06 Unidad 5 - Trabajo Práctico 5 Parte Unidad 5 Integral indefinida. Primitivas inmediatas. Uso de tablas de integrales. Integración por descomposición, por sustitución y por partes. Integral definida: definición, propiedades. Función integral. Fórmula de Barrow. Cálculo de áreas planas. Integración aproimada. Fórmula de los trapecios. Qué es integrar una función? Entenderemos a la integración como una operación matemática que resulta ser la operación inversa a la derivación, así como la división lo es a la multiplicación, o la radicación lo es a la potenciación. Para ello, definiremos algunos conceptos analizando un ejemplo: Consideremos la función f ( ) cuya derivada es f ( ). Pensemos ahora en el camino inverso, es decir si tuviéramos la función f ( ), y quisiéramos saber de qué función derivada se obtuvo. Cuál es el procedimiento a realizar? Pensar qué función derivamos para obtener ese resultado. f ( ) es una función polinómica, con lo cual su derivada, por regla, se obtuvo de derivar F( ). A ésta última función que obtuvimos se la llama una primitiva o antiderivada de la función f ( ). En general, a una función F( ) se la denomina primitiva o antiderivada de la función f( ), si y sólo si al derivar F( ) se obtiene f( ) en un intervalo real I. En símbolos, F( ) es una primitiva de f( ) F ( ) f ( ), I Sin embargo, f( ) no tiene una única primitiva, sino que todas las funciones de la forma F( ) C, es decir, que difieren en una constante C, son primitivas de f( ), dado que la derivada de una constante es cero. Teorema: F( ) C son las primitivas de f( ) sí y sólo si F( ) C f ( ) La operación de hallar todas las primitivas de una función f( ) se llama integración indefinida o antiderivación. Simbólicamente: f ( ) F( ) C Algunas propiedades de la integración: k f ( ) k f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( )
Tabla de primitivas inmediatas 0 C k k C n n C n n ln C a a C ln a cos sen C sen cos C ) Calcular las siguientes integrales indefinidas a) 4 b) d) e) cos g) 5 h) c) f) ) Calcular las siguientes integrales indefinidas 4 dt 4 b) by ( y a) dy a) t t d) ( ) e) ( sen u cos u) du g) c) ( ) z z f) ( e ) dz Métodos de integración
Generalmente sucede que las funciones a integrar no tienen una familia de primitivas que se pueden hallar directamente. Integración por sustitución En algunos casos nos podemos encontrar con integrandos que son producto de una función y parte de su diferencial. Ejemplo: Consideremos la función f ( ). Si llamamos u u( ), su derivada es permite hacer lo siguiente: du u ( ). El método de sustitución nos f ( ) u ( ). u ( ) udu simplificando la notación. u u La resolvemos aplicando reglas: udu u du C C Y por último, reemplazamos por lo que originalmente habíamos llamado u u( ) : f ( ) Otro Ejemplo: C Resolver e Para resolver esta integral podemos usar el método de sustitución porque en ella encontramos la función y su derivada. A la función la llamamos u Reemplazando la integral que queremos resolver: u u e e du e C e C du d. y con la derivada y el formamos el du: ) Calcular aplicando el método de sustitución
4 a) ( 5) v 4 5 b) ( ) a a e e e) d) v e dv g) h) a j) a sen wt dt k) sen cos c c) c ln f) i) e l) sen z cos z dz 4 Otro método muy utilizado para la resolución de integrales indefinidas es: Integración por partes Este método nos es útil cuando reconocemos en una función el producto entre una función y el diferencial de otra. Este método se deduce de la derivada por regla de un producto de funciones. Consideremos la siguiente función: f ( ) e Supongamos que queremos derivarla por regla, entonces tomamos: u( ) y v( ) e NOTA: La elección no es arbitraria, se hará de manera que se simplifique al máimo la integral que quede por resolver. Recordando la derivada de un producto: función obtenemos: f ( ) e e. Si tomamos la regla del producto y la integramos: la integral de una derivada es la misma función f ( ) u( ) v( ) u( ) v( ) u( ) v( ) y aplicándola a la f ( ) u( ) v( ) u( ) v( ) u( ) v( ) u( ) v( ) u( ) v( ) Entonces u( ) v( ) u( ) v( ) u( ) v( ) u( ) v( ) ésta es la integral que queríamos resolver Despejando: u( ) v( ) u( ) v( ) u( ) v( )
5 Veamos el ejemplo con el que estábamos trabajando Tomamos la derivada y la integramos: Entonces: ( ) f e e e e la integral de la integral que la derivada es queremos la función resolver f ( ) e e e e e e e e e C 4) Calcular utilizando el método de integración por partes ln b) cos c) e d) e ln e) f) sec