TRIGONOMETRÍA La trigonometria es una rama de las matemáticas que estudia los triángulos. En el estudio geométrico de un triángulo se definieron una serie de funciones propias que con el paso de los años se denominan razones trigonométricas. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES Dado un triángulo rectángulo cualquiera se definen las razones trigonometricas para el ángulo α de la forma, RAZONES TRIGONOMÉTRICAS ÁNGULOα sin α = cateto opuesto hipotenusa = a c cos α = cateto contiguo hipotenusa = b c tan α = Y sus inversas como cateto opuesto cateto contiguo = sin cos = a b csc α = 1 sin α sec α = 1 cos α α = 1 cot α Como vemos en la figura, el triángulo rectángulo podemos inscribirlo en una circunferencia, si además parametrizamos la hipotenusa a la unidad (circunferencia goniométrica) y utilizamos como medida de ángulos, los grados sexagesimales o los radianes (Sistema Internacional de unidades), podemos averiguar cuanto vale el sin y el cos del triangulo inscritoen función solamente de los catetos. De igual forma, si sobre el triángulo rectángulo inscrito en la circunferencia goniométrica aplicamos el teorema de Pitágoras, obtenemos la ecuación fundamental de la trigonometría. a + b = h sin α + cos α = 1 Siendo h la hipotenusa, a = sin α y b = cos α. A partir de esta identidad podemos dividir por el cos α o por el sin α y encontrar dos nuevas identidades que nos permitan hallar facilmete las razones trigonométricas de cualquier ángulo. cos α sec α = tan α + 1 sin α csc α = 1 + cot α DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 1
En el siguiente dibujo podemos ver los valores que toman las razones trigonométricas para los ángulos principales (tomados éstos como grados sexagesimales o por radianes), también podemos observar como varian los signos del seno y del coseno dependiendo del cuadrante donde nos encontremos. Para este hecho es fácil ver que el seno se corresponde con el signo que toma el eje de ordenadas y el coseno con el signo que toma el de abcisas. ( 1 ),,,, 1 ( ), 1, 5 150 10 15 (0, 1, not ) 90 0 5 ( 1,, ) 0 (,, 1 ) (, 1, ) ( 1, 0, 0) 180 0 0 (1, 0, 0) (, 1 ), 7,, 1 5 10 5 15 0 00 70 ( 1,, ) (0, 1, not ) 5 0 7 11 ( ), 1, ( ),, 1 1,, Las funciones trigonométricas seno y coseno son periódicas, sus valores fluctuan entre 1 y 1, esto provoca que cuando estemos en el primer cuadrante (ángulos suplementarios) los valores de ambas funciones se relacionan mediante las expresiones, cos( α) = sin α sin( α) = cos α tan( α) = cot α Los ángulos complementarios son aquellos que se encuentran en el segundo cuadrante. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Su relación con los del primer cuadrante (siendo α del primer cuadrante) se expresan como, cos( α) = cos α sin( α) = sin α tan( α) = tan α Para ángulos comprendidos en el tercer cuadrante tenemos, cos( + α) = cos α sin( + α) = sin α tan( + α) = tan α Y para ángulos negativos o comprendidos en el cuarto cuadrante, cos( α) = cos α sin( α) = sin α tan( α) = tan α NOTA: Recordar que la medida de los ángulos se toman siempre en sentido antihorario y que parten desde el semieje positivo de las x. SUMA y RESTA DE ÁNGULOS A partir de un ángulo dado podemos conocer los valores de ls razones trigonométricas pero, lo normal, es no conocerlas. Sin embargo, dado cualquier ángulo, éste se puede dar como suma o resta de dos ángulos de los cuáles sabemos sus razones. Esto es, ÁNGULO DOBLE sin(γ) = sin(α ± β) = sin α cos β ± sin β cos cos(γ) = cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β tan(γ) = tan(α ± β) = tan α ± tan β 1 tan α tan β Teniendo en cuenta la suma de ángulos, podemos averiguar cuál es el ángulo doble como suma de dos ángulos. Es decir, si tomamos en las expresiones anteriores que β = α nos queda sin(α) = sin α cos α ÁNGULO MITAD cos(α) = cos α sin α = cos α 1 tan(α) = tan α 1 tan α De igual forma, si partimos de la expresión para el coseno del ángulo doble y hacemos uso de la ecuación fundamental de la trigonometría, podemos hallar el valor para el ángulo mitad. sin( α ) = ± 1 cos α DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
cos( α ) = ± 1 + cos α tan( α ) = ± 1 cos α 1 + cos α RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Para la resolución de cualquier problema en el que tenemos triángulos lo primero que tenemos que tener en cuenta, y que suele ser uno de los mayores errores que se producen, es que el teorema de pitágoras sólo es aplicable a triángulos rectángulos. Sin embargo, esto no tiene que ser causa de ningún problema puesto que cualquier triángulo puede ser transformado en un triángulo rectangulo. ˆB Para todos los triángulos:  c m h b n a Ĉ  + ˆB + Ĉ = 180o Teorema de la altura h = m n Teorema de los catetos: a = b n y c = b m TEOREMA DEL SENO Para hallar el teorema del seno, por ejemplo hallamos la altura sobre los ángulos  y Ĉ e igualamos, finalmente extrapolando a todos los catetos, nos queda TEOREMA DEL COSENO a sin Ĉ = c sin  = a sin  = b sin ˆB = c sin Ĉ En este caso, sobre le mismo triángulo anterior, aplicamos para cada uno de los triángulos rectángulos el teorema de pitágoras realizando el cambio m = b x y n = x. c = h + (b x) = h + b + x bx a = h + x h = a x Sustituimos el valor de la altura en la primera ecuación y teniendo en cuenta que el cos Ĉ = x a,nos queda el teorema del coseno para cada cateto, a = b + c bc cos  b = a + c ac cos ˆB c = b + a ba cos Ĉ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
AREA DEL TRIANGULO AREA = base altura = b h = ba sin Ĉ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 5