Tema I: Electrostática en el vacío.

Transcripción

1 Tm I: Elctostátic n l vcío. Cg léctic: Distibucions discts y continus d cg. Intccions nt cgs: Ly d Coulomb. El cmpo léctico. Ly d Guss. El potncil lctostático. Dipolo léctico Bibliogfí: P. Loin y Dl R. Coson Cmpos y Onds Elctomgnétics. Edwd M. Pucll Elcticidd y Mgntismo Cuso d Físic d Bkly Conocimintos pvios: Ls lys fundmntls d l Mcánic, opcions vctoils Objtivos: Fmiliizs con l concpto d cg. Fmiliizs con l concpto d cción distnci. Asnt l concpto d flujo d un cmpo vctoil. Compnd l significdo d cmpo qu div d un potncil, y su plicción l cmpo léctico. Intoducción L intptción d los fnómnos ntuls mostó qu imposibl su xplicción solmnt pti d fuzs d tipo gvittoio, pusto qu no s podín xplic fnómnos como los lásticos, d tnsión supficil, psión d vpo y otos muchos, nt ots zons poqu ls fuzs gvittois sultbn dmsido pquñs n vios ódns d mgnitud. Po ot pt, y un sin consid l discpnci cuntittiv, cundo s intntn dscibi los fnómnos molculs s imposibl ntnd l xistnci d ls fuzs pulsivs qu xistn nt ls ptículs nivl molcul, plicndo sólo los concptos qu son útils n l studio d los fnómnos gvittoios. Po tnto s qui oto tipo d fuzs d myo mgnitud myos, qu pudn psnt sts intccions, y sts no son ots qu ls fuzs d oign léctico y mgnético. Nusto pim contcto con fnómnos d tipo léctico, s pobblmnt, cundo n l scul fotábmos un bolígfo o un plum sob nusto jsy, y tímos con él pdcitos d ppl, stábmos, sin sblo, lizndo un xpinci d tibolcticidd (lcticidd po fotminto), qu s pobblmnt, l pim fom n l qu l humnidd puso d mnifisto l xistnci d cgs léctics y nomlmnt l pim vz qu tndímos l opotunidd d pns n l xistnci d un cmpo d fuzs. El studio d l lctostátic, nos v pmiti odn ls ids sob fnómnos conocidos, po un ldo l xistnci d fuzs qu p su mnifstción no ncsitn dl contcto, y po oto l ntulz léctic d l mti. Dsd niños stmos costumbdos l xistnci d l fuz gvittoi, po st totlmnt ligd nust vid, y no nos sopnd qu ls coss bndonds n l i cign. Si codmos l xpinci vivid con los tocitos d ppl, vmos qu nos pció qu stábmos hcindo mgi, o qu qullo tní lgún tipo d tmp, y qu po pim vz nos Elctostátic n l vcío I - 1

2 Figu 1 Al cc l péndulo l vill d ámb lctizd, st ps d su posición vticl s tído po ll Fundmntos Físicos d l Infomátic ncontábmos con un situción no hbitul, l xistnci d intccions distnci distints d ls gvittois. Es mism snsción s dsolló lo lgo d Edd Mdi y l Rnciminto, con lo qu l fnómno léctico s ligó l mgi y ls fis, po lo qu su studio dsd l punto d vist cintífico qudó n un situción nálog l qu tní n ls épocs gig y omn. El pfijo lcto- povin dl nomb gigo dl ámb (lkton), pus son ls xpincis lizds l fot un vill d ámb con l pil d un niml (igul qu l xpinci lizd po nosotos n l scul), ls qu inicin l dsollo dl studio d los fnómnos lécticos. ámb y l oto con l d vidio, l poxim los péndulos vmos qu s tn. Po l contio, si ts toc con l mno los péndulos dscglos, ponmos mbos n contcto con l mism vill lctizd, vmos qu los dos péndulos s plán. Al contio d lo qu ocu si cd péndulo s pon n contcto con un tipo d vill. Hoy sbmos qu l xplicción s sncill, l fot l vill d vidio con un pño, l vill pid lctons (qu comunic l pño), qudndo cgd positivmnt, ocuindo l contio con l ámb, l cg qu s dqui po l vill s tsld pcilmnt l péndulo, Ls xpincis d tibolcticidd lizds con vills d ámb o vidio qu pmitn t, n cont d ls fuzs gvittois, tocitos d ppl, tuvion un sistmtizción mplndo péndulos lécticos nálogos l psntdo n l figu 1. Ts lctiz un vill d ámb fotándol con l pil d un niml, l poximl un péndulo léctico, s obsv qu l sf dl péndulo s tíd po l vill; oto tnto ocu si l vill lctizd po fotminto s d vidio. Si pmitimos qu l sf dl péndulo nt n contcto con l vill dspc l tcción. Rlicmos st xpinci con dos péndulos, uno lo ponmos n contcto con l vill d Figu Los péndulos l hb stdo n contcto con l mism vill s pln poduciéndos ntoncs los fnómnos d tcción y pulsión qu hmos dscito. L xistnci d dos tipos distintos d intcción léctic, qu cibion los nombs d lcticidd sinos y vít sgún quin l poduj, pmit xplic fnómnos d tcción y pulsión qu no pudn ntnds con l toí gvittoi. Cg léctic. L cg s un popidd d l mti qu s pon d mnifisto cundo sob ll ctú un cmpo lctomgnético. Vmos sistmtiz lgunos d conocimintos qu tnmos sob l Elctostátic n l vcío I -

3 Fundmntos Físicos d l Infomátic cg léctic. Todos tnmos l imgn d un átomo como un cg positiv (cuyo vlo dpnd dl númo d potons qu contng) lddo d l cul gin cgs ngtivs (n igul númo qu l d los potons dl núclo) qu son los lctons d l cotz, sindo l conjunto nuto (sin cg nt). Es imgn nci ts cctístics d l cg léctic. En pim lug, stmos ponindo d mnifisto l xistnci d dos tipos d cg, l positiv y l ngtiv. Dspués, ntndmos qu l cg stá cuntizd n l sntido d xisti un unidd d cg y qu l cg totl d un sistm s l sum d divss unidds d cg. Po último, stmos dicindo qu l unidd d cg s únic con indpndnci dl signo d l mism, pus l vlo d l unidd d cg positiv tin qu s l mismo qu l d l ngtiv, p qu l átomo sult nuto. Po ot pt, s dmit como ly fundmntl d l ntulz l consvción d l cg l qu hoy dí no s conoc ningun xcpción. P ntnd st ly fundmntl tnmos n cunt qu l cg léctic s un popidd d l mti, y qu n conjunto l mti s nut, d fom qu cundo s cg un cupo oto tin qu dquii un cg igul y d signo contio. Dspués d psnt lguns cctístics d l cg vmos v como fontmos su studio. P simplific utilizmos l concpto d cg puntul. P compnd st id podmos pns n ots situcions como ls siguints. Al consid un núclo tómico lo psntmos po un sf pquñ, po somos cpcs d v lmnt un núclo?, s un hcho qu s imposibl vlo, d hí qu p nosotos l núclo tómico s un cg puntul. Considmos ho l péndulo léctico, si poco poco nos vmos ljndo d él, psmos d considlo como un sf d un diámto pcibl un sf más pquñ p pcnos finlmnt un punto, y oto tnto podmos dci dl bolígfo qu usábmos n l scul p t los pdcitos d ppl. Es, qu l ntulz o l tmño dl núclo, dl bolígfo o dl péndulo, ví sgún lo vmos nosotos?, l spust s vidnt. Cundo hblmos d cgs puntuls, como n mcánic cundo hblmos d ms puntul, stmos dicindo qu dsd nusto punto d obsvción ls dimnsions dl objto son dspcibls, y lo tommos como un punto gomético qu pos cg, s lo qu dnominmos: cg puntul. Distibucions continus d cg. Hst ho hmos mpldo cgs qu podímos supon s ncontbn pfctmnt loclizds y spds d ots, qu hmos dnomindo cgs puntuls. L lidd nos llv l xistnci d gions n ls qu ls cgs s ncuntn muy cc uns d ots d mn qu mcoscópicmnt ls vmos como un continuo, n s gión podmos dfini un función qu nos d l vlo d l cg n cd punto, n s gión dimos qu xist un distibución continu d cg. En los csos ls, como ocu n l ionosf o con l plsm gndo n un cmpn d Elctostátic n l vcío I -

4 Fundmntos Físicos d l Infomátic vcío, nos ncontmos con l xistnci d un cg q distibuid n un volumn τ. Si l distibución fu unifom n todo l spcio considdo, podímos cctizl dicindo qu xist un dnsidd volúmic d cg constnt l gión, dd po l xpsión. ρ = q τ Poblm 1.- El dio mdio dl núclo d zuf (númo tómico 16) s poximdmnt cm. Suponindo qu l cg léctic st unifommnt distibuid n l núclo, clcul l dnsidd d cg n C m -. Dtos Llmmos q l cg dl lctón, cuyo vlo sbmos qu s ( ) Cg dl núclo (q) = q = = c 1 15 Rdio d l sf () = cm = Volumn d l sf ( τ ) = π = m m Suponindo qu l núclo s un sf, si l cg stá unifommnt ptid n ll, l dnsidd volúmic d cg s: ρ = dq, como nos dicn qu l distibución s unifom, podmos scibi: ρ = -18 q.56 1 s dci: ρ = -44 dτ τ = c m c ρ = c m A difnci d l situción dscit ntiomnt n l qu l cg stb unifommnt distibuid n l gión dl spcio considd, lo noml s nconts situcions n ls qu l cg no s distibuy d mn homogén. P cctiz l distibución s pciso d l vlo d l dnsidd d cg ρ( ) n todos y cd uno d los puntos ( ) d l gión. L dnsidd d cg sá l cg qu xist n cd punto (considndo como tl l volumn lmntl qu lo od) ρ( ) = lim q = dq τ τ dτ sindo dτ un lmnto d volumn cntdo n l punto y dq l cg lmntl contnid n dτ. L cg totl n l volumn s ntoncs: q = dq = ρ( ) dτ τ τ Figu Volumn lmntl dτ qu od un punto n l spcio Elctostátic n l vcío I - 4

5 Fundmntos Físicos d l Infomátic Poblm.- L dnsidd d cg d un nub lctónic n l stdo fundmntl dl átomo d hidógno vin ddo po l función q ρ( ) π =, sindo q l cg dl lctón y l dio d l pim óbit d Böh. Clcul l cg totl. Dtos q Dnsidd d cg ρ( ) = π Si l dnsidd d cg vin dd po l xpsión Q = ρ dτ q ρ( ) = π, l cg totl sá:, P hc st intgl dbmos ncont l lmnto difncil d volumn qu nos pmit gn l sf. Como l dnsidd d cg vin xpsd como un función d l distnci l cnto dbmos hc qu s l dio l qu nos mqu l cciminto dl lmnto d volumn, s dci l lmnto d volumn sá un coon sféic d nchu infinitsiml, cuyo volumn s: 4π d. Po tnto l cg sá: q Q = =. Tomndo como límits d intgción los vlos xtmos π π d 4q ( 4 ) d dl dio qu pmitn gn l sf, s dci l dio viá dsd l vlo hst l infinito, lugo dbmos clcul: d. L intgl l hmos po pts, llmndo u =, dv = d, tndmos du = d; v =, codndo: u dv = uv v du, tndmos: d = ( ) - ( d ) p clcul l sgund intgl volvmos plic l intgción po pts. D nuvo hmos dv = d y ho tommos como u =, con lo qu: v =, y du = d, po tnto: d = - = + = + + l plic l gl d Bow, obtnmos: = 4q, po tnto l cg totl sá: Q =, s dci: Q = q Elctostátic n l vcío I - 5

6 Fundmntos Físicos d l Infomátic Qu nos xps qu l cg totl d l nub lctónic dl hidógno s l cg dl lctón, como spábmos Existn situcions n ls qu s ncunt cg s ncunt distibuid n un gión τ n l qu un d sus dimnsions s mucho mno qu ls ots dos, s dci s pud consid qu l cg stá distibuid n un supfici. En st cso s más cómodo cudi l concpto d dnsidd supficil d cg dfinid como dq σ( ) = ds d fom qu s cumpliá qu l cg totl s: q = σ( ) ds Figu 4 Supfici lmntl qu od un punto n un plno cumpliéndos tmbién qu l cg totl vng dd po S Análogmnt, pud consids un distibución d cg lo lgo d un lín y cudiímos su cctizción mdint l dnsidd linl d cg λ = dq dl q = λ dl L El cso limit s qul n qu l cg totl st concntd n un gión d dimnsions dspcibls, lo qu, como y hmos dicho, s dnomin cg puntul. Est s, po jmplo, l cso d un lctón o d un potón, qu si bin ocupn un gión finit, dsd un punto d vist mcoscópico, p dimnsions tn pquñs como ls citds ( 1-15 m) pudn s considdos como puntos gométicos. Intcción nt cgs. Ls ccions qu uns cgs vn liz sob ots, s vn pon d mnifisto po ls fuzs qu s vn jc nt lls. Vmos studi como s llgó l ctul fomulción d l intcción nt cgs siguindo un dsollo históico comnzndo con l cso más sncillo l fuz qu s jcn nt sí dos cgs qu nos vin dd po: Ly d Coulomb. L fomulción d ls intccions nt cgs puntuls s llvó cbo n 1785 po Coulomb mplndo un blnz d tosión, si bin, podímos dci, po dl un cáct intuitivo, qu l oign d st ly xpimntl fu lizd con l yud d dos péndulos lécticos cgdos, dispustos n l mism hoizontl. D l xpinci s ddujo qu l fuz qu pcí n ls cgs cumpl: Elctostátic n l vcío I - 6

7 Fundmntos Físicos d l Infomátic Tin l dicción d l lín qu un ls cgs. El módulo s popocionl l vlo d mbs cgs. Pud s tctiv o pulsiv sgún l signo d ls cgs. Sindo tctiv p cgs d distinto signo y d pulsión p cgs dl mismo signo. Es dl tipo cción-cción, con lo qu l fuz F 1 qu jc q sob q 1 s igul n mgnitud po d sntido opusto F 1, sto s: F = F 1 1 Vi con l distnci d fom invsmnt popocionl su cuddo. Lo qu s fomul mtmáticmnt como: F K q 1 q 1 = u 1 d1 sindo F 1 l fuz qu jc l cg q 1 sob l q, d 1 l distnci nt mbs cgs, y u1 un vcto unitio n l dicción dfinid po ls cgs y n l sntido d q 1 q. El vlo d l constnt K (constnt léctic) vi sgún l sistm d unidds utilizdo. En l Sistm Intncionl (SI) vl y sus unidds son Nwton mto culombio - (N m C - ). Est xpsión, qu s plicbl sólo dos cgs puntuls, s pciso gnlizl p pod consid situcions n ls qu pcn distibucions discts o continus d cgs. En l cso d un distibución disct d cgs puntuls, cd un d ls cgs intccioná con tods ls dmás, con lo qu qudá somtid vis fuzs. P l studio d sts situcions cptmos qu s cumpl l pincipio d supposición qu stblc qu l fuz sob un d ls cgs sá l sum d ls fuzs qu indpndintmnt jzn ls stnts. Po tnto, l fuz qu ctú sob un cg (q), po l cción d vis (q i ), vndá dd po: F n q i = K q ' i= i u i Poblm.- En los vétics d un tiángulo quiláto d ldo "" s colocn cgs "-" y n l cnto s coloc l cg "Q >. Cuál db s l vlo d Q p qu l fuz sob culqui d ls cgs ngtivs s nul?. Dd l simtí dl poblm, si l fuz qu ctú sob un cg d ls situds n un vétic s nul lo sá l qu ctú sob culqui d ls dmás. Considmos un culqui d lls (po jmplo l situd n l vétic B ), l fuz qu ctú, sá l sum d ls fuzs dbids ls dmás cgs (tnto ls - como l Q ), ls dbids ls dl mismo signo sán pulsivs y l dbid Q tctiv. Si l fuz totl qu ctú s nul, lo sán ls sums d ls componnts d ls Figu 1 d poblms Ts cgs n los vétics d un tiángulo Elctostátic n l vcío I - 7

8 Fundmntos Físicos d l Infomátic fuzs sgún los js. Tommos como j X l dfinido po l sgmnto CB, n sts condicions l fuz dbid l cg situd n l vétic C sá positiv y stá contnid n dicho j, l fuz dbid l cg situd n A fomá un ángulo d con l j X y l dbid l cg Q, situd n l cnto, fomá un ángulo π d π 6 con l smij ngtivo. Vmos los vlos d ls componnts d ls fuzs. P llo clculmos pvimnt l vlo d l distnci d l cg Q l vétic B. Sbmos qu n un tiángulo quiláto su bicnto s su otocnto, s dci qu l punto O distá dl vétic / d l ltu, y ést po Pitágos s: cnto sá: OB =. EJE X ( ) F C = FC = K X E ( ) = = K E cos π K E = F A X FA cos π ( ) Q = = KE = cos π 6 F Q X F Q cos π 6 K E h = Q, lugo l distnci l vétic dl Si l componnt X db s nul s cumpliá: K KE E + K + E Q K E = = ; s dci: Q Q = EJE Y ( F C ) Y ( ) = F A π F sn Y ( ) = A = K π E sn = KE π F Q F sn Y Q = Q = KE sn = 6 6 π K E Q Figu d poblms Composición d ls fuzs F A y F C qu ctún sob l cg situd n B y su sultnt K Si l componnt Y db s nul s cumpliá: + E K E Q + = ; s dci: Q = Qu como s lógico nos poduc l vlo d Q qu hmos obtnido con l componnt X. Q = Elctostátic n l vcío I - 8

9 Fundmntos Físicos d l Infomátic Hst quí hmos considdo l fuz qu ctú sob un cg puntul po xisti ots cc d ll. Considmos ho l cción d un distibución continu d cgs sob un cg puntul. Aplicmos d nuvo l pincipio d supposición, s dci, lizmos l sum d fctos poducidos po cd lmnto difncil d cg, qu podmos consid como un cg puntul. Suponindo qu s tt d un distibución d cgs n volumn, cd lmnto difncil d cg pud xpss como dq = ρ dτ, con lo qu tndmos: d F = Kq ρ ( ) τ u τ sindo u un vcto unitio n l dicción dfinid po cd lmnto d volumn considdo y l cg puntul. D l mism fom podmos consid distibucions linls o supficils d cg, n cuyo cso hbá qu consid l intgl d lín o supfici spctivmnt. Al inici l studio d l intcción nt cgs léctics cuimos su compción con l intcción gvittoi, y cbmos d compob qu l xpsión d l fuz qu s jc sob un cg po st ot psnt (ly d Coulomb) tin un gn similitud foml con l ly d Gvitción Univsl ( F G M m g = u ) qu nos d l xpsión d l fuz sob un ms dbid ot situd n sus poximidds. Psmos v ls nlogís y difncis d mbs lys: Ambs fuzs son dl tipo cción-cción. Ambs vín con l invs dl cuddo d l distnci qu sp los scls. Sin mbgo, pc un difnci fundmntl y qu: L fuz léctic pud s tctiv o pulsiv sgún s l ntulz d ls cgs. L fuz gvittoi simp s tctiv. Admás, dbmos slt l gn difnci nt los ódns d mgnitud d los módulos d mbos tipos d fuzs Poblm 4.- Comp l fuz léctic y l gvittoi nt dos lctons Dtos Cg dl lctón (q ) = 1.6x 1-19 C Ms dl lctón (m ) =. x 1-1 Kg Constnt d gvitción Univsl (G) = 6.67 x 1-11 N m - kg Constnt léctic K = 9 x 1 9 N m C - L fuz gvittoi nt dos mss sbmos qu vl F G G M = m u, sindo l distnci qu ls sp Elctostátic n l vcío I - 9

10 Fundmntos Físicos d l Infomátic y u un vcto unitio cuyo sntido s d un ot ms. L fuz lctostátic nt los dos lctons sá l fuz d Coulomb, s dci F K Q q E = E u, sindo l distnci qu ls sp y u un vcto unitio cuyo sntido s, n st cso, l d pulsión d un ot ms. Un vz compdos los sntidos d ls dos fuzs, qu n st cso son opusts, l s ls cgs dl mismo signo, vmos comp los módulos d ls misms. L mjo fom d complos sá clculndo su lción, F codndo qu l constnt léctic n l sistm Intncionl vl 9 1 9, tnmos: E KE q = sustituyndo FG G m FE obtnmos: = = Lo qu nos dic qu: FG l fuz d ntulz léctic s 4 ódns d mgnitud supio l gvittoi. Cmpo léctico. D nuvo vmos comp ls intccions nt mss y nt cgs léctics, p nliz si s pudn utiliz n l cso d ls cgs lgunos concptos dfinidos p ls mss, con su cospondint modificción, dbido l cmbio d popidd d l mti considd. En l cso d ls mss, sbmos qu s pud dfini l cmpo gvittoio cdo po un ms, unqu n gnl nos solmos limit consid d mn spcífic l cmpo gvittoio tst, s dci l cdo po l Ti. Esto s dbido dos zons, po un pt stmos inmsos n él y nosotos mismos sntimos sus fctos, y po ot los otos cmpos gvittoios cdos po cupos d nustos ntonos tinn fctos qu, n cont d lo qu sucd con l cmpo gvittoio tst, pns podmos xpimnt n nosotos mismos. Estmos costumbdos l xistnci dl cmpo gvittoio dbido l Ti. Qu sbmos, s pon d mnifisto po l fuz (n st cso simp d tcción) qu l Ti jc sob culqui objto con ms situdo n sus poximidds, po so todos los cupos bndondos n l i cn. L psntción dl fnómno l hcmos mdint un cmpo vctoil. Est cmpo, unqu simp xist, sólo s obsv po l moviminto oigindo, po cción d l fuz, n l cupo con ms. El cmpo qu mplmos p modliz l fnómno gvittoio s un cmpo vctoil cuys dimnsions son ls d un fuz po unidd d ms, (scl sob l qu s dtct su xistnci). Est fuz s clcul como l poducto dl vcto cmpo n l punto, multiplicdo po l ms dl objto (vlo dl scl sob l qu vmos los fctos dl cmpo, y solmos scibi: F m g g = Elctostátic n l vcío I - 1

11 Fundmntos Físicos d l Infomátic El cmpo gvittoio dl qu stmos hblndo, stá cdo po un ms (l d l ti) y, p dtct su psnci mplmos ot ms. Esto qui dci qu si bin n culqui punto d nusto ntono xist l cmpo gvittoio, no lo dtctmos si n s punto no colocmos un scl dcudo p qu sob l pzc l fuz gvittoi. P dtct l cmpo tst, no mplímos nomlmnt un yo d luz po ntnd qu no tin ms. Podmos ctu d l mism fom con l fnómno léctico intnt dfini un cmpo, l léctico, cdo po un cg. Mntnindo l pllismo con l cmpo gvittoio, buscmos dfini tmbién un cmpo vctoil. El vcto qu cctiz l cmpo tndá ls unidds d un fuz dividid po l scl sob l qu ctú l fuz (l cg), y qu po tnto sá: E = lim q F q, q > Vmos nliz l xpsión ntio. En pim lug, dbmos tn clo, qu l cmpo léctico no s un fuz. El cmpo léctico s pon d mnifisto po l pición d un fuz, como l ocuí tmbién l cmpo gvittoio. P qu podmos dtct s fuz, dbmos coloc un cg léctic, como p dtct l cmpo gvittoio, lo hcímos vindo l fuz qu s jcí sob un cupo con ms. Si bin n l cso dl cmpo gvittoio tst s difícil pci qu l fuz jcid sob un ms dpnd d su posición, n cunto pnsmos n l Ly d Gvitción univsl plicd los plnts ntndmos qu l fuz s distint n cd posición. Cundo tnmos un cg Q sbmos qu si colocmos ot cg q pc sob ll un fuz, qu dpnd d l distnci nt mbs, po tnto l vi l posición d l cg q l fuz qu pc sob ll viá, lo qu n téminos d cmpo léctico signific qu l vcto cmpo h vido, po tnto, l cmpo léctico dpnd dl punto qu considmos. En st sntido, s dfin cmpo léctico como l gión dl spcio n l qu l coloc n un punto culqui, un cupo con l popidd dcud (cg léctic) pc un fuz sob st cupo. En l xpsión qu nos h svido p dfini l cmpo, no hmos tnido n cunt qu l fnómno léctico s psnt sob cgs positivs o ngtivs, y l sntido d sus fctos s l opusto p un tipo d cgs qu p l oto. P dfini l dicción y l sntido dl vcto qu dfin l cmpo, tommos como sntido dl cmpo n cd punto, l qu sguií un cg positiv colocd n él.. En l xpsión hmos mpldo l límit dl cocint (fuz/cg) cundo l cg s muy pquñ y positiv. Pdimos qu l cg s muy pquñ fin d qu no modifiqu l vlo dl cmpo n l punto qu stmos considndo y n sus ccnís. D lo ntio s dduc qu l cmpo cdo po un cg puntul n un punto culqui dl spcio P, tndá l fom: Elctostátic n l vcío I - 11

12 Fundmntos Físicos d l Infomátic E = K Q u sindo Q l cg qu c l cmpo, l módulo dl vcto qu un l cg Q y l punto P n l qu qumos conoc l cmpo (l distnci d l cg l punto) y u un vcto unitio n s dicción, su sntido vndá dtmindo po l dl moviminto qu tndí un cg positiv colocd n l punto P. Cmpo léctico cdo po un distibución puntul d cgs. Usndo d nuvo l pincipio d supposición, l xpsión dl cmpo n un punto culqui dl spcio, P, dbido vis (n) cgs puntuls vndá dd po l sum d ls contibucions l cmpo d cd un d ls cgs, s dci: n Qi E = K u i i= 1 sindo Q i cd un d ls n cgs gndos dl cmpo, i l módulo dl vcto posición qu un cd un d lls y l punto P, y u i un vcto unitio n cd un d ss diccions, cuyo sntido, como simp, vndá ddo po l qu tndí l moviminto d un cg positiv colocd n l punto P si sólo xisti l cg Q i, lo qu hc ncsi l sum vctoil d los sultdos obtnidos. i Poblm 5.- Ts cgs puntuls d 1-9 C, s sitún n los vétics d un cuddo d cm d ldo. Hll l módulo, l dicción y l sntido dl cmpo léctico n l vétic vcnt dl cuddo. Dtos Ldo dl cuddo () = cm =. m Vlo d cd cg (q) = 1-9 C El vlo dl cmpo cdo po cd cg sá: E = K q E u, sindo l distnci d l cg l punto n l qu qumos clcul l cmpo, y u un vcto unitio n s dicción qu l s cgs positivs, tndá po sntido l slint d l cg. Figu d poblms Rpsntción d los cmpos dbidos cd cg n l punto D Los vctos cmpo gndos po ls cgs tndán l posición psntd n l figu. Po tnto l clcul l cmpo totl gndo po l distibución dbmos compon los ts cmpos. P clcul su módulo tndmos n cunt: - L distnci dsd l vétic D los vétics B y C sá igul l ldo dl cuddo (), l módulo dl cmpo dbido mbos sá l mismo. - Al s un cuddo, l distnci nt los vétics opustos ( A y D ), sá: Elctostátic n l vcío I - 1

13 Los cmpos sán: E K q C E,, u = CD E K q B = E u BD E y E E Fundmntos Físicos d l Infomátic = K q ( ) u A E AD Al s los módulos d los cmpos B C iguls, su sum fomá un ángulo d con cd uno d llos, o lo qu s lo mismo tndá l mism dicción y sntido qu l dbido l cg colocd n l vétic A, s dci sgún l vcto u AD. Po tnto l vcto cmpo, qu sá l sum vctoil d los ts cmpos qu hmos clculdo, sá l cmpo dbido l cg situd n A más l sum d los cmpos dbidos ls cgs situds n B y C qu llvá l mismo sntido qu qull. EB + EC = EB cos π = K q E. Po tnto l cmpo 4 n l punto D ( E D ) sá: E K q 1 D = E + u AD π 4 E = 1, 9 K q u D AD Cmpo léctico cdo po un distibución continu d cgs. Si ncsitmos conoc l cmpo dbido un distibución continu d cgs, zonmos d mn simil como hicimos p dtmin l fuz dbid un distibución d cgs no puntuls. Tommos un cg lmntl (dq) qu d nuvo podmos consid como un cg puntul, clculmos l vlo dl cmpo dbid ll y plicndo l pincipio d supposición, summos los fctos d tods ls posibls cgs lmntls n ls qu subdividimos l distibución continu, s dci lizmos un sum continu (intgción) d ls contibucions. Dsd l punto d vist foml l solución s sncill, y l xpsmos como: d E = K ρ τ ds u ; E = K ; τ u σ dl E = K Σ u λ l sindo ρ, σ y λ ls dnsidds d cg volúmic, supficil y linl spctivmnt y llmndo τ, Σ y l l volumn, l supfici y l lín sob ls qu s distibuy l cg. Poblm 6.- Clcul l cmpo cdo po un lín ct infinit unifommnt cgd con un dnsidd linl d cg λ, n un punto qu dist d ll. Qu l punto dist d l lín cgd dfin un ppndicul ll qu nos sviá d j d fnci. Sbmos clcul l cmpo cdo po un cg puntul, lugo dbmos convti l lín cgd n un si d puntos, y con yud dl tom d supposición clcul sí l cmpo cdo po l distibución. Considmos l cg puntul dbid un lmnto d lín d longitud dl, qu dá lug un cmpo de 1 cuyo λ vlo s: de K dl ; po oto ldo, l s infinit l distibución pc un simtí d fom qu po cd R u 1 = 1 Elctostátic n l vcío I - 1

14 Fundmntos Físicos d l Infomátic dl qu considmos n l mitd supio d l smict cgd, xistiá un -dl n l smict ngtiv, qu gná un cmpo dl mismo módulo, si bin sá distint su dicción. Componindo mbos cmpos tndmos: de = de1 + de ; de λ dl = K cosα u, sindo un vcto unitio ppndicul u R l lín. λ dl El cmpo, qu stmos buscndo sá: E = K cosα u. R Si más qu mi l figu nos dmos cunt qu: l distnci R, l ltu l y l ángulo α, no son funcions indpndints, y qu únicmnt s constnt y conocid. Tnindo n cunt qu: cos α =,, obtnmos: ; po R tg l α = R = ; R = cos α cos α oto ldo: l = tgα, difncindo, obtnmos: dl d α =, cos α sustituyndo n l vlo dl módulo dl difncil d cmpo obtnmos: λ cos α K de = K cosα dα ; de = λ cosα dα qu y sólo cos α Figu 4 d poblms Composición d los cmpos lmntls dbidos los difncils d cg considdos. s función dl ángulo d obsvción d l smict, qu viá dsd hst π, lugo l módulo dl cmpo π K λ K sá: E = λ cos α dα = =. [ snα ] π λ K Finlmnt, l cmpo léctico vndá ddo po: λ E K u = Ly d Guss Mdint l ly d Coulomb hmos clculdo l cmpo léctico dbido un cg y un distibución disct o continu d cgs (y s n volumn, supfici o lín), lo qu podmos ntnd como un lción dl cmpo con sus funts. Aho ttmos d ncont ot lción nt l cmpo léctico (conctmnt su flujo) y ls funts qu lo gnn. Pvimnt vmos cod l dfinición d flujo d un mgnitud vctoil tvés d un supfici S, plicdo l cso d un cmpo léctico. Considmos un cmpo léctico n l spcio psntdo po sus líns d cmpo y un supfici cd S culqui tl como s must n l figu 5. Dividmos l supfici n pquñs pocions, lo suficintmnt pquñs p qu podmos supon cd un d lls como un supfici pln, d fom qu, n todos los puntos d cd un d lls, l cmpo léctico no ví pciblmnt ni n módulo, ni n dicción, ni n sntido. Sbmos qu Elctostátic n l vcío I - 14

15 Figu 5 Rpsntción d ls líns d cmpo qu tvisn un supfici cd Fundmntos Físicos d l Infomátic cd supfici lmntl qu hmos constuido l podmos sign un vcto supfici qu sá ppndicul ll cuyo sntido sá slindo dl volumn y módulo l á d l supfici. Si tommos uno d stos lmntos d supfici, po jmplo l j-ésimo, l qu signmos l vcto sj, l poducto scl dl vcto cmpo n él po su vcto supfici E s, s un númo l qu llmmos flujo dl vcto cmpo tvés d l poción d supfici s j. Sumndo l flujo tvés d tods ls pocions, obtnmos l flujo totl tvés d l supfici S, qu sá un mgnitud scl: φ = E j sj. Si ls pocions ls hcmos más y más pquñs, l j sum djá d s disct p convtis n continu, s dci n un intgl d supfici. φ = E ds. S Como jmplo vmos clcul l vlo dl flujo dl cmpo cdo po un cg puntul q tvés d un supfici sféic, d dio, cntd n l cg. El módulo dl vcto cmpo léctico n cd punto d l supfici sféic vldá: K q Po oto ldo, l vcto supfici sbmos qu s ppndicul n cd punto l supfici, s dci, sá dil, lugo l poducto scl sá l poducto d los φ = E ds módulos d los vctos: = supsf E ds = K = q ds supsf sf K q ds sup sup K q ( 4 π ) = = 4π K q., su dicción y sntido sán dils. sf Figu 6 Rodmos l cg q po un sf d dio. En cd punto d l supfici, los vctos cmpo y supfici son dils Como si mntnmos l tminologí qu hmos mpldo hst ho, nos v pc l témino 4π n muchs d ls cucions impotnts dl lctomgntismo, xpsmos l constnt léctic como 1, d mn qu pc un nuv constnt 4 π ε ε l dnominmos pmitividd diléctic dl vcío, cuys unidds sán ls invss ls d l constnt léctic. Con st sustitución l flujo dl cmpo léctico tvés d un supfici sféic vin ddo j j Elctostátic n l vcío I - 15

16 Fundmntos Físicos d l Infomátic q po: E ds = qu s l nuncido dl tom d Guss sf ε En l cso n qu l supfici cd qu considmos odndo l cg no s sféic, podmos dmost (v dsollo n l nxo I) qu l flujo totl tvés d l supfici, sá l mismo qu tvés d l supfici sféic si sólo xist l cg q colocd n su cnto, q lo qu scibimos como: E ds = Σ ε Po oto ldo, si n lug d un cg puntul tnmos un distibución d cgs, podmos sum l contibución d cd cg l flujo totl tvés d l supfici cd, po lo qu podmos scibi: E ds = Σ n q 1 i ε Poblm 7.- Ts cgs d 1-9, 1-9, y -1-9 C, stán situds spctivmnt n los puntos (1,1,1); (1,,); (1,,1) Clcul l flujo dl cmpo cdo po st distibución tvés d un cubo cuyos vétics stán situdos n los puntos (,,); (,,); (,,); (,,); (,,); (,,); (,,); (,,). Aplicndo l tom d Guss, sbmos qu l flujo dl cmpo léctico s l sum d ls cgs ncds n l volumn dividid po. Como ls ts cgs s ncuntn dnto dl cubo consid, l flujo sá: E ds = ( 1 ) ε cubo 9 1 = =.6 1 C m Acbmos d v n un jmplo qu l cálculo dl sgundo mimbo d l xpsión dl tom d Guss s n muchos csos fácil, vmos mpl st fcilidd p clcul l cmpo léctico n un punto dl spcio dbido un distibución d cg. Como l vcto cmpo s ncunt n l pim mimbo d l cución como un fcto dl poducto scl d dos vctos, dbmos pns n un fom sncill d liz s poducto scl, lo qu nos llv l ncsidd d lgi un supfici qu ps po l punto y qu l vcto supfici s p cd punto d ll ppndicul o pllo l vcto cmpo. Como conscunci d lo qu cbmos d dci, dbmos conoc cul sá l fom (dicción y sntido) dl cmpo n cd punto dl spcio p lgi sí l supfici dcud qu pmit clcul E ds, d modo qu l tom d Guss sólo nos dá l módulo dl Σ vcto cmpo léctico un vz qu spmos como s su dicción y sntido, lo qu nos oblig pns n ls simtís dl cmpo p ncont l supfici dcud l cso. Po tnto l Tom d Guss sólo sá útil p clcul l cmpo léctico si xist lgún tipo d simtí Poblm 8.- Clcul, mplndo l tom d Guss, l cmpo cdo po un lín ct infinit unifommnt cgd con un dnsidd linl d cg λ, n un punto qu dist d ll. Elctostátic n l vcío I - 16

17 Fundmntos Físicos d l Infomátic Si qumos mpl l tom d Guss, p clcul l cmpo dbmos busc como supfici gussin un supfici cd qu tng l mism simtí qu l distibución, p qu sí l módulo dl vcto cmpo s l mismo n todos los puntos d l supfici gussin. En st cso l lín ct infinit, l supfici con simtí qu od st distibución podí s, n pincipio, un cilindo o un pism cto, cuyo j s l lín cgd. Sin mbgo, no tin sntido consid l pism pus los puntos d ls cs ltls no quidistn dl j, y n conscunci l módulo dl vcto cmpo no pud s l mismo, considmos, po tnto un cilindo cuyo j s l lín infinit cgd, y cuyo dio s l distnci l qu qumos clcul l cmpo. El tom d Guss stblc qu: E ds = Σ ε q ncd. Clculmos l vlo d cd uno d los mimbos. L intgl tvés d l supfici cd, sá l sum dl vlo d l intgl tvés d cd bs más l intgl tvés d l supfici ltl: E ds = E ds + E ds + E ds. cilindo bs 1 bs sup lt El cmpo cdo po l distibución sá noml l lín, pus po cd lmnto d cg qu considmos lo lgo d l lín podmos ncont oto simético él spcto d un sgmnto ppndicul l ct qu ps po l punto. Po tnto s nulán ls componnts plls l lín y qudán solmnt ls componnts ppndiculs, como hmos visto n l solución dl poblm 6. En totl, l cmpo sá d l fom indicd n l figu E = E u. ( ) bs 1 En l bs 1, l vcto supfici s noml ll y diigido hci ib ds1 = ds u, como l vcto cmpo s hoizontl E = E u, su poducto scl sá nulo. E ds1 =. bs En l bs, l vcto supfici s noml ll y diigido hci bjo ds = ds u, como l vcto cmpo s hoizontl E = E u, su poducto scl sá nulo. E ds =. Figu 5 d poblms Supfici cilíndic qu tommos como supfici d Guss Supfici ltl En cd punto l vcto supfici iá diigido sgún l dio qu l un l cospondint punto dl j dsl = ds u, lugo sá pllo l cmpo: E ds = E ds. Po tnto sólo tndmos qu clcul l intgl xtndid l supfici ltl: v E ds = E ds, po ddo qu sup lt sup lt todos los puntos d l supfici ltl quidistn dl j, l módulo dl vcto cmpo sá constnt, y tnindo n cunt l vlo d l supfici ltl dl cilindo, obtnmos: E ds = E ( π h ). sup lt Elctostátic n l vcío I - 17

18 Fundmntos Físicos d l Infomátic Clculmos ho l sgundo mimbo d l cución, s dci, l cg ncd po l supfici gussin. Si l distibución s unifom, l cg ncd sá l qu tng l tmo d lín qu stá incluid n l supfici λ h cilíndic qu hmos considdo, po tnto: λ h. Igulndo los dos mimbos, obtnmos: E ( π h) = ; s ε 1 λ dci, E =. Como y sbmos l dicción y l sntido dl cmpo podmos scibi: π ε 1 λ E = u π ε Qu coincid con l vlo obtnido po intgción dict cundo sustituimos l vlo d l constnt 1 λ 1 λ léctic, K = n l xpsión obtnid: E = K u = 4π ε 4π ε u Potncil léctico Dd l gn similitud foml qu hmos compobdo qu xist nt l xpsión dl cmpo gvittoio y l léctico, vmos v ho, si s pcido nos pmit tmbién hbl d un potncil p l cso léctico. D s sí podmos tbj con un cmpo scl dl qu div l cmpo léctico con l vntj qu supon pod op con l potncil (un únic función d l posición) n vz d hclo con l cmpo vctoil (ts funcions d l posición p pod conoc n cd punto l módulo l dicción y l sntido), y cundo ncsitmos conoc l cmpo vctoil lo podmos clcul pti d st potncil. Vmos qu ocu cundo nos dsplzmos dnto d un cmpo léctico p busc un xpsión pti d l qu s pud dfini un función scl lciond con l cmpo léctico. Supongmos qu nos dsplzmos dsd un punto A oto B siguindo un lín. En cd uno d los puntos d st lín l cmpo tin un vlo E qu s pud consid constnt n un difncil d cmino dl. Llmmos ciculción dl vcto cmpo E dl, d fom qu l ciculción lo lgo d tod l lín léctico l sum d los poductos s F dl. lin P clcul st intgl d lín vmos stblc n pim lug un cmino qu, n pincipio s muy buscdo po qu sá muy útil p pod busc fácilmnt l intgl lo lgo d culqui cuv. Tzmos dos cts qu ptindo d l cg cdo dl cmpo, psn po los puntos A y B, como s must n l figu 7 y dibujmos l co d cicunfnci con cnto n l cg, limitdo po ls cts. El cmino qu vmos consid st fomdo po dos tmos, l pimo pt d A y sigu l co d cicunfnci, con cnto n l cg, hst l punto C, qu s ncunt n l ct dtmind po l punto B y l cg. El sgundo tmo v d C B siguindo l ct qu los un. Elctostátic n l vcío I - 18

19 Fundmntos Físicos d l Infomátic P clcul l ciculción dl cmpo nt los puntos A y B, po l cmino indicdo, tndmos qu clcul l ciculción n los dos tmos, y sum los sultdos obtnidos. Tmo A-C P clcul l ciculción cmino n l tmo. C E dl A dbmos sb como son los vctos cmpo y El cmpo n todos los puntos d st tmo, tndá l 1 q mismo módulo, y qu todos los puntos 4π ε A quidistn d l cg n l dio dl co, l sntido vndá ddo po un vcto unitio dil u, qu sá distinto n cd punto y stá diigido hci l infinito si l cg s positiv. El dsplzminto n cd punto sá un vcto d módulo dl y l sntido sá tngnt l tyctoi y diigido hci C. Figu 7 P i dsd l punto A l punto B, tzmos un co con cnto n l cg qu ps po A, lo qu nos dfin l punto C El poducto scl d los vctos cmpo y cmino sá l poducto d dos vctos ppndiculs (simp l dio y l tngnt son ppndiculs), lugo l ciculción C n st tmo sá nul: E dl = A Tmo C-B 1 q Aquí l vcto cmpo sá: E = u, sindo l distnci dl punto considdo 4π ε l cg, y u un vcto unitio contnido n l smict qb y diigido hci l infinito. El vcto cmino sá: dl = d u, sindo u l mismo vcto qu nos db l sntido dl cmpo y d l vición sufid po l dsplzminto qu lo sá lo lgo d l lín po l qu nos movmos. En todo st mo los vctos cmpo y cmino son pllos, lugo su poducto B B q d scl, sá igul l poducto d los módulos, po tnto: E dl = = C C π ε 4 B B q d q 1 q 1 1 = =, tnindo n cunt como hmos 4π ε C 4π ε C 4π ε B c dfinido l punto C, C y d A, son l mism mgnitud (mbos son l dio dl co Elctostátic n l vcío I - 19

20 Fundmntos Físicos d l Infomátic cntdo n l cg qu ps po mbos puntos), como l punto A s l dfinido inicilmnt po l poblm qu hbímos plntdo, l ciculción dl cmpo léctico, B q 1 1 n st tmo, l podmos scibi: E dl =. C 4π ε A B L ciculción dl cmpo nt A y B po st cmino, vldá l sum d los sultdos obtnidos n los dos tmos n qu lo hmos dscompusto. B C B q 1 1 q 1 1 E dl = E dl + E dl = + =. A A C 4 4π ε A B π ε A B Vmos clcul ho l ciculción dl cmpo dsd A hst B siguindo oto cmino, si bin vmos lgi un cmino simil l ntio (figu 8). Aho, tzmos un tc lín qu pt d l cg, y s ncunt nt ls cospondints los puntos A y B, y tzmos dos cos d cicunfnci, uno qu ps po A y llgu l nuv lín y oto qu pso po B y llgu tmbién l nuv lín. Los xtmos d stos cos dfinián n st nuv lín los puntos D, E y F spctivmnt. El cmino qu considmos ho stá fomdo po 4 tmos: AD, DE, EF y FB, y dbmos clcul l ciculción n cd uno d llos y sum los sultdos obtnidos. Siguindo los zonmintos nálogos l cso ntio, s llg los siguints sultdos: Tmo A-D El cmpo s dil y tin l módulo constnt igul : 1 π ε 4 q A Figu 8 Aho l cmino p i dsd A l punto B, lo hmos dfinindo los puntos D, E y F con cos d cicunfncis d cnto n l cg El cmino sá, n cd punto un vcto tngnt l cicunfnci y diigido hci D, lugo ppndicul l cmpo. D E dl = A Tmo D-E El vcto cmpo vl n cd punto: E = 1 π ε 4 q u, y s pllo l ct dtmind po DE, y po tnto l vcto dsplzminto con lo qu l poducto scl d los vctos cmpo y cmino, sá l poducto d los módulos, lugo: Elctostátic n l vcío I -

21 E E q E dl = D D 4 π ε q π ε D E Tmo E-F d Fundmntos Físicos d l Infomátic E E q d q 1 q 1 1 = = = = = 4π ε D 4π ε D 4π ε E D Tmo F-B Igul qu n l tmo A-D, los vctos cmpo y cmino son ppndiculs, po F tnto E dl = E Igul qu n l tmo D-E, tnindo n cunt los nuvos puntos inicil y finl lugo: B B B B q d q d q 1 q 1 1 E dl = = = = = F F π ε 4π ε F 4π ε F 4π ε B F 4 q π ε F B En totl, l ciculción dl cmpo nt A y B po st cmino, vldá: B D E F B q 1 1 E dl = E dl + E dl + E dl + E dl = A A D E F 4π ε D E q 1 1 4π ε F B q 1 1 q 1 1 = +. 4π ε D E 4π ε F B En l figu pud compobs qu l distnci nt l cg y cd uno d los puntos A y D ( A y D ) s l mism: ( A = D ), ocuindo igul con ls distncis nt l cg y cd uno d los puntos E y F ( E = F ). Sustituyndo stos vlos n l xpsión d l ciculción tnmos: B E dl A B q 1 1 q 1 1 q 1 1 = + ; E dl = 4π ε A E 4π ε E B A 4π ε A B qu s l mismo sultdo qu hbímos obtnido yndo po l oto cmino. A pti d st sultdo podmos compob qu podmos ccnos l fom d un cuv culqui tnto como qumos, sin más qu tz más dios qu ptn d l cg. Po tnto, l sultdo qu hmos obtnido s gnlizbl p culqui cmino qu tommos p i d un punto oto. Podmos dci qu l ciculción dl cmpo no dpnd dl cmino s dci qu Elctostátic n l vcío I - 1

22 Fundmntos Físicos d l Infomátic l cmpo léctico s consvtivo. L xpsión qu hmos obtnido n l cálculo d l ciculción p i d A B dl cmpo léctico nos sviá p dtmin l potncil léctico n los puntos dl cmpo. Si similmos dictmnt l ciculción nt dos puntos con l difnci d potncil nt llos, dbid un cg puntul, tndímos qu: El potncil léctico n un punto ví con l invs d l distnci l cg. Lo qu signific qu si l cg s positiv, myo distnci l cg, mno potncil n l punto. L xpsión obtnid no nos pmit hbl d potncil n un punto, sólo podmos hbl d difnci d potncil nt dos puntos dl spcio. Figu 9 Nos podmos hc l fom d un cmino culqui con tmos d dios y d cicunfncis d cnto n l cg P l potncil cdo po un cg puntul, podmos hbl d potncil n un punto si tommos como oign d potncil un punto muy distnt d l cg, n nusto cso A (unqu sto solmnt pud hcs n l cso n qu no xistn cgs n l infinito). En st cso l potncil cdo po un cg positiv n un punto ccno B sultí ngtivo. P subsn st cicunstnci s dfin l potncil léctico como l ciculción dl cmpo cmbid d signo. Po tnto, l vición d potncil nt dos puntos A y B dl cmpo, cdo po un cg puntul, vndá dd po: B VB VA = E dl q 1 1 = = - = A 4π ε A B q 1 1 4π ε B A q y l potncil n un punto: V( ) = 4 π ε Potncil cdo po un distibución d cgs. Si l cmpo stá cdo po un distibución disct o continu d cgs, podmos plic l pincipio d supposición p obtn l potncil. En l cso d un distibución disct, cd un d lls stá situd n un punto cctizdo po su vcto d posición ' i. En totl tndmos p l difnci d potncil nt los puntos A y B: Figu 1 L posición d ls cgs vndá dd po los vctos ' i Elctostátic n l vcío I -

23 V B - V A = 1 i= n 1 1 q i 4π ε i= 1 ' ' B i A i Fundmntos Físicos d l Infomátic Si no xist cg n l infinito, y lo podmos tom como oign d potncils, V( ) = y podmos scibi qu l potncil n un punto sá: ( A A ) V( ) = 1 n 4π ε i= 1 q i ' i. En l cso d un distibución continu d cg, ls podmos disctiz considndo como cg puntul l ncd n un volumn lmntl ( dτ' ), d fom qu dq = ρ d τ', con lo qu l sum disct s convtiá n continu, l distibución d potncil sá: V( ) = 1 4π ε τ' ρdτ' ' Po tnto, n gnl, l cmpo lctostático s un cmpo consvtivo, qu div d un B potncil qu clculmos como: VB VA = E dl. Como conscunci d todo lo ntio, hmos visto qu l cmpo lctostático s pud dscibi po un función scl V qu st dfinid n todo l spcio xcpto po un ( ) constnt. L dscipción dl cmpo po un potncil psnt l vntj d simplific los cálculos l ho d conoc sus ccions. A Poblm 8.- Dtmin si l cmpo vctoil ( ) = ( x + yz) i + ( y + zx) j + ( z + xy) k un cmpo lctostático dtminndo l distibución d potncil cospondint. pud psnt El cmpo vctoil ddo stá dtmindo n todos los puntos dl spcio, po tnto pud xisti cg n l infinito, y no podmos hbl d potncil n un punto, sino d difnci d potncil nt dos puntos. P v si podmos ncont un xpsión p st difnci d potncil vmos si podmos ncont un xpsión d V A - V B, qu vndá dd po: B V A - V B = E dl, sindo un vcto cmbio d posición culqui, pus l difnci d potncil no pud A dl dpnd dl cmino qu mplmos p llg dsd un punto oto. Po tnto podmos scibi: dl dx i + dy j + dz k E dl sá: = ;con lo qu: = ( x + yz ) i + ( y + zx ) j + ( z + xy ) k dx i + dy j + dz k, y l distibución d potncils ( ) ( ) Elctostátic n l vcío I -

24 B B V A -V B = E dl = = A ( ) ( x yz dx y zx ) dy ( z xy ) dz A = [ ] x xyz y xyz z xyz B A Est xpsión pmitiá clcul l difnci d potncil nt dos puntos. Fundmntos Físicos d l Infomátic Dipolo léctico A mnudo nos vmos ncont un socición d cgs sncill fomd po dos cgs léctics iguls, po d signo contio, spds un distnci pquñ spcto d l d obsvción. Est socición d cgs cib l nomb d dipolo léctico y su studio sul sult intsnt n l studio d l mti. El dipolo s cctiz po su momnto dipol qu s un vcto qu tin po módulo l poducto d l cg po l distnci qu sp ls cgs, dicción l d l ct qu un ls cgs y sntido dsd l cg ngtiv hci l positiv. Ddo qu ls dimnsions dl momnto dipol son cg distnci ls unidds n l Sistm Intncionl (SI) sán culombios mto (C m). Exist un unidd páctic l Dby, cuyo oign stá ligdo l pim utilidd qu s dio l studio d los dipolos: l conociminto d l mti. Su lción con l unidd dl SI s: 1Dby =. 1 - C m. Figu 11 Esqum d un dipolo El dipolo c un cmpo léctico sultnt dl cdo po cd un d ls dos cgs. Ls xpsions mtmátics dl cmpo léctico y l potncil cdos po l dipolo n un punto, hcindo l poximción qu supon qu l distnci d obsvción s muy gnd compd con l qu sp ls cgs, lo qu pmit un dsollo n si d l xpsión dl potncil, son p l potncil léctico y l cmpo: V = p u 4π ε, p >>d E = 1 4π ε p ( ' ) ( ' ) ' p ' 5 Como pud pcis, sts xpsions son bstnt difnts ls obtnids n l cso d cgs puntuls. L difnci más significtiv s qu l potncil s invsmnt popocionl l cuddo d l distnci dl dipolo l punto (no invsmnt popocionl como ocuí n otos csos), y l cmpo invsmnt popocionl l cubo d l distnci (y no l cuddo). Esto nos hc compnd po qu, n ningún cso, pud consids l dipolo como un cg puntul y s pciso tn n cunt su momnto dipol. Elctostátic n l vcío I - 4

25 Fundmntos Físicos d l Infomátic Acción d un cmpo léctico sob un dipolo Pticulmnt intsnt sult l cso d un dipolo ígido (l conjunto d ls dos cgs mntin su distnci), cundo s ncunt n l sno d un cmpo lctostático. Considmos un dipolo, como l psntdo n l figu (l cg positiv n l punto A, l ngtiv n B, spds un distnci d ), d momnto dipol p = q d. Cundo s ncunt n l sno d un cmpo lctostático E, cd cg s vá somtid l cción d un fuz d vlos: F+ = ( + q ) E ( A ), F = ( q ) E ( B ), sindo E( A) y E( B) los cmpos xistnts n ls posicions d ls cgs positiv y ngtiv spctivmnt. L fuz sultnt sá: F = F+ + F = q E( A) E( B) [ ] Al s l dipolo ígido, sts dos fuzs stán plicds n puntos difnts, con lo qu pcá un p d fuzs, cuyo momnto sultnt (tomndo momntos spcto dl punto B ), sá: M = d F = q d E( A) = p E( A) En totl, si l cmpo no s unifom, l dipolo s vá somtido po un pt l cción d un fuz d st (sultnt d ls fuzs), qu lo dsplzá n sntido d los cmpos ccints, y po ot pt, l s d momnto no nulo poduciá un gio qu lo ointá n l sntido dl cmpo. Figu 1 El cmpo léctico jc fuzs d distinto sntido sob cd cg dl dipolo Si l cmpo qu ctú s unifom ( E ), l fuz sultnt sá nul F = q[ E E] =, y l momnto (qu sá indpndint dl oign d momntos) sá: M = p E. Es dci un cmpo unifom no dsplzá l dipolo, si bin lo há gi ointándolo n l sntido dl cmpo ctunt. Elctostátic n l vcío I - 5