EL POTENCIAL ELECTRICO

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1 punts d físic II. Cp. 4 l potncil léctico [email protected] 118 Cpítulo INTRODUCCION. L POTNCIL LCTRICO n st cpítulo s intoduci oto tipo d cmpo llmdo potncil léctico, o simplmnt potncil. l cmpo léctico stá dfinido como l fuz po unidd d cg, y como l fuz s un cto, s un cmpo ctoil. S dfin l potncil como l ngí potncil po unidd d cg, y como l ngí potncil s un scl, s un cmpo scl. Dbido qu s un scl, n ocsions s más consjbl su uso qu l d, y como s á, uno d llos s pud obtn dl oto. D hcho l lción nt y s nálog l qu ist nt un fuz consti y l ngí potncil qu ll socid. 4. DIFRNCI D POTNCIL Y POTNCIL LCTRICO. n un cmpo léctico tno s coloc un cg d pub q, sob l cul s jc un fuz léctic F q. Si s plic un fuz tn qu hc qu s cg st n quilibio, dich fuz db s tl qu Ft q. l tbjo hcho po l gnt tno p mo l cg d pub n quilibio dsd hst b lo lgo d l tyctoi qu s must n l figu 4.1 s, b b W F dl q dl b t 4.1 Figu 4.1 L intgl d l cución 4.1 cib l nomb d intgl d tyctoi o intgl d lín. Pusto qu l fuz q poducid po l cmpo lctostático s consti, st intgl d lín s indpndint d l tyctoi nt y b. l tbjo W b s popocionl l cg q. Si s diid st tbjo po l cg d pub s obtin l tbjo po unidd d cg. st cntidd s l llm difnci d potncil, b -, nt b y. sto s: W b q b 4.

2 punts d físic II. Cp. 4 l potncil léctico [email protected] 119 Qu d cudo con l cución 4.1 s tin b b dl. 4.3 L cución 4.3 sólo dfin un difnci d potncil. s dci, únicmnt tinn impotnci ls difncis n, po lo tnto s pud dfini l potncil n un punto dtmindo d tl mn qu tng culqui lo connint. Usulmnt, s tom l potncil n l infinito como co. ntoncs, l potncil n un punto P s simplmnt: P P dl Po l considción d qu. P cd punto P hy un lo dl potncil P ; sto s, l potncil s un cmpo scl. Dpndindo d l distibución d ls cgs, l potncil P pud s positio, ngtio, o co. Si l potncil s positio n un cito punto; d cudo con l cución 4.4 l cmpo léctico liz un tbjo ngtio po unidd d cg, lo cul indic qu l cg d pub h pimntdo un fuz d pulsión. Po lo tnto, l potncil cc d un cg positi s positio. si l potncil s ngtio ocu ntoncs lo contio. Si l potncil s co n lgún punto, l cmpo léctico no liz ningún tbjo l mo l cg d pub dsd l infinito, unqu l cg d pub hy psdo po un gión dond pimntó fuzs léctics d tcción o d pulsión. sto signific qu n un punto d potncil co, no ncsimnt l cmpo léctico n dicho punto s co. P l cso ntio l mjo jmplo, s l d dos cgs iguls y d signo contio. l potncil n l punto intmdio nt lls s co. Po l cmpo n s punto s difnt d co. Si s conoc l potncil dl punto spcto dl infinito y b dl punto b spcto dl infinito, l difnci d potncil s l dd po l cución 4.3. l potncil n b pud s myo qu, mno qu, o igul qu l potncil n. Po jmplo, si b - >, l cmpo léctico liz un tbjo ngtio po unidd d cg d pub confom l cg d pub s mu n quilibio d hst b. Pusto qu l difnci d potncil s un mdid d l ngí, l unidd dl SI dl potncil s jouls sob coulomb, dfinido po un unidd spcil, l olt (bido ): 1olt 1joul/1coulomb 11J/1C l olt o oltio db su nomb l cond lssndo olt ( ), quin fu pofso d físic n l Unisidd d Pí, Itli. olt inntó l pim dispositio cpz d popocion un coint léctic continu, l pil léctic o btí. 4.3 DIFRNCIS D POTNCIL N UN CMPO LCTRICO UNIFORM. Como l difnci d potncil s indpndint d l tyctoi qu s sig, l tbjo p ll un cg d pub nt dos puntos y s l mismo po culqui tyctoi. st hcho s dbido qu l cmpo lctostático s constio. 4.4

3 punts d físic II. Cp. 4 l potncil léctico [email protected] 1 n l figu 4. s considn dos situcions n l cul s mu un cg d pub n psnci d un cmpo léctico unifom. Figu 4. n l pim cso, ist un cmpo léctico unifom diigido lo lgo dl j y ngtio. plicndo l cución 4.3 s clcul l difnci d potncil nt los puntos y, l cul s: dl dlcos dl d l sultdo must qu > s dci cc d hy un distibución d cg positi o cc d un distibución d cg ngti. Ls líns d cmpo léctico simp puntn n l dicción dccint dl potncil léctico. n l sgundo cso, más gnl s consid l situción d un ptícul cgd qu s mu nt dos puntos y n psnci d un cmpo léctico unifom lo lgo dl j, como n l figu 4. b). D cudo con l cución 4.3 s tin : dl dl s Dond s h scdo d l intgl pusto qu s constnt. dmás, l difnci d potncil d l cución ntio s pud scibi como. scosθ d D l figu s pud qu - C -. Po lo tnto, C. s dci, los puntos y C stán l mismo potncil, o s, ptncn un mism supfici compust d un distibución continu d puntos qu stán l mismo potncil léctico. st supfici cib l nomb d supfici quipotncil. L lín C s d st tipo d supfici. Po lo tnto l intgl. 4.4 POTNCIL LCTRICO D CRGS PUNTULS. C dl L figu 4.3 psnt l cmpo dil d un cg puntul positi q, y l lín continu nt los puntos y s cit tyctoi biti qu un stos puntos. l cmpo léctico n un lmnto d longitud dl d l tyctoi fom con st un ángulo θ. L intgl cuilín d, dsd hst s:

4 punts d físic II. Cp. 4 l potncil léctico [email protected] 11 Figu 4.3 dl dlcosθ l lo dl cmpo léctico n mgnitud p culqui s y d l figu s tin qu K q d dl cosθ. L difnci d potncil pud pss como d K q K q 1 1 Kq 5.5 Po consiguint, l intgl dpnd solmnt d ls distncis dils y y no d l fom d l tyctoi lo lgo d l cul s clcul qull. sí, si l tyctoi s l d tzos, l intgl d lín nt y s l mism qu l oiginl. Si s clcul l intgl d lín dsd hst po culqui cmino, su lo s 1 1 Kq s l mism intgl d l cución 4.5, po con signo ngtio. Po lo tnto, s dduc, qu l intgl cd lo lgo d l lín continu d junto con l lín d tzos d, s igul co. O s, dl 4.6 C

5 punts d físic II. Cp. 4 l potncil léctico [email protected] 1 Qu signific qu l intgl cuilín dl cmpo léctico, lo lgo d culqui tyctoi cd situd n un cmpo lctostático, s nul. n ots plbs l cmpo léctico d un cg puntul s un cmpo constio. s común lgi como fnci un punto dond l potncil s co, p st cso s scog, lo qu implic qu. Con st lcción, l potncil léctico dbido un cg puntul culqui distnci d l cg s K q 4.7 st cución must qu l potncil s positio si q s ngti, y ngtio si lo s q. L cución 4.7 must dmás, qu l potncil s constnt cundo lo s, po lo tnto, s concluy qu ls supficis quipotncils (supficis sob ls culs s constnt) p un cg puntul isld s componn d un fmili d sfs concéntics con l cg como s á ms dlnt. Cundo hy dos o más cgs puntuls l potncil léctico n un punto P culqui dbido st distibución s obtin plicndo l pincipio d supposición. s dci, l potncil totl n P s l sum d los potncils dbidos ls cgs indiiduls. l cul s qi K 4.8 i i dond, l difnci d potncil s mdid spcto l infinito y i s l distnci dl punto P l cg q i. Nóts qu l sum n l cución 4.8 s un sum lgbic d scls y no un sum ctoil qu s l qu s us p clcul l cmpo léctico d un distibución disct d cgs. jmplo 1. Hll l potncil léctico n l punto P, l cul s hll ubicdo n l punto mdio d uno d los ldos dl cuddo d l figu 4.4. l cuddo s d ldo y n cd étic tin sus spctis cgs con sus signos. S plic l pincipio d supposición. l potncil n l punto P s l potncil poducido po l sum d los potncils d cd un d ls cgs P 4 i 1 i Figu 5.4

6 punts d físic II. Cp. 4 l potncil léctico [email protected] 13 Ls distncis d ls cgs situds n 1 y 3 l punto P son /. P ls ots dos cgs son ( ) K q K q 5 5 P Cunto l l potncil n l cnto d l distibución?. 4.5 POTNCIL DIDO UN DIPOLO. 1. Kq Como s io n l cpitulo 3 un dipolo léctico los constituyn dos cgs iguls, q, d signo contio, spds un distnci. l momnto d dipolo léctico s un cto qu punt d l cg ngti l positi y tin un mgnitud pq. l potncil léctico d un dipolo n un punto P dl spcio qu no sté dmsido cc d st, s clcul pti d l figu 4.5. Usndo l cución 4.8 s tin L cul s un lción ct. Figu K q Kq Cundo >> ls siguints lcions s dducn poimdmnt d l figu 4.5. P st cso l potncil s: 1 1 cosθ y, 1 K q cosθ K p cosθ 4.9 l potncil léctico d un dipolo í como - n lug d -1 qu s l cso d un cg puntul. l potncil s máimo positio y ngtio p θ y θ π spctimnt y co p θ π. P st último cso s dduc qu no s ific

7 punts d físic II. Cp. 4 l potncil léctico [email protected] 14 tbjo p t un cg d pub dsd l infinito lo lgo d un ppndicul bisctiz l dipolo. 4.6 POTNCIL LCTRICO D UN DISTRIUCION CONTINU D CRGS. L cución 4.8 pud s tnsfomd p obtn l potncil cdo po un distibución continu d cg. P llo s diid l distibución continu n un númo infinito d cgs pquñs q i, ttndo st lmnto como un cg puntul (figu 4.6), l potncil s: Figu 4.6 N qi K lim K N i 1 q i dq 4.1 dond l intgción s tind tod l distibución d cg y s l distnci qu hy dsd dq l punto P dond s lú l potncil. st psión p mpl como nil d fnci co n l infinito. jmplo. Dtmin l potncil cdo po un disco dlgdo d dio, con dnsidd supficil d cg σ, n los puntos d su j como n l figu 4.7. Figu 4.7 S diid l disco n nillos d ncho dy, d fom qu l á d cd uno d llos s π ydy, y su cg dq σ ( π ydy). Po lo tnto l potncil poducido po l nillo s: d K dq K σ π ydy + y

8 punts d físic II. Cp. 4 l potncil léctico [email protected] 15 πσk ydy + y Hcindo u + y s tin qu du ydy y l intgl qud [ u] + du + πσ K πσk. u D sto sult ( ) πσ K + jmplo 3. Un tozo d lmb no conducto d longitud finit L tin un cg totl q, distibuid unifommnt lo lgo d ll. Hll l potncil n l punto P n l ppndicul bisctiz n l figu 4.8. Qu sucd cundo L. l lmnto d longitud dq Figu 4.8 λ d. Pusto qu l lmnto stá un distnci + y d P, l potncil n P dbido st lmnto s d K λd + y intgndo st psión s tin K λ d + y d L L K L λ + y Usndo tbl d intgls s tin K λ ln( + + y ) L lundo s ncunt:

9 punts d físic II. Cp. 4 l potncil léctico [email protected] 16 Kλ ln L L + + y 4 y P L l logitmo dig, p hll l potncil s ncsio hc lguns modificcions. S scib p l cso d st limit l potncil como Dfinindo K limln L L λ + + y K L λln( y ) 4 b K lim ln L L () λ + + y K limln() L b λ b 4 Po lo tnto l difnci d potncil nt l punto P y l infinito s pud ps como ( b) K λ ln( y) () Dfinindo l difnci d potncil nt un punto qu s hll un distnci R dl lmb y l infinito como ( R) ( b) K λ ln( R) (b) y como s st intsdo únicmnt n difncis d potncil, s obtin l difnci d potncil nt l punto P y l punto d fnci R simplmnt stndo d l cución () l cución (b). Po lo tnto st difnci s ( ( b)) ( ( R) ( b)) ( R) K λ ln( y) + K λ ln( R) y ( R) Kλ ln R P st cso s scog l nil d fnci co p l potncil n R1, lo qu d (R1). Po tnto, s tin qu l potncil mdido spcto st nil d fnci s K λ ln( y) Lo qu lmnt s h hcho s l pocso d nomliz l potncil. Db hcs not qu n st cso l potncil no s co n l infinito. jmplo 4. P l lmb d cg q unifommnt distibuid con fom d co d cicunfnci d dio R y qu subtind un ángulo θ como n l figu. Hll l potncil léctico n l punto P.

10 punts d físic II. Cp. 4 l potncil léctico [email protected] 17 Figu 4.9 l potncil mdido spcto l infinito p st distibución s con K q q dq λ dl ( ) Rdθ dθ, ntoncs θ R θ K q θ R θ dq R dθ K q R dond s h tnido ncunt p l intgción l simtí dl lmb. jmplo 5. Dtmin l potncil cdo po un sf unifommnt cgd d dio, con dnsidd olumétic d cg ρ, n los puntos >, y <. Figu 4.1 P > l cmpo léctico K q u$ tin simtí sféic. P obtn l potncil n un punto tio, como n C n l figu 4.9, s sustituy n l cución 4.4. dl K q u du C $ ( $ ) d 1 K K K q

11 punts d físic II. Cp. 4 l potncil léctico [email protected] 18 st sultdo s fmili, pus, s quilnt l poducido po un cg puntul. O s, p > l distibución d cg s pud mplz po un cg puntul situd n l cnto d l distibución. Pusto qu l potncil db s continuo n, s pud obtn l potncil n l supfici d l sf pti d l psión obtnid ntiomnt. ntoncs l potncil n l punto d l figu s K q P < s tin qu l cmpo léctico s dil y st ddo po K q u $ 3 y qu l sustituilo n l cución 4.3 s tin p l intio l difnci d potncil - dd po K q u du K q d K q ( $ ) $ 3 3 ( 3 ) sustituyndo n l ntio psión, s obtin dd po K q 3 p < n n l ntio psión s obtin. 3 n s obtin l potncil K q. 4.7 NRGI POTNCIL LCTRIC. S dfin l ngí potncil léctic d un distibución d cgs puntuls como l tbjo qu hy qu hc p fom s sistm d cgs tyndo un un ls cgs dsd un distnci infinit. S supon qu inicilmnt ls cgs s ncuntn n poso n l infinito, o s, l ngí cinétic inicil s co. Figu 4.11 n l figu 4.11 s supon qu q st n l infinito y n poso. l potncil léctico n l punto dond db st q, s l poducido po q 1, ddo po 1 K q 1 1 Si s t q n quilibio dsd l infinito hst 1, l tbjo qu s qui s igul l ngí potncil U dl sistm fomdo po dos ptículs cundo ésts stán spds po un distnci 1 como n l figu 4.1. Po lo tnto, l ngí potncil d st sistm s

12 punts d físic II. Cp. 4 l potncil léctico [email protected] 19 U q K qq Si un tc cg q 3 s t n quilibio dsd l infinito un posición 13 d l cg q 1 y un posición 3 d l cg q, l tbjo qu s qui s igul l ngí potncil léctic U dl sistm fomdo po ls ts ptículs cgds, ddo po U K qq 1 qq 1 3 qq y sí sucsimnt si s tn dl infinito n cgs p fom un sistm, l ngí potncil d dicho sistm st dd po U K 1 n i 1 n 1 j 1 q q i ij j 4.13 dond tmino. j i y l ½ cospond l hcho qu n l sum s pit dos cs l mismo Ls ntios cucions sugin l dfinición d un nu unidd d ngí, conocid como l lctonolt. Un lctonolt, s igul l tbjo lizdo sob un ptícul d cg cundo s l mu tés d un difnci d potncil d un olt. ntoncs s tin qu un lctonolt s 1( C)(1) J. jmplo 6. n los fmosos pimntos d dispsión d Ruthfod qu llon l modlo plntio dl átomo, ls ptículs lf ( cg +, ms kg) s dispon cont núclos d oo(cgs +79). Un ptícul lf inicilmnt muy ljd dl núclo d oo s disp.1 7 ms -1 dictmnt hci l cnto dl núclo. Qué tnto s cc l ptícul lf st cnto nts d gss?. Si l ptícul lf st muy ljd y l blnco stá n poso l ngí inicil dl sistm s tod cinétic y stá dd po i 1 m α Cundo l ptícul lf lcnz l máimo ccminto l blnco tod l ngí dl sistm s potncil léctic y stá dd po f K q α q blnco Po consción d ngí dl sistm i f, ntoncs K q q α blnco mα

13 punts d físic II. Cp. 4 l potncil léctico [email protected] 13 9 (91 Nm C )()(79) (6.61 kg)(1 ms ) m 4.8 OTNCION DL CMPO LCTRICO PRTIR D. Si l cución 4.7 s l sc l did con spcto s obtin d d d K q q K d Compndo 4.14 con l cución 3. dl ntio cpitulo s not qu l mgnitud dl cmpo léctico lo lgo d s y n gnl, s obtin d 4.15 d 4.16 signific numnt gdint. Po consiguint, l cmpo léctico s l dond gdint con signo ngtio dl potncil léctico. Un cmpo ctoil, como l cmpo léctico, sign un cto cd punto. Un cmpo scl como, sign un númo cd punto. n mtmátics, l gdint d un cmpo scl, tl como l potncil léctico, s un cto qu punt n dicción n l qu l cmpo scl í con myo pidz. Su mgnitud s l pidz máim d cmbio dl cmpo scl. st (l cmpo scl) s ppndicul l gdint y no cmbi. L lción nt l cto cmpo léctico y l potncil léctico s l dd po l cución Qu n coodnds ctsins s: uˆ + uˆ y + uˆ z y z dmás, si s conoc n todos los puntos dl spcio, s pudn dibuj ls líns d fuz; dspués s pud dibuj un fmili d quipotncils tzndo supficis nomls ls líns d fuz. sts supficis quipotncils dscibn l compotminto d. Rcípocmnt, si stá dd como un función d l posición, s pud dibuj un colcción d supficis quipotncils. Ls líns d fuz s pudn ncont ntoncs dibujndo líns nomls ss supficis, qudndo sí dscits ls cctístics d. L figu 4.1 must lgunos jmplos d líns d fuz y d ls cospondints supficis quipotncils.

14 punts d físic II. Cp. 4 l potncil léctico [email protected] 131 Figu 4.1 jmplo 7. Obtn l cmpo léctico p l potncil hlldo n l jmplo. l cmpo n un punto P culqui lo lgo dl j s obtin plicndo l cución 4.16 n coodnds ctsins. l potnci léctico s un función únicmnt d l coodnd, po lo tnto l did lo lgo d s totl. Po consiguint d d σ d d ( π K ( + ) ) π σ K 1 + Ls ots componnts como y y z son co po simtí. P obtn l cmpo dl plno infinito s pud hll dictmnt d l ntio cución simplmnt hcindo tnd. π σ K L cmpo léctico s constnt n mgnitud y punt ppndiculmnt slindo dl plno. jmplo 8. l potncil léctico n cit gión s (4z 5y + 3z ). Dtmin l mgnitud dl cmpo léctico n (,-1,3), dond tods ls distncis stán n mtos. (, y, z) 4z 5y + 3z ( uˆ ˆ ˆ + u y + u z ) y z 4zuˆ 5uˆ + (4 + 6z) uˆ ) ( y z

15 punts d físic II. Cp. 4 l potncil léctico [email protected] 13 (, 1,3) (1uˆ l cmpo n mgnitud p sos puntos s: 5uˆ y + 6uˆ ) m z ( 1) ( 6) y z m 9.1m Hll l dicción qu stá dd po los cosnos dictos. jmplo 9. Hll l cmpo léctico dl dipolo d l scción 4.5 pti d l cución 4.9. l clculo n coodnds ctsins qud p qu l studint l dsoll. L cución 4.9 cospond l potncil n coodnds pols o s Figu 4.13 ) ( uˆ θ u ˆ + θ pk 3 cosθ 1 θ θ pk snθ 3 sts dos componnts stán ilustds n l figu. unqu n un dipolo léctico, po s ls dos cgs iguls, l cg nt s co, l ligo dsplzminto qu hy nt lls s suficint p poduci un cmpo léctico difnt d co. 4.9 POTNCIL D UN CONDUCTOR ISLDO. Cundo un conducto isldo pos un cg n cso, l cg sid n l supfici tio dl conducto. S pud sgu qu l cg nt q s distibuy n s supfici d tl mn qu todos los puntos dl conducto, incluyndo tnto los d l supfici como los dl intio, tinn l mismo potncil. Considmos dos puntos culsqui y dnto dl conducto o n su supfici. Si no stuin l mismo potncil, los potdos d cg n l conducto cc dl

16 punts d físic II. Cp. 4 l potncil léctico [email protected] 133 potncil más bjo tndín mos hci l punto d potncil más lto. Cundo s lcnz l stdo d quilibio, dbn dspc tods ls coints. Po lo tnto todos los puntos, tnto n l supfici como n l intio dl conducto, dbn tn l mismo potncil. Pusto qu l supfici dl conducto s un supfici quipotncil, l cmpo p todos los puntos db s ppndicul ll. Como l potncil d un conducto isldo s constnt ntoncs s nulo n todos los puntos intios dl conducto. cundo constnt. Figu 4.14 L figu 4.14 must un sf sólid d dio R y cg positi Q. l cmpo léctico fu d l sf cgd n mgnitud s K Q y punt dilmnt hci fu. l potncil n l intio y n l supfici d l sf db s K Q R spcto l infinito. P culqui punto >R l potncil K Q. L figu 4.14 must l cmpo y l potncil léctico como un función d. Finlmnt notmos, qu l dnsidd d cg tind s myo n supficis conductos islds, cuyos dios d cutu sn pquños, y lo mismo ocu l ins. L dnsidd d cg tind s ltimnt lt n ls punts y mno n ls gions plns d supficis conductos. L intnsidd dl cmpo léctico n puntos colocdos ib d un supfici cgd s popocionl l dnsidd d cg supficilσ, d mn qu pud lcnz los muy ldos cc d punts filds. Un plicción s qu los pyos s constuyn con punts filds p nutliz ls nubs cgds y sí it los yos.