CAMPO ELECTROSTÁTICO 2.3

Transcripción

1 CMPO LCTOSTÁTICO.3 n sta unidad, pima dl lctomagntismo, s haá una intoducción a la física d las cagas lécticas stacionaias, s dci, n poso spcto al obsvado, n la qu s studiaán los siguints aspctos: Caga léctica y sus popidads. Distibucions d caga. islants y conductos y caga po contacto y po inducción. Dscipción vctoial dl campo lctostático. l punto d patida lo constituy la ly d Coulomb d la intacción léctica paa pasa a un concpto más amplio: l campo léctico. S intoducián las línas d campo léctico paa intnta visualizalo. Finalmnt s obtndá la podosa, tanto dsd l punto d vista tóico como páctico, ly d Gauss dl campo léctico. Dscipción scala dl campo lctostático: mdiant la ngía potncial y l potncial lctostático y su lación con l tabajo léctico. S intoducián las quipotncials como una foma d visualización dl potncial lctostático. Conxión nt las dscipcions vctoial y scala dl campo lctostático. Un bv análisis dl moviminto d cagas puntuals n campos unifoms. lgunas analogías y difncias nt los campos gavitatoio y lctostático. 1. L CG LÉCTIC Las pimas obsvacions sob los fnómnos lécticos fuon alizadas po los antiguos gigos qu ya sabían qu l ámba fotado con lana adquiía la popidad d ata cupos ligos. S dic qu l ámba stá lctizado, o qu tin caga léctica, o qu stá cagado lécticamnt. Téminos qu divan dl vocablo gigo lkton, qu significa ámba. La caga léctica, psntada po q, s una cualidad d algunas patículas con popidads qu foman pat d las bass n las qu s asinta la física modna y qu s analizan a continuación: 1.1. xist n dos vaidads d caga léctica: positiva y ngativa lddo d 1750, l cintífico y stadista notamicano Bnjamín Fanklin (1706S1790) intodujo l convnio d qu l vidio cibía caga positiva (+) cuando s fotaba con un paño d sda, adquiindo ésta caga ngativa (S). Con l conociminto actual d la stuctua d la matia, sabmos qu son los lctons los potados d una d las dos vaidads d caga y los potons los d la ota vaidad; ambos con la misma caga po con signos opustos. n l átomo nuto, l númo d potons (n l núclo) s igual al númo d lctons (n la cotza), y pusto qu la matia stá fomada po átomos, sá lécticamnt nuta n cicunstancias nomals, con una caga léctica nta nula. Dicha matia pud adquii caga nta no nula dpndindo d si s l agga lctons o si s l quita lctons (a sta ganancia o pédida d lctons s dnomina ionización). Obsva qu nomalmnt ntan n jugo los lctons: s qui poca ngía paa agga o quita lctons d la cotza dl átomo, mintas qu accd al núclo paa agga o quita potons qui muchísima ngía. Cuando l vidio s fota con l paño d sda, s tansfin lctons dl vidio a la sda a tavés d las supficis n contacto, sultando la sda con más lctons qu potons y l vidio con mnos lctons qu potons. Paa s conscunts con l convnio d Fanklin d qu la caga nta dl vidio s positiva y la d la sda ngativa, dbmos asigna caga positiva al potón y caga ngativa al lctón, sindo po tanto l signo d las cagas un mo convnio abitaio. La caga léctica la psntamos con l símbolo q, qu ngloba un valo numéico, un signo y unas dtminadas unidads. s un scala con signo. Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 1

2 1.. Las cagas lécticas intaccionan nt sí unqu los fnómnos lécticos s conocían dsd la antigüdad, fu n 1730 cuando l fancés Chals Du Fay dmostó qu los cupos cagados intaccionan nt sí. sta fuza a distancia nt cagas lécticas stacionaias s dnomina fuza léctica, F, qu pud s d atacción o d pulsión, dpndindo d los signos lativos d las cagas qu intaccionan: F atactiva: q i q j < 0 (dos cagas con signos opustos) F pulsiva: q i q j > 0 (dos cagas con l mismo signo) dmás d la fuza léctica nt cagas lécticas hay otas fuzas qu dpndn d su moviminto lativo y qu son l oign d los fnómnos magnéticos qu s tataán n unidads postios La caga léctica s consva La caga léctica nta n un sistma aislado pmanc constant, n l sntido d qu la caga nta total no pud s cada ni dstuida y ntndindo po sistma aislado aquél cuyos límits no pudn s atavsados po la matia. n l intio dl sistma pud xisti tansfncia d caga nt los cupos qu foman dicho sistma. s un pincipio d consvación qu s cumpl n todas las obsvacions alizadas y constituy una d las bass d las cuacions d los campos lécticos y magnéticos. dmás la caga nta d un sistma s un invaiant lativista (a difncia d la masa, longitud, ngía, tc), s dci, obsvados n distintos sistmas d fncia midn la misma cantidad d caga nta, así como tampoco influy l moviminto d los potados d caga, xistindo pubas xpimntals, tals como la nutalidad léctica n átomos y moléculas n los cuals los movimintos d sus potados d caga (lctons y potons) no influyn n dicha nutalidad La caga léctica stá cuantizada La cantidad más pquña d caga léctica s la d un lctón (o d un potón). Como la caga nta d un cupo s db a un dfcto o a un xcso d lctons, dicha caga nta s un múltiplo nto dl valo absoluto d la caga d un lctón, : q nta ±n Los hchos d qu las cantidads d caga dl lctón y dl potón san xactamnt iguals con signos opustos y d qu la caga d un cupo stá cuantizada stán apoyados po numosas pubas xpimntals. Duant l siglo XIX y pincipios dl XX s alizaon muchos tabajos xpimntals paa dtmina la caga dl lctón y su masa. S pudn dstaca a Michal Faaday (1833) con la lctólisis; a J.J. Thomson con la mdida dicta dl cocint /m n 1897 a pati dl studio d las dscagas lécticas n gass y a Millikan n 1909 qu con l famoso xpimnto d la gota d acit dtminó con pcisión acptabl l valo y signo d. La unidad natual d caga s l lctón. Sin mbago, n l SI s l culombio, C, d tal foma qu: q S. S1,6010 S19 C q p+. +1,6010 S19 C l culombio s dfin n l SI a pati dl ampio a tavés d la xpsión i q d dt d tal foma qu 1 culombio s la cantidad d caga qu atavisa la scción d un conducto po l qu cicula una coint d 1 ampio n un intvalo d 1 sgundo. Como l culombio s una unidad d caga nomalmnt dmasiado gand n lctostática, n su luga s usa l micoculombio (1 µc 10 S6 C), l nanoculombio (1 nc 10 S9 C) y l picoculombio (1 pc 10 S1 C), d acudo con las xpincias qu s manjan n lctostática. Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S

3 . CGS PUNTULS Y DISTIBUCIONS CONTINUS D CG LÉCTIC Cuando s tabaja con patículas cagadas, como lctons, potons, ions, tc., s pud consida a dichas cagas como puntuals (caga concntada n un punto gomético dl spacio). Po también s pudn consida puntuals aqullas paa las qu calculamos magnituds lécticas a distancias mucho mayos qu las dimnsions dl cupo con caga nta. La caga d un lctón (o un potón) s tan pquña (y l númo d vogado tan gand) qu su cuantización no s pon d manifisto a nivl macoscópico: sí, un cupo con una caga nta d S100 nc contin unos 6, lctons n xcso. Podmos, po tanto, consida qu las cagas ntas macoscópicas stán distibuidas d foma continua (stán muy cca unas d otas n compaación con las dmás distancias d intés) y manja lmntos difncials d caga, dq, simp qu s cumpla n dq n q Dicha caga nta pud sta patida a lo lago d una dimnsión (dnsidad linal d caga), n dos dimnsions (dnsidad supficial d caga) o n ts dimnsions (dnsidad volúmica d caga)..1. Dnsidad linal d caga Si la caga nta stá patida d foma continua a lo lago d un hilo, tndmos una dnsidad linal d caga qu s simboliza po λ, psntando la cantidad d caga po unidad d longitud. n un lmnto difncial d longitud, dl, tndmos un lmnto difncial d caga, dq. sí: λ d q d [1] l con unidads d C/m n l SI. La cantidad d caga nta a lo lago d un tamo dl hilo s obtin dspjando dq d [1] intgando q dq λdl Si la caga stá unifommnt patida a lo lago dl hilo, la dnsidad linal d caga λ sá constant, facilitando la solución d la intgal []... Dnsidad supficial d caga S poduc cuando la caga nta stá distibuida d foma continua a lo lago d una lámina sin spso. Dicha dnsidad supficial s simboliza po σ qu psnta la cantidad d caga po unidad d supfici. Sindo ds un lmnto d supfici, tndmos: σ d q d S con unidads d C/m n l SI. Si la caga nta stá unifommnt patida a lo lago d la lámina, la dnsidad supficial d caga sá constant. σ [] [3].3. Dnsidad volúmica d caga Cuando la caga nta stá distibuida n un volumn, s intoduc la dnsidad volúmica d caga, ρ, como la caga po unidad d volumn: ρ d q d [4] V con unidads d C/m 3 n l SI. n la Fig.1 tnmos dos jmplos d sccions tansvsals d cupos sféicos con dnsidads volúmicas d caga. n l a Fig.1 b Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 3

4 pimo, la dnsidad s constant poqu la caga stá unifommnt distibuida po todo l volumn. n l sgundo (a mayo nivl d gis, más caga), la dnsidad volúmica d caga s una función dl adio d la sfa, ρ ( ), poqu la dnsidad d caga aumnta con l adio. Tanto n un caso como n l oto (y n otos no mncionados), las dos sfas cagadas s compotan como cagas puntuals iguals a las cagas ntas concntadas n l cnto cuando calculamos magnituds lctostáticas fua dl cupo ( aunqu dichos cálculos s fian a puntos muy póximos al cupo!), como s dmostaá al aplica la ly d Gauss a dichas distibucions d caga. Paa cualqui tipo d distibución continua d caga, l lmnto d caga dq s tan pquño qu s compota como caga puntual, paa lo cual los lmntos d lína (dl), d supfici (ds) o d volumn (dv) dbn s pquños dsd l punto d vista macoscópico, po lo suficintmnt gands a scala micoscópica paa qu pudan contn l númo suficint d cagas ntas paa cumpli con la condición d qu dicha caga vaí d foma continua con spcto a la posición, poqu d lo contaio había mucho spacio vacío con fluctuacions muy gands n los valos d la dnsidad d caga, djando d s la dnsidad d caga un concpto útil. 3. ISLNTS Y CONDUCTOS Y CG PO CONTCTO Y PO INDUCCIÓN Una vz qu un cupo ha adquiido caga léctica nta, lo qu sucda dspués dpnd d si l matial s aislant o diléctico como l vidio, plástico, mada, bonita, tc. o conducto como los mtals islants La difncia stá n la movilidad d los potados d caga: los aislants idals no pmitn la movilidad d potados d caga, po lo qu la caga nta d un aislant pmanc n la zona n la qu s colocó inicialmnt. 3.. Conductos La volución d la caga nta n un matial conducto s compltamnt difnt poqu éstos pmitn la movilidad d la caga léctica po todo l cupo. n un píodo d timpo muy pquño, la caga nta suministada al conducto s mová hacia la supfici dl mismo, si inicialmnt no staba allí, dbido a las fuzas lécticas pulsivas nt cagas dl mismo signo y s a b distibuiá po toda la supfici, csando l moviminto Fig. d las cagas, san positivas o ngativas. s dci, n un conducto cagado n quilibio lctostático (l quilibio lctostático implica qu las cagas tinn qu sta n poso), la caga nta s distibuy po la supfici, qudando lécticamnt nuto l intio dl cupo. n la Fig.a s supon qu s pud dposita una cita cantidad d caga ngativa n l intio d una sfa conductoa (s psnta su scción), qu dbido a la pulsión léctica, dichas cagas s dsplazan paa distibuis a lo lago d la supfici (Fig.b), distibución qu sá unifom po tn simtía sféica. lo lago d la unidad s pofundizaá más sob la distibución d caga lib n conductos n quilibio lctostático. Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 4

5 3.3. Caga po contacto s posibl comunica caga léctica a cualqui sólido fotándolo con ota substancia. l fotaminto siv sólo paa stablc un bun contacto nt muchos puntos d las supficis, pasando lctons d una a la ota. sí, al fota una baa d bonita con pil, la bonita adqui caga nta ngativa qu pmanc localizada po s un matial aislant. sta caga s dtcta al hac contacto con la sfa dl lctoscopio (Fig.3), fomado po dos láminas dlgadas unidas a una vailla qu tmina n sfa, todo llo mtálico y dnto d un cipint aislant paa qu las coints d ai no afctn a las láminas. nts dl contacto las láminas culgan juntas vticalmnt. Dspués dl contacto, pat d la caga ngativa d la bonita s tansfi a la sfa y s popagan po la vailla y las láminas, spaándos éstas n vitud d la pulsión nt cagas dl mismo signo. bonita lctoscopio Fig.3 Baa d bonita cagada 3.4. Caga po inducción n l pocdiminto antio s ha cagado l lctoscopio po contacto, pasando pat d la caga léctica d la bonita al lctoscopio. Hay oto pocdiminto paa caga un mtal con la baa d bonita sin hac contacto n l cual l mtal adqui caga nta d signo opusto a la d la bonita sin pd ésta caga. st método s dnomina caga po inducción o inducción lctostática. Paa llo analicmos l pocso d caga po inducción n una sfa mtálica. Tngamos n cunta qu n l modlo clásico d la conducción léctica, un mtal s dscib como una disposición gula tidimnsional d ions con un gan númo d lctons libs fomando una nub lctónica con libtad d moviminto po todo l matial. n la Fig.4a s psnta la scción tansvsal d una sfa mtálica nuta. Cuando s l apoxima una baa d bonita cagada ngativamnt povoca, po pulsión, qu pat d la nub lctónica d la sfa s dsplac a la supfici d la misma opusta a la baa, xistindo un xcso d caga ngativa n dicha zona. sto oigina una pédida d caga ngativa (quda un xcso d caga positiva) n la supfici d la sfa póxima a la baa (b). Tals xcsos d caga s dnominan cagas inducidas. Obsévs qu no xistió tansfncia d caga d la baa d bonita a la sfa y qu ésta sigu sindo lécticamnt nuta. Las cagas inducidas pmancán mintas mantngamos cca la baa cagada. a b c Tia d Fig.4 n (c) s concta a tia (qu significa pon n contacto l conducto con l sulo mdiant un hilo mtálico, la pil húmda d una psona, tc., pus la popia Tia constituy un conducto qu paa muchos popósitos pud considas como infinitamnt gand), pasando los lctons d la sfa a la Tia. n (d) s ha liminado la conxión a tia y n () s apata la baa d bonita con lo qu sulta una sfa mtálica cagada po inducción con caga nta positiva (dfcto d lctons) distibuida unifommnt po la supfici d la misma. n la Fig.5 s dscib un pocdiminto paa caga po inducción con cagas d signos opustos Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 5

6 dos sfas mtálicas. n (a) y (b) las sfas stán n contacto. n () las sfas stán lo suficintmnt spaadas paa qu no xista influncia mutua. a b c d Fig.5 4. LY D COULOMB Pusto qu la fuza léctica s una fuza a distancia nt cagas, cab spa qu dpnda dl invso d la distancia al cuadado como n la ly d Nwton d la gavitación univsal. sta simtía fu sugida po Danil Bnoulli n También, po simtía, cab spa qu la fuza léctica dpnda dl poducto d las dos cagas qu intaccionan, suposición qu s complica con l signo d las cagas. La confimación d stas hipótsis fu alizada po Chals ugustin d Coulomb qu nunció la ly n 1786 dspués d mdi, con una balanza d tosión, la fuza nt pquñas sfas cagadas. La ly d Coulomb paa la fuza léctica nt dos cagas stacionaias s xpsa n fomato vctoial como: F K q q i j [5] i sob j oij cagas qu intaccionan. 0 ij ij qu nos da la fuza qu jc la caga i sob la caga j spaadas po una distancia qu s l módulo ij d, sindo ést l vcto lativo d posición qu s diig d i a j, y su cospondint vcto unitaio. S supon qu las cagas s mantinn n poso po fuzas mcánicas d algún tipo, fuzas qu no stán contmpladas n la Fig.6 n dond s psntan jmplos n función dl signo d las Fi ij sob j 0 ij 0 ij ij Fi sob j +q i +q j a -q i +q j c 0 ij Fi ij sob j 0ij ij Fi sob j -q i -q j b Fig.6 +q i -q j d 4.1. Caactísticas d la fuza léctica dada po la ly d Coulomb a. s dictamnt popocional al poducto d las dos cagas qu intaccionan. s aplicabl a cagas puntuals (lo qu s una idalización, aunqu válida si las dimnsions d los cupos cagados son muy pquñas compaadas con la distancia nt llos) y a cagas sféicas con distibución adial d caga. b. Disminuy con l invso d la distancia d spaación nt cagas al cuadado. Si las cagas son sféicas con distibucions adials d caga, dicha distancia s toma d cnto a cnto. s d lago alcanc, aplicabl paa distancias mayos qu unos 10 S14 m, pus a distancias infios pdominan las fuzas nuclas. Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 6

7 c. Tin como dicción la cta qu un a ambas cagas, con sntido qu dpnd dl signo dl poducto scala d las cagas: pulsiva si las dos cagas tinn l mismo signo, atactiva si tinn distinto signo. Su módulo stá dado po la xpsión F i sob j K q q i j ij F f ( ) 0 d. l tn la foma s una fuza cntal, y al dpnd su módulo dl invso d la distancia al cuadado (s una fuza nwtoniana), s, po tanto, consvativa. Po llo, l tabajo qu aliza la fuza léctica s pud xpsa como una disminución d la ngía potncial léctica U : B W B F d U U U. Cumpl la ly d acciónsacción (Fig.7): F F i sob j j sob i [8] F j sob i +q i ij +q j F i sob j Fig.7 n st punto pudn apac dificultads d tipo tóico: Cómo y n cuánto timpo s tansmit la infomación d la intacción a distancia d la pima a la sgunda caga y, una vz qu la sgunda xpimnta dicha intacción, cómo y n cuánto timpo s tansmit la infomación d la sgunda a la pima?. codmos qu xist un límit paa la vlocidad d popagación d la infomación n l univso, qu s la vlocidad d la luz n l vacío, c, po lo cual las fuzas d acción y acción n las intaccions a distancia no sán simultánas. Po sto pud llvanos a qu no s cumpla l pincipio d acciónsacción. Pnsmos n dos cagas spaadas: Hagamos qu la pima sufa un moviminto pntino, como una oscilación, po lo qu s acla. La sgunda caga comnzaá a oscila, po con cito taso. Dbido a st taso, la fuza qu jc la pima sob la sgunda no staá acompañada po una fuza igual y opusta d la sgunda sob la pima, lo qu pac viola la ly d acciónsacción. D alguna mana tin qu hab una solución a sta posibl inconguncia, tnindo n cunta qu la ly d acciónsacción s una conscuncia dl pincipio fundamntal d la consvación d la cantidad d moviminto y d la mana n como s ha dfinido la fuza a pati d la cantidad d moviminto. La spusta vndá con la intoducción dl concpto d campo léctico. f. s mucho más intnsa qu la fuza gavitatoia (unas vcs), a psa d qu la pima nos pac mnos familia qu la sgunda. Po no hay qu olvida qu las fuzas lécticas son sponsabls d la stuctua atómica, d qu no sbalmos d una silla cuando stamos sntados, d qu nusto calzado no s dslic n l sulo al camina, tc. Substancia Vacío g 1 g. La constant d la ly d Coulomb, K, a difncia d la constant d la gavitación (G), dpnd dl mdio n qu s ncuntn inmsas las cagas a tavés d un paámto léctico d dicho mdio llamado constant diléctica dl i (sco, sin CO ) gua (a 0 ºC) Vidio paa vntanas 1, ,1 7,0 mdio o pmitividad dl mdio, K 1 4πε ε, tal qu: Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 7 B [9] Mada S 8 [6] [7] Pmitividad lativa d algunas substancias

8 n l caso d qu l mdio sa l vacío (o l ai, apoximadamnt) s psnta po, tomándola como fncia paa dfini la pmitividad lativa (adimnsional), distinto dl vacío: ε ε ε 0 ε ε 0, d oto mdio Las pmitividads dilécticas s dtminan xpimntalmnt, obtnindo paa l vacío ε 0 8,85410 S1 C N S1 m S, sultando qu paa nustos popósitos s suficintmnt xacto utiliza l siguint valo d la constant d la ly d Coulomb n l vacío (al substitui n [9]): K Nm /C [11] Tnindo n cunta qu F j i sob j 3 ij K q q i 0 ij ij ij, n los cálculos sul sulta más fácil utiliza la xpsión poqu no hay qu calcula l vcto lativo unitaio d posición, aunqu la xpsión [5] s más adcuada paa l tataminto tóico. [10] [1] 5. UN PLICCIÓN D L LY D COULOMB 5.1. Fuza qu jc una distibución discta d cagas sob ota caga Supongamos qu tnmos un conjunto n d cagas puntuals o qu s pudan consida puntuals: q 1, q,..., q n fijas (mdiant algún tipo d fuza no léctica) fomando una distibución discta d cagas. dmás tnmos, fua d la distibución, una caga q puntual o qu s pud consida puntual (Fig.8). Cada una d las cagas d la distibución q i jc una fuza léctica sob la caga q, cuya xpsión stá dada po la ly d Coulomb. Suponindo qu s cumpl l pincipio d supposición indpndncia d las fuzas, la fuza léctica total qu jcn las cagas d la distibución sob la caga q, F sob q vctoial d las fuzas individuals:, staá dada po la suma F F + F F sob q q sob q q sob q q n sob q 1 s dci, tnindo n cunta [5]: F K q q K q q K q q 1 n sob q qu d foma sumida: n n q q i F K K qiq sob q 0 i 3 i sindo i la fuza. 1 i 1 i i n i Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 8 n +q 1 1 F +q -q +qn Fig.8 l vcto lativo d posición qu s diig d la caga i a la caga q sob la cual s calcula n F n F 1 [13] [14] [15]

9 jmplo 1 Sa una distibución d ts cagas puntuals d, 4 y S8 nc situadas n los puntos (S1, 0), (0, S1) y (0, 1) m dl plano xsy spctivamnt. l mdio s l vacío. Calcula la fuza qu jc dicha distibución sob una caga d S3 nc cuando s sitúa n l punto P(1, 0) m. xistindo vaios pocdimintos paa llga al sultado, s utilizaá la xpsión analítica F K q q i i 0 3 i, paa lo cual (-1,0) q 1 nc pocdmos n tapas: 1. S sitúan las cagas n los puntos spctivos dl plano xsy (Fig.9).. S dibujan los vctos lativos d posición (s diign simp d la caga funt al punto P). 3. S xpsan analíticamnt los vctos d posición: 1 i m ( i + j) m 3 ( i j) m 4. S calculan los módulo d los vctos antios: 1 m m 3 y (0,1) (0,-1) Fig.9 q 3-8 nc 1 q 4 nc 3 q -3 nc P(1,0) 5. S calcula la fuza qu cada caga d la distibución jc sob la caga situada n P, utilizando la xpsión F i K q q i i 0 3 i substituy po su valo y signo):, substituyndo n lla los valos cospondints (la caga s ( 3) 10 9 F i 13, i N ( 3) 10 9 F ( i + j) 38, ( i + j) N ( ) ( 3) 10 F 9 10 i j, i j N 3 ( ) 3 9 ( ) ( ) 6. La fuza total jcida sob la caga d 5 nc staá dada po la suma vctoial d las fuzas antios: F ( 4, 7i 115 j ) 10 9 N x Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 9

10 6. CMPO LÉCTICO. INTNSIDD DL CMPO LCTOSTÁTICO xaminmos la fuza léctica qu jc una caga puntual q, qu dnominamos caga funt, sob una caga puntual q p, o caga d puba, situada n l punto P. La ly d Coulomb nos dic qu la fuza qu jc q sob q p stá dada po la xpsión [5] (n l caso d qu san puntuals o s pudan consida como tals): Fq p 0 P sob qp [16] F K qq q sob 0 q p Pusto qu sta fuza s dictamnt popocional a la caga d puba, podmos dividi la fuza nt la caga d puba. st cocint d la fuza sob la caga d puba sindo la distancia al cnto d la distibución) a una distancia d la misma: 0 q q -q 0 a b Fig.10 po unidad d caga d puba s dnomina intnsidad dl campo léctico, psntada po : F sob q p [17] q p d dond obtnmos la ly d Coulomb d la intnsidad dl campo léctico poducida po una caga funt puntual (o qu s puda consida como tal: n l xtio d distibucions sféicas d caga K q 0 o, más páctica paa los cálculos: K q 3 [18] [19] S obtin así una magnitud léctica vctoial dfinida n cada punto dl spacio qu oda a la caga funt y qu dpnd únicamnt d ésta (y dl mdio), con dicción adial y sntido qu dpnd dl signo d la caga funt (Fig.11). l módulo d la intnsidad dl campo léctico n cada punto s invsamnt popocional a la distancia al cuadado a la caga funt, con unidads d N/C n l SI (o d V/m, como vmos más adlant). Fig.11 la gión dl spacio n la qu stá dfinida una intnsidad d campo léctico n cada punto s l dnomina campo léctico, qu s un campo vctoial. Si n una gión dl spacio n la qu xist un campo léctico colocamos una caga d puba q p, ésta xpimnta una fuza léctica qu s obtin a pati d la dfinición d intnsidad d campo (xpsión [17]): F q sob q p p fuza qu tin la misma dicción qu la intnsidad dl campo léctico n l punto n l qu colocamos q p, con sntido dpndint dl signo d q p. Tnmos así ota dfinición (opativa) d campo léctico: xistiá campo léctico n un gión dl spacio si al coloca n lla una caga d puba xpimnta una fuza. pati d la dfinición d (xpsión [17]) obtnmos l pocdiminto paa mdi la intnsidad dl campo léctico n un punto dl spacio: situa una caga d puba q p n poso n l punto n custión, mdi la fuza léctica qu actúa sob lla y obtn la intnsidad d campo como F sob q p q p. Pocdiminto con l cual s db tn cuidado, pus la caga d puba pud alta q p P P [0] Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 10

11 la distibución d las cagas funt qu oiginan l campo: Po jmplo, si l campo stá poducido po una distibución d cagas situadas n la supfici d un conducto, xistiá una distibución d dichas cagas si n sus poximidads colocamos la caga funt, con lo cual s ha altado la intnsidad d campo qu quíamos mdi. S ha sustituido l cálculo dicto d la fuza léctica d la ly d Coulomb nt una caga funt y una caga d puba po un pocdiminto n dos tapas: pimo s calcula la intnsidad dl campo léctico oiginado po la caga funt, y sgundo, s calcula la fuza léctica qu jc l campo léctico sob la caga d puba. Po llo, l conjunto d las cuacions d la intnsidad dl campo léctico [18] y la fuza léctica n función d la intnsidad dl campo léctico [17], son totalmnt quivalnts a la xpsión d la fuza léctica d la ly d Coulomb [5]. st pocdiminto n dos tapas tin vntajas d cálculo: Pmit calcula distintas fuzas lécticas sob distintas cagas d puba qu coloqumos n un punto dado dl campo léctico, lo qu constituy un ahoo d cálculo fnt a la ly d Coulomb. dmás no s ncsaio conoc cómo s o n dónd stá situada la caga (o cagas) funt qu oiginaon l campo léctico, sólo s ncsaio conoc la intnsidad dl campo léctico n l punto n l qu s coloca la caga d puba. dmás tin vntajas tóicas: l hcho d obtn xpsions qu sólo dpndn d las cagas funt facilita la obtnción y manjo d las xpsions d los campos lctomagnéticos. Po ota pat, s sulvn las dificultads dl concpto d intacción a distancia plantadas al analiza la ly d Coulomb: n l pocso n dos tapas qu hmos intoducido con l concpto d campo léctico, la caga oscilant poduc un campo léctico oscilant qu actúa d mdio d popagación d la oscilación, intactuando ésta con la sgunda caga, qu la hac oscila. l campo tanspota momnto linal d la pima a la sgunda caga mdiant los paquts d adiación lctomagnética dnominados fotons mitidos po una caga y absobidos po la ota, cumpliéndos la ly d acciónsacción n cada intacción fotón Scaga. n st sntido, l campo léctico funciona como intmdiaio nt las dos cagas. Pac qu l campo léctico s ha intoducido como una haminta puamnt fomal (qu facilita l cálculo) o concptual (qu sulv los inconvnints plantados po la intacción a distancia). Po l hcho d qu s puda calcula la intnsidad dl campo léctico poducida po cagas funt n un punto dl spacio, xista o no caga n dicho punto, nos pud llva a pnsa qu l campo léctico s una ntidad física qu s xtind n todo l spacio: n st sntido, la caga funt modifica las popidads dl spacio qu la oda, sindo la intnsidad d campo una mdida d dicha ptubación. D hcho, xistn campos lécticos vaiabls con l timpo sin cagas funt. 7. LGUNS PLICCIONS D L LY D COULOMB D L INTNSIDD D CMPO LÉCTICO n 7.1. Intnsidad d campo léctico oiginada po una distibución discta d cagas puntuals o quivalnts Supongamos qu tnmos un conjunto n d cagas puntuals o qu s pudan consida puntuals: q 1, q,..., q n fijas (mdiant algún tipo d fuza no léctica) fomando una distibución discta d cagas. Cada una d stas cagas oigina n l punto P una intnsidad d campo léctico, indpndintmnt d todas las otas cagas, sindo la intnsidad d campo sultant n l punto P la suma vctoial d las intnsidads d campo Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 11 +q 1 1 -q +q n Fig.1 n P 1

12 individuals (Fig.1); sto s l pincipio d supposición indpndncia aplicado al campo léctico. Tnindo n cunta la xpsión d la intnsidad d campo oiginada po cada caga [11], la intnsidad total n l punto P sá: n n i 1 K q K q K q n qu d foma sumida: n n q i K K qi 0 i 3 i sindo i intnsidad dl campo. i 1 i i 1 i 0 0 n i n l vcto lativo d posición qu s diig d la caga i al punto P n l cual s calcula la [1] [] [3] jmplo Sa una distibución d ts cagas puntuals d, 4 y S8 nc situadas n los puntos (S1, 0), (0, S1) y (0, 1) m dl plano xsy spctivamnt. l mdio s l vacío. Calcula: a. La intnsidad dl campo léctico qu oigina sta distibución n l punto P(1, 0) m. b. La fuza qu jc dicha distibución sob una caga d S3 nc cuando s sitúa n l punto P. c. La fuza qu jc dicha distibución sob una caga d 5 nc cuando s sitúa n l punto P. (-1,0) q 1 nc y (0,1) (0,-1) q 3-8 nc 1 q 4 nc 3 P(1,0) x a. S utilizaá la xpsión analítica q i K 0 3 i i, p a a l o c u a l Fig.13 pocdmos n tapas: 1. S sitúan las cagas n los puntos spctivos dl plano xsy (Fig.13).. S dibujan los vctos lativos d posición (s diign d la caga funt al punto P). 3. S xpsan analíticamnt los vctos d posición: 1 i m ( i + j) m 3 ( i j) m 4. S calculan los módulo d los vctos antios: 1 m m 3 5. S calcula la intnsidad d campo oiginada po cada caga n l punto P, utilizando la xpsión Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 1

13 i K q i 0 3 i su valo y signo): i, substituyndo n lla los valos cospondints (la caga s substituy po N 3 i 4, 5i C ( i + j) 1, 73( i + j ) N C ( ) i j i j 3 ( ) 3 ( ) 5, 46( ) 6. La intnsidad total dl campo léctico n l punto P vndá dada po la suma vctoial d las intnsidads antios: ( 8, 3i + 38, j) P N C b. La fuza qu jc la distibución sob una caga d S3 nc qu s sitúa n P s pud calcula a tavés d la fuza qu jc la intnsidad dl campo n P (oiginada po la distibución) sob la caga qu s sitúa n dicho punto: F q P ( 8, 3i + 38, j ) F ( 4, 7i 115 j ) 10 9 N sindo, vidntmnt, l mismo sultado qu l dl jmplo 1. c. D la misma foma qu n l apatado antio, s obtin: F q P ( 8, 3i + 38, j) F ( 4, 1i + 191j ) 10 9 N Los dos últimos apatados saltan la vntaja d calcula pimo la intnsidad d campo paa dspués calcula la fuza sob una caga a pati d la intacción dl campo con dicha caga. 7.. Intnsidad d campo léctico oiginada po una distibución continua y unifom d caga s fcunt nconta cagas funts qu stán distibuidas d foma continua. n stas situacions, s divid la distibución d caga n lmntos infinitsimals dq, considando a cada uno d stos lmntos como caga puntual qu oigina un lmnto infinitsimal d intnsidad d campo n l punto P qu stá dada po la xpsión d d K q [4] 0 qu s la ly d Coulomb n foma difncial d la intnsidad dl campo léctico [18], con módulo d d K q La intnsidad total d campo léctico n l punto P sá la suma (al cumplis los pincipios d supposición indpndncia) d las intnsidads infinitsimals poducidas po todos los lmntos d caga; sto s, una intgal N C d [5] Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 13

14 d K d q 0 λdl σds xtndida a toda la distibución, qu dpndindo dl tipo, s substituy dq po, o. Pusto qu s una intgal d una xpsión vctoial, pud s difícil su valuación, a mnos qu la distibución d caga tnga un alto gado d simtía. Con la ly d Gauss, qu s dsaollaá más adlant, s pudn calcula intnsidads d campo léctico n citas distibucions siméticas d una foma más fácil. [6] ρ dv jmplo 3 Calcula la intnsidad dl campo léctico a una distancia x mdida ppndiculamnt a una distibución continua, linal, infinita y unifom d caga léctica situada a lo lago dl j y. Supongamos qu la caga s distibuy a lo lago dl j y, dsd S hasta +, y qu al s unifom, la dnsidad linal d caga s constant: dq dq λ ct dl dy. n la Fig.14 stá psntado l lmnto infinitsimal d intnsidad d campo n l punto P, qu stá a una distancia x mdida ppndiculamnt a la distibución linal, oiginado po l lmnto infinitsimal d caga dq situado n la posición Sy. st lmnto d campo s dscompon n una componnt sob l j x y ota sob l j y, d d + d d i + d j tal qu. x y x y Tnindo n cunta la Fig.14, d K q λ d K y d i Kλ dy y dq -y d d cosθ i + d sinθ j x θ Fig.14 d y, intgando y sacando las constants fua d la intgal, s obtin + + cosθ dy sinθ dy + jkλ P θ d x d, qu al substitui d po Paa solv las intgals antios hay qu duci las ts vaiabls (y,, θ ) dl intgando a una sola, sindo lo más convnint dja los intgandos n función dl ángulo. pati d la Fig.14 tanθ y y x tanθ θ x dy x x dθ cos dy dθ θ cos θ s tin, d dond y divando y spcto a (tnindo n cunta qu x s constant): d dond dspjamos qu s substituy n los cosθ x intgandos. También d la Fig.14 s obtin, d dond qu s substituy x cos θ n los intgandos. Cambiando los límits d intgación n función d la vaiabl π π y θ y + θ + θ x (cuando, y cuando, ) y con las substitucions antios s obtin Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 14

15 π π + + λ K i + j x cosθ dθ sinθ dθ π π π π λ + + K i sinθ] π j cosθ ] π x λ K i + 0 j x s dci: K λ i x d dond s dduc qu la intnsidad d campo s invsamnt popocional a la distancia a la distibución y s ppndicula a lla. l qu no xista componnt n la dicción paalla a la distibución a d spa po considacions d simtía: todo lmnto dq situado n Sy tin oto lmnto simético dq n +y, po lo cual las componnts n la dicción y d la intnsidad d campo n P tinn l mismo módulo po sntidos opustos po lo qu s anulan. 8. UN FOM D VISULIZ L CMPO LÉCTICO: LÍNS D CMPO LÉCTICO Pusto qu l campo léctico s un campo vctoial, paa visualizalo s ncsita psnta un vcto intnsidad d campo léctico n cada punto dl spacio (n dond xista un campo, pus pudn xisti puntos n los qu no sté dfinido po jmplo, n la posición qu ocupa una caga puntual o poqu s nulo po jmplo, l punto mdio nt dos cagas iguals ), lo qu xig una psntación tidimnsional, una gan cantidad d tabajo y l sultado sía d difícil intptación. Michal Faaday (1791S1867) s l db la visualización dl campo léctico n función d las dnominadas línas d campo léctico Popidads d las línas d campo léctico a. Son línas imaginaias ointadas, continuas (xcpto n singulaidads como n una caga puntual, o puntos n dond s anula l campo, tc.), cuyas tangnts, n cualqui punto, tinn la dicción d la intnsidad dl campo n dicho punto (Fig.15). Fig.15 Las cagas d puba q p qu s coloqun n una gión n la qu xist un campo léctico xpimntaán una fuza léctica, d acudo con la xpsión F q sob q p p, qu tndá l mismo sntido qu l d la intnsidad d campo n l caso d cagas d puba positivas (Fig.16a) o l contaio n l caso d las ngativas (Fig.16b). F sob q p F sob qp +q p -q p a Fig.16 b Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 15

16 Las cagas d puba positivas al abandonalas n un campo léctico, s muvn n l mismo sntido qu las línas d campo. Las cagas d puba ngativas al abandonalas n un campo léctico, s muvn n sntido contaio a las línas dl campo. b. Las línas d campo léctico d una caga puntual son adials y unifommnt distibuidas alddo d la caga. Con sntido hacia fua d la caga las oiginadas po cagas positivas y hacia la caga las oiginadas po cagas ngativas; sntido qu s conscuncia d la xpsión d la intnsidad d campo léctico K q 0. Las cagas positivas son manantials d línas d campo, las ngativas son sumidos. Po llo, las línas d campo léctico son abitas po s consvativo l campo lctostático. +q -q Fig.17 Las Fig.17 cospondn a la psntación n l plano d las línas d campo léctico d cagas puntuals aisladas. n alidad, stas línas abacan todo l spacio tidimnsional. S pud obsva qu la psntación dl campo léctico mdiant línas d campo no pmit obtn d una foma dicta la intnsidad dl mismo n un punto dado dl campo, aunqu da la infomación d la dicción y sntido d la intnsidad dl campo n un punto po l cual pas una lína d campo. +q +q Fig.18 Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 16

17 c. l númo total d línas d campo léctico d una caga puntual s popocional a la cantidad d caga, scogindo la constant d popocionalidad d foma qu suminist la mjo visualización. n la Fig.18 stán psntadas 8 línas paa la caga +q y 16 línas paa la caga +q. l qu po un punto dado no pas una lína d campo no qui dci qu no xista allí intnsidad d campo léctico. Nomalmnt sólo s psntan unas pocas línas, las suficints paa no complica l gáfico y hacnos una ida d cómo s l campo léctico. d. mayo númo d línas d campo psntadas n una gión dl campo léctico, mayo intnsidad dl mismo, conscuncia d un concpto más gnal llamado flujo d campo léctico, qu s pud intpta como la mdida d la dnsidad d línas d campo qu atavisan una supfici ppndicula a dicho campo, concpto qu s pofundizaá más adlant. n las gáficas antios n las qu s psntan línas d campo léctico d cagas puntuals aisladas s pud apcia fácilmnt sta popidad: las línas d campo stán más póximas unas a las otas n las ccanías d las cagas, pus n sas gions la intnsidad d campo s alta; a mdida qu nos aljamos d las cagas, las línas d campo s spaan poqu la intnsidad d campo dcc. Obsévs qu dos línas d campo no s pudn cuza poqu l campo léctico tin una dicción única n un punto paticula, po lo qu sólo una lína d campo pud pasa po s punto. También tngamos n cunta qu, n gnal, Fig.19 una patícula cagada d puba no s muv a lo lago d una lína d campo, pus como s v n la Fig.16, la aclación d sa caga d puba s tangnt a la lína d campo n s punto y paa pod sgui la tayctoia cuvada d la lína d campo ncsitaía admás tn aclación nomal, qu no tin. 8.. Dipolo léctico y momnto dipola n la Fig.19 s mustan algunas línas d campo léctico n las poximidads d un dipolo léctico, fomado ést po dos cagas iguals, d signos opustos y spaadas po una distancia d, pquña n compaación con las distancias d las cagas a un obsvado. n cada punto dl spacio qu oda al dipolo xist una intnsidad d campo léctico tangnt a la lína d campo qu pasa po dicho punto. sta intnsidad s la sultant d las intnsidads d campo poducidas po la caga positiva y po la caga ngativa n l punto n custión, sultado d los pincipios d supposición indpndncia aplicados al campo léctico. S dfin l momnto dipola léctico p como un vcto d módulo p qd y con sntido d la caga ngativa a la positiva: d -q p +q Fig.0 l momnto dipola léctico d una molécula, qu s una mdida d la asimtía d caga, s obtin xpimntalmnt y, junto con otos paámtos, contibuy a la dtminación d la stuctua molcula: distancias y ángulos d nlac, coficints d las funcions d onda, tc. Sgún l momnto dipola, las moléculas s clasifican n apolas (no tinn momnto dipola) y polas (con momnto +q + -q Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 17

18 dipola). sí, n los nlacs HSO d la molécula d agua hay una spaación pacial d la caga lctónica n l nlac covalnt, sopotando l O una caga pacial ngativa, δ, po tn una mayo lctongatividad qu l H, qu sopota una caga pacial positiva, + δ. Pusto qu xistn dos nlacs HSO, cada H sopota una caga pacial + δ y l O una caga pacial total δ. D st modo, n la molécula xistn dos momntos dipolas d nlac, iguals n módulo, oiginados po los dos nlacs HSO. La molécula d agua tin dos stuctuas gométicas tóicamnt posibls: linal o angula, +δ δ δ +δ +δ δ δ H O H H O p p p p p total 0 p total 0 a Fig.1 sindo la angula la cocta, ya qu la molécula d agua tin momnto dipola sultant Otos jmplos d psntación dl campo léctico mdiant línas d campo n los jmplos d la Fig. no s cumpln xactamnt todas las popidads nunciadas paa las psntacions mdiant línas d campo léctico, al mnos n lo qu s fi a la popidad d): dl gáfico s dduc qu l campo léctico s más intnso n las gions qu n las B, po tn la gión mayo dnsidad d línas. Justamnt ocu lo contaio: l campo s más intnso n B qu n. llo s dbido a qu l flujo dl campo léctico s un concpto tidimnsional, qu no s pud plasma n una psntación gáfica bidimnsional. ún las psntacions tidimnsionals d línas d campo léctico, tals como los anaglifos, quin un lvado númo d línas paa qu la dnsidad d las mismas psnt, al mnos d foma apoximada, la intnsidad d campo léctico. b +δ H B +q +q B +3q +q Fig. Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 18

19 9. LY D GUSS DL CMPO LÉCTICO La dscipción cualitativa dl campo léctico mdiant línas d campo stá lacionada con la cuación matmática dnominada ly d Gauss (Kal Fidich Gauss, físico y matmático almán, 1775S1855), qu laciona la intnsidad dl campo léctico sob una supfici cada con la caga nta incluida dnto d la supfici. sta ly tin vntajas significativas fnt a la ly d Coulomb d la intnsidad dl campo léctico, pus: a. Pmit cálculos d intnsidads d campo lativamnt fácils paa citas distibucions d caga. b. Suminista una visión paticulamnt claa d citas popidads básicas dl campo. c. s aplicabl a cualqui distibución d caga, indpndintmnt d su stado d moviminto, lo qu siv, a su vz, paa dfini la cantidad d caga nta n una gión Vcto supfici lmntal Toda supfici lmntal ds s caactiza, paa su mplo n l cálculo d S vctoial, po un vcto, tal qu su módulo ds s igual al áa d la supfici (po dfinición) y su dicción s ppndicula a la supfici (Fig.3). l sntido s abitaio cuando s tata d una supfici plana, n oto caso s diig d la pat cóncava a la convxa. d S 9.. Ángulo plano y ángulo sólido Fig.3 l lmnto d ángulo plano odinaio, dθ (Fig.4), s dfin como l cocint (adimnsional) nt l lmnto d longitud d aco d cicunfncia, dl, y l adio d la misma: d dl [7] dθ l con unidads d adians (ad) n l SI. l ángulo plano total subtndido po una cicunfncia s Lcicunfncia π θ π ad dθ π θ θ π. D ota foma, d ad lina la intgal d lína cada d s ad:. st ángulo total s indpndint d la foma d la tayctoia cada scogida, simp s obtndá l mismo sultado:. π ad Fig.4 dθ D foma smjant, n l spacio s dfin l lmnto d ángulo sólido, dω (Fig.5), como l cocint (adimnsional) nt l lmnto d supfici sob una supfici sféica (nomal al adio),, y l adio d la sfa al cuadado: ds dω ds n n d ds 0 Ω [Su xpsión gnal s ] [8] sindo su unidad l stoadián (s) n l SI, qu s l ángulo sólido total subtndido po una supfici d 1 m sob una sfa d adio 1 m. l ángulo sólido total subtndido po una sfa s Ssfa 4π Ω 4π s Ω d Ω 4π s supfici, s dci, [9] Fig.5 dω ds Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 19

20 indpndintmnt d la foma d la supfici cada. l símbolo I cospond a una intgal abita (a lo lago d una lína o supfici, sgún s spcifiqu n la pat infio d dicho símbolo, o si no s spcifica, basta con obsva la vaiabl spcto a la qu s intga). Po l contaio, l símbolo Š, con l cículo sob l dl intgal, cospond a una intgal cada (a lo lago d una lína o supfici cada, sgún l caso) Flujo lmntal d un campo vctoial a tavés d una supfici lmntal abita Supongamos qu n una gión dl spacio xist un campo θ vctoial, psntado n la Fig.6 po sus línas d campo, ds y una supfici lmntal ds. S llama flujo lmntal dl n campo a tavés d dicha supfici al poducto scala Fig.6 dφ ds [30] s dci, igual al poducto dl módulo dl campo po la poycción d la supfici sob un plano nomal a la dicción dl campo: [31] dφ ds cosθ ds n Pusto qu la dnsidad d línas d campo s dictamnt popocional al módulo dl mismo, s concluy qu l flujo lmntal psnta l númo d línas d campo qu atavisan un lmnto d supfici nomal al campo Flujo total d un campo vctoial a tavés d una supfici cada Paa calcula l flujo total a tavés d una supfici cada (qu ncia un volumn) S, s intga l flujo lmntal paa toda la supfici cada: ds ds ds n Φ sup. cada cosθ sup. sup. sup. obtniéndos l flujo nto, qu n téminos d línas d campo significa l númo d línas d campo qu saln d la supfici cada mnos l númo d línas d campo qu ntan n dicha supfici cada. Tnindo n cunta la dfinición d ángulo sólido (xpsión [8]), la intgal antio s pud scibi: Φ sup. cada dω sup. paa lo cual s ncsita conoc la xpsión dl módulo Flujo total a tavés d una supfici cada paa un campo invsamnt popocional a la distancia al cuadado s l caso d los campos gavitatoio y lctostático d masas y cagas puntuals, spctivamnt, pus paa llos s pud xpsa como d S [3] [33] ct 1 sindo ct SGm ct Kq n l campo gavitatoio n l campo lctostático [34] Substituyndo n la intgal dl flujo total y tnindo n cunta lo dicho paa l ángulo sólido total subtndido: Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 0

21 1 Φ sup. cada ct dω ct dω ct 4 π sup. sup. [35] 9.6. Ly d Gauss sí, paa l campo lctostático poducido po una caga puntual intio a la supfici cada, substituyndo la ct y tnindo n cunta qu Φ sup. cada ds sup. q ε 0 K 1 πε 4 0, s obtin: qu constituy una pima apoximación a la ly d Gauss dl campo léctico. l sultado antio tin una si d popidads intsants qu hacn d la ly d Gauss una haminta muy potnt: a. La ly d Gauss s conscuncia d qu la intnsidad dl campo léctico dbido a una caga puntual aislada vaía xactamnt con la invsa dl cuadado d la distancia dsd la caga, dpndncia qu s una popidad d la natualza qu s conoc con mucha pcisión. Si la dpndncia fua distinta no s podía scibi la xpsión tan sncilla Φ sup. cada q. ε 0 b. l flujo nto s dictamnt popocional a la caga intio a la supfici cada. Ésta a una d las popidads n las qu s basaba la visualización dl campo léctico a tavés d las línas d campo: cuánto mayo sa la caga puntual, mayo sá l flujo nto a tavés d una supfici qu nci a la caga, y pusto qu l flujo s una mdida dl númo d línas d campo qu atavisan la supfici cada, más línas tndmos qu dibuja paa psnta l campo léctico. [36] S S +q +q Fig.7 n la Fig.7, la supfici cada scogida s sféica igual n ambos casos. l flujo nto n l pimo s d 8 unidads (8 línas d campo qu saln d la supfici cada). l flujo nto n l sgundo s d 16 unidads. La azón stá n qu n l sgundo la caga intio s dobl qu n l pimo. Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 1

22 c. l flujo nto no dpnd d la foma d la supfici cada. n la Fig.8 s tin un campo léctico poducido po una caga puntual. stán dibujadas unas cuantas línas d campo y dos supficis cadas, una sféica, S 1, y ota igula, S. l balanc nto dl flujo s l siguint: S Supfici Línas qu ntan Línas qu saln Flujo nto S 1 +q S S sta indpndncia d la foma d la supfici cada s dduc fácilmnt si d la xpsión [36] si scogmos l pimo y l último témino: Φ sup. cada q ε 0 n dond no apac la intgal d supfici cada. Fig.8 [37] d. l flujo nto no dpnd d como sté distibuida la caga dnto d la supfici cada. S pud dduci cualitativamnt a pati d la Fig.8: si s dsplaza la caga +q dnto d los volúmns ncados po S 1 o S, l flujo nto no s alta. También s conscuncia d la última xpsión [37].. Las cagas xtnas a una supfici cada no influyn n l flujo nto. n la Fig.9 s ha scogido una supfici S 3 tal qu la caga +q stá fua d dicha supfici. Hacindo un cunto d las línas d campo qu saln y ntan n S 3 dducimos qu l flujo s nulo, indpndintmnt d la foma d la supfici. +q S 3 Custión 1 Si l flujo nto a tavés d una supfici cada s nulo podmos afima qu la intnsidad dl campo léctico s nula n todos los puntos d la supfici cada? Fig.9 S acaba d v un caso jmplificado n la Fig.9 n dond l flujo nto s nulo poqu no hay caga n l intio d la supfici cada, xistindo no obstant campo léctico a lo lago d dicha supfici. n st caso, la intgal ds s anula. sup. Po l qu la intgal s anul no significa qu l intgando sa nulo, sino qu la intgal d la intnsidad dl campo léctico, no nula n st caso, a lo lago d la supfici cada s hac co. n st caso la ly d Gauss no pmit obtn ninguna infomación sob la intnsidad dl campo léctico a lo lago d la supfici cada. Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S

23 f. l flujo nto dpnd d la caga nta intio a la supfici cada. Hasta aquí sólo s hizo fncia a una caga puntual intio a la supfici cada, po la ly d Gauss s pud gnaliza a la caga nta intio como conscuncia dl cumpliminto dl pincipio d supposición indpndncia dl campo léctico, sa cual sa la distibución d las cagas. Su cumpliminto s obsva n la Fig.30 n dond l flujo nto s db a la contibución d las dos cagas n l intio d la supfici cada S. La última popidad pmit scibi finalmnt la foma intgal dfinitiva d la ly d Gauss paa l campo léctico: nta intio sup. cada Φ nto q ds [38] sup. qu aunqu paa su dducción s patió d la ly d Coulomb d la intnsidad dl campo léctico d una caga puntual, s n cito modo más gnal qu la ly d Coulomb, pus s aplicabl a cualqui distibución d caga y tanto a campos lctostáticos como no lctostáticos. n la xpsión d la ly d Gauss, la caga s la total nta n l intio d la supfici cada imaginaia llamada supfici gaussiana; su lmnto d supfici s l qu apac n l d S ε 0 +q Fig.30 intgando,. La intnsidad d campo dl intgando s la intnsidad d campo total n los puntos d la supfici gaussiana, l cual incluy las contibucions d las cagas tanto intios como xtios a la supfici gaussiana. n la Fig.9 d la Custión 1 tnmos un jmplo n l qu la intnsidad d campo a lo lago d la supfici gaussiana s db a cagas xtnas a dicha supfici, pus no xist caga nta n l intio d la misma. La ly d Gauss paa l campo léctico [38] xpsa pus qu l flujo léctico total a tavés d una supfici gaussiana s igual a la caga léctica nta n l intio d dicha supfici dividida nt ε 0 y también igual a la intgal dl campo léctico a lo lago d dicha supfici lcción d una supfici gaussiana adcuada Una d las finalidads d la ly d Gauss consist n calcula la intnsidad dl campo léctico dbida a la caga nta conocindo la distibución d dicha caga. Paa llo s ncsaio solv la intgal ds lo qu xig scog n pim luga una supfici gaussiana qu nci a la sup. caga d intés. Po no todas las supficis gaussianas son adcuadas, ya qu muchas d llas pud qu no facilitn la solución d la intgal antio, o hacla isolubl. Po tanto s ncsaio scog una supfici gaussiana adcuada, s dci, qu cumpla alguna d las siguints condicions paa facilita la solución d la intgal: a. Qu la supfici sté ointada tal qu n todas sus pats sa tangnt a la supfici, s dci ds 0 qu. b. Qu la supfici sté ointada tal qu n todas sus pats sa nomal a la supfici y qu l +q S Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 3

24 módulo sa constant n toda la supfici. sí tndmos qu y al s constant sal fua d la intgal, simplificándola al máximo: ds ds S sup. sup. ds ds cosθ ds lgunas vcs s ncsaio scog una supfici cada n la qu no s cumpla ninguna d las popidads antios n toda la supfici. Como la intgal d supfici cada s pud scibi como suma d intgals d supfici abita: d S d S + d S + + d S sup. cada sup. abita 1 sup. abita sup. abita n pud s útil paa calcula la intnsidad dl campo léctico si n cada una d las supficis s cumpl alguna d las dos popidads antios. n n [39] [40] 10. LGUNS PLICCIONS D L LY D GUSS Intnsidad dl campo léctico oiginado po una caga puntual S dsa dtmina la intnsidad dl campo léctico n l punto P a una distancia d la caga puntual +q (Fig.31). La supfici gaussiana adcuada s una sfa d adio, supfici S y cntada n la caga: la intnsidad d campo n todos los puntos d la supfici tndá l mismo módulo po sta éstos a la misma distancia d la caga y admás s nomal a la supfici n cualqui punto d ésta. plicando la ly d Gauss: S P ds sup. gaussiana q ε 0 ds cosθ sup. gaussiana cosθ 1 q ε 0 [41] [4] +q Fig.31 sindo paa cualqui punto d la supfici d la sfa po foma y un ángulo d 0º, y al tn n cunta qu l módulo d la intnsidad d campo s constant a lo lago d la supfici d la sfa: q ds ε [43] 0 sup. gaussiana tnindo n cunta qu la intgal d supfici cada a lo lago d la supfici gaussiana s l áa d la sfa: q S [44] S sup. gaussiana ε 0 4π al s y dspjando : sup. gaussiana 1 πε q 4 0 s obtin l módulo d la intnsidad d campo a una distancia d la caga puntual, qu s la misma xpsión qu la dl módulo d la intnsidad d campo cuando s aplica la ly d Coulomb [18]. d S [45] Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 4

25 10.. Intnsidad d campo léctico d una cotza sféica diléctica con distibución d caga nta con simtía sféica. Supongamos una cotza sféica aislant d adio xtno y adio intno i (tin spso), con una caga nta +q distibuida unifommnt n l volumn d la cotza, s dci, dnsidad volúmica d caga constant: xpsión idéntica a la intnsidad d campo poducida po una caga puntual: la intnsidad d campo n l xtio d la cotza sféica con distibución simética d caga s la misma qu la intnsidad d campo poducida po una caga puntual situada n l cnto d la cotza y quivalnt a la caga total d la distibución, qu justifica lo qu s vin dicindo n sta unidad sob la quivalncia nt cagas puntuals y cagas con simtía sféica, conscuncia ota vz más d la dpndncia dl campo léctico (y d la fuza léctica) con l invso d la distancia al cuadado. S xt i ρ q V ct. S obtndá po spaado la intnsidad dl campo léctico n l xtio y n l intio d la cotza, con la obsvación d qu l análisis y los sultados también son válidos paa l caso d qu la cotza no tnga spso (la caga staía distibuida unifommnt a lo lago d la supfici xtna d la sfa), djando paa l siguint apatado l análisis dl campo léctico n l volumn d la cotza. a. Puntos sob la supfici xtna d la cotza y puntos xtnos a la misma: $ (Fig.3a. Todas las psntacions d la Fig.3 son sccions tansvsals) Como supfici gaussiana adcuada s scog una sfa d adio, d supfici S, xtio y concéntica a la cotza sféica cagada. La intnsidad d campo s nomal a la supfici sféica gaussiana, como s pud dduci po simtía, y con módulo constant n todos sus puntos, ncando la supfici gaussiana una caga total q. plicando la ly d Gauss d la misma foma qu n l apatado antio, s llga a: 1 q K q xt [46] 4 0 πε d S ds int i S a b c Fig.3 b. Puntos intnos a la cotza cagada: < i l intio d la cotza s una sfa n la qu no xist caga, po stá odada po una capa d caga. Tnmos qu contsta a la siguint pgunta: dicha capa sféica d caga (la d la cotza), con distibución unifom, contibuy a la xistncia d campo léctico n l intio d la cotza?. Paa llo, supongamos qu la caga d la cotza sí contibuy a la xistncia d un Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 5

26 campo int n l intio. Pusto qu la distibución d caga n la cotza tin simtía sféica, no quda ota solución paa la dicción d dicho hipotético campo intno qu s nomal a la supfici d la cotza (y diigido hacia l cnto d la sfa cuando la caga d la cotza s positiva), Fig.3b. scojamos una supfici gaussiana d adio (sfa concéntica a la cotza) po dnto d la supfici intna d la cotza (Fig.3b, n la qu también s psnta un lmnto d supfici gaussiana) y apliqumos la ly d Gauss: n dond q ds int int ε sup. 0 ds ds cosθ ds int int int [47], pus cos θ 1 po tn la intnsidad d campo y l lmnto d supfici la misma dicción a lo lago d toda la supfici gaussiana. dmás, int s constant n módulo a lo lago d dicha supfici po lo qu sal fua d la intgal: q ds ε 0 int sup. int n dond la intgal d supfici a los lago d toda la supfici gaussiana s la supfici d la sfa S: int q S ε 0 int Pusto qu n l intio d la cotza no xist caga, q int 0, n conscuncia int S 0 n todos los puntos d la supfici gaussiana y, al no s nula la supfici S, s concluy qu: int 0 < i [50] sultado qu no s más qu una conscuncia d la simtía dl poblma. Nóts qu n st caso, la cotza cagada no jcía fuza léctica sob una caga qu s situaa n cualqui punto intno. [48] [49] n la Fig.3c s psntan algunas línas d campo (n l plano) oiginadas po la cotza con caga nta positiva. Si ésta fus ngativa, la única difncia s qu las línas d campo tndían sntido opusto. jmplo 4 n la Fig.33 s psnta la scción tansvsal d la cotza dl apatado antio. n l bod s dispusion sis cagas positivas iguals igualmnt spaciadas (n los vétics d un hxado). Tazando ts línas d campo po cada caga s tató d visualiza l campo léctico sultant. unqu s patió d muy pocas cagas, s obsva qu l campo léctico tind a s nulo n l intio. mdida qu s utilicn más cagas dispustas n l bod, mnos pntaán las línas d campo n l intio. Cuando l númo d cagas n l bod sa +q +q +q +q Fig.33 +q +q Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 6

27 suficintmnt gand como paa consida a la distibución continua, l campo léctico s haá nulo n l intio Intnsidad d campo léctico d una sfa diléctica con dnsidad volúmica d caga constant La distibución continua d caga s ncunta n l intio d una sfa d adio 0 tal qu su dnsidad volúmica d caga s S q constant:, sindo q la caga total y V l volumn d ρ ct V la sfa. Considmos dos casos a fctos d cálculo d la intnsidad d campo: a. Puntos sob la supfici d la sfa cagada y puntos xtnos a lla: $ 0 (Fig.34) Como supfici gaussiana adcuada s scog una sfa d Fig.34 adio, d supfici S, xtio y concéntica a la sfa cagada. La intnsidad d campo s nomal a la supfici sféica gaussiana, como s pud dduci po simtía, y con módulo constant n todos sus puntos, ncando la supfici gaussiana una caga total q. plicando la ly d Gauss d la misma foma qu n l apatado 10.1, s llga a: 1 q K q xt 0 [51] 4 0 πε xpsión idéntica a la intnsidad d campo poducida po una caga puntual y a la d una cotza sféica cagada fua d lla, tal como s analizó n l apatado antio, con l mismo sultado qu n st último: la intnsidad d campo n l xtio d la sfa con distibución simética d caga s la misma qu la intnsidad d campo poducida po una caga puntual situada n l cnto d la sfa y quivalnt a la caga total d la distibución. n st jmplo s supuso qu la distibución volúmica d caga s constant, po también las distibucions adials y sféicas d caga,, cumpln con la condición d simtía sféica. ρ ρ ( ) b. Puntos intios a la sfa cagada: < 0 (Fig.35) S scog como supfici gaussiana una supfici sféica d adio, intio a la supfici cagada. La caga intio a la supfici gaussiana, al s la dnsidad volúmica constant, s 4 qint ρ Vint ρ π 3 3. Tnindo n cunta qu la intnsidad d campo poducido po sta caga q int s nomal a la supfici gaussiana, como s pud dduci también po simtía, y qu la caga d la capa xtna (nt y 0 ) no contibuy al campo n l intio (sultado qu s obtuvo n l apatado 10..b), la ly d Gauss quda: S 4 ρ π 3 ε 0 3 [5] sindo S 4π, l áa d la supfici gaussiana intio a la sfa cagada. Dspjando s obtin: ρ int 0 [53] 3ε 0 +q 0 q int S Fig.35 int 0 Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 7

28 aumntando linalmnt l módulo d la intnsidad d campo con la distancia al cnto d la sfa. st sultado s pud xpsa n función d la caga total d la sfa cagada, al tn n q q cunta qu ρ, qu al substitui n la xpsión antio: V 4 3 π [54] q K q int πε 0 0 pmitindo así la compaación con la xpsión dl módulo dl campo fua d la sfa. Cuando nos situamos n la supfici d la sfa, s hac 0, qu al substitui n sta última xpsión dl módulo dl campo n l intio s obtin l mismo sultado qu al substitui n la xpsión dl módulo dl campo n l xtio, indicativo d qu l campo s continuo a tavés d la supfici d la sfa cagada. 0 K q 0 int supfici xt n la Fig.36 s sumn los módulos d las intnsidads d campo n los ts casos: n l intio, n la supfici y n l xtio. 0 Los sultados antios s podían obtn intgando la ly d Coulomb d la intnsidad dl campo léctico paa distibucions (xpsión [5]), po como s pud intui, sía un pocdiminto bastant más difícil qu l qu s ha utilizado aquí. Fig Campo léctico cado po una lámina diléctica cagada, plana infinita La caga nta staá distibuida n ambas supficis d la lámina, y po s ésta infinita, la dnsidad supficial d caga sá unifom, sindo la caga nta contnida n una supfici S la qu s obtin po la xpsión. q σs Po simtía cuéds qu la lámina s plana infinita (véas l jmplo 3 n l qu s dduc qu no xist componnt dl campo paalla a la distibución linal d caga) sólo xist componnt dl campo n la dicción ppndicula a la lámina. n la Fig.37 s psnta la lámina vista d pfil (supusta infinita), con la caga nta supusta positiva, distibuida unifommnt a lo lago d la supfici. S oigina un campo léctico, psntado n dicha figua po unas cuantas línas d Fig.37 campo, nomals a la lámina, stando dtminado así tanto la dicción como l sntido dl campo léctico a ambos lados d la lámina, po lo qu sólo quda po dtmina su módulo. Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 8

29 Nos basamos n la ly d Gauss paa dtmina l módulo dl campo léctico, paa lo cual s s c o g á u n a supfici gaussiana a d c u a d a, p o jmplo, un cilindo d bas S, nomal a la lámina, y tal qu ésta divid al cilindo n dos pats iguals ds bas izquida σ Fig.38 ds latal ds bas dcha (Fig.38). Pusto qu las dos bass xtmas dl cilindo stán a la misma distancia d la lámina, l módulo d la intnsidad d campo sá igual paa las dos bass. plicando la ly d Gauss: sindo sup.cilindo qint σs q ds int ε 0 [55] la caga nta d la supfici S cotada po l cilindo. Pusto qu la supfici cada dl cilindo stá fomada po una supfici latal y po dos bass d los xtmos, la intgal d supfici cada a lo lago dl cilindo d la ly d Gauss s dscompondá n ts intgals: ds + ds + ds bas bas bas izquida izquida bas dcha dcha latal La tca intgal d [56] s nula po s la intnsidad d campo ppndicula al lmnto d latal dslatal dslatal cos 90º 0 supfici latal:. latal latal n las dos pimas intgals d [56], la intnsidad d campo y l lmnto d supfici d la bas son paallos y ambos tinn l mismo sntido. dmás, como s vio ants, l módulo d la intnsidad dl campo s constant n toda la supfici d la bas, po lo cual cada una d las dos pimas intgals d [56] s pud scibi como: bas d S d S cos 0º d S S bas bas y como son dos las intgals con l mismo sultado, s tin: S S σ ε 0 bas d dond l módulo d la intnsidad dl campo léctico a ambos lados d la lámina stá dado po σ ε 0 Dl sultado, qu s utilizaá n la unidad Capacidad y condnsados paa calcula l campo léctico n l intio d un condnsado plano (aunqu allí s aplicaá a una lámina conductoa), s dduc qu l módulo dl campo léctico s constant: no dpnd d la distancia dl punto n l qu calculamos l campo a la lámina. bas bas σs ε 0 [56] [57] [58] [59] Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 9

30 S obtin así una gión dl spacio d campo léctico unifom, ct n la cual, s dci, la intnsidad d campo s constant n dicción, módulo y sntido. stos campos lécticos s visualizan, como a d spa, po línas d campo paallas nt si (Fig.39). Fig.39 n la páctica, las láminas son d xtnsión finita po lo qu la dnsidad d caga no sá xactamnt unifom y las línas d campo, po tanto, no sán paallas. D todas fomas, l análisis antio s aplicabl n buna apoximación a stas láminas finitas cuando s analiza l campo léctico n la zona cntal d la lámina y a distancias pquñas d ésta compaada con las dimnsions d la misma. sí, n la Fig.40 s dispusion 1 cagas positivas iguals n lína y n quilibio lctostático (las cagas d los xtmos stán fijas n los xtmos d un sgmnto Fig.40 sopot y las cagas intios situadas d tal foma qu la intnsidad d campo n cada una d llas s nula. n sta situación, la ngía potncial léctica dl sistma d cagas Sconcpto qu s vá más adlants s mínima), y s psntaon dos línas d campo po caga paa simula l compotaminto dl campo léctico poducido po una lámina hoizontal finita, vista d pfil Campo léctico y distibución d caga n un conducto n quilibio lctostático Un mdio conducto pmit la movilidad d potados d caga, tanto d la caga lib (un lctón como mínimo po átomo n mtals, ions n disolucions lctolíticas, tc.) como d la caga nta (xcso d caga). Un conducto s ncunta n quilibio lctostático cuando no hay moviminto nto d la caga (tanto lib como nta) dnto dl conducto. Pus bin, un conducto n quilibio lctostático tin cuato popidads muy impotants. n st apatado s dducián las ts pimas y n l apatado 14.3 la stant. La pima popidad dic qu l campo léctico s nulo n todo punto intio a un conducto n quilibio lctostático, s dci: int 0 [60] pus si l campo intno no fus nulo, jcía una fuza léctica sob cualqui caga (tanto lib como nta) dl intio dl conducto, contadicindo la condición d quilibio lctostático qu hmos impusto. Si l conducto sólo contin caga lib (s nuto, no stá cagado), dicha caga lib s ncontaá distibuida unifommnt po todo l volumn dl conducto. La sgunda popidad s fi a los conductos cagados n quilibio lctostático: la caga nta s ncunta n la supfici. n la Fig.41 s psnta la scción tansvsal d un conducto con caga nta d gomtía abitaia y una supfici gaussiana (lína a tazos) xactamnt n l bod intno d la supfici dl conducto. Pusto qu l campo intno s nulo, también lo s n todos los puntos d la supfici gaussiana, pus ésta s intna al conducto. sí, n S int. 0 Fig.41 Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 30

31 cualqui pat d la supfici gaussiana tndmos ly d Gauss: qnta int. ds 0 ε 0 sup. gaussiana a ds 0 n t, con un flujo nto nulo. l aplica la po s l intgando nulo, lo qu xig qu la caga nta intio al conducto sa nula, [6] q nta int. 0 sultado qu s pud dduci intuitivamnt al consida l hcho d qu cagas iguals s pln. Si la caga nta no s ncunta n l volumn intno dl conducto, la única solución s qu s ncunt n la supfici dl mismo (Fig.4), oiginando una dnsidad supficial d caga σ unifom n conductos con simtía sféica, vaiabl a lo lago d la supfici dl conducto n otos casos tal qu la caga tind a concntas n gions dond la cuvatua d la supfici s mayo. Fig.43 q nta int. 0 Fig.4 La tca popidad hac fncia a las popidads dl campo justo fua d la supfici dl conducto con caga nta n quilibio lctostático: no xist componnt tangncial dl campo a lo lago d la supfici, sólo xist componnt nomal con valo. ε 0 n l xtio dl conducto xistiá un campo léctico oiginado po la dnsidad supficial d caga nta. hoa nos intsamos po las caactísticas d dicho campo, fundamntalmnt sob la supfici xtna dl conducto. n la Fig.43a s musta una intnsidad d campo n un punto cualquia d la supfici xtna y qu foma un cito ángulo con la misma. sta intnsidad s pud dscompon n dos componnts: una nomal a la supfici, ota tangnt, t n y. sta última componnt psnta una intnsidad d campo a lo lago d la supfici dl conducto, s dci, qu la caga nta d la supfici staía somtida a una fuza léctica a lo lago d la supfici, lo qu psnta una movilidad d dicha caga po la supfici, violando la condición d quilibio lctostático. S dduc así qu la intnsidad dl campo léctico n la supfici xtna dl conducto tin qu s nomal a la misma, t 0 no pudindo xisti componnt tangncial:. Una vz conocida la dicción d la intnsidad d campo n la supfici, analicmos su módulo. n la Fig.43b s musta una supfici gaussiana cilíndica qu s atavsada po la supfici dl conducto qu contin un lmnto d caga nta dq σ ds, cilindo con una bas d supfici lmntal lo suficintmnt pquña paa qu las línas d campo san paallas y l módulo dl campo constant. plicando la ly d Gauss n foma difncial: d S σ ds b [61] Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 31

32 n sup. xt.d S σ ds ε 0 d dond s obtin l módulo d la intnsidad d campo n la supfici xtna dl conducto: [63] n sup. xt. σ ε 0 [64] sindo la intnsidad d campo nomal a la supfici dl conducto y dictamnt popocional a la dnsidad d caga local nta (la dnsidad d caga nta no tin poqu s constant a lo lago d toda la supfici po lo qu n tampoco). n las poximidads dl xtio d la supfici dl conducto tndmos una dnsidad d línas d campo qu sá tanto mayo cuanto más gand sa dicha dnsidad d caga. s intsant nota qu s obtuvion conclusions impotants sob la caga y l campo léctico paa st jmplo (más adlant s obtndán las lativas al potncial léctico) aplicando la ly d Gauss a un caso qu cac compltamnt d simtía, conclusions qu no s pudn obtn aplicando la ly d Coulomb poqu paa aplicala s ncsita conoc cómo stá distibuida la caga léctica. Djamos paa l apatado 14.4 l análisis, también d un conducto con caga nta n quilibio lctostático, po con una cavidad intna, pus s ncsita l concpto d potncial léctico. Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 3

33 11. NGÍ POTNCIL LÉCTIC n sta sgunda pat d la unidad s haá un tataminto scala dl campo lctostático qu nos daá un punto d vista complmntaio al tataminto vctoial qu s alizó hasta ahoa. l nfoqu scala, a tavés d los concptos ngía potncial léctica y potncial lctostático, apotaá una mjo compnsión d los fnómnos lacionados con los campos lctostáticos y una nuva haminta paa la solución d dtminados poblmas utilizando las lacions d ngía Vaiación d la ngía potncial léctica Considmos dos cagas lécticas puntuals (Fig. 44, n la qu q i y q j tinn l mismo signo): q i fija mdiant algún tipo d fuza no psntada n la figua, y q j qu s muv dsd la posición hasta la posición B bajo la acción únicamnt d la fuza léctica d q i sob q j. Pusto qu q j xpimnta un dsplazaminto po acción d una fuza léctica, ésta aliza tabajo léctico sob q j. st tabajo, al tn n cunta qu la fuza léctica s consvativa, s pud xpsa como una disminución d la ngía potncial léctica, U: q i 0 B W F d U U U qu aliza F i paa dsplaza q j dsd hasta B sob j i sob j B q j d B Fig.44 F i sob j Nóts, tal como s indica n la xpsión, qu al movs q j bajo la acción d una fuza d campo consvativo, la ngía potncial d q j disminuy (signo ngativo dlant d U ). Pusto qu la ngía mcánica tin qu mantns constant cuando las únicas fuzas qu alizan tabajo son consvativas, si disminuy la ngía potncial d q j, su ngía cinética aumntaá. La intgal d la xpsión antio, smjant a la obtnida n l campo gavitatoio, al substitui la xpsión d la fuza léctica dada po la ly d Coulomb y al tn n cunta qu (dmostado cuando s calculó la ngía potncial gavitatoia), s: B F Kq q Kq q B d d i j Kq q i sob j d i j i j B po lo qu la disminución d ngía potncial léctica quda: 1 1 U U U Kq q B i j B B [65] 0 d d s dci, n función d las posicions inicial y final d q j sin qu impot l camino sguido po q j al pasa d a B, tal como a d spa po pocd d un campo consvativo. Paa qu q j alic l camino invso (d B a, n l supusto dado n la Fig.44 n la cual q i y q j tinn l mismo signo) tndmos qu aplica sob q j una fuza xtna qu compns a la fuza léctica (tadando po tanto un timpo infinito n l pocso) qu actúa sob q j. n st caso alizamos un tabajo sob q j n conta d la fuza léctica dl campo, incmntando la ngía potncial léctica d q j. st tabajo xtno sob q j s: W W U ( U U ) [68] qu aliza F paa dsplaza q j dsd B hasta xtna sob q j qu aliza Fi paa dsplaza q dsd hasta B sob j j B B [66] [67] Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 33

34 11.. ngía potncial léctica d un sistma d dos cagas puntuals (o quivalnts) Habitualmnt s tabaja con ngías potncials U, n luga d las vaiacions d ngía potncial. Pusto qu la física clásica a lo sumo pmit calcula vaiacions d ngía potncial y no sus valos absolutos, lo qu s hac s dfini una ngía potncial d fncia, sindo lo usual toma ngía potncial nula cuando la distancia d spaación s infinita. sí, hagamos qu q j s dsplac dsd hasta l infinito y hagamos U 4 0 (podía toma oto valo cualquia, po sía molsto aasta dicho valo n los cálculos). Paa llo basta con substitui B po 4 n la xpsión d la vaiación d la ngía potncial: U s dci: U Kq q i j 0 K q q i j 1 1 xpsión qu podmos scibi sin hac fncia al punto concto como: U K q q i j tomando U 0 paa ij sindo ij la distancia (valo simp positivo po s un módulo) nt q i y q j. sta xpsión s válida paa cagas puntuals o distibucions sféicas d caga n las condicions sñaladas paa la ly d Coulomb d la fuza léctica (apatado 4.1.a). Téngas n cunta qu la U dada po la xpsión [71] s una ngía potncial léctica lativa a la fncia ngía potncial léctica nula cuando las cagas stán spaadas una distancia infinita, aunqu a mnudo no s xplicit l adjtivo lativa. n cuanto al significado d U podmos intptalo como l tabajo alizado po l campo léctico cuando la caga q j s dsplaza dsd la posición ij hasta l infinito, mantnindo fija a q i : U W F d qu aliza F i sob j paa dsplaza q j dsd d q hasta l ij i ij i sob j U q i q i q j > 0 q i q j < 0 Fig.45 Po también admit la intptación invsa spcto a la caga qu s muv: l tabajo alizado po l campo léctico cuando la caga q i s dsplaza dsd la posición ij hasta l infinito, mantnindo fija a q j. n ambos casos, indpndintmnt dl camino sguido po la caga qu n s momnto s muv. La simtía antio pmit consida a U como la ngía potncial léctica lativa mutua dl sistma fomado po dos cagas, n vz d asignala a una u ota caga, s dci, compatida po las dos cagas. n st sntido, U psnta l tabajo qu aliza l campo léctico paa dshac la distibución d cagas: dsd una situación inicial n la qu stán spaadas po una distancia ij nt llas a una situación final n la qu stán spaadas po una distancia infinita, n dond s ha tomado la fncia d ngía potncial nula. Po tanto SU psntaá l tabajo xtno qu tndmos qu aliza sob las dos cagas paa apoximalas (dsd una situación inicial d no intacción Sdistancia d spaación infinitas hasta una distancia d spaación ij ). [69] [70] [71] ij [7] Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 34

35 n cuanto a los valos numéicos d U, pudn s: Positivos, cuando las cagas tinn l mismo signo: q i q j > 0. n st caso U disminuy al aumnta la spaación nt cagas. sto s cohnt, pus las cagas s pln y volucionan, bajo la acción dl campo, hacia ngías potncials mnos. Nulos, cuando la distancia d spaación nt cagas s infinita. Ngativos, si las cagas tinn distinto signo: q i q j < 0. n st caso U disminuy (con valos ngativos) al apoximas las cagas, ya qu s atan. n la Fig.45 stán psntadas la caactísticas citadas antiomnt ngía potncial léctica d un sistma d n cagas puntuals (o quivalnts) Comnzamos con un caso concto: unindo ts cagas puntuals (supongamos todas llas positivas) n vaias tapas paa configua un sistma d dichas cagas (Fig.46), analizando n cada una d las tapas la ngía potncial dl sistma. n pim luga supongamos qu tnmos una caga puntual fija q 1. continuación tamos la caga q dsd l infinito hasta la distancia 1 d q 1 y fijamos q n sa posición. n st pocso s alizó tabajo xtno sob q, pasando d s nula la ngía potncial inicial (q 1 y q staban spaadas po una distancia infinita), a adquii l sistma una ngía potncial (lativa) U 1 : U K q q n la siguint tapa tamos q 3 dsd l infinito a las poximidads d q 1 y q y fijamos q 3 n una posición tal qu las distancias a q 1 y q son spctivamnt 13 y 3. n st pocso s alizó tabajo xtno sob q 3 paa vnc la pulsión d q 1 y q, po lo qu la ngía potncial dl sistma aumnta n U 13 + U 3 : U U K q q K q q Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 35 [74] La ngía potncial léctica total dl sistma fomado po las ts cagas, quda finalmnt: U U U U K q q K q q K q q [75] q Fig.46 sultado qu s indpndint dl odn sguido n la colocación d las cagas. n st caso l odn fu 1, y 3. l sultado sía l mismo si comnzáamos po la caga 3, dspués la 1 y finalmnt la. S db tn n cunta, admás, qu l pocso d llva cada una d las cagas dsd l infinito hasta su posición n l sistma s db aliza lntamnt, d tal foma qu simp stén n quilibio las fuzas lécticas y mcánicas. sí no xist aclación y, po tanto, s pscind d la vaiación n la ngía cinética. Gnalizando l pocdiminto, incluyndo a cagas d cualqui signo, la ngía potncial léctica (lativa) d un sistma fomado po n cagas puntuals (o quivalnts) s: qiq j U U K [76] todos los pas ij todos los pas ij qu psnta l tabajo xtno qu dbmos aliza paa foma l sistma d n cagas o l tabajo qu aliza l campo léctico paa omp (llva las cagas dsd sus posicions n l sistma hasta una spaación infinita nt llas) l sistma d n cagas. q 3 3 [73] q

36 Ota foma quivalnt a la xpsión [76] s: n n n n 1 1 qiq j U U K ij 1 K i i 1 j 1 j i i 1 j 1 j i ij i 1 j 1 j i n dond s ha intoducido l facto ij y la ota como ji). Ota foma altnativa: U K n 1 i 1 n j i+ 1 q q i ij j 1 n q n q j ij [77] poqu las pajas stán contabilizadas dos vcs (una como [78] jmplo 5 Calcula la ngía potncial dl sistma d cuato cagas puntuals q 1 nc, q 4 nc, q 3 S8 nc y q 4 S3 nc fijas n los puntos (S1, 0), (0, S1), (0, 1) y (1, 0) m spctivamnt dl plano xsy. l mdio s l vacío. y q 3 plicamos la xpsión [76] a st caso, analizando l númo d todas las posibls pajas (sin ptición), n st caso sis, sindo la ngía potncial lativa dl sistma: U U 1 + U 13 + U 14 + U 3 + U 4 + U 34 U K q q 1 q1q3 q1q4 qq3 qq4 q q sindo las distancias: y 14 3 q 1 q Fig.47 Substituyndo stas distancias y los valos d las cagas (incluyndo l signo) n la xpsión d U s obtin: U ( 8) ( 3) 4 ( 8) 4 ( 3) ( ) ( 3) U S145,510 S9 J qu psnta l tabajo qu alizan las fuzas dl campo léctico paa omp l sistma d cagas. Como l sultado s ngativo, l sistma s más stabl qu l d fncia (spaación infinita, n la cual s tomó ngía potncial co). Po llo, paa omp l sistma tnmos qu aliza tabajo xtno. q 4 x 1. POTNCIL LCTOSTÁTICO La dscipción vctoial dl campo léctico la alizábamos a tavés d dos magnituds: una, la fuza léctica, qu dpnd d dos cagas, y la ota, la intnsidad dl campo léctico, qu dpnd d la caga funt. Pus bin, n l tataminto scala alizado hasta aquí s ha ncontado la ngía potncial léctica, qu dpnd d dos cagas, s dci, l quivalnt a la fuza léctica n la dscipción vctoial. Nos falta, ntoncs, la magnitud scala qu dpnda d una sola caga, sto s, l potncial lctostático. Paa dducilo, sguimos un camino simila al d la obtnción d la intnsidad d campo a pati d la fuza: obtníamos la intnsidad d campo dividindo la fuza sob la caga d puba nt la caga d puba. Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 36

37 1.1. Potncial lctostático Hagamos lo mismo aquí: la ngía potncial léctica (lativa) d un sistma fomado po dos cagas puntuals, q y q p, spaadas una distancia s: U K qq p Dfinimos l potncial lctostático (o potncial scala) V como la ngía potncial léctica po unidad d caga d la caga d puba: U V [80] q p po lo qu al dividi [79] nt q p s obtin [79] V tomando V 0 paa K q [81] qu nos da l potncial lctostático lativo oiginado po una caga puntual funt q (o una distibución sféica d caga n las mismas condicions qu paa la intnsidad d campo) a una distancia d la misma. Nóts qu l potncial léctico dpnd únicamnt d la caga funt q (y l signo d dicho potncial n un punto dl spacio s igual al signo d la caga qu lo ca) aun cuando la caga d puba q p intvino n la dfinición d V. sto también sucdía n la dfinición d la intnsidad d campo léctico. V q q > 0 q < 0 Fig.48 n la Fig.48 s psnta la dpndncia d V con l signo d la caga funt q y la distancia. l potncial s hac nulo a una distancia infinita d la caga funt, pus así s ha dfinido la fncia. n cuanto al signo, cagas funt positivas oiginan potncials positivos y cagas funt ngativas oiginan potncials ngativos. V > 0 +q +q p p +q -q - q - q p p V < 0 a Fig.49 b Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 37

38 n los casos d la Fig.49 s indican los sntidos n los qu s muvn cagas d puba d distintos signos n psncia d una caga funt fija también d distintos signos: sntido qu s dduc fácilmnt analizando l tipo d fuza (atactiva o pulsiva) qu jc la caga funt sob la d puba. S obtin: Las cagas d puba positivas al abandonalas n un campo léctico, s muvn hacia potncials dccints (y n l mismo sntido qu las línas d campo). Las cagas d puba ngativas al abandonalas n un campo léctico, s muvn hacia potncials ccints (y n sntido contaio a las línas d campo). conclusions qu son indpndints dl signo d la caga funt q. n cualqui caso, las cagas d puba (indpndintmnt dl signo) volucionan libmnt hacia ngías potncials mnos. dmás: Las línas dl campo léctico sñalan n la dicción n la qu disminuy l potncial léctico. conclusión a la qu s volvá sob lla cuando s analic la lación nt difncia d potncial intnsidad d campo léctico. Tnindo n cunta la dfinición d V (xpsión [80]) y la xpsión [7] obtnmos la intptación dl potncial léctico n un punto: psnta l tabajo léctico po unidad d caga d puba positiva qu aliza l campo léctico sob dicha caga paa tasladala dsd l citado punto hasta l infinito: W qu aliza F paa dsplaza q p la posicion hasta l U 1 V q q q p sob q p dsd p p F sob q p sí, l campo léctico oiginado po toda caga léctica s pud dscibi d foma vctoial a tavés d la intnsidad dl campo léctico, o d foma scala, a tavés dl potncial lctostático con vntajas d cálculo spcto al plantaminto vctoial n dtminados poblmas. Si n un punto dl spacio conocmos (bin poqu lo calculamos a pati d las cagas funt o bin poqu ya s conocido) l valo dl potncial léctico, podmos calcula fácilmnt la ngía potncial d una caga d puba q p qu coloqumos n dicho punto, simplmnt (a pati d la dfinición d potncial, xpsión [80]) multiplicando la caga d puba po l potncial n l punto n custión: U q V [83] p pocdiminto n dos tapas simila al analizado n l plantaminto vctoial (calcula la fuza léctica sob una caga a pati d la intnsidad d campo n la posición d la caga) y con las vntajas ya sñaladas. Los signos d U y V no tinn poqu s l mismo, pus dpnd dl signo d la caga d puba. La xpsión difncial quivalnt a la [83], paa caga constant, s du q dv [84] p qu nos da la vaiación infinitsimal n la ngía potncial léctica xpimntada po una caga d puba cuando s muv nt dos puntos con una vaiación infinitsimal dl potncial léctico. La unidad d potncial léctico n l S.I. s d julio po culombio (J/C, véas la xpsión [80]), qu s dnomina voltio, n hono dl físico italiano lssando Volta (1745S187), invnto d la pila d [8] Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 38

39 voltaica y dl pcuso dl voltímto modno, sindo su símbolo V. 1.. lación nt tabajo léctico y difncia d potncial lctostático pati d las xpsions [65] y [83] s obtin fácilmnt la lación nt ambas magnituds: Sa una caga d puba q p qu s muv bajo la acción dl campo léctico dsd l punto con un potncial léctico lativo V, hasta l punto B con un V B. sta caga d puba tndá una ngía potncial léctica lativa n qu s (po la xpsión [83]) U q V. Cuando llga a B tndá n sa posición una ngía potncial léctica lativa potncials n la xpsión [65] s obtin: U B q V p B p. Substituyndo stas ngías ( ) W U U U q V q V q V V qu aliza F sob q p paa dsplaza q dsd hasta B p p p B p B B s dci, l tabajo léctico alizado po l campo léctico s, n función d la difncia d potncial: ( ) W q V V q V qu aliza F sob q p paa dsplaza q dsd hasta B sindo su xpsión difncial dw q dv qu aliza F paa dsplaza q dsd hasta B p sob q p p p p B p la difncia d potncial léctico (ddp) nt dos puntos también s l dnomina, tnsión léctica (o voltaj). Nóts qu la física pmit obtn difncias d potncial, no potncials absolutos. sí, paa una pila d 1,5 V, la difncia d potncial léctico nt bons s d 1,5 V. No sabmos cuánto val l potncial léctico n cada bon, auqu podmos asigna 0 V al bon ngativo y 1,5 V al positivo (l bon positivo tin simp potncial léctico más alto qu l ngativo), po sían valos lativos: s dci, también podíamos asigna 1 V al ngativo y 13,5 V (1 + 1,5) al positivo. Obsvmos, a pati d la xpsión [86], qu si una caga d puba d 1 C s muv nt dos puntos con una difncia d potncial d 1 V, l tabajo alizado sob dicha caga s d 1 J. [85] [86] [87] l tabajo a aliza po una fuza xtna qu s oponga a la fuza dl campo sá ( ) W q V V q V qu aliza F paadsplaza q p dsd hasta B xtna sob q p p B p [88] jmplo 6 La spaación más pobabl nt l lctón y l núclo dl hidógno (un potón) s 5,910 S11 m. La caga dl lctón s S1,6010 S19 C. a. Calcula l potncial léctico V a una distancia dl potón. b. Calcula la ngía potncial léctica U dl átomo. a. La caga dl potón s q p+ +. l potncial léctico V oiginado po l potón a una distancia s, mplando la xpsión [81] po consida al potón como caga puntual: Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 39

40 V p+ K q 7, V b. hoa colocamos l lctón (caga d puba) a una distancia dl potón y calculamos la ngía potncial léctica (lativa) dl sistma potónslctón utilizando la xpsión [83]: U q p V q S V S1,6010 S19 C7, V S4,3610 S18 J st s un jmplo n dond l potncial y la ngía potncial tinn distinto signo. También s pon d manifisto l pocdiminto n dos tapas paa calcula la ngía potncial: pimo s calcula l potncial n un punto y dspués s coloca n dicho punto la caga d puba paa calcula su ngía potncial l lctónsvoltio como unidad d ngía Como s dduc dl jmplo antio, l julio s una unidad dmasiado gand paa xpsa ngías típicas d sistmas atómicos. Po llo s convnint utiliza ota unidad d ngía n la física y química atómica y nucla, sto s, l lctónsvoltio (su símbolo s V) tal qu 1 V s la ngía d una caga positiva cuya magnitud s la caga d un lctón, n una posición dond l potncial léctico tin l valo d 1 voltio (coda la xpsión [83]: ). La lación nt l V y l J s fácil d calcula tnindo n cunta dicha xpsión [83] y la caga dl lctón: 1 V 1 1 V 1,6010 S19 C1 V o 1 V 1,6010 S19 J U q V sí, la ngía potncial dl sultado dl jmplo antio cospond a S7, V. p [89] 13. LCIÓN NT MGNITUDS VCTOILS Y MGNITUDS SCLS N L CMPO LÉCTICO Volvindo a la xpsión [60] y scibiéndola d una foma más simpl tnmos: B U F d obtnindo su foma difncial divando: du F d qu constituy la pima lación nt una magnitud scala (U) y una magnitud vctoial ( ). Dividindo ambos mimbos nt la caga d puba q p : du q p F q p d codando la lación nt las vaiacions infinitsimals d la ngía potncial y l potncial (xpsión [84]) y la dfinición d intnsidad dl campo lctostático (xpsión [17]), s obtin la sgunda lación: dv d [93] qu nos da la vaiación infinitsimal dl potncial léctico qu ocu n un dsplazaminto infinitsimal como l poducto scala d la intnsidad dl campo lctostático po l dsplazaminto, cambiando d signo. lgunos d los aspctos implícitos n sta última lación s analizaán a continuación: [90] [91] F [9] Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 40

41 a. laciona la dscipción vctoial con la scala d los campos lctostáticos. b. Pusto qu la vaiación n la ngía potncial nt dos posicions no dpndía dl camino (o tayctoia) sguido, tampoco dv dpndá dl camino, pusto qu dv fu dfinido a pati d du. Po llo, la intgal d la xpsión [93] s: B V d llamada intgal d lína o ciculación d [94], qu no dpndá dl camino, sino d las posicions inicial y final. sto s conscuncia d qu l campo lctostático, cuya intnsidad s, s un campo consvativo. (xistn campos lécticos cuyas intgals d lína no son indpndints dl camino, po tanto son no consvativos. stos campos stán asociados nomalmnt a cagas qu s muvn muy ápidamnt). vidntmnt, dicha intgal d lína a lo lago d una tayctoia cada sá co, pusto qu n st caso V 0 ya qu los puntos inicial y final coincidn y po tanto tinn l mismo potncial: dv d 0 D sta xpsión y d la lación nt tabajo y potncial (xpsión [86]) s dduc qu un campo léctico qu actú sob una patícula cagada y ésta dsciba una tayctoia cada no aliza tabajo sob dicha patícula, y po tanto no vaía su ngía potncial léctica. c. l dsplazanos a lo lago y n l sntido d la lína d campo, l potncial disminuy y su vaiación d s máxima. sto s así poqu cuando y son paallos y tinn l mismo sntido, l poducto scala d la xpsión [93] toma l valo máximo. l potncial disminuy dbido a la psncia dl signo ngativo. st sultado ya habíamos llgado antiomnt d una foma más intuitiva. d. l potncial léctico no vaía si nos dsplazamos ppndiculamnt a la lína d campo. n st d caso y son ppndiculas po lo cual su poducto scala sá nulo, dv 0 y n conscuncia V ct. sto da luga a la xistncia d supficis quipotncials (o quipotncials) n las cuals todos sus puntos tinn l mismo potncial léctico y n cada punto (y la lína d campo) s ppndicula a la supfici. Sob st aspcto s volvá más adlant cuando s psntn quipotncials.. La xpsión [93] pmit calcula potncials lécticos a pati dl conociminto d la intnsidad dl campo léctico, aspcto qu s aplicaá n algún jmplo. También pmit l cálculo d la intnsidad dl campo léctico a pati dl potncial. V f. S dduc una nuva unidad paa la intnsidad dl campo léctico: la d n l SI. m [95] 14. LGUNOS JMPLOS D OBTNCIÓN Y PLICCIÓN DL POTNCIL LCTOSTÁTICO Potncial lctostático oiginado po una distibución discta d cagas puntuals (o quivalnts) Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 41

42 Supongamos una distibución d n cagas funt: q 1, q,..., q n fijas. Cada una d llas oigina n l punto P un potncial léctico (así como una intnsidad d campo léctico). l potncial léctico total n l punto P s la suma scala d los potncials individuals (pincipio d supposición indpndncia aplicado al potncial léctico): V V 1 + V V n [96] s dci, V i n V i i 1 Una justificación intuitiva d la aditividad d los potncials lécticos s fundamnta n la aditividad d las ngías potncials. Una justificación más fomal s pud obtn a pati d la indpndncia y supposición d las fuzas lécticas qu oiginan distintas cagas sob una caga d puba y pti todos los pasos dsd la xpsión [65]. Tnindo n cunta qu cada potncial léctico n P oiginado po q i stá dado po la xpsión V K q [81] ( ), l potncial total n P oiginado po una distibución finita d cagas funt i i i puntuals (o quivalnts) vndá dado po: i n i n qi V Vi K i 1 i 1 sindo i la distancia dsd la caga funt q i al punto P. i [97] [98] jmplo 7 Sa una distibución d ts cagas puntuals q 1 nc, q 4 nc y q 3 S8 nc fijas n los puntos (S1, 0), (0, S1) y (0, 1) m spctivamnt dl plano xsy. l mdio s l vacío. Calcula: a. l potncial léctico n l punto (1, 0) m. b. La ngía potncial léctica d una caga d puba d S3 nc qu colocamos n. c. l tabajo qu aliza l campo paa llva dicha caga d puba dsd hasta B(, 1) m. q 1 y q 3 B x a. plicando la xpsión [98] y tnindo n cunta qu 1 m y s: 3 m, l potncial total n q Fig.50 V , 5 b. La ngía potncial d la caga d puba d S3 nc qu s coloca n l punto s obtin po la xpsión [83]: U q V 3 10 ( 16, 5) 49, 4 10 p V 9 9 qu psnta l tabajo qu aliza l campo léctico d la distibución sob la caga d puba paa llvala dsd l punto hasta l infinito. Nóts qu sta ngía potncial léctica d una caga n un punto s distinta a la ngía potncial J Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 4

43 léctica dl sistma d cagas (compaa con l sultado dl jmplo 5). sto s así poqu la pima psnta l tabajo qu aliza l campo paa llva la caga d puba dsd sa posición hasta l infinito, mintas qu la sgunda psnta l tabajo qu aliza l campo paa llva todas las cagas dsd sus posicions n l sistma hasta l infinito. c. l tabajo qu aliza l campo paa llva una caga d puba dsd hasta B s pud obtn a pati d la xpsión [86]: W q ( V V ) p B paa lo cual s ncsita calcula ants V B pocdindo d la misma mana qu n l pim apatado n l cual s calculó V : V B , sindo ntoncs l tabajo alizado po l campo: W S310 S9 (S16,5 S (S17,6)) S3,310 S9 J qu al s ngativo, tndmos qu aplica una fuza xtna sob la caga d puba (ngativa n st caso) paa llvala dsd Spotncial altos hasta B Spotncial bajos (coda qu las cagas ngativas s muvn, al abandonalas n un campo léctico, d potncial bajo a potncial alto) Potncial léctico oiginado po una sfa diléctica con dnsidad volúmica d caga constant quí tnmos un caso d una distibución continua d caga léctica. Podmos consida qu cada lmnto d caga dq d la distibución contibuy con un lmnto d potncial (a pati d la xpsión [81] n foma difncial: d dv K q Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 43 V ) al potncial total n un punto P. ntoncs l potncial total n dicho punto s obtndá intgando paa toda la distibución: V K dq λdl σds ρdv substituyndo dq po, o sgún l caso. También s pud obtn l potncial a pati d la intnsidad dl campo léctico, lación qu utilizamos n sta aplicación, pusto qu la intnsidad d campo n l xtio y n l intio ya fu calculada n l apatado 10.3 a pati d la ly d Gauss. a. Puntos sob la supfici d la sfa cagada y puntos xtnos a lla: $ 0 (Fig.51). La intnsidad dl campo léctico stá dada po l sultado [51] qu n foma vctoial s: K q 0 sindo q la caga total d la sfa y 0 dicción dl adio. Substituyndo n [93]: dv K q d 0 0d d y al tn n cunta qu [100] l vcto unitaio n la [101] +q 0 Fig.51 [99], qu q s constant intgando n la gión d validz d

44 la intnsidad d campo (dsd l infinito hasta una distancia dl cnto d la sfa, tal qu $ 0 ): V d dv Kq 1 1 V V Kq K q y hacindo V 4 0 s obtin l potncial lativo paa la supfici y l xtio d la sfa: [10] [103] V K q paa 0 [104] xpsión idéntica a la [81], tal como cabía spa, pus, tanto a fctos d la intnsidad d campo como dl potncial lécticos n l xtio, la distibución sféica d caga s compota como si toda su caga s ncontas concntada n l cnto d la sfa. b. Puntos intios a la sfa cagada: < 0 (Fig.5) pati d la intnsidad d campo n l intio d la sfa (sultado [54]) y pocdindo d la misma foma qu paa l xtio s obtin, intgando dsd la supfici hasta una distancia dl cnto: V V( ) 0 dv Kq 3 d 0 0 [105] q int 0 int Fig.5 sindo l sultado un poco más complicado (téngas n cunta qu V( 0 ) s l potncial lativo dado po [104] hacindo 0 ): V 1 Kq 3 0 paa 0 0 [106] Nóts qu, a difncia d la intnsidad d campo, l potncial n l intio no dpnd sólo d la caga d la sfa d adio intna, sino qu también influy la caga d la capa xtna. n la Fig.53 s psntan los potncials n las distintas gions d sta aplicación (caga nta positiva): Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 44

45 V 3 K q 0 K q 0 0 Fig Potncial lctostático n un conducto cagado y n quilibio lctostático n l apatado 10.5, a pati d la ncsidad d qu l campo léctico n l intio d un conducto n quilibio lctostático db s nulo, s ha ncontado, aplicando la ly d Gauss, qu la caga nta s ncunta n la supfici y qu la intnsidad dl campo n la supfici s ppndicula a la misma y stá dada po la xpsión [64]. Finalizamos con la cuata popidad: todo conducto con caga nta n quilibio lctostático s una quipotncial. int. 0 dv d 0 spcto al intio, al s, al substitui n la xpsión [93]: int. int. q nta int. 0 int 0 V int V supfici ct. Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 45 Fig.54 [107] d dond s dduc qu no xist vaiación d potncial n l intio dl conducto, o lo qu s lo mismo, l potncial lctostático s constant n l intio d un conducto n quilibio lctostático. spcto a la supfici, n dond s ncunta la caga nta qu stá n poso, l potncial lctostático tin qu s constant a lo lago d toda la supfici, pus n caso contaio la caga nta s dsplazaía d un punto a oto d la supfici como conscuncia d una vaiación n l potncial. st sultado también s llga a pati d la xpsión [93] scogindo un dsplazaminto infinitsimal a lo lago d la supfici dl conducto (tangnt a la supfici) y tnindo n cunta qu la intnsidad d campo s nomal a dicha supfici: dv d sup. n tangnt a la sup. 0 [108] sindo dv sup. 0 po s nulo l poducto scala d dos vctos ppndiculas nt si. Po, admás, l potncial n l intio tin qu s igual al potncial n la supfici. Si no fua así, ota vz más, xistiía dsplazaminto d caga nta d la supfici al intio (o vicvsa, dpndindo dl signo d la caga nta) incumpliéndos la condición d quilibio lctostático. n sumn, un conducto n quilibio lctostático

46 constituy un volumn quipotncial: V int. V supfici ct. [109] n la Fig.54 s sumn los sultados ncontados lativos a la localización (n la supfici) d la caga nta (supusta positiva), a la intnsidad d campo (nula n l intio, ppndicula a la supfici n l xtio) y al potncial lctostático. jmplo 8: Intnsidad d campo y potncial lctostáticos n una sfa conductoa cagada a. Intnsidad d campo lctostático int. 0 Paa la supfici y l xtio s pud calcula la intnsidad d campo lctostático aplicando Ya conocmos qu. la ly d Gauss tal como s hizo n l apatado l sultado, s (xpsión [51]) K q xt. paa $ 0 con dicción adial, como a d spa al tn n cunta qu la caga distibuida unifommnt a lo lago d la supfici d la sfa s compota como si fus puntual y colocada n l cnto d la sfa. Nóts qu la intnsidad d campo n la supfici s (substituyndo po 0 ) sup. K q 0, conclusión a la qu también s pud llga a pati d la xpsión [64] tnindo n cunta qu la dnsidad supficial d caga s constant (po tn l conducto simtía sféica) q σ S q π y val. 4 0 b. Potncial lctostático l potncial n l xtio s pud calcula a pati d la intnsidad d campo, tal como s pocdió n l apatado 14..a. l sultado, al qu también s pud llga al tn n cunta la xpsión [81] n dond ya s indicaba qu a válida paa cagas puntuals y quivalnts (distibucions sféicas d cagas), s po tanto: V xt. K q paa $ 0 [110] l potncial n la supfici y n l intio dl conducto, dado qu s l mismo n todos los puntos, s: V V K q int. sup. [111] 0 n la Fig.55 s sumn las conclusions obtnidas spcto a la intnsidad d campo y potncial lctostáticos paa un conducto sféico cagado y n quilibio lctostático (con caga nta positiva). Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 46

47 V K q 0 K q Fig Conducto con caga nta n quilibio lctostático y con cavidad n la Fig.56 s psnta la scción d un conducto d foma abitaia con caga nta n quilibio lctostático, al qu s l pacticó una cavidad (también d foma abitaia) sin cagas. Ya sabmos qu la caga nta stá patida po la supfici xtna y qu l campo n l intio macizo dl conducto s nulo. hoa s tata d nconta las popidads lécticas dl intio d la cavidad y d la pad d la misma. odmos la cavidad po una supfici gaussiana S (psntada po lína a tazos n la figua) y apliqumos la ly d Gauss: Pusto qu la intnsidad d campo s nula a lo int 0 V ct q nta int. 0 Fig.56 lago d toda la supfici S, la caga nta ncada po S tin qu s nula. Como dicha supfici S pud hacs coincidi con la pad d la cavidad, s dduc qu la caga nta n la pad d la misma s nula. Bin, ya sabmos qu la pat intna maciza dl conducto y la pad d la cavidad no continn caga nta. Sin mbago, sto no puba qu toda la pad d la cavidad sté dscagada: pud tn caga positiva n unos puntos y ngativa n otos tal qu l balanc sa nulo. Vmos, pus, qu la ly d Gauss no popociona la solución complta dl poblma. Po aún podmos continua: supongamos qu sí xist una spaación d cagas n la pad intna d la cavidad, al mnos una zona con caga positiva n y ota con ngativa n B, Fig.57, lo qu oiginaía un campo léctico n l intio d la cavidad, con lo cual la difncia d potncial nt y B sía, po la xpsión [94]: B V V d B [11] y pusto qu simp s posibl nconta una tayctoia a lo d Fig.57 lago d la dicción d nt y B paa la cual sa simp positivo a lo lago d dicha tayctoia, la intgal antio sía positiva y n conscuncia xistiía una difncia d potncial distinta d co nt y B, stando n contadicción con la popidad ya obtnida n l apatado antio d qu todo l conducto constituy un volumn quipotncial. La única salida paa solv d B S Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 47

48 la contadicción s qu la intgal sa co, cualquia qu sa la tayctoia, paa lo cual s ncsaio qu l campo n l intio sa co y no xista spaación d cagas n la pad d la cavidad. n sumn: la caga nta s ncunta n la pad xtio dl conducto, no xistindo campo léctico n la cavidad (sin cagas n su intio) ni cagas n su pad pato d caga nt conductos Cuando dos conductos (al mnos uno d llos con caga nta) s ponn n contacto xtno, la caga total inicial s pat nt ambos n un pocso muy ápido hasta qu al final los dos conductos qudan al mismo potncial, condición ncsaia paa qu xista quilibio lctostático. spcto a la caga total inicial, ésta s la suma algbaica d las cagas d los conductos qu s ponn n contacto. Po llo, cuando inicialmnt los conductos tinn cagas d distintos signos, xist una nutalización pacial (o total si la cantidad d caga positiva s igual a la cantidad d caga ngativa). jmplo 9. pato d caga nt conductos Una sfa mtálica d adio 1,00 cm tin una dnsidad supficial d caga d 3,9810 S4 C/m. Ota sfa B, muy aljada d la sfa, d adio 1,50 cm tin un potncial n su supfici d S1, V. S ponn n contacto y dspués s spaan lo suficint paa qu no xista influncia lctostática. l mdio s l vacío. Calcula la caga d cada sfa y l potncial lctostático n su supfici. La caga inicial d la sfa, q i, s calcula a pati d la dnsidad d caga supficial (la caga stá situada n la supfici po s un mtal n quilibio lctostático y la distibución d caga s unifom po tn simtía sféica), σ q i q i S 4 π, d dond s obtin q i +500 nc. La caga inicial d la sfa B, q Bi, s obtin a pati dl potncial lctostático n la supfici d dicha sfa (xpsión [110]): V B supfici K q Bi B, sultando q Bi S300 nc. Cuando s ponn n contacto xist movilidad d caga léctica a lo lago d la supfici dl mtal, sindo la caga nta (po consvación d la caga léctica): q nta q i + q Bi +500 nc S300 nc +00 nc (n st caso xist una nutalización pacial d la caga). Dbido al taspaso d caga léctica d una sfa a ota, l potncial lctostático d cada una d llas s modifica tal qu, po l apatado 14.3, las dos sfas mtálicas adquin l mismo potncial constituyndo toda la supfici mtálica d las dos sfas una supfici quipotncial. l spaa las sfas, la caga nta s pat tal qu (consvación d la caga): q nta q f + q Bf [113] sindo q f y q Bf la caga final d cada una d las sfas, d tal foma qu cada una d llas consva l potncial n su supfici qu xistía cuando staban n contacto (l mismo potncial paa las dos sfas), po lo qu s cumpl también la siguint igualdad paa los potncials finals n la supfici d cada sfa cuando stán lo suficintmnt spaadas una d la ota como paa qu no xista influncia lctostática y po tanto la caga sté distibuida unifommnt n la supfici: V f V Bf s dci: K q f K q Bf B S sulv l sistma d dos cuacions [113] y [114] obtnindo los valos finals: [114] Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 48

49 q f 80 nc q Bf 10 nc V f V Bf 7,010 4 V 15. VISULIZCIÓN DL CMPO SCL D POTNCILS LCTOSTÁTICOS n l apatado 8 s analizó la psntación d la dscipción vctoial dl campo léctico mdiant las línas d campo. S tata, ahoa, d intnta psnta l potncial lctostático Supfici quipotncial n l apatado 13 qu laciona l potncial con la intnsidad d campo lctostáticos, conctamnt n l punto d, s dcía qu al dsplazanos ppndiculamnt a la lína d campo, l potncial no vaía. Supongamos una supfici lmntal ds ointada d tal foma qu la intnsidad dl campo léctico n l punto P s ppndicula a lla (Fig.58). l dsplazanos d P a P (también n la supfici) a lo lago d d dv d s obtin una vaiación d potncial dv qu stá dada po la xpsión [93],. Po como s ppndicula a d, l poducto scala d ambos vctos s nulo. S concluy P' d P Fig.58 qu l potncial V s constant sob una supfici infinitsimal nomal al campo léctico. La supfici sob la cual l potncial léctico V pos simp l mismo valo s dnomina supfici quipotncial (o simplmnt quipotncial). Lo antio no s cumpl sólo paa supficis lmntals, sino qu también s cumpl paa supficis no lmntals, como vmos a continuación n algunos casos, xtayndo admás algunas conclusions impotants. l sulo s xtind hasta una distancia infinita con spcto a un sistma d cagas po lo qu s pud consida como una supfici quipotncial y po llo s habitual scog la fncia V 0 n la supfici d la Tia Caga puntual (o quivalnt) Hmos visto qu l potncial léctico lativo d una caga puntual (o quivalnt) stá dado po d S la xpsión V K q. D lla s dduc qu l potncial léctico tin simp l mismo valo a lo lago d la supfici d una sfa d adio cntada n la caga funt, sindo po tanto dicha supfici una quipotncial. D hcho, todas las supficis sféicas cntadas n la caga funt son supficis quipotncials. Pusto qu stas supficis tidimnsionals no son psntabls dictamnt n l plano, la visualización s haá psntando sccions tansvsals d las mismas, obtnindo línas quipotncials. sí, n la Fig.59 stán psntadas vaias línas quipotncials (ciculas n st caso, y quidistants n valos dl potncial) y algunas línas d campo léctico (tminan n punta d flcha) paa una caga funt puntual positiva d 1 nc n l vacío. Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 49

50 D la figua s pudn xta conclusions gnals, po ota pat dducibls a pati d la xpsión [93]: a. La intnsidad d campo léctico n un punto s simp ppndicula a la quipotncial qu pasa po dicho punto. b. l sntido d la intnsidad d campo n un punto nos da l sntido d máxima disminución (dbido al signo ngativo d la xpsión [93]) dl potncial léctico. V 4 V 3 V +1 nc V1 Fig.59 V 1 (1 cm) 900 V V (1,9 cm) 700 V V 3 (1,8 cm) 500 V V 4 (3 cm) 300 V c. l potncial léctico no vaía a lo lago d una quipotncial (si sguimos l contono d una cuva d nivl alddo d una colina, mantndmos simp la misma altua). Po llo, l campo léctico no aliza tabajo sob una caga d puba cuando s dsplaza a lo lago d la quipotncial, y, n conscuncia, la vaiación d la ngía potncial léctica d dicha caga d puba sá nula (xpsión [84]). d. n las zonas con intnsidad d campo léctico lvada (con mayo dnsidad d línas d campo), las quipotncials stán más póximas cuando s tazan con una difncia d potncial fija nt llas Dipolo léctico n la Fig.60 s psntan algunas línas d campo (tazo guso tminando n punta d flcha) y algunas línas quipotncials (d tazo fino). La quipotncial ctilína quidistant a las cagas (qu cospond a una supfici quipotncial plana ppndicula al plano dl papl) tin un potncial lctostático nulo, ya qu todos sus puntos son quidistants a las cagas, contibuyndo la caga positiva con potncial positivo y la caga ngativa con potncial ngativo. Las quipotncials situadas a la izquida d la quipotncial ctilína tinn potncials positivos. Las quipotncials d la dcha tinn potncials ngativos. +q Fig.60 n la Fig.61a s musta l potncial a lo lago d la dicción qu un a ambas cagas. n la Fig.61b s psnta l potncial a lo lago dl plano qu contin a las cagas, stando tuncado n las inmdiacions d dichas cagas. -q Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 50

51 V +q -q a Fig.61 b Nota qu n l punto (sñalado n la Fig.61a, quidistant a las dos cagas y n la dicción qu las un) s anula l potncial léctico, po no así la intnsidad dl campo léctico Dos cagas iguals V +q +q 1 +q +q a Fig.6 b n la Fig.6a s psntan algunas línas d campo y algunas quipotncials paa un sistma d dos cagas puntuals iguals. n la Fig.6b s psnta l potncial a lo lago d la dicción qu un a ambas cagas. Obsva qu l potncial no s anula n l punto (sñalado n la Fig.6b, quidistant a las dos cagas y n la dicción qu las un), sin mbago, la intnsidad dl campo 0 léctico si s nula n dicho punto,, y po la xpsión [93], dv 0, po lo qu V cospond a un máximo o un mínimo, n st caso a un mínimo. Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 51

52 16. MÁS CONSIDCIONS SOB L QUILIBIO LCTOSTÁTICO unqu l quilibio lctostático (cagas lécticas n poso) ya s abodó al studia la localización d la caga n un conducto, así como sus implicacions n l campo y potncial lctostáticos, n st apatado s tataá dsd l punto d vista ngético ngía potncial y quilibio. Toda fuza consvativa (tal como la léctica, gavitatoia, lástica, tc), ngía potncial U a tavés d la xpsión ([91]): Fc d du U(x) Fc x Fc x Fc Fc x Fig.63, s laciona con la [115] Supongamos un caso unidimnsional, n la dicción x. La xpsión antio s convit, ya n fomato scala, n: Fc x dx SdU(x) [116] d dond U x Fcx d ( ) dx B Fc x [117] (qu constituy un pocdiminto paa calcula la fuza a pati d la ngía potncial n l caso unidimnsional). Una patícula, cuyo moviminto stá limitado a la dicción x, staá n quilibio cuando la fuza sob lla sa nula, Fc x 0, lo qu significa sgún la xpsión [117] qu U(x) s un máximo o un mínimo paa una posición x d quilibio. n la Fig.63 s psnta una ngía potncial abitaia U(x) d la patícula n función d la posición d ésta a lo lago d la dicción x. Las posicions y B cospondn a posicions d quilibio d la patícula, pus cospondn a un mínimo y a un máximo, spctivamnt, d U(x), sindo Fc x 0 tanto n como n B. l punto cospond a una posición d quilibio stabl, pus si stando inicialmnt la patícula n la dsplazamos ligamnt hacia la izquida o hacia la dcha, la fuza la dvulv a la posición inicial,. l punto B cospond a una posición d quilibio instabl, pus si stando inicialmnt la patícula n B la dsplazamos ligamnt hacia la izquida o hacia la dcha, la fuza la alja d la posición inicial, no tonando a lla plicación a la ngía potncial lctostática Una caga, o vaias cagas, n un sistma d cagas, staá n quilibio lctostático cuando la ngía potncial lctostática dl sistma sa mínima. Tnindo n cunta qu, a pati dl último témino d la xpsión [77] qu da la ngía potncial lctostática d un sistma d cagas, ésta s pud xpsa n función dl potncial lctostático como n 1 U K q V i i i 1 x [118] sindo V i l potncial lctostático n la posición d q i dbido a todas las dmás cagas. Paa qu U sa mínima, l potncial V i dbido a todas las dmás cagas n la posición d q i db s mínimo, y po Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 5

53 la xpsión [93], la intnsidad dl campo léctico i dbida a todas las dmás cagas db s co y, n conscuncia, la fuza léctica qu jcn todas las dmás cagas sob q i db s co, sindo stas últimas conclusions vidnts pusto qu la caga db sta n poso. sumindo, cuando una caga sob la cual actúan únicamnt fuzas lécticas stá n quilibio, s cumpln simultánamnt las siguints condicions: S La fuza léctica total sob dicha caga s co. S La intnsidad dl campo léctico n l punto n l qu stá la caga s co. S l potncial lctostático dbido a las dmás cagas n l punto n l qu s ncunta la caga db s mínimo. Si sob la caga actúan admás fuzas no lécticas, alcanzaá l quilibio cuando la sultant d las fuzas lécticas y no lécticas sa nula. jmplo 10 Una caga +q s fija n la posición (0, 0). Una sgunda caga +q s fija n la posición B(1, 0). a. Obtn la posición nt y B qu db ocupa una tca caga +q paa qu s ncunt n quilibio. aliza l análisis dsd l punto d vista d la ngía potncial, dl potncial y d la intnsidad d campo. b. Calcula la fuza mcánica a aplica sob la caga +q paa mantnla fija n su posición. Supon qu las distancias stán dadas n mtos, la unidad d caga q 1 nc y stán n l vacío. a.1. nálisis a pati d la ngía potncial lctostática dl sistma. Situmos n un pincipio la tca caga +q n la posición x (Fig.64). La ngía potncial dl sistma qudaá po tanto n función d la coodnada x: d B +q +q +q x x (d-x) Fig.64 U du dx K q q + x q q q q + Kq d d x 1 x + d + d x Divando U spcto a x y hacindo igual a co paa obtn la posición x d mínima ngía: Kq 1 x d x ( ) x + dx d Kq Kq d x x d x x ( ) ( ) ( d x) x x + dx d 0 0 paa lo cual s db anula l numado:, qu substituyndo d 1 y solvindo la cuación cuadática s obtin x 0,414 (la ota solución x S,41 no s válida po sta fua d los límits impustos). a.. nálisis a pati dl potncial lctostático. l potncial lctostático n la posición x dbido a las cagas d los xtmos s: V K q x + x q Kq d x 1 + x d x Divando V x spcto a x, igualando a co y solvindo la cuación spcto a x s obtin l mismo sultado qu n l apatado antio. a.3. nálisis a pati d la intnsidad d campo. Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 53

54 La intnsidad d campo lctostático n la posición x dbida a las cagas d los xtmos stá dada po: i K q x i q 1 x + ( i ) Kq i d x x d x ( ) ( ) La caga +q a coloca n la posición x staá n quilibio lctostático si la intnsidad dl campo dbido a las otas cagas n la posición x s hac nulo, paa lo cual db s nulo l témino nt cochts d la xpsión antio 1 x ( d x) d dond s obtin la solución válida x 0, x (x) V(x) x Fig.65 n la Fig.65 stán psntados V(x) y x (x). La posición d quilibio paa la tca caga cospond al mínimo d V(x) y al punto n l cual x s hac nulo y cambia d sntido. b. Cálculo d la fuza mcánica ncsaia paa mantn fija a la caga +q. La intnsidad d campo n la posición d la caga +q dbida a la caga +q n la posición y a la caga +q n la posición x calculada s: K q d i q 1 1 B + i Kq i d x + d d x ( ) ( ) qu tnindo n cunta los valos d K, q, d y x: B 35, i N C d dond la fuza léctica sob la caga +q s: F + q B 70, i sob + q N Paa qu la caga +q s mantnga fija n B s tin qu jc una fuza mcánica sob dicha caga qu compns a la fuza léctica, s dci: F m sob 70, i + q N 17. MOVIMINTO D PTÍCULS CGDS N CMPOS UNIFOMS n st apatado s analizaá l compotaminto d una patícula cagada somtida a intaccions paa obtn sus paámtos cinmáticos (vlocidad, posición, timpo, tc.), ngéticos, tc. n situacions sncillas. Toda patícula, po tn masa m, xpimntaá fuza gavitatoia si xist campo gavitatoio. dmás, si la patícula tin caga nta q, xpimntaá fuza léctica si xist campo léctico. Po l momnto no s considaá la xistncia d otas intaccions. Po llo la fuza nta a la qu stá somtida la patícula s F F + F mg+ q g Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 54 g [119] Pud sucd qu una d las fuzas antios sa mucho mno qu la ota. n st caso s pud

55 dspcia la fuza más débil y tabaja únicamnt con la stant. También pud sucd qu no xista alguno d los campos po lo qu tampoco xistiá la intacción cospondint. S limitaá l análisis a la psncia d campos unifoms ( ct., ct), a vlocidads pquñas y obsvado incial. n stas condicions, la aclación d la patícula s constant a F m g [10] po s constants la masa y la fuza. La cinmática d la patícula cospondá, po tanto, al moviminto d cupos con aclación constant y la tayctoia sá ctilína (vlocidad inicial nula o misma dicción paa la vlocidad y la aclación) o paabólica (dicción d la vlocidad distinta a la d la aclación). n las gions n las qu no xista intacción (poqu no xist campo léctico y la fuza gavitatoia s dmasiado débil), la fuza sultant sá nula y n conscuncia la patícula s mantndá n poso o sguiá una tayctoia ctilína si tin vlocidad cuando nta n dicha gión. n cuanto a la ngética, tn n cunta qu las fuzas qu stamos considando son consvativas pmancindo ntoncs la ngía mcánica d la patícula constant po lo cual s pudn utiliza las lacions d ngía d foma muy fácil. l s pquña la vlocidad (compaada con la vlocidad d la luz) d la patícula cagada, no s tndán n cunta considacions lativistas po lo qu la masa d la patícula sá constant. Tampoco s considaá l campo magnético oiginado po l moviminto d la patícula spcto al obsvado y qu pudia da luga a intaccions magnéticas con otas patículas cagadas, intaccions muy débils fnt a la léctica cuando la vlocidad s pquña. Finalmnt, tampoco s tndá n cunta la ngía adiada n foma d onda lctomagnética oiginada po toda caga con aclación. jmplo 11 Un campo léctico unifom d valo 00 N/C stá dispusto hoizontalmnt n la dicción dl j x. S dja n libtad n l oign O, y patindo dl poso, una patícula cagada con q 3,00 µc y m 0,10 g. También xist un campo gavitatoio unifom vtical con g 9,80 m/s. a. S pud dspcia alguna d las fuzas a las qu stá somtida la patícula? b. Calcula l dsplazaminto vtical, y, qu xpimntó la patícula sabindo qu x 4,00 m. c. Calcula l módulo d la vlocidad d la patícula cuando pasa po. d. Calcula la vaiación d la ngía potncial n l mismo coido. Calcula la difncia d potncial léctico nt la posición final inicial d la patícula. a. Paa spond a la pgunta compamos los módulos d las dos fuas a las qu stá somtida la patícula. La fuza léctica val F q 6,0010 S4 N. La fuza gavitatoia val F g mg 1,17610 S3 N. D los sultados s dduc qu son dl mismo odn po lo qu no s pud dspcia ninguna d las fuzas. F F + F qi + mgj b. La fuza total a la qu stá somtida la patícula s. Pusto qu la fuza sultant s constant y qu la vlocidad inicial s nula, la tayctoia sá ctilína con la misma dicción y sntido qu la fuza sultant (moviminto ctilíno unifommnt g Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 55

56 aclado). D la Fig.66 s dduc qu Fg tanθ F y x qu substituyndo F g, F y x s obtin y 7,84 m. c. La vlocidad n s pud calcula fácilmnt po cinmática, o ya qu nos pidn l módulo s pud obtn a pati dl toma d la ngía cinética calculando ants l incmnto d ngía cinética qu xpimnta la patícula, camino qu sguimos: Po l toma d la ngía cinética: W F F d c c co c po s nula la ngía cinética n l oign. ntoncs F d ( qi mgj)( dxi dyj) c + + x q dx + mg dy 116, 10 J 0 0 La vlocidad d la patícula n staá dada po v c m y 13, 9 m / s O y y q m F g θ g F F Fig.66 x x d. La ngía mcánica s la suma d la ngía cinética d la patícula y d las ngías potncials, s dci: m c + U sindo U U + U g la ngía potncial total. l s consvativas las fuzas qu alizan tabajo sob la patícula, no xist vaiación n la ngía mcánica: m c + U 0 d dond s obtin la vaiación n la ngía potncial: U S c S( c S co ) S( c S 0) S c S1,1610 S J habiéndos calculado l incmnto d ngía cinética n l apatado antio.. La vaiación n l potncial léctico s calcula, pusto qu conocmos l campo léctico, intgando la xpsión [93]: x V V V d i d xi d x 800 V O 0 Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 56

57 18. LGUNS NLOGÍS Y DIFNCIS NT LOS CMPOS GVITTOIO Y LCTOSTÁTICO nalogías Las analogías nt ambos campos povinn d qu fomalmnt tinn xpsions idénticas, SG y m n l campo gavitatoio, K y q n l campo lctostático: a. mbos son nwtonianos: la intnsidad d campo s función, n cada punto, invsamnt popocional al cuadado d la distancia. Con un alcanc, po tanto, infinito. b. La intacción n cada caso s dictamnt popocional al poducto d las magnituds activas qu intaccionan (masas n un caso, cagas n l oto). c. Son campos vctoials qu cumpln l pincipio d supposición. d. Son campos cntals (n la dicción d la magnitud activa). Po s cntals y dpnd sólo d la distancia, son consvativos. Po llo s pud dfini una ngía potncial y un potncial scala n cada caso. n la siguint tabla s sumn las xpsions paa ambos campos, tanto dsd l punto d vista vctoial como scala (valos lativos al valo nulo n l infinito), paa magnituds activas puntuals (o quivalnts): Intacción Magnitud dl campo F g CMPO GVITTOIO Dscipción vctoial Dscipción scala G m m i j sob 0 U G m m i g i j ij ij g G m 0 V G m g ij j F CMPO LCTOSTÁTICO Dscipción vctoial Dscipción scala K q q i j sob 0 U K q q i i j ij ij K q 0 V K q ij j 18.. Difncias a. Las masas s psntan simp con l mismo signo, po llo las intaccions gavitatoias son simp atactivas mintas qu las cagas s psntan con dos signos po lo qu las intaccions lctostáticas pudn s atactivas o pulsivas. También po llo xistn los dipolos lécticos, po no s conocn los dipolos gavitatoios. b. l campo gavitatoio s univsal: xist paa todos los cupos. l campo léctico sólo xist cuando los cupos continn caga nta. c. La intnsidad dl campo gavitatoio no dpnd dl mdio (G, paa un sistma d unidads, tin un valo univsal). Sin mbago l mdio influy n l campo lctostático a tavés d la pmitividad diléctica dl mdio. d. l campo gavitatoio cuza las substancias. l campo léctico pud apantallas (l campo Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 57

58 léctico xtno no pnta n la substancia), aspcto muy útil, po jmplo, n los apaatos d mdida paa vita las influncias d campos lécticos xtnos.. La intnsidad dl campo léctico s mucho mayo qu la intnsidad dl campo gavitatoio (K s unas 10 0 vcs mayo qu G). D sta foma, n la mayoía d los fnómnos lécticos podmos dspcia las intaccions gavitatoias. f. S pudn obtn gions d campo léctico nulo como sucd n l intio d un conducto cagado n quilibio lctostático o n l xtio d un condnsado (n st caso dbido a qu hay dos class d cagas). s muy difícil, o pácticamnt imposibl, obtn gions d campo nulo con masas. g. l campo gavitatoio pud s unifom n gands gions dl spacio dbido a qu la masa pud acumulas. No así l campo léctico unifom qu s duc a pquñas gions dl spacio (tal como la gión compndida nt dos placas mtálicas con cagas opustas) poqu la caga dl mismo signo s muy difícil acumula po la pulsión qu apac. h. Hay conductos lécticos n los cuals los potados d caga s pudn dsplaza bajo un campo léctico. No hay conductos másicos. i. S pud aumnta (dnto d unos límits) la caga d un cupo mdiant l fnómno d la inducción léctica. Po conta no xist la inducción gavitatoia. j. Una masa, sté n poso o n moviminto simp ca un campo gavitatoio. Una caga léctica n poso ca un campo léctico y cuando stá n moviminto, admás dl léctico ca un campo magnético. Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 58

59 19. CUSTIONS Y POBLMS Caga léctica y distibucions d caga 1. azona si un cupo pud tn una caga d,010 S19 C. q 1,6010 S19 C.. Calcula la constant d Faaday n C/mol tnindo n cunta qu psnta la cantidad d caga léctica contnida n un mol d lctons. q 1,6010 S19 C. N 6,010 3 mol S1. 1 F C/mol 3. Calcula l númo d lctons qu ntan y saln n un sgundo po la sistncia d una bombilla d,5 V y 0,75 W qu funciona con coint continua. Qué conclusión s pud xta sob la obsvación d la cuantización d la caga léctica a nivl macoscópico?. q 1,6010 S19 C.. 1, lctons 4. Una sfa conductoa d 3,50 cm d adio s caga con 40 µc. Una sgunda sfa d 4,0 cm d adio dl mismo matial qu la pima s caga con 180 µc. Las dos sfas s fundn n una sola sfa. Calcula la dnsidad supficial d caga d la sfa sultant. Tn n cunta qu la caga léctica s consva y s supon qu l volumn d la sfa sultant s la suma d los volúmns d las dos sfas inicials. 1,40 µc/cm 5. Un hilo ctilíno d,30 m d longitud situado n la dicción x tin una hipotética dnsidad linal d caga nta qu stá dada po la xpsión 5x, n unidads dl SI. Dtmina la caga nta total qu contin l hilo. 0,3 C 19.. Fuza léctica: Ly d Coulomb F j i sob j 3 ij K q q i 6. l hcho d qu s puda utiliza la xpsión significa qu l módulo d la fuza léctica dpnd dl invso d la distancia nt cagas al cubo? 7. Supongamos qu tnmos dos cagas d 1 C spaadas po una distancia d 1 m. Cuánto db val la masa d un cupo situada n la supfici d la Tia paa qu sa ataído po la gavdad tst con una fuza smjant a la fuza léctica nt dichas cagas? Qué conclusión s pud xta sob la unidad culombio?. g 9,81 m/s kg 8. Calcula la azón d la fuza léctica a la fuza gavitatoia nt dos potons situados n l vacío (obsva qu sta azón s indpndint d la distancia d spaación). q 1,6010 S19 C, m p+ n poso 1,67310 S7 kg, G 6,6710 S11 Nm /kg. F F g 9. Dtmina n cuánto disminuy la fuza nt dos cagas spaadas po una distancia fija cuando inicialmnt stán n l vacío y dspués, con la misma configuación, s intoducn n agua (g agua 80,1). Los cistals iónicos s ncuntan n stado sólido a tmpatua ambint fomando una d cistalina, sindo la fuza léctica nta nt ions atactiva. Tnindo n cunta l sultado obtnido al pincipio, xplica poqué dicha stuctua cistalina s dsmoona al intoducila n agua. F agua 0,015F vacío 10. D un punto dl tcho culgan dos hilos inxtnsibls y sin masa d 87,0 cm d longitud cada uno n cuyos xtmos hay dos sfas d 1 g cada una, con la misma caga léctica. Dbido a la pulsión léctica, las masas s spaan hasta qu sus hilos foman nt si un ángulo d 60º. Calcula l valo d la caga d cada sfa. g 9,81 m/s. ±740 nc ij Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 59

60 11. Ts cagas puntuals d nc, 4 n C y S6 nc s ncuntan n las posicions (x 0, y 1), (0, 0) y (1, 0) m spctivamnt. Calcula la fuza qu jc dicha distibución sob una cuata caga puntual d 3 nc situada n la posición (1, 1) m. Consida qu l mdio s l vacío. ( 9, i 14 j ) 10 9 N 1. n l modlo d Boh paa l átomo d hidógno, l lctón dscib una óbita cicula d adio 5,910 S11 m. Calcula l píodo dl lctón. q 1,6010 S19 C, m S n poso 0,91110 S30 kg. 1,510 S16 s Intnsidad dl campo léctico 13. l pincipio d supposición d campos hac fncia a vctos. s posibl ntoncs utilizalo n la foma scala n? 14. l campo lctostático s un campo cntal? Sá un campo consvativo? 15. n l cálculo d la intnsidad d campo poducida po una distibución discta d caga, la xpsión d dicho vcto intnsidad sultant dpndá dl sistma d js lgidos?. Y l módulo d la intnsidad?. aliza l análisis tanto paa la taslación como paa la otación d los js. 16. n una gión dl spacio xist un campo gavitatoio unifom, vtical y diigido hacia abajo d intnsidad g 9,81 ms S. También xist un campo léctico unifom d intnsidad, N/C. n un punto d sa gión s sitúa una gota d acit d 4,6710 S3 kg d masa y con caga nta ngativa, pmancindo n poso n dicho punto. a. psnta los campos gavitatoio y léctico. b. Calcula la caga d la gota. c. La magnitud d la fuza lctostática qu s jc sob la gota. b) S0,183 µc; c) 4, N 17. Una pquña sfa d 0,5 g y caga q, colgada d un hilo d masa dspciabl, stá colocada dnto d un campo léctico unifom y hoizontal d 400 N/C (Fig.PS17). g 9,81 m/s. a. Sabindo qu n la posición d quilibio, α15º, calcula l valo d q d la sfa. b. Si duplicamos l campo léctico, calcula l nuvo ángulo d quilibio. a) q+3,9 µc; b) α8,º 18. Una patícula d caga Sq s sitúa n l oign dl j x. un mto d distancia y n la pat positiva dl j s sitúa ota patícula d caga +q. a. Calcula l punto (o puntos) sob l j x n l qu s anula l campo léctico. b. n qué situación staía una caga d puba qu s coloqu n dicho punto? a. 3,41 m; b. quilibio instabl 19. n ts squinas conscutivas d un cuadado s fijan ts cagas puntuals d α m q Fig.PS17 +q, Sq y +q, spctivamnt. Qué caga hay qu coloca n l cuato vétic paa qu la intnsidad d campo léctico n l cnto dl cuadado sa nula? Sq 0. Un sistma d ts cagas puntuals d nc, 4 nc y 6 nc s sitúan spctivamnt n los puntos ( 1, 0) m, (0, 1) m y (, 0) m. l mdio s l vacío. Calcula: a. l vcto intnsidad d campo léctico, dbido al sistma d ts cagas, n l punto (1, 0) m. b. l módulo d la fuza qu jc l sistma d las ts cagas sob una caga d 3 nc qu s coloca n l punto. N ( 71, i + 1, 7 j) C a) ; b) 1710 S9 N Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 60

61 1. n los vétics d un tiángulo quiláto d m d lado s sitúan las cagas q 1 nc, q 1 nc y q 3 S nc, d acudo con la Fig.PS1. Tnindo n cunta qu l mdio s l vacío, calcula la intnsidad dl campo léctico n l cnto dl tiángulo, punto n l qu s sitúa l oign d coodnadas. (5, 85i + 3, 6 j ). Calcula la intnsidad dl campo léctico n la posición (x d, 0) oiginada po una distibución linal, unifom y continua d caga λ qu s xtind a lo lago dl j y dsd y Sd/ hasta y d/. N C λ 0, 894K i d y q 3 x q 1 q Fig.PS Línas d campo léctico 3. azona si dos o más línas d campo léctico s pudn cuza. 4. s constant l módulo dl campo léctico a lo lago d una lína d campo? n gnal no. Una xcpción s ncunta n los campos unifoms 5. n l apatado 8.1 s dijo qu n gnal una lína d campo no s la tayctoia sguida po una caga d puba qu s abandona n él. Pon algunos jmplos y analiza n qu condicions la tayctoia sí coincid con la lína d campo. 6. Visualiza n l plano mdiant línas d campo léctico l poducido po una distibución discta d dos cagas puntuals fomada po Sq y S3q, spaadas una cita distancia. 7. Visualiza n l plano mdiant línas d campo léctico l poducido po una distibución discta d dos cagas puntuals fomada po Sq y +3q, spaadas una cita distancia Momnto dipola léctico 8. naliza la polaidad dl nlac CO n la molécula d dióxido d cabono. Cómo sá l momnto dipola d nlac? Sabindo qu l momnto dipola d la molécula s nulo, cómo sá la disposición gomética d los átomos? 9. stima l momnto dipola d nlac HSO n la molécula d agua sabindo qu l ángulo d nlac HOH s 105º y l momnto dipola d la molécula val 1,85 D. [1 D SdbyS 3,310 S30 Cm] 1,5 D Ly d Gauss 30. Sía válida la ly d Gauss si la ly d Coulomb no fua una ly dl invso dl cuadado d la distancia? 31. Si l flujo nto a tavés d una supfici cada s nulo, implica qu no xistn cagas lécticas n l intio d dicha supfici? 3. Dibuja una supfici qu nci un dipolo léctico. naliza la caga nta, l flujo nto y las conscuncias qu s pudn xta paa l campo léctico al aplica la ly d Gauss a dicha supfici cada. 33. Si la intnsidad dl campo léctico s nula n cualqui punto d una supfici cada, qué conclusions s pudn xta sob l flujo nto y la caga nta n su intio? Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 61

62 34. Una supfici sféica S 1 ncia una caga nta q 1. Ota caga nta q stá ncada n un cubo 1 ds S 4 d con una supfici S. Dtmina la lación nt cagas sabindo qu. 1 1 q 4q Calcula la intnsidad dl campo léctico, utilizando la ly d Gauss, a una distancia x mdida ppndiculamnt a una distibución continua, linal, infinita y unifom d caga léctica situada a lo lago dl j y. Como supfici gaussiana toma un cilindo coaxial con la lína d caga. Visualiza l campo léctico mdiant línas d campo alddo d la distibución d caga. Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 6 K λ x 36. Una caga léctica puntual d + µc s sitúa n l cnto gomético d un cubo d m d aista. l mdio s l vacío. Calcula: a. La intnsidad d campo n l cnto d una d las caas. b. l flujo léctico a tavés d la supfici cúbica. c. l flujo léctico a tavés d una d las caas. a) 1,810 4 N/C; b),610 5 Vm; c) 3, Vm ngía potncial y potncial lctostáticos 37. Una caga ngativa s muv libmnt n una zona n dond xist un campo léctico unifom. Cómo vaían l potncial y la ngía potncial d la caga ngativa? 38. La difncia d potncial lctostático nt dos puntos dpndá dl camino qu los conct? 39. n qué dicción podmos movnos spcto a un campo léctico d modo qu l potncial léctico no vaí? Y paa qu la vaiación d potncial sa máxima? 40. Pud xisti potncial léctico n un punto d una gión n la qu l campo léctico tnga un valo nulo? Pud s nulo l potncial n un luga n l qu la intnsidad d campo no sa nula? Pon un jmplo d cada caso. 41. s cocta la xpsión V/? 4. Calcula la intnsidad dl campo léctico n una gión dl spacio n la qu xist un potncial léctico dado po la xpsión V(x) 3 S 5x (n unidads dl SI). Dpnd la intnsidad d campo d la lcción dl co dl potncial léctico? 5i V m 43. Un plano d gan xtnsión tin una dnsidad supficial d caga d +6,0 nc/m. Calcula la difncia d potncial nt la supfici dl plano y un punto distant 50,0 cm mdidos ppndiculamnt a dicho plano. azona qu punto tin l potncial más alto. Dibuja quipotncials n las poximidads dl plano. 170 V 44. Una patícula d caga q s situa n l oign dl j x. un mto d distancia y n la pat positiva dl j, s situa ota patícula d caga +q. Calcula los puntos dl j x n los qu: a. S anula l potncial lctostático b. S anula l campo lctostático a) /3 y m; b) 3,41 m 45. Dos cagas stán situadas n l plano xy: q 1 1 nc n (0, 1) m y q 1nC n (0, 1) m. Obtn: a. La intnsidad dl campo lctostático n cualqui punto dl j x.

63 b. l potncial lctostático n cualqui punto dl j x. Comnta l sultado. ( x, 0) 18 a) ; b) V(x,0) 0 V ( x + 1) 46. Calcula l tabajo xtno qu tnmos qu subminista a cuato cagas puntuals d +1 nc, inicialmnt aisladas, paa situalas n las squinas d un cuadado d 1 m d lado. 4,8710 S8 J 47. Dos cagas puntuals d + y +3 nc stán situadas n las posicions (0, 1) y (0, S1) m, spctivamnt. l mdio s l vacío. Calcula: a. l potncial lctostático n l punto (0, 0) m. b. l potncial lctostático n l punto B(,0) m. c. l tabajo léctico a subminista a una caga d S0,3 nc paa llvala d a B. Qué agnt subminista dicho tabajo? a) 45,0 V; b) 0,1 V; c) S7,4710 S9 J 48. Cuato cagas puntuals d S1, +1, S1 y +1 nc s fijan n las posicions (1, 1) m, (1, S1) m, (S1, S1) m y (S1, 1) m spctivamnt. l mdio s l vacío. Calcula: a. La intnsidad dl campo lctostático n l punto (0, 0) m. b. l potncial lctostático lativo n l punto. c. La ngía potncial lctostática lativa dl sistma d cagas. Intpta l sultado. d. Las cagas s cambian a las nuvas posicions (0.5, 0.5) m, (0.5, S0.5) m, (S0.5, S0.5) m y (S0.5, 0.5) m spctivamnt. Calcula la nuva ngía potncial dl sistma y compaa con l sultado dl apatado antio. S podía aplica la conclusión a la fomación d una d iónica bidimnsional? a) 0; b) 0; c) S1,1610 S8 J; d) S,3310 S8 J 49. Un sistma d ts cagas puntuals stá fomado po +1, S y + nc n las posicions (0, 1), (0, S1) y (S1, 0) m spctivamnt. l mdio s l vacío. Calcula: a. La intnsidad dl campo lctostático n l punto (0, 0) m. b. l potncial lctostático n l punto. c. La ngía potncial lctostática dl sistma d ts cagas. d. l tabajo ncsaio paa llva una cuata caga d 0,5 nc dsd l infinito al punto. Qué agnt db aliza l tabajo?. La ngía potncial lctostática d la cuata caga n l campo oiginado po l sistma d ts cagas. f. La ngía potncial lctostática dl sistma d cuato cagas. Qué lación xist nt st sultado y los obtnidos n los apatados c) y )?. ( 18 N i 7 j) a) ; b) 9 V; c) S,1710 S8 J; d) S4,510 S9 J; ) 4,510 S9 J; f) S1,710 S8 J C 50. Un conducto mtálico nuto, s dci, sin caga nta, s pud consida como una d cistalina fomada po ions positivos dl mtal y lctons d valncia libs. Cuando dicho conducto s ncunta n quilibio lctostático, s l podá aplica los sultados obtnidos (distibución d caga lib, intnsidad d campo y potncial n l intio y n la supfici) paa los conductos cagados y n quilibio lctostático? 51. Una lámina mtálica, con cito spso, plana, infinita s caga positivamnt. Obtn, aplicando la ly d Gauss, l campo léctico tanto n l intio d la lámina como a ambos lados. Téngas n cunta qu al s d xtnsión infinita, la caga s distibuiá unifommnt a lo lago d ambas caas, con una dnsidad supficial d caga constant n cada caa. int 0; xt σ/g 0 sindo unifom y nomal a la lámina 5. Una sfa conductoa n quilibio pos una caga supficial d dnsidad σ conocida. S sab Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S j N C

64 qu a una distancia L d su cnto, l potncial s 1/10 dl potncial d dicha sfa. Calcula n función d L (y d σ, si pocd): a. l adio d la sfa conductoa. b. La caga léctica d la sfa. c. l potncial léctico d la sfa. d. La intnsidad dl campo léctico n un punto d su supfici. a) 0,1L; b) 410 S πσl ; c) 0,4πKσL; d) 4πKσ 53. S caga una sfa mtálica d 6 cm d adio con una caga nta d 3 nc y s hac contacto con una sgunda sfa mtálica dscagada y d 10 cm d adio. Dspués las spaamos y aislamos una d la ota. Calcula: a. La caga nta qu adqui cada sfa. b. l potncial lctostático n la supfici d cada sfa. c. La intnsidad dl campo léctico a 8 cm dl cnto d cada sfa. a) q 1 1,15 nc; q 1,875 nc; b) V 1 V 168,75 V; c) 1, N/C; Una sfa mtálica d 6 cm d adio tin una caga nta d 3 nc. Una sgunda sfa también mtálica con adio d 10 cm tin y caga nta d S5 nc s pon n contacto con la pima y dspués s spaan lo suficint paa qu no xista influncia lctostática. Calcula: a. l potncial lctostático d cada sfa ants d ponlas n contacto. a. La caga nta qu adqui cada sfa dspués dl contacto. b. l potncial lctostático d cada sfa dspués dl contacto y suficintmnt spaadas. a) V 1i 450 V; V i S450 V; b) q 1 S0,75 nc; q S1,5 nc; c) V 1f V f S11,5 V 55. Qué moviminto tndía una caga d puba ngativa qu s abandona n un punto d la quipotncial dbida a dos cagas positivas iguals spaadas una cita distancia? Y si la caga d puba fus positiva? 56. n un conducto nuto ctilíno y muy dlgado qu cominza n la posición (x 0) m y tmina n la posición B(x 1) m s dpositan inicialmnt dos cagas, sindo cada una d llas +q. Dbido a la pulsión y a qu l sopot s conducto, stas cagas ocupaán las posicions xtmas dl conducto. continuación s dpositan otas dos cagas, sindo también cada una d llas +q, qu ocupaán posicions paa las cuals la ngía potncial lctostática total dl sistma sa mínima. a. scibi la función ngía potncial U(x). Téngas n cunta qu dos cagas stán n los xtmos y d las otas dos, una staá n la posición x y, po simtía, la ota staá n la posición 1Sx. b. psnta U(x) nt x 0 y x 1. c. Calcula las posicions qu ocupaán las dos cagas intmdias. d. Compaa las posicions finals qu ocupan las cagas con unas hipotéticas posicions n las qu stuvisn unifommnt distibuidas. xplica la difncia.. Cómo sá l potncial y cuánto valdá la intnsidad d campo lécticos n las posicions qu ocupan las cagas intmdias? f. Po qué la intnsidad d campo léctico n los xtmos no s nula? U ( x) x 1 x 1 x a) ; c) 0,319 y 0,681 m; ) Moviminto d cagas n campos unifoms 57. Dmosta qu la vlocidad final d una patícula con caga nta y masa constant qu s aclada (patindo dl poso) po un campo léctico stá dada po q V v f m campo léctico sa unifom n la gión n la qu s muv la patícula? 1/. s ncsaio qu l Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 64

65 58. Sa un sistma fomado po dos lctodos (conductos mtálicos) planos, paallos y supustos infinitos somtidos a una difncia d potncial constant (V S V B ct), Fig.PS58. a. Dibuja las línas d campo nt los lctodos (supon qu los lctodos tinn una xtnsión infinita). Qué caactísticas tndía dicho campo léctico, tanto nt los lctodos como fua d llos? b. n l mismo instant s abandona un potón n l lctodo (n la supfici intna) y un lctón n l lctodo B. lcanzaán l lctodo contaio n l mismo instant? Consida qu l potón y l lctón stán lo suficintmnt aljados como paa no intacciona. Supon admás qu las únicas fuzas a tn n cunta son las lécticas. y d 1 v 0 d Fig.P 59 Fig.PS58 c. Obtn la lación nt las vlocidads dl potón y lctón una vz qu llgan a los lctodos. m p+ n poso 1,67310 S7 kg, m S n poso 0,91110 S30 kg. b) No; c) v /v p 4,9 B 59. Un lctón nta n la dicción x con una vlocidad d 1, m/s po l oign d coodnadas n una gión con un campo léctico unifom d 4,0410 S5 N/C, salindo d dicha gión con una altua y 1 spcto al j x. nta n la gión B n la qu no xist campo léctico, impactando con una pantalla a una altua y. Sabindo qu d 1 15,0 cm, d 50,0 cm, q 1,6010 S19 C, m S n poso 0,91110 S30 kg y qu no s consida ninguna ota intacción distinta a la léctica (Fig.PS59): a. azona poqu la tayctoia s paabólica n la gión y ctilína n la gión B. b. Calcula y 1 y. b) y 1 7,99 cm; y 61,3 cm 60. Un péndulo (simpl) léctico d 1,00 m d longitud tin una sfa d masa 10,0 g con una caga léctica d 00 nc. st péndulo stá situado n un campo gavitatoio unifom vtical y dscndnt d intnsidad 9,81 ms y un campo lctostático unifom vtical y ascndnt d intnsidad. l spaa l péndulo d su posición d quilibio y soltalo tada 11,8 s n da 100 oscilacions si su caga s positiva y 191, s si s ngativa. a. Obtn la xpsión dl píodo dl péndulo simpl cuando la caga s positiva. b. Calcula. T π ml mg q a) ; b) 5, N/C y 1 x B y Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 65