Dominio de una función Funciones elementales Funciones lineales Interpolación lineal Funciones cuadráticas (tratadas en tema anterior ) Funciones de proporcionalidad inversa Funciones definidas a trozos Valor absoluto de una función Dominio de una función Es el conjunto de valores de para los que eiste la función. En los ejercicios que verás a continuación habrá casos en los que es más fácil indicar qué valores no pertenecen al dominio. En otros casos el dominio se dará por afirmación, es decir señalar qué valores forman el dominio de la función. CASOS Funciones con denominador No forman parte del dominio los valores de que anulan el denominador Ejemplos Halla el domino de las siguientes funciones: a) y = 4 Busquemos los valores que anulan el denominador: 4 = = 4 = y = - Epresaríamos en la forma D(y) = R - {, } indicando que nos valen todos los números reales ecepto - y. b) y = 5 + 6 Fácilmente encontrarás que el denominador se anula para = y = 3 luego pondremos que: D(y) = R - {, 3 Funciones dentro de una raíz de índice par Conoces que no eisten soluciones, reales, para las raíces pares de números negativos. Sea la función y = f (). Al dominio pertenecerán únicamente los valores de que cumplen la relación.f() por lo que será necesario resolver una inecuación con una incógnita. Ejemplos Halla el domino de las siguientes funciones: - -
Dominio de una función a) y = 4 Busquemos los valores de que satisfacen la relación 4 y para ello resolvamos la ecuación 4 = Sus raíces son = - y =. y dividen a la recta real en tres zonas, tal y como se muestra en la tabla adjunta. En dos de ellas se verifica la condición de que 4. La solución es pues D(y) = (, ] [, ) (, ] (, ) [, ) f() f() < f() b) y = + 3 + 4 Busquemos los valores de que satisfacen la relación +3 + 4 y para ello resolvamos la ecuación +3 + 4 = Esta ecuación carece de raíces reales por lo que su signo se mantendrá constante a lo largo de su dominio. Para conocer este signo será suficiente con probar con un valor real cualquiera, por ejemplo = + 3. + 4 por lo que podemos afirmar que D(y) = R c) y = 3 + Busquemos los valores de que satisfacen la relación 3 + >. Notemos que en este caso hemos omitido el signo =, dado que, al estar la raíz en el denominador también debemos ecluir los valores que anulan al denominador. Resolvamos la ecuación 3 + = Sus raíces son = y =. y dividen a la recta real en tres zonas, tal y como se muestra en la tabla adjunta. En dos de ellas se verifica la condición de que 3 + >. ( -, ) f() > [,] f() (, ) f() > La solución es pues D(y) = (,) (, ) Función lineal Su representación gráfica es una recta. Matemáticamente se epresan en la forma y = m + n donde.m = pendiente y n = ordenada en el origen Sabemos que por dos puntos pasa una recta. Si conocemos sus coordenadas su ecuación se obtendrá mediante la epresión: - -
y y.y y =.( ) siendo m = y y, P(, y ), Q (, y ) Ejercicios º.- Halla la ecuación de la recta que pasa por P(, ) y Q (3, ) Resolvemos el problema de dos formas diferentes: Primer método Si P(, ) = (, y ) y Q(3, ) = (, y ) resulta y =.( ) y =.( ) 3 Segundo método La ecuación de la recta, en su forma eplícita, se representa por y = m + n Por pasar por P(, ) tendremos que = m. + n Por pasar por Q(3, ) tendremos que = m.3 + n 3 Hemos obtenido un sistema de ecuaciones de cuya resolución obtenemos: m = y n = obteniendo la ecuación y = 3 + º.- Pasa por el punto P(, -) y su pendiente es 4 La ecuación de la recta, en su forma eplícita, se representa por y = m + n Si su pendiente es 4 tenemos que m = 4 Si pasa por P(, -) tendremos que = 4.(-) + n n = 6 obteniendo la ecuación y = 4 + 6 3º.- Encuentra la recta que pasa por el punto P(, -) y es paralela a la recta y + 6 = Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente, pendiente que obtendremos de la recta dada con solo despejar y de su ecuación. Si y + 6 = y = + 6 m = A partir de aquí tenemos el mismo caso que en el ejercicio anterior: conocemos la pendiente y un punto de la recta. Procediendo como antes obtendrás y = 4 Interpolación lineal Si tenemos una función de la que conocemos dos de sus puntos: P(, y ), Q (, y ) y conocemos que, entre ambos, el comportamiento de la función es lineal, podemos obtener el valor de la función en cualquiera de sus puntos intermedios. Este método recibe el nombre de interpolación lineal. - 3 -
La ecuación de la recta, según hemos visto antes, es: Ejercicios y y y y y y =.( ) o también y =.( ) + y º.- La factura de la energía eléctrica de una familia ha sido, en noviembre, de 95 por 375 kw/h de consumo, y en enero de 3,4 por 55 kw/h. cuánto tendrán que pagar si consumen 4 kw/h? Si suponemos que entre los 375 kw/h y los 55 kw/h el gasto está relacionada linealmente con el número de kw consumidos tendremos un problema de programación lineal donde: P(, y ) = ( 375, 95 ) y Q (, y ) = ( 55, 3,4) y en este caso = 4 Resultará que, por un consumo de 4 kw/h, se pagará: 3,4 95 y =.(4 375) + 95 y = 4 55 375 º.- El consumo de gasolina de cierto automóvil, por cada km depende de la velocidad a la que circula. A 6 km/h consume 5,7 l y a 9 km/h consume 7, l. Estima cuánto consumirá si recorre km a 7 km/h Si suponemos que entre los 6 km/h y los 9 km/h el consumo está relacionada linealmente con la velocidad del automóvil tendremos un problema de programación lineal donde: P(, y ) = ( 6, 5,7 ) y Q (, y ) = (9, 7,) y en este caso = 7 A la velocidad de 7 km/h se consumirá: 7, 5,7 y =.(7 6) + 5,7 y = 6, l 9 6 Funciones de proporcionalidad inversa Su ecuación es de la forma y = k y su representación gráfica consta de dos ramas, separadas por una recta paralela al eje de ordenadas (asíntota), y se denomina hipérbola. 4 º.- Representa y = + Su dominio es R - { }. Para = - la función presenta una asíntota vertical. 5 4 3-6 -5-4 -3 - - - - -3-4 -5 y=4/(+) y=4/(+) asíntota =- - 4 -
La representación consta de dos ramas. Una de ellas la obtendrás dando valores a que pertenezcan al intervalo (, - ) y la otra con valores pertenecientes al intervalo( -, ) 4 + 3 º.- Representa y = Su dominio es R - { }. Para = la función presenta una asíntota vertical. La representación consta de dos ramas. Una de ellas la obtendrás dando valores a que pertenezcan al intervalo (, ) y la otra con valores pertenecientes al intervalo(, ) 5,, 5,, - - 3 4 5 6-5, -, -5, y=(4+3)/ (-) y=(4+3)/ (-) asíntota = Funciones definidas a trozos Son funciones cuyo dominio está dividido en diferentes partes de manera que el comportamiento en cada una de ellas es diferente. Ejercicio + 6 si.- Representa gráficamente la función y = + 3 si Esta función viene definida por dos trozos. El Primero, corresponde al intervalo (, - ), y viene dado por una función lineal f() = + 6. El segundo, corresponde al intervalo ( -, ), y viene dado por otra función lineal g() = - + 3. Notemos que de Dominio(y) se ha ecluido el punto = -. f() = + 6 pasa por los puntos ( -3, ) y ( -, 4) aunque este último punto no pertenece a la gráfica de la función por no pertenecer a Dominio(y). < > g() = - + 3 pasa por los puntos ( -, 4) y (, ) aunque el primero de ellos punto no pertenece a la gráfica de la función por no pertenecer a Dominio(y). Ejercicios.- Elena va a visitar a su amiga Ana y tarda minutos en llegar a su casa, que está a km de distancia. Está allí media hora y en el camino de vuelta emplea el mismo que en la ida. a) Representa la función tiempo-distancia. - 5 -
b) Busca su epresión analítica La función dada consta de tres tramos lineales: El primero de ellos es una función que pasa por los puntos (, ) y (, ). El primero representa el momento de iniciar la marcha y el último el momento de llegar. El segundo de ellos corresponde al periodo de tiempo que emplea visitando a su amiga Ana. Es una función lineal que pasa por los puntos (, ) y (+3, ) = (5, ) El tercero de ellos corresponde al regreso. Es un tramo lineal que pasa por los puntos (5, ) y (5+, - ) = (7, ) Epresión analítica. El primer tramo es una recta que pasa por (,) y (, ) por pasar por (,) = m. + n.y = m + n ; resultando n = y m = por pasar por (,) = m. + n recta y = El segundo tramo es una paralela al eje de abscisas que pasa por (,), ecuación y = El tercer tramo es una recta que pasa por (5,) y (7, ) por pasar por (5,) = m.5 + n 7 y = m + n ; resultando n = y m = por pasar por (7,) = m.7 + n 7 y = + función y =. + 7 Este ejercicio ha sido corregido si < si < 5 si 5 7 Ejercicio 3.- Busca la epresión analítica de esta función En el intervalo ( -, ] la gráfica es una parábola que tiene su vértice en el origen de coordenadas por lo que su ecuación es de la forma y = a. Como finaliza en el punto (, 4) tenemos que => 4 = a. => a = 5 5-4 - 4 6 8 y=^ y=4-6 -
La recta es una función constante de ecuación y = 4 Epresión analítica de la función: f() = 4 si si > EXAMEN febrero 9 () º.- Halla el domino de las siguientes funciones: a) y = b) y = 3 6 5 + 6 a) Dom (y) = R - {, 3} porque = y = 3 son las raíces de 5 + 6 = b) Dom (y) = [, ) porque son los valores que cumplen la relación 3 6 º.- En la figura adjunta se ha representado una función lineal y en ella se han marcado varios puntos para que, si necesitas, te sirvan de referencia. Se pide: a) Ecuación de la función lineal b) Su pendiente e indica si es creciente o decreciente. a) Elegimos dos puntos cualesquiera de entre los propuestos A( -, ) y B(, 4 ) lo La epresión matemática de una función lineal es y = m + n Para el punto A se tiene que: = - m + n Para el punto B se tiene que: 4 = m + n Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que al resolverlo nos da m = n = ecuación de la función lineal y = + b) Del resultado anterior se ve que la pendiente de la recta es m = >. La función es creciente. 3º.- Una compañía de distribución eléctrica ha facturado, por un consumo de 74 kw, un importe de 45 48 y por otro consumo de 76 el importe de la factura es de 34 39 kw. Cuál es el importe esperado de otra factura si sabemos si sabemos que el consuma ha sido de kw? Tenemos los pares de valores ( 76, 34 39 ) y ( 74, 45 48 ) Y = y y 45 48 34 39. ( ) + y => y = ( 76 ) + 34 39 = 37 74 76 Nota: puede cambiarse el orden de selección de ambos puntos - 7 -
4º.- Dibuja la gráfica de la siguiente función: f() = + 6 si < + 3 si El primer tramo de esta función a trozos corresponde a una recta. Obtendremos su gráfica eligiendo dos puntos, por ejemplo A( - 3, ) y B ( -, 4 ), aunque este último no pertenece al dominio de este trozo El segundo trozo es una parábola. Para su representación debemos elegir: C( -, ), por ser donde comienza su gráfica. b Su vértice a partir de: v = = a = => Vértice (, - 3) Su corte con eje de abscisas: - + 3 = => = 3 => D( 3, ) Y ahora, si lo consideramos conveniente, podemos añadir algún otro punto, por ejemplo E(, - ) 5º.- Se considera las funciones f() = y g() =. Se pide: a) Hallar la ecuación de las funciones (f o g ) y (g o f ) indicando claramente cuál es cuál b) Hallar f y g a) (f o g )() = f [g()] = f( ) = b) (g o f ) () = g [f()] = g( ) = c) f () => = ( f ) = > ( f ) = ( ) d) g () => = g - => g = + - 6º.- Una población de insectos crece según la función f() = +,5. 4 ( = tiempo en días e y = nº de insectos en miles ) a) Cuál es la población inicial? b) Calcula cuánto tardará en duplicarse a) La población inicial se obtiene para = => f() = +,5. 4. = + 5. = 5 miles b) Si tiene que duplicarse y = 5. = 3 miles 3 = +,5. 4. => = 5. 4. => = 4 = = 4. => = 4. = > = 5 días 5-8 -
EXAMEN febrero 9 () º.- Halla el domino de las siguientes funciones: a) f() = + + 3 b) g() = 4 a) No forman parte del dominio, de la función f(), los valores que anulan el denominador. Si tratamos de resolver la ecuación + + 3 = nos encontramos que no tiene raíces reales por lo que diremos que Dom f() = R b) No forman parte del dominio, de la función g(), los valores que anulan el denominador ni aquellos que hacen negativo el radicando por lo que formarán parte del dominio los valores de que cumplen la relación 4 > => > 4 ó también ( -, 4 ) º.- Halla la ecuación de la recta paralela a 3 y + = y pasa por el punto P( -, - 3) Pongamos la función de forma eplícita: y = 3 + Todas sus paralelas tienen su misma pendiente por lo que sus ecuaciones tienen la forma: y = 3 + n Si ha de pasar por P( -, - 3) tendremos que: 3 = 3. ( - ) + n => n = 3 recta pedida y = 3 + 3 3º.- El precio del billete de una línea de cercanías depende de los kms recorridos. Por 57 km he pagado,85, y por 68 km, 3,4. Calcula el precio del billete para una distancia de km. Los datos del problema se recogen en la tabla de la derecha. La función de interpolación es: kilómetros 57 68 Precio ( ),85? 3,4 y y = y y. ( ) y sustituyendo valores y,85 = 3,4,85 ( 57 ). Realizando operaciones y redondeando obtenemos 6, 94 68 57 4º.- Representa gráficamente las funciones: a) y = - + 3 5 b) y = - + 3 a) La función y = - + 3 5 es una parábola abierta hacia ordenadas negativas porque a = -. Sus puntos notables son: Corte con eje de ordenadas: = => y = - 5 Punto de corte (, - 5) Corte con eje de abscisas: y = => - + 3 5 = obteniendo que carece de raíces por lo que podemos afirmar que la curva NO CORTA al eje de abscisas. Coordenadas del vértice: v = b a 3 3 3 3 = = => y v = - ( ) + 3. - 5 =. V(, ) 4 4-9 -
Es posible que necesitemos algún otro valor para completar la gráfica que se muestra en la figura adjunta. -5-5 5 - b) y = - + 3 Transformamos esta función en su equivalente a trozos -5 - -5 + 3 si 3 Y = ( + 3) = 3 si > 3 Cada uno de estos trozos es una semirrecta que pasan, respectivamente, por los puntos (, 3) y (6, ) La gráfica se muestra en la figura de la derecha 4 3 3 6 5º.- Se considera las funciones f() = + y g() = + 3. Se pide: c) Hallar la ecuación de las funciones (f o g ) y (g o f ) indicando claramente cuál es cuál d) Hallar f y g (f o g )() = f [ g() ] = f( +3) = + 4 (g o f )() = g [ f() ] = g( + 4 ) = + 4 +3 f () => = f ( ) + => f () = g () => = g () + 3 => g () = - 3 6º.- La gráfica de la función y = k a pasa por los puntos (, 5 ) y ( 5, 6 4 ). Halla k y a y di si se trata de una función creciente o decreciente Por pasar por (, 5 ) => 5 = k. a = > k = 5 Por pasar por ( 5, 6 4 ) => 6 4 = 5.a 5 = > 3 = 5 = a 5 de donde a = También podía haberse resuelto utilizando cálculo logarítmico. La función es creciente por tratarse de una función eponencial en la que su base a > NOTA: todos los ejercicios tienen la misma valoración - -