P3.- El más El témino MÁSER s l acónimo Micowav Amplification b Stimulat Emission of Raiation. El más s l pcuso l más óptico o LÁSER (Light Amplification b Stimulat Emission of Raiation), u funciona foma simila, po mitino luz visibl. En st poblma vamos a stuia algunos aspctos l pim más constuio po Towns sus colaboaos Goon Zig n 955. S tata un más amoníaco, un apaato u zuma física po toas pats. Funcionaminto El más l lás stán basaos n l fnómno misión stimulaa aiación, stuiao po Albt Einstin n 96: Cuano una molécula s halla n un stao xcitao, ngía E mao u la su stao funamntal, E, pu poucis la tansición spontána l nivl xcitao al funamntal, mitino un fotón cua fcuncia cospon al salto ngético Δ E E E nt los os nivls. Po si un fotón sa misma fcuncia inci sob una molécula n l stao xcitao, s pu inuci o stimula la tansición al funamntal, sultano os fotons la misma fcuncia, l incint más l mitio. Cuano l fnómno ocu nto una cavia pas flctoas (cavia sonant), s sncana una cascaa misions stimulaas s amplifica la aiación inicial, simp u nto la cavia s mantnga alguna foma la población moléculas xcitaas. Un oificio n la cavia sonant ja sali pat la aiación (micoonas n l más o luz n l lás) n foma un haz stabl, uniiccional mu monocomático, s ci una fcuncia bin tminaa. El más amoníaco Towns Chals Towns (izuia) con su colaboao n la Univsia Columbia Jams Goon, l pim más (955). La molécula amoníaco pu tn os staos ngía pnino su ointación spacial spcto al sntio otación la molécula. Paa la otación mostaa n las figuas.a.b, s psnta l stao mno ngía cuano l átomo nitógno stá po bajo los átomos hiógno, l stao mao ngía cuano l nitógno stá po ncima. Estos os nivls son mu póximos: la ifncia ngía nt llos s tan sólo 9,84 5 V, lo u xplica u la aiación mitia n la tansición sa micoonas (figua.c). Estao Engía E Estao Engía E E E Fotón Fig..a Fig..b Fig..c Est poblma s un homnaj a Chals Towns, u fallció l 7 no st año. Fu lauao con l pmio Nobl Física n 964 po la invnción l más po los pimos saollos l lás.
a) Calcul la fcuncia la aiación mitia n la tansición nt los staos. Datos: caga lmntal,6 9 C ; constant Planck h 6,63 34 J s. b) El más Towns mitía con una potncia - W. Cuántas moléculas fctivas amoníaco mitían aiación n caa sguno? El más s un oscilao xtaoinaiamnt stabl monocomático, po lo u sivió como patón paa la fabicación los pimos lojs atómicos. La fcuncia la aiación mitia po l más amoníaco tin una inctiumb (ancho bana) tan solo 75 Hz. c) Haga una stimación l númo años u han tanscui paa u l loj acumul un o s. Un tanu amoníaco suminista las moléculas al apaato. A tmpatua ambint, los os staos stán pácticamnt igual poblaos, s ci, la mita las moléculas stá n caa uno stos staos. Paa u la misión stimulaa omin sob la absoción aiación, po tanto haa amplificación, s ncsaio ispon más moléculas n l stao xcitao u n l funamntal. Paa llo, ha u slcciona las moléculas con ngía E scata las E ants u ntn n la cavia sonant. Esto s consigu con un ispositivo llamao slcto. Consist n una lnt lctostática cuaupola fomaa po cuato lctoos situaos longituinal siméticamnt alo l haz moléculas pocnt l tanu (figua ). Dos lctoos opustos stán conctaos a una funt tnsión V los otos os a V. -V Haz moléculas V V -V Fig. Z Paa compn cómo s la istibución potncial léctico nto st slcto, n pim luga vamos a stuia un molo simplificao sistma cuaupola, fomao po cuato cagas puntuals ± situaas siméticamnt sob los js coonaos a una istancia l oign O, como s inica n la figua 3. ) Dtmin l potncial lctostático V() n l punto P la figua 3, situao a una istancia l oign, n función,. ) Dsaoll la xpsión antio V() n si potncias /, obtnga una xpsión apoximaa suponino u <<. Consi spciabls potncias supios a l cocint /. Aua: Tnga n cunta l saollo n si binomial n( n )! n ( + δ ) + nδ + δ +... Extnino l cálculo antio a cualui punto P l plano s ncunta u l potncial cca O tin una pnncia hipbólica V ( x, ) ( x ) En un slcto al l sistma cuaupola no stá fomao po cagas sino po vaillas conuctoas hipbólicas conctaas a un potncial ±V u poucn línas uipotncials también hipbólicas (figua 4) P - O - Fig. 3 V -V -V V Fig. 4 Línas uipotncials
x V ( x, ) V () on s la istancia l cnto a caa lctoo. En l más Towns,,5 cm V 5 kv. Po simplicia n alant vamos a tabaja xclusivamnt n l plano Z, s ci x. Nóts u n las xpsions antios no ha ninguna pnncia con z, lo u significa u pun spcias, o stán compnsaos po algún métoo, los fctos bios a la falta invaiancia longituinal cca los xtmos ntaa salia l slcto (fctos bos). f) Justifiu u l campo léctico n un punto l plano Z sólo tin componnt. A pati la xpsión (), compub u l campo s la foma ε ( ) C. Dtmin calcul numéicamnt la constant C. Cuano las moléculas amoníaco (u son moléculas ipolas) pntan n l slcto, la intacción con l campo léctico hac u la ngía sus os nivls s va ptubaa po un témino ngía potncial, U, u isminu la ngía l stao aumnta la l n sa misma cantia. Un stuio mcánica cuántica, u ua fua las posibilias la Ensñanza Scunaia, pmit mosta u sta ngía potncial s popocional al cuaao l campo léctico (fcto Stak cuaático), la foma μ U ( ) ± ε ( ) () on μ s una constant conocia (momnto ipola léctico la molécula) ε() s l campo léctico a una istancia x + l j OZ. Esta ngía s positiva paa las moléculas n l stao ngativa paa las u stán n l stao, ahí l obl signo. En conscuncia, sob las moléculas actúa una fuza aial, F () sntio contaio paa los os staos. En nusto stuio n l plano Z, la pnncia F ( ) s uc a F ( ). g) Dtmin la fuza F () sob una molécula n función μ, C. Supongamos u las moléculas pntan n l slcto a una altua con vlocia v paalla al j OZ (figua 5). Sob las moléculas n l stao actúa una fuza u las alja st j, foma u n la páctica no alcanzan la salia. Sin mbago, sob las moléculas n l stao actúa una fuza popocional a iigia simp hacia l j OZ (fuza lástica), foma u avanzan alizano una oscilación amónica n tono a icho j, n la foma cos kz (3) ( ) v L E Fig. 5 Z h) Dtmin la fcuncia spacial la oscilación, k, las moléculas l stao, n función μ, Δ E, C, v la masa m una molécula. Intsa u las moléculas xcitaas salgan l slcto moviénos hacia la cavia sonant n paallo al j OZ, como ocu n la figua 5. Esto pu consguis con vaias posibls longitus L l slcto. i) Dtmin la mínima longitu, L min, u pu tn l slcto.
P3. Solución a) Fcuncia la aiación mitia n la tansición nt los staos : 9,84 5 V,6 9 J/V,57-3J Δ E h f f 3,7 GHz b) Númo moléculas fctivas amoníaco u mitn aiación n caa sguno: N / N moléculas/ s 6 c) La inctiumb lativa la fcuncia l loj s Δ f f 75 3, 9 4 9 El pioo oscilación T (patón timpo) s T /f. Tomano incmntos n sta iguala, s inmiato mosta u la inctiumb lativa l pioo coinci con la la fcuncia ΔT Δ f T f Po tanto, paa u l loj acumul un o Δt 3, 9 t t 3, 8 s años ) El potncial lctostático a una istancia una caga puntual s V Δt s, una stimación l timpo tanscuio s En nusto caso, l potncial total n l punto P s la suma las contibucions las cuato cagas V + + + + V ( / ) + ( ) / (4) δ m ) Tnino n cunta l saollo n si inicao n l nunciao, con ( ) ( / ) + ( / ) ( ( / ) ) + ( / ) / ( + ( / ) ) ( / ) Con sta apoximación, la xpsión (4) s uc a /
V 3 ( / ) V 3 3 S obtin po fin una pnncia V, l mismo tipo u la pnncia al nto l slcto inicaa n la cuación () l nunciao. f) Si s spcian, o stán compnsaos, los fctos los bos, l campo léctico n l plano Z stá iigio sgún O, con sntio hacia l oign, pus s compnsan las componnts E x los campos los lctoos ngativos, como s sumatiza n la figua (6). En total, n los puntos l plano Z ε ε j Paa un splazaminto infinitsimal nto st plano j + zk ε ε ε 4 ε 3 - - 3 4 Fig. 6 s cumpl V ε ε ε V Po tanto, a pati la xpsión () l nunciao s obtin la pnncia linal spaa V ε ( ) V C, C, 9 V/m g) La fuza la ngía potncial léctica s lacionan foma análoga al apatao antio U F( ) D la xpsión () tnmos Po tanto: μ μ μ V U ( ) ± ε ( ) ± ± C Δ Δ Δ E E E μ F( ) m C con l signo ngativo paa l stao, l signo positivo paa l stao. h) La única fuza u actúa nto l slcto sob las moléculas n l stao s μ C ma a μ C m S obtin una aclación popocional a, n sntio opusto, caactística una oscilación amónica. La constant popocionalia s l cuaao la fcuncia oscilación ω. Po tanto l moviminto s la foma Acos( ω t + α ) (4)
con μ ω m / C μc m / La amplitu A la fas inicial α la oscilación pun tminas a pati las conicions inicials l moviminto. Plantano ( t ) v ( t ) s inmiato mosta u A α. El moviminto n l j OZ s unifom: z vt Eliminano l timpo t n la c. (4), la cuación la tactoia n l plano Z ua ω cos z v Con lo u la fcuncia spacial oscilación sulta ω k v μc k v m i) El pioo spacial las oscilacions nto l slcto s λ π k Paa u las moléculas salgan l tcto con vlocia paalla a OZ, la longitu L l slcto b s un múltiplo nto λ/. La situación la figua 5 cospon a L λ. La mínima longitu s consigu paa L λ/ (figua 6), s ci L min Lmin μ π v C m Fig. 6
P3.- HOJA DE RESPUESTAS Apatao Rsultaos analíticos Rsultaos numéicos Puntos a) f 3,7 GHz,5 b) N 6 moléculas / s,5 c) t 3, 8 s años,5 ) V ( / ) + ( ) / ) V 3 3 V f) C C, 9 V/m +,5 μ g) F( ) m C h) μc k v m,5 i) Lmin μ π v C m,5