ENSEÑEMOS MATEMÁTICA FAVORECIENDO LA

ENSEÑEMOS MATEMÁTICA FAVORECIENDO LA COMUNICACIÓN Y LA ACTIVIDAD DEL ALUMNO Susana González de Galindo, Patriia Villalonga de Garía, Marta Marilla Faultad de Bioquímia, Químia y Farmaia. Universidad Naional de Tuumán. Prov. de Tuumán (Argentina) sgalindo@fbqf.unt.edu.ar, pvillalonga@fbqf.unt.edu.ar, marmarilla@fbqf.unt.edu.ar RESUMEN En este trabajo se desribe la estrutura de una estrategia didátia elaborada para superar la metodología de enseñanza, de orte tradiional, vigente aún en lases masivas de Matemátia de primer año universitario. Fue diseñada onsiderando riterios orientadores de la enseñanza de la Matemátia, derivados de teorías ognitivas del aprendizaje. INTRODUCCIÓN Matemátia I es una asignatura del primer uatrimestre de primer año de las arreras que se ursan en una Faultad argentina de ienias. En ella se desarrollan ontenidos básios del Cálulo Diferenial e Integral de una variable. Sus lases, de tipo tradiional, se araterizaban por: defiiente relaión doente-alumno (1/400 en las lases teórias y 1/100 en las prátias), alumnos pasivos y desmotivados y mínima omuniaión entre los partiipantes. El objetivo de este trabajo fue diseñar una estrategia didátia, en la que se reurre al uso de un material instruional, elaborado según lineamientos de teorías ognitivas, que favoree la atividad del alumno y la omuniaión entre los agentes del ato eduativo. La misma fue implementada en el año 2006. MARCO TEÓRICO Las tendenias pedagógias seleionadas para fundamentar teóriamente la estrategia didátia que se desribe en este trabajo, fueron: el Enfoque Histório Cultural de Vigotsky on la Teoría de la Atividad de Leontiev, las teorías Psiogenétia de Piaget y del Aprendizaje signifiativo de Ausubel y prinipios de la Esuela Franesa de Didátia de la Matemátia (González, 1996; Coll, Palaios y Marhesi, 1992; Pérez Gómez, 1992; Moreira, 1997; Gasón, 2001; Sadovsky, 2005). El estudio de estas teorías y el análisis de los Estándares para la enseñanza y para la 3

evaluaión de la enseñanza del Consejo Naional de Profesores de Matemátias de Estados Unidos (NCTM) (NCTM, 1989; 1991; 1995; 2000) permitieron elaborar el Maro teório de referenia. Se adoptó omo modelo de aprendizaje, el que sostienen las teorías ognitivas estruturalistas, las que onsideran que el origen de los ambios es interno y atribuyen importania relevante tanto al signifiado de los aprendizajes omo a la influenia de los fatores soiales. CRITERIOS ORIENTADORES DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA Del maro teório se derivaron los siguientes riterios que debieran guiar el proeso de enseñanza, la seleión y forma de presentaión de las distintas atividades que se propongan al alumno, la modalidad del desarrollo de las lases, el diseño de los instrumentos de evaluaión y el proeso de evaluaión del aprendizaje de la Matemátia (González de Galindo, 2003): Durante el proeso de enseñanza y aprendizaje el doente debería: C 1 ) Favoreer el protagonismo ativo del estudiante omo responsable de su aprendizaje. C 2 ) Propiiar el interambio grupal de signifiados. C 3 ) Otorgar mayor dinamismo al proeso de enseñanza y aprendizaje, on un ritmo que mantenga atenión e interés, onsiderando a la evaluaión formativa omo medio para introduir los ambios pertinentes para ajustar diho proeso a las araterístias y apaidades de los alumnos. C 4 ) Presentar los ontenidos de modo de failitar el desarrollo de las habilidades propias del onoimiento matemátio: definir, demostrar, identifiar, interpretar, reodifiar, grafiar, resolver, omparar, modelar, algoritmizar, alular, optimizar, aproimar y ontrolar (Hernández Fernández et al, 2001). C 5 ) Favoreer el ambio del rol doente, desde el de transmisor de onoimientos iertos y aabados, al de failitador de aprendizajes entrados en uestionamientos, refleión rítia y onstruión de signifiados, on la apaidad de generar en la lase una atmósfera de opartiipaión distendida. 4 C 6 ) Despertar el interés por los ontenidos matemátios, basándose en el uso y neesidad prátia de los mismos para resolver problemas vinulados a la ienia y a la vida diaria.

C 7 ) Diseñar las atividades de lases y los instrumentos de evaluaión del aprendizaje estableiendo oneiones entre ontenidos, de modo que se apreie la importania que se oneden a los aprendizajes signifiativos. DESCRIPCIÓN DE LA ESTRATEGIA DIDÁCTICA Pautas Generales La propuesta metodológia que se presenta tiene omo finalidad promover el desarrollo de los alumnos, atribuyéndoles un papel ativo en su aprendizaje para lograr que sean ellos quienes generen y onstruyan el onoimiento, onfiriendo al doente el rol de failitador y orientador (Coll, 1992). Para promover el interambio de signifiados, se deidió estimular la partiipaión grupal. Se optó por la siguiente modalidad de asistenia a la zona de desarrollo próimo (ZDP) de Vigotsky: olaboraión en atividades ompartidas omo fator onstrutor del desarrollo y preguntas de aráter mayéutio. La interaión entre ompañeros pretende failitar el aprendizaje, ya que frente a un problema, alumnos on apaidades similares atúan en forma más efiiente que omo lo haen en forma individual (Hernández Fernández et al., 2001; Villani y Orquiza, 1995; Aravi, 1999). Para onseguirlo, onsiderando los riterios del maro teório y atendiendo a las limitaiones del onteto, se diseñó un material instruional ad ho para desarrollar los ontenidos de Continuidad de una funión en oho horas reloj. Esta guía fue elaborada dejando espaios en blano para ser llenados por los alumnos durante el desarrollo de las lases. Antes de su implementaión fue sometida a validaión por pares (González de Galindo, Marilla y Villalonga de Garía, 2006). Antes de llevar a la prátia la estrategia se analizaron los resultados de una prueba de lápiz y papel, destinada a evaluar los onoimientos previos de los alumnos, requeridos para el aprendizaje de Continuidad de una funión. Cada alumno, al desarrollar las atividades inluidas en la guía debía iniialmente interambiar opiniones on los ompañeros de un minigrupo, para luego ompartir posturas on el resto de la lase, bajo la orientaión e intervenión oportuna del profesor. En el debate en el aula se intentó favoreer la metaogniión ya que al omparar y relaionar los distintos ontenidos, los alumnos epliitan sus propios riterios de omprensión (Campanario y Moya, 1999). Con respeto a la enseñanza se onsideró neesario emplear métodos partiipativos, haer matemátias omo un trabajo de modelizaión, mostrándola omo un produto temporal e histório, inluir atividades motivadoras y apliaiones ulturales que posibiliten llegar a la instituionalizaión del saber (Sadovsky, 2005). 5

Con respeto al aprendizaje se vio la neesidad de favoreer la omuniaión entre los distintos lenguajes matemátios, plantear situaiones de aprendizaje por desubrimiento e investigaión y atividades de soluión abierta. Con respeto a la evaluaión se onsideró que debía tener aráter formativo y oneder importania a la evaluaión de ontenidos oneptuales, proedimentales y atitudinales (Villalonga de Garía, 2003). La estrategia didátia diseñada, uya estrutura se desribe en este trabajo, puede onsiderarse una adaptaión del ilo refleivo ooperativo (Gómez Garía e Insausti Tuñon, 2004). La misma responde, también, a las onsideraiones sobre el espaio oletivo de enseñanza y aprendizaje realizadas por Biio (2005). PROCESOS DESARROLLADOS PARA LOGRAR EL CONOCIMIENTO La estrutura de la estrategia didátia onsta de diversos momentos que los alumnos deben atravesar para llegar a la definiión formal de los oneptos. Estos momentos están relaionados on los siguientes proesos: - Conientizaión de las ideas previas y del grado de dominio de los prerrequisitos de aprendizaje. - Confrontaión de las propias ideas y de las onsensuadas en el pequeño grupo. - Introduión formal de los oneptos y teoremas. - Apliaión de los nuevos ontenidos. MOMENTOS DEL TRABAJO EN EL AULA El modelo de trabajo en el aula pone énfasis en la naturaleza individual y oletiva del proeso de aprendizaje. Se deidió alternar espaios de trabajo independiente, destinados a la refleión del alumno sobre sus estruturas ognitivas, on otros destinados a la interaión ooperativa. El trabajo en el aula está planifiado para ser desarrollado en seis momentos: Momento 1: Indiaiones del doente y letura de la atividad de la guía. En este momento el doente debe omentar sobre los oneptos que se desarrollarán y formular preguntas relativas a prerrequisitos para su aprendizaje. Frente a ada atividad debe brindar las indiaiones neesarias. 6

Momento 2: Refleión personal. Fase en la que el estudiante omienza a involurarse ativamente en el proeso de aprendizaje de forma individual, tomando onienia de sus onoimientos sobre el tema. Para ompletar los espaios en blano, intenionalmente interalados en la guía, el alumno debe interrelaionar oneptos, emitir juiios y formular hipótesis, obteniendo una soluión personal a la atividad planteada. Momento 3: Disusión intra grupo. Los alumnos omparten on sus ompañeros del pequeño grupo lo que ada uno ha ompletado. Luego de un proeso de disusión e interambio de ideas, ada minigrupo debe dar una soluión onsensuada. En este momento, la omuniaión entre los partiipantes es un requisito indispensable para el desarrollo de la atividad. Momento 4: Disusión plenaria. Debido a la masividad, pretender que ada pequeño grupo eponga sus resultados requeriría de muho tiempo, por lo que se deidió que el doente, después de supervisar rápidamente el trabajo de los grupos, seleione para ser epuesta en la pizarra, aquella soluión que pueda tener onnotaiones más adeuadas para la reestruturaión y apropiaión de los ontenidos abordados. En este momento, el doente debe oneder espaios de disusión para todas las uestiones en las que no haya auerdo, puntualizar los errores en que inurran los alumnos al eponer sus puntos de vista y refleionar sobre ellos, reforzando, por otra parte, las respuestas que onsidere orretas. Esta puesta en omún orresponde a una situaión de aprendizaje y onfrontaión, en la que el doente interviene para failitar la omuniaión y la onstruión de onoimientos, promoviendo interambios y debates ooperativos. Momento 5: Instituionalizaión del saber. Es la etapa de reestruturaión de las ideas y de la introduión formal de los nuevos ontenidos matemátios. A partir de las observaiones realizadas en momentos anteriores, el profesor señala qué hallazgos pueden onsiderarse válidos de auerdo a lo estableido por la omunidad ientífia. Momento 6: Resoluión de situaiones problemátias. El alumno debe apliar los nuevos ontenidos para resolver problemas. Los mismos deben ser elegidos de manera tal de enfrentar a los alumnos on desafíos que le permitan progresos en sus oneptualizaiones. A modo de ejemplo se presenta en el Apéndie una seión de una guía teório prátia elaborada sobre el tema Continuidad de una funión. Las atividades propuestas están interrelaionadas 7

entre sí, de modo tal que ada una de ellas lleve a la siguiente, la ontenga en ierta forma y logre superarla en algún grado de omplejidad. En su elaboraión la preoupaión fundamental estuvo entrada en la onstruión del signifiado (Pimm, 1990). CONCLUSIONES Con el diseño de la nueva estrategia se enontrarían ontemplados en gran medida los Criterios orientadores de la enseñanza de la Matemátia derivados del Maro Teório, ya que: C 1 ): Se favoree el protagonismo del estudiante (Momentos 2, 3 y 4). C 2 ): Se propiia el interambio grupal de signifiados (Momentos 3 y 4). C 3 ): El proeso de enseñanza y aprendizaje en el aula se desarrolla on un ritmo más dinámio que el tradiional, graias a la modalidad de las lases, en las que se alternan instanias de trabajo individual (Momento 2) on otras de trabajo oletivo (Momentos 3 y 4), además de espaios en los que el doente formaliza el saber (Momento 5). C 4 ): Los ontenidos matemátios deben estruturarse en la guía de manera de favoreer el desarrollo de las habilidades matemátias. C 5 ): De auerdo a la estrutura diseñada, el rol del doente es el de failitador de aprendizajes originados en refleiones rítias y uestionamientos. C 6 ): Se logra inrementar el interés por el aprendizaje de esta asignatura, al inorporarse en la guía problemas vinulados a la vida diaria y a las ienias. C 7 ): Las atividades deben diseñarse ontemplando las noiones previas requeridas para el aprendizaje de los ontenidos propuestos y enfatizando las oneiones entre ellos. 8

APÉNDICE Continuidad de una funión en un punto Después de haber analizado ejemplos de la vida diaria y de las ienias que desriben proesos que se onsideran ontinuos, es deir, que se desarrollan sin interrupiones, estudiaremos las ondiiones que se deben umplir para que una funión sea ontinua en un punto. Para ello, analiza en los siguientes gráfios la eistenia de f() y del lím f (). Si eisten, india su valor. a) y b) y ) y d) y 4 3 1 2 2 e) y f) y g) y 1-1/2-1 1 Fig. 1 Según tu riterio uáles orresponden a gráfios de funiones ontinuas en el punto?. Para los mismos, qué relaión se verifia entre f() y el lím f ()? Esta onlusión te permite definir funión ontinua en un punto: 9

Definiión de funión ontinua en un punto Sea f una funión definida en un intervalo abierto que ontiene al punto. Se die que f es ontinua en un punto si:. =. La igualdad anterior implia, en realidad, tres ondiiones: dos de eistenia y una de igualdad Puedes esribirlas? i).. ii) iii)..= Disontinuidad de una funión en un punto En ada uno de los gráfios de la Fig. 1 que orrespondan a funiones disontinuas, uál o uáles de las ondiiones i), ii) y iii) no se umplen? 1) i)... 2) i)... 3) i)... 4) i)... 5) i)... ii)... ii)... ii)... ii)... ii)... iii)... iii)... iii).. iii)... iii)... Refleiona: Cuántas ondiiones deben dejar de umplirse para que puedas afirmar que una funión es disontinua?. Podemos dar ahora la siguiente definiión: Definiión de funión disontinua en un punto Una funión f es disontinua en un punto si. Tipos de disontinuidades En la Fig. 1, observa los gráfios orrespondientes a funiones disontinuas. 10

Cuáles son fatibles de ser transformados en gráfios de otras funiones que sean ontinuas, o sea, en gráfias de funiones que pueda realizarse sin levantar la mano?.... En ada uno de estos gráfios qué ondiión de eistenia se umple siempre?.... Este tipo de disontinuidad se denomina evitable. Las restantes disontinuidades, por no umplir on esa ondiión se denominan no evitables. O sea las disontinuidades de una funión en un punto pueden lasifiarse en dos tipos: Tipos de disontinuidades Evitable No evitable Si Si Ejeriios: 1) En ada una de las funiones que se definen a ontinuaión, estudia la ontinuidad en el punto =2 2 4 2 si 2 a) f() = 2 b) f () = ) f () = d) 2 1 si = 2 3 si < 2 f () = + 1 si 2 2) En ada uno de los gráfios que se observan en la Fig. 2 analiza: 2 1 ) Eiste lím f ()? 1 2 2 2 ) Es f ontinua en ½? En aso afirmativo, esribe su valor. Justifia tu respuesta. a) y b) y ) y 1 1 ½ ½ ½ 1 Fig. 2 ½ 1 1 11

APLICACIÓN En un ultivo están desarrollándose baterias. El tiempo t (en horas) para que el número de baterias se duplique (tiempo de generaión) es una funión de la temperatura T del ultivo, 1 11 T + si 30 T 36 24 4 medida en ºC. Si esta funión está dada por: t = f (T) = 4 175 T si 36 < T 39 3 4 estudia la ontinuidad de la funión f uando la temperatura es 36 ºC e interpreta el problema. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Aravi, A. (1999). Y en Matemátias, los que instruimos qué onstruimos? Números. Revista de didátia de las matemátias. Vol. 38, pp. 39-56. Biio, C. (2005). Enseñar a aprender. Construir un espaio oletivo de enseñanza aprendizaje. Rosario: Homo Sapiens Ediiones. Campanario, J. M. y Moya, A. (1999). Cómo enseñar ienias? Prinipales tendenias y propuestas. Revista Enseñanza de las Cienias, 17 (2), 179-192. Coll, C. (1992). Un maro de referenia psiológio para la eduaión esolar: La onepión onstrutivista del aprendizaje y de la enseñanza. En C. Coll, J. Palaios, A. Mrhesi. Desarrollo psiológio y eduaión, II. Psiología de la eduaión. Madrid: Alianza Editorial. Coll, C.; Palaios, J. y Marhesi, A. (1992). Desarrollo psiológio y eduaión, II. Alianza Editorial. Madrid. Czar, M. y Pizarro de Raya, A. (1993). Las orrientes psiológias en el estudio del aprendizaje. En M. Czar, A. Pizarro de Raya, C. Badfessi de Tapaltar,.G. Conepiones del aprendizaje y prátia doente. Módulo IV, pp. 3 64. Curso de Formaión Pedagógia para Doentes Universitarios. Instituto oordinador de programas de apaitaión. Seretaría de Planeamiento de la U.N.T. Tuumán. 12