Resolución de Polinomios Ciertamente que la resolución de polinomios es un tema interesante, es básicamente inevitable, para alguien que maneje un cierto nivel matemático, obviamente que la resolución de estos posee infinidad de aplicaciones, y su estudio abarca siglos de investigación, es sin duda un tema recurrente, y de fascinación, obviamente además de la belleza de una buena demostración, en matemática es de cierto algo complicado, hallar una solución original, aquí expongo sin mas preámbulos dos soluciones originales halladas por mi a mediados de 2008, para la ecuación de segundo grado, aquí para la de segundo grado, primero con el método de Tschirnhausen, obviamente que básicamente el mismo Tschirnhausen hallo la solución de la ecuación de segundo grado de mano propia, y creyó que obtendría soluciones asimismo para grados superiores ciertamente que es posible hallar soluciones para grados superiores, con el método de Tschirhausen, como el tercero y el cuarto, bien que con ecuaciones auxiliares, es mi creencia, que ciertamente la solución general de las ecuaciones de tercero y cuarto grado, vino de la mano de este matemático, es mi opinión asimismo, que Tartaglia y Ferrari solo hallaron soluciones particulares Tartaglia la del tercero y Ferrari la del cuarto, pero obviamente que a falta de documentos a la mano uno tiende a crearse su opinión, por ejemplo Tartaglia pudo resolver las formas;, bien que probablemente no la forma general;, existe un ingenioso artificio ideado por mí para transformar la una en la otra, y que presumiblemente utilizo Tartaglia para resolver la forma;, ciertamente que Ferrari según lo que cuentan ciertos documentos escuetos que pude ver tan solo resolvió la forma;, esto, en el sentido de que, las ecuaciones generales del cuarto y tercero, pueden ser reducidas a esas formas, mediante la transformación de Tschirnhausen, existen dos maneras de lograr la transformación, en cierta forma esta transformación de Tschirnhausen, puede ser vista como un cambio de variable por translación, obviamente que conocemos que existen dos tipos de cambio de variable básicos que son por translación y por rotación de los ejes coordenados, por
ejemplo sea la ecuación completa de tercer grado, vamos a tratar de transformarla a las formas reducidas expuestas anteriormente, mediante transformación de Tschirnhausen, sea; (1), hagamos el cambio de variable; (2), desarrollando;, reagrupando términos;, en este caso la variable de manera que; (3), de modo que obtenemos la forma; (4), donde;, bien el cambio puede ser visto de otra manera, suponiendo que el coeficiente es parte de un binomio cúbico perfecto, que se superpone a la forma de la ecuación, de manera que;, haciendo el cambio de variable;, aplicando estos cambios a la ecuación, obtenemos;
, de manera que de nuevo obtenemos la forma;, donde;, que es análoga a la transformada precedente, son dos maneras alternas de practicar la misma transformada, obviamente que lo que nos trae aquí es la resolución de la ecuación de segundo grado, por medio de este tipo de artificio matemático;, donde no perdemos grado de generalidad dividiendo por el primer coeficiente, de manera que tenemos la forma; (5), simplemente haciendo el cambio de 2, en 5;, haciendo;, de donde obtenemos;, de manera que;
, de donde; (6), que es la solución a la ecuación, podemos desarrollar un poco mas hasta obtener; (7), que es obviamente una solución de la ecuación de segundo grado por medio del método de Tschirnhausen, existe un método adicional para resolver la ecuación de segundo grado de un modo diferente, de hecho existen varios métodos, aquí uno de ellos, primero desarrollemos el binomio; (8), bien sea la ecuación 5, podemos llegar a lo siguiente;, además;, esto de manera que;, desarrollando el miembro de la izquierda tenemos;, haciendo explicito el valor de (9)
, que es una manera alterna de hallar la solución a la ecuación de segundo grado, para llevarla a la forma de 7, multipliquemos y dividamos, por el conjugado del denominador;, de donde obtenemos;, que como sabemos puede ser llevada a la forma de 7, otra manera de operar es a la inversa, supongamos la ecuación;, de manera que;, de modo que;, haciendo explicito el valor de la variable;, de manera que de esta forma obtenemos la solución, que puede ser llevada a la forma de 7, obviamente que en un sentido mas amplio la gran resolubilidad de la ecuación de segundo grado posee un significado interesante en la teoría de los cuerpos