Ejercicio nº 1.- Halla el dominio de deinición de las unciones: Ejercicio nº.- Averigua el dominio de deinición de las siguientes unciones, a partir de sus gráicas: a) b) Ejercicio nº 3.- Vamos a considerar todos los rectángulos de 30 cm de perímetro. Si llamamos a la longitud de la base, el área será: A 15 Cuál es el dominio de deinición de esta unción? Ejercicio nº 4.- Asocia cada una de estas gráicas con su correspondiente ecuación: I) II) III) IV) Ejercicio nº 5.- Asocia cada gráica con su correspondiente ecuación:
I) II) III) IV) Ejercicio nº 6.- Ejercicio nº 7.- Sabiendo que 15 C (grados centígrados) equivalen a 59 F (grados Fahrenheit), y que 30 C son 86 F, averigua cuántos grados centígrados son 70 F. Y 9 F? Ejercicio nº 8.- Representa gráicamente la siguiente unción: Ejercicio nº 9.- Representa la siguiente unción: Ejercicio nº 10.- siguiente: Ejercicio nº 11.- Ponemos al uego un cazo con hielo cuya temperatura es de 0 C. En 10 minutos se descongela y se mantiene a 0 C otros 10 minutos más. Un cuarto de hora más tarde llega a alcanzar 100 C. a Representa la unción que describe este enómeno y halla su epresión analítica. b Cuál es el dominio y el recorrido de la unción?
Para practicar Funciones y gráicas 1. Considera la unción que a cada nº le asigna su cuadrado menos 1. Escribe su epresión analítica y calcula la imagen de -1, 1 y. Calcula también los cortes con los ejes.. Considera la unción que a cada nº le asigna su mitad más 3. Escribe su epresión analítica y calcula la imagen de -1, 1 y 3. Calcula también los cortes con los ejes. 3. Considera la unción que a cada nº le asigna su doble menos 5. Escribe su epresión analítica y calcula la imagen de -, -1 y 1. Calcula también los cortes con los ejes. 4. Calcula el dominio de las siguientes unciones: a) ()=- +5-6 b) ()= 4 c) ()= 4 + 1 7. Estudia la simetría de las unciones: a) ()= 3 3 + b) ()= 5 c) ()= + 1 + 1 d) ()= 1 4 1 e) ()= + ) ()= 4-3 -3 8. En cada caso la gráica representa un tramo o periodo de una unción periódica, representa otros tramos, indica el periodo y calcula la imagen del punto de abscisa que se indica: a) (-) b) (-3) d) ()= 4 + 0 e) ()= 3 4 5. Estudia la continuidad de las siguientes unciones: a) ()= b) ()= 3 + 3 6. Estudia la continuidad de las siguientes unciones en los puntos que se indica: + a) ()= + + b) ()= + 1 en =1 > 1 0 en =0 > 0 c) (-1) 9. Calcula las TVM de las unciones de la gráica en los intervalos [0,4] y [,4]. a) b) c) ()= + 3 4 1 > 1 en =-1 d) ()= + 3 4 1 > 1 en =-1 MATEMÁTICAS B 141
Funciones y gráicas 10. El gráico muestra cómo varía la gasolina que hay en mi coche durante un viaje de 50 km por una autovía. 1. El gráico da el espacio recorrido por dos coches que realizan un mismo trayecto. a) Cuánta gasolina había al cabo de 40 km?. En el depósito caben 40 litros, cuándo estaba lleno más de medio depósito?. b) En cuántas gasolineras paré?, en qué gasolinera eché más gasolina?. Si no hubiera parado, dónde me habría quedado sin gasolina? c) Cuánta gasolina usé en los primeros 00 km?. Cuánta en todo el viaje?. Cuánta gasolina gasta el coche cada 100 km en esta autovía?. 11. María y Jorge son dos personas más o menos típicas. En la gráica puedes comparar como ha crecido su peso en sus primeros 0 años a) Cuál es la distancia recorrida?. Si el primer coche salió a las 10:00, a qué hora salió el º?. Cuánto le costó a cada uno hacer el recorrido? b) Cuánto tiempo y dónde estuvo parado cada coche?. En qué km adelantó el º al 1º?, y el 1º al º?. c) Qué velocidad media llevaron en el trayecto total?, en qué tramo la velocidad de cada coche ue mayor?. 13. Las gráicas siguientes corresponden a las unciones I y II. I) ()= 3-6 + 1 +9 II) ()= Calcula en cada una: a) Cuánto pesaba Jorge a los 8 años?, y María a los 1?. Cuándo superó Jorge los 45 kg?. b) A qué edad pesaban los dos igual?. Cuándo pesaba Jorge más que María?, y María más que Jorge? c) Cuál ue el promedio en kg/año de aumento de peso de ambos entre los 11 y los 15 años?. En qué periodo creció cada uno más rápidamente? a) El dominio. b) Los puntos de corte con los ejes. c) Los valores de para los que la unción es positiva y negativa. d) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. e) Los máimos y mínimos. ) Cuántos puntos de inleión tienen?. g) Los intervalos de concavidad y conveidad. 14 MATEMÁTICAS B
Deinición de derivada Ejercicio nº 1.- Halla la tasa de variación media de la siguiente unción en el intervalo 1, ] e indica Ejercicio nº.- 3 Calcula,utilizando la deiniciónde deriv ada, (1) Ejercicio nº 3.- para la unción 1 3. Utilizando la deiniciónde deriv ada,calcula () para la unción 1 3. Ejercicio nº 4.- Halla la unción derivada de: a) b) 4 3 5 e Ejercicio nº 5.- Halla la unción derivada de las siguientes unciones: a) b) 1 e Ejercicio nº 6.- Calcula la derivada de la unción: Ejercicio nº 7.- Consideramos la unción: 4 3 1 1 Halla la tasa de variación media en el intervalo [0, ] e indica si () crece o decrece en ese intervalo. Ejercicio nº 8.- 3 a) Calculala tasa de v ariaciónmedia de la unción enelintervalo [ 3, 1] b) A la vista del resultado obtenido en el apartado anterior, crece o decrece la unción en dicho intervalo? 1
Ejercicio nº 9.- Calcula la tasa de variación media de esta unción, (), en los intervalos siguientes e indica si la unción crece o decrece en cada uno de dichos intervalos: a) 1, 0 b) 1, Ejercicio nº 10.- Utilizando la deiniciónde deriv ada, calcula ( 1), siendo 3 1. Ejercicio nº 11.- Aplicando la deiniciónde deriv ada,calcula Ejercicio nº 1.- ' 1, siendo. Calcula,utilizando la deiniciónde deriv ada, (1) Ejercicio nº 13.- para la unción 1 3. Halla la deriv ada de la unción 1 en, aplicando la deinición de derivada. Ejercicio nº 14.- Halla la derivada de la siguiente unción en = 1, aplicando la deinición de derivada: Ejercicio nº 15.- 1 Halla la deriv adade la unción, aplicandola deiniciónde deriv ada. Ejercicio nº 16.- Utilizando la deiniciónde deriv ada,calcula () para la unción 1 3. Ejercicio nº 17.- Halla (), aplicandoladeiniciónde deriv ada,siendo () 1.
Ejercicio nº 18.- Aplicando la deiniciónde deriv adacalcula Ejercicio nº 19.- Halla la unción derivada de: a) b) 3 4 3 tg ' 1, siendo. Cálculo de derivadas Ejercicio nº 0.- Calcula la unción derivada de: a) b) 3 1 ln Ejercicio nº 1.- Halla la derivada de: a) b) 3 3 cos 1 5 Ejercicio nº.- Halla la unción derivada de las siguientes unciones: a) b) 3 sen 5 Ejercicio nº 3.- Halla la unción derivada de: a) b) 4 3 5 e Ejercicio nº 4.- Calcula () en cada caso: a) b) 3 3 3 sen 3
Ejercicio nº 5.- Halla la unción derivada de: a) b) 1 3 ln Ejercicio nº 6.- Calcula la derivada de las unciones siguientes: a) b) 3 1 sen Ejercicio nº 7.- Halla la unción derivada de las siguientes unciones: a) b) 1 e Ejercicio nº 8.- Halla la derivada de las siguientes unciones: a) 3 1 b) e Ejercicio nº 9.- Halla la derivada de las siguientes unciones: a) 3 1 b) e Ejercicio nº 30.- Calcula la derivada de la unción: 4 3 1 Ejercicio nº 31.- Halla la unción derivada de: 3 4 4
Ejercicio nº 3.- Halla () para la unción: Ejercicio nº 33.- e 4 3 Calcula la unción derivada de: sen 1 3 Aplicaciones de la derivada Ejercicio nº 34.- Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = 3 que tenga pendiente 7. Ejercicio nº 35.- Halla la ecuaciónde la recta tangente a la curv a y que seaparalelaa larecta y 1 1 4 Ejercicio nº36.- Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = + 1 en el punto de abscisa = 1. Ejercicio nº 37.- Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = 3 en el punto de abscisa. Ejercicio nº 38.- Halla la ecuación de la recta de pendiente 7 que es tangente a la curva y = 3 + -1. Ejercicio nº 39.- Averigua los puntos de tangente horizontal de la unción: 3 Ejercicio nº 40.- Halla y representa gráicamente los puntos singulares de la unción: 4 5
Ejercicio nº 41.- Determina los puntos de tangente horizontal de la unción: 3 Ejercicio nº 4.- Halla los puntos de tangente horizontal de la siguiente unción y, con ayuda de las ramas ininitas, decide si son máimos o mínimos: 3 6 15 Ejercicio nº 43.- Halla y representa gráicamente los máimos y mínimos de la unción: Ejercicio nº 44.- Dada la unción: y 3 3 9 1 3 determina los tramos en los que la unción crece y en los que decrece. Ejercicio nº 45.- Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente unción: 3 1 Ejercicio nº 46.- Estudia dónde crece y dónde decrece la unción: 3 1 3 Ejercicio nº 47.- Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la unción: 3 1 Ejercicio nº 48.- Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la unción: 6
Ejercicios de Cálculo de Probabilidades Ejercicio nº 1.- De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se etrae una bola al azar. a Cuál es el espacio muestral? b Describe los sucesos: A "Mayor que 6" B "No obtener 6" C "Menor que 6" escribiendo todos sus elementos. c Halla los sucesos A B, A B y B' A'. Ejercicio nº.- Etraemos dos cartas de una baraja española y vemos de qué palo son. a Cuál es el espacio muestral? Cuántos elementos tiene? b Describe los sucesos: A "Las cartas son de distinto palo" B "Al menos una carta es de oros" C "Ninguna de las cartas es de espadas" escribiendo todos sus elementos. c Halla los sucesos B C y B' C. Ejercicio nº 3.- En una urna hay 15 bolas numeradas de al 16. Etraemos una bola al azar y observamos el número que tiene. a Describe los sucesos: A "Obtener par" B "Obtener impar" C "Obtener primo" D "Obtener impar menor que 9" escribiendo todos sus elementos. b Qué relación hay entre A y B? Y entre C y D? c Cuál es el suceso A B? y C D? Ejercicio nº 4.- Consideramos el eperimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. a Cuál es el espacio muestral? Cuántos elementos tiene? b Describe los sucesos: A "Obtener dos caras y una cruz" B "Obtener al menos dos caras" 1
C "Obtener al menos una cruz" escribiendo todos sus elementos. c Halla los sucesos B C y C' Ejercicio nº 5.- Lanzamos dos dados sobre la mesa y anotamos los dos números obtenidos. a Cuántos elementos tiene el espacio muestral? b Describe los sucesos: A "Obtener al menos un cinco" B "La suma de los resultados es menor que 4" C "La suma de los resultados es igual a 7" escribiendo todos sus elementos c Halla los sucesos A B y B C'. Ejercicio nº 6.- A partir de esta probabilidades: P[A B'] 0,8 P[A'] 0,5 P[A B] 0, Calcula P[B] y P[A B]. Ejercicio nº 7.- Sabiendo que: P[A B] 0, P[B'] 0,7 P[A B'] 0,5 Calcula P[A B] y P[A]. Ejercicio nº 8.- De dos sucesos, A y B, sabemos que: P[A' B'] 0 P[A' B'] 0,5 P[A'] 0,4 Calcula P[B] y P[A B]. Ejercicio nº 9.- Sean A y B los sucesos tales que: P[A] 0,4 P[A' B] 0,4 P[A B] 0,1 Calcula P[A B] y P[B].
Ejercicio nº 10.- Teniendo en cuenta que: P[A B] 0,9 P[B'] 0,4 P[A B] 0,3 Halla P[A] y P[A' B]. Ejercicio nº 11.- Si A y B son dos sucesos tales que: P[A] 0,4 P[B / A] 0,5 P[B'] 0,75 a Son A y B independientes? b Calcula P[A B] y P[A B]. Ejercicio nº 1.- Teniendo en cuenta que A y B son dos sucesos tales que: P[A'] 0,5 P[A B] 0,1 P[A B] 0,8 a Son independientes A y B? b Calcula P[B' / A]. Ejercicio nº 13.- Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad tales que: P[A'] 0,6 P[B] 0,3 P[A' B'] 0,9 a Son independientes A y B? b Calcula P[A' / B]. Ejercicio nº 14.- De dos sucesos A y B sabemos que: P[A'] 0,48 P[A B] 0,8 P[B] 0,4 a Son A y B independientes? b Cuánto vale P[A / B]? Ejercicio nº 15.- Sabiendo que: P[A] 0,5 P[B'] 0,6 P[A' B'] 0,5 a Son A y B sucesos independientes? b Calcula P[A B] y P[A / B]. 3
Ejercicio nº 16.- Tenemos para enviar tres cartas con sus tres sobres correspondientes. Si metemos al zar cada carta en uno de los sobres, cuál es la probabilidad de que al menos una de las cartas vaya en el sobre que le corresponde? Ejercicio nº 17.- a) Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número? b) Si son tres personas las que eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5, cuál es la probabilidad de que las tres elijan el mismo número? Ejercicio nº 18.- Etraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la probabilidad de que sean: a) Las dos de oros. b) Una de copas u otra de oros. c) Al menos una de oros. d) La primera de copas y la segunda de oro. Ejercicio nº 19.- Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 0 al 9. Cuál es la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número? Ejercicio nº 0.- En unas oposiciones, el temario consta de 85 temas. Se eligen tres temas al azar de entre los 85. Si un opositor sabe 35 de los 85 temas, cuál es la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas? Ejercicio nº 1.- En una cadena de televisión se hizo una encuesta a 500 personas para saber la audiencia de un debate y de una película que se emitieron en horas distintas: 100 vieron la película, 1 500 vieron el debate y 350 no vieron ninguno de los dos programas. Si elegimos al azar a uno de los encuestados: a Cuál es la probabilidad de que viera la película y el debate? b Cuál es la probabilidad de que viera la película, sabiendo que no vio el debate? c Sabiendo que vio la película, cuál es la probabilidad de que viera el debate? Ejercicio nº.- En un viaje organizado por Europa para 10 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar rancés, y 1 de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los viajeros al azar. a Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas? b Cuál es la probabilidad de que hable rancés, sabiendo que habla inglés? c Cuál es la probabilidad de que solo hable rancés? Ejercicio nº 3.- En un viaje organizado por Europa para 10 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar rancés, y 1 de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los viajeros al azar. 4
a Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas? b Cuál es la probabilidad de que hable rancés, sabiendo que habla inglés? c Cuál es la probabilidad de que solo hable rancés? Ejercicio nº 4.- En un pueblo hay 100 jóvenes; 40 de los chicos y 35 de las chicas juegan al tenis. El total de chicas en el pueblo es de 45. Si elegimos un joven de esa localidad al azar: a Cuál es la probabilidad de que sea chico? b Si sabemos que juega al tenis, cuál es la probabilidad de que sea chica? c Cuál es la probabilidad de que sea un chico que no juegue al tenis? Ejercicio nº 5.- En una clase de 30 alumnos hay 18 que han aprobado matemáticas, 16 que han aprobado inglés y 6 que no han aprobado ninguna de las dos. Elegimos al azar un alumno de esa clase: a Cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés y matemáticas? b Sabiendo que ha aprobado matemáticas, cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés? c Son independientes los sucesos "Aprobar matemáticas" y "Aprobar inglés"? Ejercicio nº 6.- Una bola bolsa, A, contiene 3 bolas rojas y 5 verdes. Otra bolsa, B, contiene 6 bolas rojas y 4 verdes. Lanzamos un dado: si sale un uno, etraemos una bola de la bolsa A; y si no sale un uno, la etraemos de B. a Cuál es la probabilidad de obtener una bola roja? b Sabiendo que salió roja, cuál es la probabilidad de que uera de A? Ejercicio nº 7.- Tenemos dos bolsas, A y B. En la bolsa A hay 3 bolas blancas y 7 rojas. En la bolsa B hay 6 bolas blancas y.rojas. Sacamos una bola de A y la pasamos a B. Después etraemos una bola de B. a Cuál es la probabilidad de que la bola etraída de B sea blanca? b Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas? Ejercicio nº 8.- Una urna, A, contiene 7 bolas numeradas del 1 al 7. En otra urna, B, hay 5 bolas numeradas del 1 al 5. Lanzamos una moneda equilibrada, de orma que, si sale cara, etraemos una bola de la urna A y, si sale cruz, la etraemos de B. a Cuál es la probabilidad de obtener un número par? b Sabiendo que salió un número par, cuál es la probabilidad de que uera de la urna A? Ejercicio nº 9.- El 1% de la población de un determinado lugar padece una enermedad. Para detectar esta enermedad se realiza una prueba de diagnóstico. Esta prueba da positiva en el 97% de los pacientes que padecen la enermedad; en el 98% de los individuos que no la padecen da negativa. Si elegimos al azar un individuo de esa población: a Cuál es la probabilidad de que el individuo dé positivo y padezca la enermedad? 5
b Si sabemos que ha dado positiva, cuál es la probabilidad de que padezca la enermedad? Ejercicio nº 30.- Tenemos dos urnas: la primera tiene 3 bolas rojas, 3 blancas y 4 negras; la segunda tiene 4 bolas rojas, 3 blancas y 1 negra. Elegimos una urna al azar y etraemos una bola. a Cuál es la probabilidad de que la bola etraída sea blanca? b Sabiendo que la bola etraída ue blanca, cuál es la probabilidad de que uera de la primera urna? 6