8 9 7 97 87 09 88 8 8 88 898 0 80 total 00 9 x = = 0,88 00 s = 9 0, 88 =,9 00 Consideramos la distribución N (0,88;,9). extremos de los intervalos x k extremos tipificados z k P [z z k ] p k = = P [z k z z k + ] 00 p k números teóricos números obtenidos diferencias 8,, 8,, 8,, 8, 7, 78, 8,,8,70,9, 0,7 0,,8,9,7, 0,000 0,00 0,07 0, 0,7 0, 0,880 0,970 0,999 0,9998 0,00 0,09 0,0977 0,0 0,98 0,9 0,09 0,09 0,009,8,,78,8 7,7 7,,0 0,,0 7 8 8 7 8 9 8 9 0 8 Las diferencias son muy pequeñas; podemos admitir la hipótesis de normalidad. Las estaturas de las chicas siguen una distribución normal. 8

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad Ejercicios y problemas resueltos Página 7. Función de densidad Hazlo tú. Halla el valor de k para que f (x) = 0, + kx, si x [0, ] y 0 en el resto, sea función de densidad. Calcula P [x ], P [x ] y P [ x ]. y = 0, + k x 0, 0, 0, 0, 0, Para que sea función de densidad, el área del trapecio que forma la recta la recta, el eje OY y la recta x = tiene que ser. 0, + ( 0, + k ) A trapecio = = k = 0,07 La función de densidad es: y = 0, 0,07 x Para cada una de las probabilidades que nos piden hallamos el área del correspondiente trapecio: P [x ] = ( 0, 0, 07 ) + ( 0, 0, 07 ) ( ) = 0,7 P [x ] = ( 0, 0, 07 0 ) + ( 0, 0, 07 ) ( 0) = 0, P [ x ] = ( 0, 0, 07 ) + ( 0, 0, 07 ) ( ) = 0,. Manejo de la tabla de la N (0, ) Hazlo tú. Calcula P [ 0,8 < z < 0,8]. P [ 0,8 < z < 0,8] = P [z < 0,8] P [z < 0,8] = 0,797 ( 0,797) = 0,9 9

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad Página 7. Aproximación de la binomial a la normal Hazlo tú. a) En el primer apartado hemos tomado diciembre como / del año. Halla la misma probabilidad tomando diciembre como días de los días del año. b) Qué probabilidad hay de que al menos alumnos hayan nacido un domingo? a) Se trata de una distribución binomial B c0, m = B (0; 0,8). np = 0 0,08 =, < 0,08 = 0,9 P [x ] = P [x = 0] = 0,9 0 = 0,900 b) Se trata de una distribución binomial B c0, m = B (0; 0,) 7 np = 0 0, =,9 > Podemos aproximar la distribución binomial por una normal. μ =,9 σ = 90,, ( 0, ) = 0,7 x es B (0; 0,) x' es N (,9; 0,7) La probabilidad que nos piden es: P [x ] = P [x' >,] = P =, 9, z > G = P [z > 0,9] = P [z < 0,9] = 0, = 0,89 07, 0

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad Ejercicios y problemas guiados Página 7. Funciones de densidad a) Calcular el valor de a para que f (x) sea función de densidad. b) Hallar las siguientes probabilidades: P[x < ] P[ < x < 9] P[ < x < 0] P[x = ] P[0 < x < ] P[7 < x < ] a f (x) 7 8 9 0 a) Calculamos las cinco áreas por separado (son trapecios o rectángulos). Las llamamos, de izquierda a derecha, A, B, C, D y E. Área de la región A = a+ a = a Área de la región B = Área de la región C = a = a Área de la región E = a+ a = a La suma de las cinco áreas tiene que valer : a+ a+ a+ 0a+ a = a = 0 b) P [x < ] = + = = 0, 0 0 0 P [ < x < 9] = + 0 + = 7 = 0,78 0 0 0 0 P [ < x < 0] = P [x = ] = 0 P [0 < x < ] = P [ < x < ] = 0 P [7 < x < ] = P [7 < x < 0] =. Tipificación = = 0,0 0 0 = 7 = 0, 0 a+ a = a Área de la región D = a = 0a En una cierta prueba, las puntuaciones tipificadas de dos estudiantes fueron 0,8 y 0, y sus notas reales fueron 88 y puntos, respectivamente. Cuál es la media y cuál la desviación típica de las puntuaciones del examen? Z ] 88 µ ] = 08, q 88 µ = 08, q [ * σ = 0, μ = 7 µ µ = 0, q ] = 0, \ q

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad. Ajuste de una distribución empírica a una normal Un científico ha tomado medidas de la longitud de 000 ranas de una determinada especie. Los resultados están en la siguiente tabla: longitud (en cm) (0, ] (, ] (, ] (, 8] (8, 0] n.º de ranas 8 7 0 total 000 Comprueba si los resultados se ajustan a una distribución normal., 0 x =, 000 s = 9,,7 000 marca de clase f i f i x i f i x i 7 9 Consideramos la distribución N (,;,7) 8 7 0 7 9 7 080 08 0 8 0 87 9 0 total 000 0 9 extremos de los intervalos x k extremos tipificados z k P [z z k ] p k = = P [z k z z k + ] 000 p k números teóricos números obtenidos diferencias 0 8 0,0,8 0, 0,,7,9 0,00 0,0 0, 0,70 0,99 0,998 0,00 0, 0,08 0,7 0,09 0,, 0,8,7 9, 0 8 7 0 8 Las diferencias son muy pequeñas; podemos admitir la hipótesis de normalidad. Las longitudes de las ranas estudiadas siguen una distribución normal.

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad Ejercicios y problemas propuestos Página 7 Para practicar Función de densidad Justifica si pueden ser funciones de densidad las siguientes: a) f (x) = 0, + 0,x con x [0, ] b) f (x) = 0, x con x [0, ] c) f (x) = 0,x con x [0, ] Veamos, en cada caso, si el área encerrada bajo la curva es : a), 0,, Área =, =, No puede ser función de densidad. b) f () =, < 0 No puede ser función de densidad, pues tendría que ser f (x) 0. c), 0, Área = = Sí puede ser función de densidad. fx () 0 Halla el valor de k para que esta función sea de densidad: Halla estas probabilidades: kx si 0 x f (x) = * kx ( ) si < x 0 en el resto P [ x ], P [x ], P [0 x 7] 0, Calculamos las dos áreas por separado (son triángulos o trapecios): Área de la región hasta x = k = k Área de la región desde x = hasta x = k + k = 8k La suma de las áreas tiene que valer k + 8k = k = 0

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad Z ] x si x 0 0 ] f (x) = [ ( x ) x si < ] ] 0 en el resto \ P [ x ] = P [ x ] + P [ < x ] = P [x ] = P [0 x ] + P [ < x ] = P [0 x 7] = P [0 x ] = 0 0 + + 0 + 0 0 = 9 = 0, 0 + + = = 0, Calcula el valor de a para que esta función sea de densidad: f (x) = / / 0 * si x a si a< x en el resto Calcula, además, las siguientes probabilidades: P [ x ], P [x ], P [x > ] 0, 0, 0, 0, 0, 0, Calculamos las dos áreas por separado (son rectángulos): Área de la región hasta x = (a ) Área de la región desde x = hasta x = ( a) La suma de las áreas tiene que valer (a ) + ( a) = a = Z ] si x ] f (x) = [ si x < ] ] 0 en el resto \ P [ x ] = = P [x ] = = P [x > ] = + =

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad Calcula el valor de a para que la siguiente gráfica sea una representación de una función de densidad. Escribe su expresión analítica: a a f (x) Calculamos las dos áreas por separado (son triángulos o rectángulos): Área de la región hasta x = a = a Área de la región desde x = hasta x = a La suma de las áreas tiene que valer a = a = Z ] x si x 0 ] f (x) = [ si x < ] ] 0 en el resto \ Manejo de la tabla N (0, ) En una distribución N (0, ), calcula estas probabilidades: a) P [z = ] b) P [z ] c) P [z ] d) P [z ] e) P [z ] f ) P [ z ] a) P [z = ] = 0 b) P [z ] = 0,977 c) P [z ] = 0,979 = 0,08 d) P [z ] = 0,08 e) P [z ] = 0,08 = 0,977 f ) P [ z ] = (P [z ] 0,) = 0,9 En una distribución N (0, ), calcula: a) P [z,8] b) P [z 0,7] c) P [z 0,87] d) P [z,] a) P [z,8] = 0,9 b) P [z 0,7] = 0,9 c) P [z 0,87] = 0,9 d) P [z,] = 0,00 7 En una distribución N (0, ), calcula estas probabilidades: a) P [z =,] b) P [,7 z,8] c) P [, z,] d) P [,87 z,] a) P [z =,] = 0 b) P [,7 z,8] = P [,8 z,7] = P [z,7] P [z,8] = 0,00 c) P [, z,] = P [z,] P [z,] = 0,00 d) P [,87 z,] = P [z,] P [z,87] = P [z,] P [z,87] = = P [z,] ( P [z <,87]) = 0,87,87 0,

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad 8 Calcula k en cada uno de los siguientes casos: a) P [z < k ] = 0,8 b) P [z > k ] = 0,8 c) P [z < k ] = 0,89 d) P [ k < z < k ] = 0,9 a) k = 0,98 b) k = 0,98 c) k = 0,88 d) k =,9 Tipificación 9 En un examen tipo test, la media fue 8 puntos y la desviación típica, 0 puntos. Calcula la puntuación tipificada en los alumnos que obtuvieron: a) 8 puntos b) puntos c) puntos d) 0 puntos μ = 8; σ = 0 a) 8 8 0 = b) 8 =, c) 0 8 0 =,7 d) 0 8 =,8 0 0 Si en el examen del problema anterior la puntuación tipificada de un alumno fue 0,8, cuántos puntos obtuvo? Cuántos puntos corresponden al valor tipificado de 0,? 0,8 0,8 0 + 8 = 0, 0, 0 + 8 = Los pesos de un grupo de elefantes machos adultos tienen una media de toneladas. Si el peso tipificado de un ejemplar de 7 000 kg es 0,, cuál es la desviación típica de la población? Qué tipificación corresponde a un peso de 00 kg? 7 000 000 q = 0, σ = 00 Para un peso de 00 kg 00 000 = = 0, 00 Cálculo de probabilidades en N (μ, σ) En una distribución N (, 0), calcula cada una de estas probabilidades: a) P [x ] b) P [x 0] c) P [0 x ] d) P [0 x 0] a) P [x ] = 0, b) P [x 0] = P < z 0 F = P [z,] = 0,90 = 0,098 0 c) P [0 x ] = P < 0 z F = P [ 0, z,] = 0,08 0 0 d) P [0 x 0] = P [, z 0,] = P [0, z,] = P [z,] P [z 0,] = = 0,90 0,79 = 0,8 En una distribución N (, ), calcula: a) P [x ] b) P [0 x ] c) P [x 8] d) P [0 x 0] a) P [x ] = P < z F = P [z ] = P [z ] = P [z < ] = 0,87 b) P [0 x ] = P [,07 z 0,7] = 0,87 c) P [x 8] = P [z,7] = 0,0 d) P [0 x 0] = P [ 0,7 z 0,] = 0,9

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad En una distribución N (, ), calcula: a) P [x 7] b) P [x 7] c) P [x,] d) P [ x 0] e) P [ x 7] f ) P [, x ] a) P [x 7] = P [z ] = 0,8 b) P [x 7] = 0,87 c) P [x,] = P [z,9] = 0,97 d) P [ x 0] = P [, z 0,] = 0,8 e) P [ x 7] = P [, z ] = 0,70 f ) P [, x ] = P [,9 z <,] = 0,0 Binomial Normal Si lanzamos un dado mil veces, cuál es la probabilidad de que el número de cincos obtenidos sea menor que 00? x es B ( 000; 0,7) x' es N (,7;,79) P [x < 00] = P [x' 99,] = P [z,70] = 0 Una moneda se lanza 00 veces. Calcula la probabilidad de que el número de caras: a) sea mayor que 00. b) esté entre 80 y 0. np = nq = 00 0, = 00 > Se aproxima de forma casi perfecta por una normal. μ = 00, σ = 00 0, 0, = 0 N (00, 0) a) P [x > 00] = P [x' 00,] = P < 00, 00 z F = P [z 0,0] = 0,99 = 0,80 0 b) P [80 x 0] = P [79, x' 0,] =, = P [79, x' 0,] + P < 79 00 0, 00 x' F = 0 0 = P [,0 x',0] = 0,9798 ( 0,9798) = 0,99 7 Se lanza 000 veces un dado de caras. Cuál es la probabilidad de obtener al menos 80 unos? x número de unos. x sigue una distribución B c 000, m = B (000; 0,08) np = 000 0,08 = > nq = 000 ( 0,08) = 8 > npq = 000 0, 08 ( 0, 08) =, Se aproxima de forma casi perfecta por una normal. μ =, σ =, N (;,) P [x 80] = P [x' 79,] = P = 79, 80 z G = P [z 0,0] = 0,00, 7

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad Página 7 Para resolver 8 El tiempo necesario para que una ambulancia llegue a un centro deportivo se distribuye según una variable normal de media 7 minutos y desviación típica minutos. Calcula la probabilidad de que el tiempo de llegada esté comprendido entre minutos y minutos. x es N (7, ) P [ < x < ] = P [, < z <,] = 0,8 9 La talla media de las 00 alumnas de un centro escolar es de cm, y la desviación típica, de 0 cm. Si las tallas se distribuyen normalmente, calcula la probabilidad de que una alumna elegida al azar mida más de 80 cm. Cuántas alumnas puede esperarse que midan más de 80 cm? x Talla. Sigue una normal N (, 0). P [x > 80] = P < z 80 F = P [z,] = 0,9 = 0,08 0 0,08 00 =, Se espera que haya alumnas que midan más de 80 cm. 0 Para aprobar un examen de ingreso en una escuela, se necesita obtener 0 puntos o más. Por experiencia de años anteriores, sabemos que la distribución de puntos obtenidos por los alumnos es normal, con media puntos y desviación típica 0. a) Qué probabilidad hay de que un alumno apruebe? b) Si se presentan al examen 00 alumnos, cuántos cabe esperar que ingresen en esa escuela? x Puntos. Sigue una normal N (, 0). a) P [x > 0] = P < z 0 F = P [z 0,] = 0,9 0 b) 0,9 00 = 7, Se espera que ingresarán 77 alumnos. En una ciudad, las temperaturas máximas diarias durante el mes de julio se distribuyen normalmente con una media de C y una desviación típica de C. Cuántos días se puede esperar que tengan una temperatura máxima comprendida entre C y 8 C? x Temperatura. Sigue una normal N (, ). a) P [ x 8] = P < z 8 F = P [ z 0,] = = P [z 0,] P [z ] = 0, ( 0,8) = 0, b) Como julio tiene días, 0, = 0,8. Se espera que días del mes tengan una temperatura máxima entre C y 8 C. 8

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad Para iluminar el recinto de un estadio deportivo se quieren instalar focos. El suministrador asegura que el tiempo de vida de los focos es una variable normal con media de 00 h y desviación típica de 00 h. a) Cuál es la probabilidad de que un foco elegido al azar luzca por lo menos 000 horas? b) Si se compran 000 focos, cuántos puede esperarse que luzcan al menos 000 horas? x Tiempo de vida. Sigue una normal N ( 00, 00). a) P [x 000] = P < z 000 00 F = P [z,] = 0,998 00 b) 0,998 000 = 99,8 Se espera que 99 focos duren, al menos, 000 horas. Los pesos de 000 soldados presentan una distribución normal de media 7 kg y desviación típica 8 kg. Halla la probabilidad de que un soldado elegido al azar pese: a) más de 7 kg. b) entre 7 y 79 kg. c) menos de 80 kg. d) más de 8 kg. x Peso. Sigue una normal N (7, 8). a) P [x 7] = P < z 7 7 F = P [z 0,] = 0,9 8 b) P [7 x 79] = P < 7 7 z 79 7 F = P [ 0, z 0,] = 0,9 ( 0,987) = 0,90 8 8 c) P [x 80] = P < z 80 7 F = P [z 0,] = 0,7 8 d) P [x 8] = P < z 8 7 F = P [z,] = 0,89 = 0,0 8 La duración de cierto tipo de motor es una variable normal con una media de 0 años y desviación típica de años. El fabricante garantiza el buen funcionamiento de los motores por un periodo de años. Qué porcentaje de motores se espera que no cumplan la garantía? x Duración del motor. Sigue una normal N (0, ). P [x ] = P < z 0 F = P [z 0,7] = 0, = 0,7 8 El, % de los motores no cumplirán la garantía. El 0 % de los alumnos con mejor nota de una escuela pueden acceder a estudios superiores. Sabemos que las notas medias finales en esa escuela se distribuyen normalmente con media,8 y desviación típica. Cuál es la nota media mínima que debe obtener un alumno si quiere hacer estudios superiores? x Nota. Sigue una normal N (,8; ). P [x k] = P = k 8, z G = P = k 8, z G = 0,8 k 8, = 0,8 k = 7, La nota media mínima que debe obtener un alumno, si quiere hacer estudios superiores, es de 7, puntos. 9

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad Un test de sensibilidad musical da resultados que se distribuyen según una N (, 8). Se quiere hacer un baremo por el cual, a cada persona, junto con la puntuación obtenida, se le asigne uno de los siguientes comentarios: duro de oído, poco sensible a la música, normal, sensible a la música, extraordinariamente dotado para la música, de modo que haya en cada uno de los grupos, respectivamente, un 0 %, un %, un 0 %, un 0 % y un % del total de individuos observados. a) En qué puntuaciones pondrías los límites entre los distintos grupos? b) Qué comentario se le haría a una persona que obtuviera una puntuación de 80? Y a otra que obtuviera una puntuación de 0? a) x sigue una normal N (, 8). Duro de oído P [x k] = P < z k F = 0, = 0,9 8 k 8 =,8 k =,87 Poco sensible a la música P [x k] = P < z k F = 0, + 0, = 0, = 0, 8 k 8 Normal = 0, k =,7 P [x k] = P < z k F = 0, + 0, = 0,7 8 k 8 = 0,7 k = 77, Sensible a la música P [x k] = P < z k F = 0,7 + 0, = 0,9 8 k 8 =, k = 9, Puntuación menor que,87 Duro de oído. Entre,87 y,7 Poco sensible a la música. Entre,7 y 77, Normal. Entre 77, y 9, Sensible a la música. Más de 9, Extraordinariamente dotado para la música. b) 80 Sensible a la música. 0 Duro de oído. 0

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad 7 En una población de estudiantes se ha comprobado que la calificación obtenida en inglés sigue una distribución normal de media, si se ha seguido el método A, y una normal de media, si se ha seguido el método B. Se sabe que el % de los alumnos que han seguido el método A obtienen una calificación inferior a, y que el % de los alumnos que han seguido el método B superan el 8. a) Qué porcentaje de estudiantes que siguen el método A no superan la calificación de,? b) Qué porcentaje de estudiantes del método B obtienen una calificación comprendida entre y? a) x calificación en A. La distribución normal es simétrica respecto de su media. Como μ = P [x,] = P [x,] = 0,0 Por tanto, el porcentaje de estudiantes que siguen el método A y no superan la calificación de, es del %. b) x calificación en B. La distribución normal es simétrica respecto de su media. Como μ = P [ x ] = P [ x 8] = P [x 8] P [x ] = ( 0,0) 0, = 0,8 Por tanto, el porcentaje de estudiantes del método B que obtienen una calificación comprendida entre y es del 8 %. 8 En un examen psicotécnico, las notas de Brianda y Christian fueron, respectivamente, 8 y 78. Sabemos que esas puntuaciones tipificadas son,7 y respectivamente. Calcula la media y la desviación típica de la distribución. x calificación. Sigue una normal N (μ, σ). μ, σ son la solución del siguiente sistema: _ 8 µ = 7, b q b ` 78 µ = b q a μ = 70, σ = 8 9 Las alturas de los alumnos de una clase sig,uen una N (μ, σ). Sonia, con 7 cm, y Begoña, con 7 cm, tienen unas alturas tipificadas de, y 0,, respectivamente. a) Cuál es la altura real de Estefanía si su altura tipificada es de? b) Cuál es la tipificación de la altura de Azucena si mide cm? _ 7 µ =, b q b ` 7 µ = 0, b q a a) x μ =, σ = = x = 0 Estefanía mide 0 cm. b) Es la media, luego su tipificación es 0.

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad Página 77 0 El diámetro medio de las piezas producidas en una fábrica es de mm. a) Determina su desviación típica sabiendo que la probabilidad de que una pieza tenga un diámetro mayor que 0 mm es igual a 0,00. b) Si se analizan 80 piezas, cuántas se estima que tendrán un diámetro comprendido entre 9,7 y, mm? a) P [x 0] = 0,00 P [x 0] = P < z 0 F = P < z F = 0,00 q q P < z F = 0,00 = 0,998 =, σ = q q, b) P [9,7 x,] = P < 9 7, z F = P [, z 0,7] = = P [z 0,7] P [z,] = ( 0,77) ( 0,990) = 0, Como hay 80 piezas, 80 0, = 8, Se estima que 8 piezas tendrán un diámetro comprendido entre 9,7 mm y, mm. Una compañía de autobuses sabe que el retraso en la llegada sigue una distribución normal de media min, y que el 8, % de los autobuses llega entre y 8 minutos tarde. a) Cuál es la desviación típica? b) Cuál es la probabilidad de que un autobús llegue puntual o antes de la hora? a) P [ x 8] = P < z 8 F = P < z F = P < z F P < z F = q q q q q q P < z F = q = P < z F f Pz < F p = P < z F = 0,8 q q q + 0, 8 = 0,8 q = σ = b) P [x 0] = P < z F = P [z,7] = 0,9 = 0,07 En un bombo de lotería tenemos 0 bolas numeradas del 0 al 9. Cada vez que se extrae una, se devuelve al bombo. Si hacemos 00 extracciones, calcula la probabilidad de que el 0 salga más de veces. x número de ceros. Sigue una binomial B (00; 0,). np = 0 > nq = 90 > Se puede aproximar por una normal. npq = 00 009,, = x' sigue una normal N (0, ). P [x ] = P [x',] = P <, 0 z F = P [z 0,] = 0,9 = 0,08

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad Un juego consiste en lanzar tres dados. Ganas si obtienes tres resultados distintos y la suma de los dos menores es igual al mayor. Qué probabilidad hay de ganar al menos 00 veces de 00 partidas? Los casos favorables son: (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) y cada uno de estos casos se puede conseguir de! = formas distintas. Por tanto: P [ganar] = = x número de partidas ganadas. Sigue una binomial B c00, m. np = 00 = 00 > nq = 00 = 00 > npq = 00 = 9, x se puede aproximar por una normal N (00; 9,). P [x 00] = P [x' 99,] = P = 99, 00 z G = P [z 0,08] = P [z 0,08] = 0,99 9, En un hospital, el % de los nacimientos son niñas. Halla la probabilidad de que de 00 nacimientos, el número de niños esté entre 00 y 00, ambos inclusive. x número de niños. Sigue una binomial B ( 00; 0,). np = 00 0, = 0 > nq = 00 0, = 0 > npq = 00 0, 0, =,9 x se puede aproximar por una normal N ( 0;,9). P [00 x 00] = P [99, x' 00,] = P = 99, 0 00, 0 z G =, 9, 9 = P [,98 z 0,0] = 0,97 = 0,09 Un examen tipo test tiene 0 preguntas y cada pregunta, tres respuestas diferentes, solo una de las cuales es correcta. Para aprobar, hace falta responder bien a preguntas; para sacar un notable, a ; y para un sobresaliente, a. Si se responde al azar, cuál es la probabilidad de aprobar? Y la de sacar notable? Y sobresaliente? x número de respuestas correctas. Sigue una binomial B c0, m. np = 0 nq = 0 npq 0 = 0 =,7 > = 00 > =,

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad x se puede aproximar por una normal N (,7;,). Si entendemos por aprobar obtener aprobado sin llegar a notable, entonces: P [aprobar] = P [ x < ] = P [, x',] = P =, 7,,, z G 7 P= z G =,, = P [z,] P [z,] = 0,990 = 0,009 P [notable] = P [ x < ] = P [, x',] = P [x',] P [x',] = = P =, 7,,, z G 7 P= z G = P [z 8,] P [z,] = = 0,, P [sobresaliente] = P [x ] = P [x',] = P =, 7, z G = P [z 8,] = 0, Cuestiones teóricas Qué relación guardan dos curvas de la distribución normal con la misma media y diferente desviación típica? Y si tienen la misma desviación típica y diferente media? Si tienen la misma media, están centradas en la misma vertical. Cuanto mayor es la desviación típica, menor altura tiene la curva en la vertical de la media. Si tienen la misma desviación típica, son igual de altas, tienen la misma forma, pero una está desplazada a la izquierda de la otra. 7 Las notas de un examen siguen una normal. El,87% tiene una nota superior a 7, y el,87%, una nota inferior a. a) Cuál es la media del examen? b) Qué porcentaje de alumnos tiene una nota entre y 7? x nota. Sigue una normal N (μ, σ). a) Por la simetría de la distribución normal, de los datos se deduce que μ =. b) Calculamos P [x 7]: P [x 7] = 0,87 P [x 7] = 0,87 = 0,8 Por tanto: P [ x 7] = P [x 7] P [x ] = 0,8 0, = 0, Un, % de los alumnos tiene entre y 7.

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad Para profundizar 8 En la fabricación de una pieza intervienen dos máquinas. A: produce un taladro cilíndrico cuyo diámetro, en milímetros, es N (; 0,). B: secciona las piezas con un grosor que es, en centímetros, N (,; 0,). Ambos procesos son independientes. a) Calcula qué porcentaje de piezas tiene un taladro comprendido entre 0, y mm. b) Encuentra el porcentaje de piezas que tienen un grosor comprendido entre 0, y,7 cm. c) Suponiendo que solo son válidas las piezas cuyas medidas son las dadas en a) y en b), calcula qué porcentaje de piezas aceptables se consigue. a) x diámetro. Sigue una normal N (; 0,). P [0, x ] = P = 0, z G = P =, z G 0 P= z G = 0, 0, 0, 0, = P [z ] P [z ] = 0,977 ( ) = 0,977 Un 97,7 % de piezas tiene un taladro comprendido entre 0, mm y mm. b) x grosor. Sigue una normal N (,; 0,). P [0, x,7] = P = 0,,, 7, z G = 0, 0, = P =, 7,,, z G 0 P= z G = 0, 0, = P [z ] P [z,] = 0,9987 ( 0,9798) = 0,978 Un 97,8 % de piezas tiene un grosor comprendido entre 0, cm y,7 cm. c) Como los procesos son independientes: P [diámetro válido y grosor válido] = 0,977 0,978 = 0,99 Hay un 9, % de piezas válidas. 9 Se lanzan dos dados 0 veces y se suman los puntos: suma 7 8 9 0 veces 8 9 0 9 Se puede aceptar que esta distribución proviene de una normal? Calculamos los parámetros de la distribución: x i f i f i x i f i x i 7 8 9 0 8 9 0 9 0 8 7 0 8 7 7 70 9 0 0 00 7 7 total 0 8 8 x = = 7,0 s = 7, 0 =, 0 0

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad Consideramos la distribución N (7,0;,). extremos de los intervalos x k extremos tipificados z k P [z z k ] p k = = P [z k z z k + ] 0 p k números teóricos números obtenidos diferencias,,,,,, 7, 8, 9, 0,,,,7,8,,0 0, 0, 0,0 0,,0,,8, 0,0 0,0 0,07 0,9 0, 0,9 0,79 0,79 0,8 0,9 0,97 0,9878 0,098 0,0 0,077 0, 0,8 0, 0,98 0,70 0,077 0,0 0,007,7,0 9,08,8 7,8 9,98 7,97,0 9,,,8 9 8 0 8 0 8 9 0 9 0 0 0 Las diferencias son muy pequeñas; podemos admitir la hipótesis de normalidad. Las sumas de los puntos siguen una distribución normal.

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad Autoevaluación Comprueba que y = x, x es una función de densidad. Represéntala y calcula: a) P [x = ] b) P [x < ] c) P [x >,] d) P [ x <,] f (x) = x, x, es una función de densidad (de una distribución estadística ) porque: Es no negativa (es decir, x 0 en el intervalo [, ]), pues para x =, f () = = 0. Y como es creciente se tratadeuna rectadependiente c m, f (x) > 0 para < x. Suponemos que f (x) = 0 fuera del intervalo [, ]. El área bajo la curva es la de un triángulo de base y altura. Por tanto, área =. a) P [x = ] = 0, pues en las distribuciones las probabilidades puntuales son 0. b) P [x < =, pues es el área de un triángulo de base y altura. c) P [x >,] f (,) = f () =, = 0,7 Área del trapecio = + 0, 7 (,) = 0,7, P [x >,] = 0,7 d) f () = 0,; f (,) = 0,7 P [ x,] = ( 0, + 07, ) 0, 7 = 0,87, 7

Unidad 0. Distribuciones de probabilidad Sabemos que una variable z es N (0, ). a) Calcula las siguientes probabilidades: P [, < z <,] P [, < z <,] b) Halla b y k para que se cumpla lo siguiente: P [z < b ] = 0, P [ k < z < k ] = 0,9 a) P [, < x <,] = P [z <,] P [z <,] = ϕ(,) ϕ(,) = 0,98 0,970 = 0,0 P [, < z <,] = P [z <,] P [z <,] = ϕ(,) [ ϕ(,)] = = ϕ(,) + ϕ(,) = 0,99 b) P [z < b ] = 0, = 0, = P [z 0,] = P [z 0,] b = 0, P [ k < z < k ] = P [z < k ] P [z < k ] = P [z < k ] ( P [z < k]) = = P [z < k ] = 0,9 P [z < k ] = 0,9 k =, En una distribución normal de media, el dato 7 se tipifica como. Halla la desviación típica de la distribución. 7 q = = σ La desviación típica es. El cociente intelectual (C.I.) de un colectivo de bomberos se distribuye normal, de media 08 y desviación típica,. Llamamos x al C.I. de uno de ellos tomado al azar. Calcula: a) P [x < 00] b) P [x > ] c) P [00 < x < ] x es N (08;,) z = x 08 es N (0, ), a) P [x < 00] = P < z < 00 08F = P [z <,9] = ϕ(,9) = 0,9890 = 0,0, b) P [x > ] = P = z > 08 G = P [z > ] = ϕ() = 0,977 = 0,08, c) P [00 < x < ] = P [,9 < z < ] = ϕ() [ ϕ(,9)] = ϕ() + ϕ(,9) = 0,9 El tiempo que tardo en llegar a clase sigue una normal de media 0 minutos. He comprobado que el 9, % de los días tardo menos de 8 minutos. Si en todo el año voy 77 días a clase, cuántos días puedo estimar que tardaré menos de un cuarto de hora en llegar? x tiempo que tardo. Sigue una normal N (0, σ). P [x 8] = P < z 8 0F = 0,9 8 =, σ = q q x tiempo que tardo. Sigue una normal N (0, ). P [x ] = P < z 0 F = P [z ] = 0,8 = 0,87 Como voy 77 días, 77 0,87 = 8,090. Estimo que 8 días de los 77 tardaré menos de minutos. El 7 % de las personas padecen un pequeño defecto anatómico. En una empresa trabajan 80 personas. Cuál es la probabilidad de que haya más de 0 con ese defecto? x es B (80; 0,07) μ = 80 0,07 =,; σ = 80 007, 0, 9 =, 08 =,8 x' es N (,;,8); P [x > 0] = P [x ] = P [x' 0,] = P = 0,, z G = 8, = P [z,] = ϕ(,) = 0,98 = 0,08 8