Genealidades y ángulos en la cicunfeencia II Medio 2016
pendizajes espeados Identifica los elementos de una cicunfeencia y un cículo. Calcula áeas y peímetos del cículo, del secto cicula y del segmento cicula. Identifica y clasifica ángulos en la cicunfeencia, aplicando sus popiedades y teoemas. Resolve ejecicios que involucen teoemas de ángulos en la cicunfeencia.
1. Elementos de la cicunfeencia y del cículo 2. Áea y peímeto 3. Popiedades de ángulos
1. Elementos de la cicunfeencia y del cículo 1.1 Definición Cículo Región del plano limitada po una cicunfeencia Cicunfeencia Línea cuva, ceada y plana, cuyos puntos equidistan (igual distancia) de un punto fijo llamado cento.
1. Elementos de la cicunfeencia y del cículo 1.2 Radio () y diámeto (d) : cento de la cicunfeencia d B B: adio = Segmento que une el cento de la cicunfeencia con cualquie punto de ella. B: diámeto = d = 2 Es la línea ecta que pasa po el cento y une dos puntos opuestos de la cicunfeencia. El diámeto divide a la cicunfeencia en 2 semicicunfeencias, es deci, co B = co B
1. Elementos de la cicunfeencia y del cículo 1.3 Cueda y secante B: Cueda Segmento que une dos puntos distintos de la cicunfeencia. B El diámeto es la cueda que pasa po el cento de la cicunfeencia y tiene la mayo longitud. B: Secante Recta que intesecta a la cicunfeencia en 2 puntos, fomando una cueda.
1. Elementos de la cicunfeencia y del cículo 1.4 Tangente Recta que intesecta en un solo punto a la cicunfeencia. Este punto es llamado punto de tangencia o punto tangencial. : cento de la cicunfeencia : adio : Punto de tangencia L: Tangente L L
1. Elementos de la cicunfeencia y del cículo 1.5 co de cicunfeencia Coesponde a una pate de la cicunfeencia. Su lectua es en sentido anti-hoaio (contaio a los punteos del eloj). B B : aco de cicunfeencia Los puntos y B de la cicunfeencia, deteminan el aco B.
1. Elementos de la cicunfeencia y del cículo 1.6 Secto y segmento cicula a B Secto cicula : cento de la cicunfeencia : adio B : aco de cicunfeencia Es una facción del áea del cículo deteminada po dos adios y un aco. : cento de la cicunfeencia B B : cueda B : aco de cicunfeencia Segmento cicula Es una facción del áea del cículo, deteminada po una cueda y un aco.
2. Áea y peímeto 2.1 Áea del cículo Si es el adio, entonces: Áea cículo = p 2 Ejemplo: Detemina el áea del cículo cuyo diámeto mide 20 cm. Si el diámeto mide 20 cm, entonces el adio mide 10 cm. Luego, el áea del cículo es: = p 10 2 = 100p cm 2
2. Áeas y peímetos 2.2 Peímeto de la cicunfeencia Si es el adio y d el diámeto, entonces: Peímeto = 2 p ó Peímeto = p d Ejemplo: Detemina el peímeto de una cicunfeencia cuyo adio mide 15 cm. P = 2 p 15 P = 30 p cm.
2. Áeas y peímetos 2.3 Longitud de un aco de cicunfeencia : cento de la cicunfeencia : adio B B : aco de cicunfeencia : ángulo del cento Longitud de aco = B = 2p 360 Un aco coesponde a una pate de la cicunfeencia. Luego, es una facción del peímeto (2 p ) o del aco completo (360 ). En ambos casos, su medida depende del ángulo del cento que lo detemina ( ).
2. Áeas y peímetos 2.4 Áea y peímeto de un secto cicula secto = p 2 360 B P secto = B + 2 P secto = 2p 360 + 2 : cento de la cicunfeencia : adio B : aco de cicunfeencia : ángulo del cento
2. Áeas y peímetos 2.5 Peímeto de un segmento cicula P segmento = B + B B P segmento = 2p 360 + B Segmento cicula : cento de la cicunfeencia B : cueda B : aco de cicunfeencia
Ejemplo Detemina el áea y peímeto de la zona achuada de la figua. : cento de la cicunfeencia. secto = 60 p 3 2 360 3 60º B secto = 1 p 9 6 secto = 3 p 2 2p 3 60 P secto = + 2 4 360 P secto = p + 8
3. Ángulos en la cicunfeencia 3.1 Ángulo del cento y ángulo inscito. Ángulo del cento: Tiene el vétice en el cento de la cicunfeencia y mide lo mismo que el aco que subtiende. Ejemplo: Si el aco B = 45º, entonces = 45º 45º B 45 : cento de la cicunfeencia
3. Ángulos en la cicunfeencia 3.1 Ángulo del cento y ángulo inscito B. Ángulo inscito: Tiene el vétice en la cicunfeencia y mide la mitad del aco que subtiende. Ejemplo: Si el aco B = 50º, entonces = 25º 25 B 50
3. Ángulos en la cicunfeencia 3.1 Ángulo del cento y ángulo inscito Coolaio: Si un ángulo inscito y un ángulo del cento subtienden el mismo aco, entonces el ángulo del cento es el doble del ángulo inscito. : cento de la cicunfeencia 2 B demás, se cumple que: = g + d 2 2 d g
Ejemplo En la figua, si el ángulo del cento B mide 70, entonces el ángulo inscito CB mide 35. C 35º 70º B : cento de la cicunfeencia
3. Ángulos en la cicunfeencia 3.2 Igualdad de ángulos inscitos Si dos o más ángulos inscitos subtienden el mismo aco, entonces miden lo mismo. b g = b = g
3. Ángulos en la cicunfeencia 3.3 Tiángulo inscito en una semicicunfeencia Todo tiángulo inscito en una semicicunfeencia es ectángulo con hipotenusa igual al diámeto.. 180 : cento de la cicunfeencia
3. Ángulos en la cicunfeencia 3.4 Cuadiláteo inscito en una cicunfeencia En todo cuadiláteo inscito en una cicunfeencia, los ángulos opuestos son suplementaios. Ejemplo: 92º b 110º g 70º d 88º + δ = 180 g + β = 180
3. Ángulos en la cicunfeencia 3.5 Teoema del ángulo exteio Si es ángulo exteio de la cicunfeencia, entonces: D C B = B CD 2
3. Ángulos en la cicunfeencia 3.6 Teoema del ángulo inteio Si es ángulo inteio de la cicunfeencia, entonces: B D C = B + CD 2