Modelación de la Máquina de Inducción.

Transcripción

1 Capítulo : Modlación d la Máquina d Inducción..1 La ncsidad d nuvos modlos d la máquina d inducción. En l capítulo s psntaon a gands asgos, ts métodos paa la dtminación d modlos matmáticos d sistmas físicos. Estas técnicas son d gan utilidad paa la psntación dl compotaminto dinámico o d égimn pmannt d los convtidos lctomcánicos d ngía. Estas mtodologías son pfctamnt aplicadas al caso paticula d la máquina d inducción. La máquina d inducción s uno d los convtidos lctomcánicos más ampliamnt difundidos n la actualidad. Las azons fundamntals paa sta nom populaidad, sidn fundamntalmnt n la conomía d su disño y n su obustz constuctiva. Dsd qu Tsla dsaolló l pincipio d funcionaminto d sta máquina y constuyó los pimos pototipos a finals dl siglo XIX [4], s han dsaollado vaios modlos qu psntan con una pcisión adcuada a las aplicacions pácticas tanto la opación quilibada como dsquilibada, n égimn pmannt y xcitada mdiant funts d tnsión sinusoidal. Duant más d mdio siglo, stas hamintas fuon satisfactoias paa disña, constui y opa stas máquinas, po l dsaollo sostnido d los convtidos lctónicos d potncia, spcialmnt n las décadas d los años ochnta y novnta, hicion ncsaia la utilización d técnicas d modlación más potnts, capacs d analiza l compotaminto d la máquina d inducción n égimn tansitoio, y xcitada con funts no sinusoidals d tnsión o coint. Mas aun, muchos d los contolados lctónicos qu s han adaptado cintmnt a stas máquinas s fundamntan n los nuvos modlos. Los modlos clásicos intptan a la máquina d inducción como un tansfomado con un gado d libtad adicional, l moviminto o gio dl oto. Paa simplifica l análisis d st convtido, la modlación clásica consida qu los fnómno lécticos son mucho más ápidos qu los fnómnos mcánicos. Esta hipótsis dsacopla los subsistmas léctico y mcánico, pmitindo l análisis indpndint d cada uno d llos. En la páctica st azonaminto no simp s válido, n ocasions los fnómnos lécticos y mcánicos tinn constants d timpo similas

2 Po ota pat, la modlación clásica d la máquina d inducción s justifica n vaios hchos conctos tals como qu l sistma léctico industial s casi simp tifásico, pácticamnt quilibado y pos un contnido amónico d poca impotancia, al mnos hasta hac pocos años. Admás, stas máquinas s utilizan n muchas aplicacions, o n un égimn fijo d caga y vlocidad, o n un ciclo d caga qu s considablmnt más lnto qu las constants d timpo dl convtido. El poblma qu plantan los dsquilibios d la d, o las máquinas monofásicas y bifásicas, pudn s analizados aplicando la toía gnal d componnts siméticas instantánas paa sistmas polifásicos [14,76]. Con stas hamintas l disñado d máquinas o accionamintos industials, l planificado, y l opado d una planta disponn d modlos pcisos paa cada uno d sus popósitos. Al intoduci la gulación d la vlocidad d la máquina d inducción mdiant funts contoladas lctónicamnt, cominzan algunas dificultads. Uno d los pincipals poblmas apac cuando s intnta obtn d stos accionamintos caactísticas dinámicas ápidas, smjants a las qu son posibls mplando máquinas d coint continua. Los modlos clásicos pudn s utilizados n pima apoximación, po cuando s intnta obtn mjos caactísticas s ncsaio mjoa stas psntacions. Apac ntoncs la ncsidad d modlos más pcisos, dond s poduzcan las caactísticas tansitoias y dinámicas d la máquina d inducción alimntada po funts d tnsión o coint no ncsaiamnt sinusoidals. Po ota pat, l vtiginoso dsaollo d los micopocsados, d los contolados pogamabls y d los sistmas d adquisición d datos, hicion posibls la supvisión, stimación y contol n timpo al d las vaiabls intnas o mdibls d la máquina d inducción. Estos modlos admás d incmnta la pcisión, y tn la capacidad d analiza los pocsos tansitoios y dinámicos, dbn s sob todo muy ápidos. Los modlos clásicos d la máquina d inducción s obtinn nomalmnt d la aplicación dicta d las cuacions d Maxwll, a una gomtía simplificada [,51,5]. Con la infomación spacial d la máquina, filtada mdiant citas hipótsis simplificativas, s posibl la intgación analítica d stas cuacions. Aplicando la ly d Ampè.6, n una tayctoia cada y la ly d Gauss paa - -

3 l campo magnético.8, s obtin la fuza magntomotiz FMM y la intnsidad d campo magnético H, cuando s dspcia la vaiación tmpoal d la dnsidad d campo léctico D, qu n las máquinas d tnsions industials s vaios ódns d magnitud infio a las dnsidad d coint J d disño. La dnsidad d campo magnético B, s obtin d la lación constitutiva.10, considando qu la coint inyctada n las bobinas s la vaiabl indpndint. Con la ly d Faaday.5 y la ly d Gauss paa l campo léctico.7, s calcula l campo léctico E, y su intgación n la tayctoia d las bobinas d la máquina dtmina las fuzas lctomotics gnadas sob los dvanados dl stato y dl oto d la máquina. Las lys d Maxwll combinadas dtminan l modlo cicuital clásico [49]. A st modlo s l incluyn sistncias paa consida l fcto d las pédidas n los conductos y n l matial fomagnético. El sultado final s un cicuito léctico quivalnt, smjant al cicuito quivalnt dl tansfomado, po con una caga sistiva qu dpnd d la vlocidad dl oto y qu psnta la potncia disponibl n l j mcánico. El análisis dl luga gomético qu dscib la coint dl stato, cuando s utiliza como paámto la vlocidad dl oto, dtmina l diagama d cículo d la máquina d inducción [5]. Est diagama d las coints d la máquina d inducción s utilizaba fcuntmnt n l pasado cuando los métodos d cálculo numéico an más pimitivos. Aunqu n la actualidad sta ncsidad ha sido supada, muchos fnómnos s pudn intpta con gan simplicidad y lgancia mdiant l diagama d cículo. En la década d los cincunta sug l intés po los modlos dinámicos d la máquina d inducción [1,9,54]. Muchas técnicas s habían dsaollado paa l análisis tansitoio d la máquina sincónica; la stabilidad dl sistma léctico d potncia fu l moto qu impulsó st avanc [16,6,6]. Los pimos intntos siguion las mismas idas básicas d la tansfomación d Pak [6,6], po ponto s obsvó qu stos métodos no poducían sultados tan satisfactoios [,76]. La azón fundamntal po la qu stos métodos tinn poblmas paa modla una máquina constuctivamnt más simpl, sid n l gado d libtad adicional qu posn stos convtidos. Mintas qu n la máquina sincónica la posición dl campo sultant stá dfinida po la posición dl oto y la intnsidad d la coint dl stato, n la máquina d inducción la posición dl - -

4 campo magnético sultant dpnd admás d la vlocidad mcánica dl j. Est hcho complica l análisis dinámico d stos convtidos. El dsaollo d un modlo matmático d la máquina d inducción n coodnadas pimitivas s una taa lativamnt simpl [1,,67,76]. Sin mbago, l modlo sultant n stas coodnadas dpnd d la posición angula dl oto. Admás, sta dpndncia s no linal. Las máquinas convncionals d inducción pos un númo impotant d bobinas, nomalmnt ts n l stato y ts o más n l oto. Po sta azón, l sistma d cuacions difncials qu dtmina l compotaminto dinámico dl convtido, dpndn d la posición angula dl oto, masiva y no-linalmnt. Analizando l poblma a la luz d los métodos modals [19,48,64], s posibl idntifica las tansfomacions d coodnadas qu ducn l poblma a dimnsions manjabls. Las componnts siméticas instantánas cumpln un papl impotant n st comtido [19,64]. Simplificando l poblma, s posibl adcua las técnicas utilizadas paa psnta l compotaminto dinámico d la máquina sincónica, a la modlación tansitoia d la máquina d inducción. Es ncsaio consida simp la xistncia d un gado d libtad adicional n st caso. Los modlos qu s obtinn finalmnt paa l análisis dinámico y tansitoio d la máquina d inducción son más simpls, compltos y pcisos qu l cicuito quivalnt clásico. A psa d sto, xistn aun citos poblmas pácticos qu s ncsaio solv, y n sa dicción s aliza un sfuzo impotant d invstigación n la actualidad. Duant las dos últimas décadas s han vnido intoducindo nuvos concptos n l áa d las máquinas lécticas, tals como l d los vctos spacials [5], los fasos spials [79] o las coodnada d campo ointado [7,5,75]. Aun cuando n st tabajo no s ptnd discuti la ficacia d stos concptos n la simplificación dl modlo d la máquina d inducción, si s intnta psnta una visión gnal qu idntifica stas idas lativamnt nuvas, con los dsaollos clásicos d tansfomación d coodnadas, qu s vnían utilizando vaias décadas atás [1,,67,76]. Como sultado d sta invstigación s popon un método gnal, fundamntado n los pincipios vaiacionals, l cálculo maticial, y l análisis d la vaiabl complja. Est método simplifica notablmnt l pocdiminto quido po los dsaollos pvios [5,68,69,79] paa obtn l modlo final d - 4 -

5 la máquina d inducción n égimn tansitoio. Los dsaollos popustos han sido aplicados n cusos d pgado y postgado impatidos po l auto, y sus sultados han sido publicados cintmnt [4,1]. Al simplifica l pocdiminto ncsaio paa la dtminación d los nuvos modlos, s pud amplia l alcanc d st tataminto a muchas psonas qu n los póximos años dbán tabaja con stas idas.. Hipótsis simplificativas utilizadas n los difnts modlos d la máquina d inducción. Rpoduci cualqui fnómno físico mdiant un modlo s una taa qu solamnt pud s alcanzada con cito gado d apoximación al compotaminto al. La dinámica d los sistmas físicos dpnd d infinidad d dtalls y condicions, algunos más impotants qu otos. Una dtminada considación o hipótsis pud s muy impotant n algunas aplicacions dl modlo y compltamnt dspciabl n otas cicunstancias. Cuando s dsaolla un modlo concto d la máquina d inducción s ncsaio impon citas condicions, hipótsis, apoximacions y sticcions qu dfinián l ámbito d validz d la psntación obtnida [1,,5]. En los difnts modlos d la máquina d inducción qu s dsaollan n st capítulo, s supon qu l convtido lctomcánico pos una piza fija dnominada stato, solidaia a un sistma d fncia incial, y una piza móvil, dnominada oto. El stato s pácticamnt un cilindo huco d matial fomagnético. El matial s ncunta laminado n la dicción axial y pos anuas n su pat intna, capacs d albga los conductos cospondints a las bobinas d la máquina. El oto s apoximadamnt un cilindo d matial fomagnético. Está laminado n foma smjant al stato, y las anuas po dond pasan las bobinas o las baas d matial conductivo son hlicoidals, con la finalidad d limina los fctos qu poduciía una luctancia vaiabl. El diámto dl oto s ligamnt infio al diámto intno dl stato. La difncia nt stos dos diámtos s dnomina nthio d la máquina y s apoximadamnt constant cuando s dspcia l fcto d las anuas statóicas y otóicas

6 En l oto xist una piza sólida, dnominada j mcánico. S ncunta cntado con spcto al j gomético dl cilindo otóico. Esta piza s l único puto mcánico d la máquina d inducción, y a tavés d él s alizan todos los intcambios d pa y vlocidad con los sistmas xtnos. El j mcánico stá constuido nomalmnt d aco y pos chavtas qu tansmitn l pa cuando s acopla l j con otas máquinas o accionamintos. El oto stá pácticamnt ubicado n l cnto dl cilindo huco dl stato y tin la libtad d gia con una ficción pácticamnt dspciabl. Esto s db a la xistncia d dos o más odamintos mcánicos qu cntan l cilindo dl oto n l intio d la cavidad statóica. En la cacasa s ncunta fijo l stato d la máquina, la caja d conxions y los odamintos qu pmitn l cntado y gio dl oto. El stato d la máquina pos vaias bobinas patidas n sus spctivas anuas. Aun cuando pudn xisti máquinas d inducción con una o dos bobinas, lo más habitual s qu n l stato d la máquina s distibuya un bobinado tifásico d múltipls pas d polos. En cualqui caso l spacio intio d la máquina y d sus anuas, s distibuy po igual nt cada una d las fass y cada uno d los polos. Las bobinas pudn conctas intna o xtnamnt, n difnts combinacions si-paallo paa ajusta la tnsión d la máquina a las tnsions nominals nomalizadas, n las conxions dlta y stlla. El oto d la máquina d inducción pud s d dos tipos, dvanado o d jaula d adilla. Si l oto s dvanado, la stuctua y disposición d sus nollados s smjant a los dl stato. Las bobinas dl oto suln s difnts a las dl stato, poqu l númo y la foma d las anuas dl oto no coincid nomalmnt con la gomtía y cantidad d las anuas dl stato. Es convnint qu los númos d anuas no coincidan paa vita vibacions mcánicas po cambios piódicos d la luctancia. Po sta azón, las anuas dl oto s distibuyn hlicoidalmnt n la pifia dl cilindo. Los otos bobinados pudn o no tn cotocicuitados sus nollados. Los otos d jaula d adilla, posn baas d cob o aluminio n luga d bobinas. Las baas stán cotocicuitadas po dos anillos conductos qu las unn lécticamnt. Los otos d jaula d adilla pudn s d baa pofunda - 6 -

7 o d dobl jaula, sto con l popósito d mjoa l ndiminto d la máquina n l punto nominal incmnta l pa d aclación duant l pocso d aanqu. La coint qu s inycta n cada una d las bobinas dl stato poduc una distibución pácticamnt sinusoidal d la fuza magntomotiz n l nthio. En l nthio d las máquinas als xistn vaias amónicas spacials d la fuza magntomotiz, po la distibución d los conductos n las anuas, duc considablmnt sus magnituds. En cualqui caso, s posibl inclui st fcto n los análisis d la máquina aplicando la dscomposición d la distibución piódica d la fuza magntomotiz n sis d Foui y l pincipio d supposición, simp y cuando l compotaminto dl cicuito magnético d la máquina sa apoximadamnt linal. El matial magnético dl stato y dl oto s ncunta laminado paa duci las pédidas po coints paásitas, sin mbago n st matial s poducn pédidas po fcto Joul y po histésis. Aun cuando n l dsaollo d los modlos no s considan stos fnómnos, s posibl tnlos n cunta postiomnt, incluyndo sistncias adicionals n los cicuitos quivalnts. Algunos modlos pmitn modla la satuación dl matial magnético. Hasta citas intnsidads d campo magnético, la pmabilidad lativa s pácticamnt infinita, y l potncial magnético s consum casi totalmnt n l nthio d la máquina. A mdida qu aumnta la intnsidad d campo, l matial duc su pmabilidad lativa. Los modlos dl convtido lctomcánico qu s dsaollan n st capítulo considan qu xist una lación biunívoca, linal o no, nt la intnsidad dl campo magnético H y la dnsidad dl campo magnético B dl matial fomagnético. La histésis dl matial sólo s tin n cunta dsd l punto d vista d las pédidas qu ocasiona. Los modlos clásicos d égimn pmannt, quilibados o dsquilibados, y los modlos tansitoios o dinámicos d la máquina d inducción ncsitan utiliza un conjunto mínimo d hipótsis qu simplifican azonablmnt l poblma, mantnindo simp un compomiso nt la xactitud y la simplicidad. Las pincipals hipótsis qu s utilizan paa st fin son [1,,5]: - 7 -

8 La máquina d inducción s compon d dos pizas cilíndicas, una fija dnominada stato y ota cntada n su intio, con un diámto ligamnt infio, dnominada oto. S dspcian los fctos d las anuas dl stato y dl oto, con lo cual l nthio d la máquina s pácticamnt constant. Las bobinas dl stato son siméticas, y stán patidas unifommnt n la pifia o manto dl cilindo. Nomalmnt la máquina pos ts fass n l stato, po también s posibl qu n algunas ocasions disponga d tan solo una o dos fass. La distibución spacial d la fuza magntomotiz poducida po las coints inyctadas n cada una d las fass s pácticamnt sinusoidal. Cuando sta hipótsis no s válida paa una máquina n custión, s pud utiliza l pincipio d supposición paa modla la máquina n amónicos spacials, considando qu l matial fomagnético no s satua n l ango d opación. La satuación pud s considada n los difnts modlos, po simp s dspcia la no linalidad intoducida po la histésis. Las pédidas ocasionadas n l núclo magnético po l fcto Joul y po los ciclos d histésis pudn s considadas, incluyndo sistncias adicionals n los cicuitos quivalnts. El oto d la máquina pud s bobinado o d jaula d adilla, po s supon po simplicidad qu l númo d fass y qu l númo d pas d polos dl oto simp coincid con los dl stato. La coincidncia nt l númo d fass dl stato y oto no s ncsaia, po simplifica los modlos. Los otos d jaula d adilla tinn simp cotocicuitadas sus baas.. Modlación dicta d la máquina inducción a pati d lys físicas [50,51,5]. Paa modla la máquina d inducción aplicando dictamnt las lys físicas, s ncsaio comnza con una psntación gomética dl stato qu - 8 -

9 spt las hipótsis dfinidas n la scción antio. En la figua.1 s ilusta l squma gomético básico dl stato. + N i a A tayctoia d Ampè -N i b b c -N i c θ = 0 C B θ j d fncia +N i c a + N i b -N i a Fig..1 Esquma simplificado dl stato d una máquina d inducción tifásica Cada una d las fass d la máquina, s ncunta patida unifommnt n un tcio d la pifia dl stato. Las fass stán fomadas po bobina d N vultas. Los tonos d las bobinas stán spaados 180 lécticos d las spctivas ntada. En la figua.1 s ha psntado l pim pa d polos d la máquina, o n ota palabas s ha dsaollado l stato n ángulos lécticos. La tayctoia d Ampè slccionada, tin n cunta la simtía impusta po la ly d Gauss paa l campo magnético. La fuza magntomotiz sultant n función d la posición angula θ, s pud obtn po supposición d las fuzas magntomotics poducidas po cada una d las fass. En la figua. s psnta mdiant un gáfico la distibución spacial d la fuza magntomotiz d la fas a, utilizando como fncia su popio j magnético

10 Distibución Espacial d la Fuza Magntomotiz - Fas a NI 0 θ -NI Posición angula θ Fig.. Distibución spacial d la fuza magntomotiz d la fas a La fuza magntomotiz ilustada n la figua. s pud dscompon n sis d Foui [44,64]. Dbido a la simtía impa d la función, la fuza magntomotiz s pud xpsa d la foma siguint: 1 N. ia 1 n n FMM a( θ, ia) = cos cos.cosnθ n= 1 n.1 En la figua. s psnta mdiant un gáfico, la distibución amónica spacial d la fuza magntomotiz d la fas a. Las fuzas magntomotics d las fass b y c posn xactamnt la misma distibución spacial qu la d la fas a, po la ointación tin dsfasajs d 10 y 40 spctivamnt, con spcto al j magnético d la fas a. Po sta azón s obtin l siguint sultado: 1 N. ib 1 n n FMM b( θ, ib) = cos cos.cos n θ. n= 1 n 1 N. ic 1 n n 4 FMM c( θ, ic) = cos cos.cos n θ. n= 1 n

11 1 Distibución Amónica d la FMM - Fas "a" 0.75 Amplitud Rlativa Amónica Fig.. Distibución amónica spacial d la fuza magntomotiz d la fas a 5 La fuza magntomotíz sultant s obtin supponindo las fuzas magntomotics d las ts fass obtnidas n las xpsions.1,. y.. La solución dpnd d los valos instantános d las ts coints qu ciculan po cada una d las bobinas dl stato. En st punto s convnint supon qu n las bobinas s inycta un sistma d coints tifásico, balancado, sinusoidal, d scuncia positiva y fcuncia constant. Esta hipótsis simplifica notablmnt l modlo, po también limita su aplicación al análisis n égimn pmannt d la máquina d inducción. El modlo pid validz cuando no s satisfac cualquia d las condicions impustas sob las coints. Paa obtn l modlo clásico d la máquina d inducción, s supon qu po las bobinas dl stato d la máquina d inducción s inyctan un sistma tifásico y balancado d coints d scuncia positiva, tal como s psnta a continuación: a b c () = cos( ω + ϕ) () = cos ( ω + ϕ ) () = cos ( ω + ϕ ) i t I t i t I t i t I t

12 Al intoduci st sistma d coints, n las xpsions.1,. y., apacn ts poductos d cosnos. Al dscompon los poductos d cosnos n sumas y difncias, s obtin la siguint xpsión paa la fuza magntomotiz sultant: FMM ( θ, t) = 6 NI 1 n n = (cos cos ).[cos( ) cos( ) nθ + ωt+ ϕ + nθ ωt ϕ + n= 1 n (n+ 1) (n 1)..5 + cos( nθ + ωt+ ϕ) + cos( nθ ωt ϕ) + (4n+ 1) (4n 1) + cos( nθ + ωt+ ϕ) + cos( nθ ωt ϕ)] Cuando l odn amónico n s pa o múltiplo d ts, la fuza magntomotiz sultant s nula. El pim amónico spacial qu apac n la distibución d la fuza magntomotiz sultant s l 5º. La magnitud d sta amónica s 1/5 d la magnitud d la componnt fundamntal d la distibución. Paa la mayoía d las aplicacions pácticas, s pud consida qu la distibución spacial y tmpoal d la fuza magntomotiz cospond apoximadamnt a los valos d la componnt fundamntal -n=1-. En la figua.4 s psnta una compaación nt las fuzas magntomotics cospondints a la componnt fundamntal y a la supposición d las cincunta pimas amónicas. En la mayoía d los casos, l stato d las máquinas d inducción s disña utilizando dos capas paa cada bobina, dsfasadas nt sí un cito ángulo, qu duc aun más los contnido d quinta y/o séptima amónica. Esto fuza la hipótsis qu consida la xistncia d una distibución pácticamnt sinusoidal d la fuza magntomotiz n l nthio. Cuando s dspcia todo l contnido amónico difnt a la componnt fundamntal d la fuza magntomotiz, s obtin la siguint distibución spacio-tmpoal: 18 NI FMM ( θ, t) cos( θ ωt ϕ).6 La cuación.6 s la xpsión matmática apoximada d la fuza magntomotiz otatoia qu s oigina n las bobinas dl stato d la máquina d inducción, cuando s alimntan sus dvanados con un sistma tifásico, - 1 -

13 balancado y sinusoidal, d coints d scuncia positiva, d fcuncia constant. Una vz dtminada la fuza magntomotiz sultant, s aplica la ly d Ampè.6, a la tayctoia ilustada n la figua.1. En l matial fomagnético la caída d fuza magntomotiz s pácticamnt dspciabl. Po sta azón, toda la caída d potncial magnético tin luga n l taycto po l ai. La dnsidad dl campo magnético sultant n l nthio s: 18 µ 0 NI B ( θ, t) cos( θ ωt ϕ),.7 g dond: g s l spso total dl nthio d la máquina. 18 NI FMM (Total) FMM (Fundamntal) FMM( θ,ωt=- φ) 0 / / θ Fig..4 Compaación nt las distibucions spacio-tmpoals d las fuza magntomotics sultants d la componnt fundamntal y d la supposición d las cincunta pimas amónicas. Una vz dtminada la distibución spacio-tmpoal d la dnsidad d campo magnético B n l nthio, s posibl calcula la fuza lctomotiz n cualqui bobina dl stato o dl oto d la máquina, aplicando simplmnt la ly d Faaday.5, a la tayctoia spacial dscita po dicho dvanado. Paa un conducto ubicado n la posición angula θ, con su tono n la posición θ+, s obtin l siguint valo paa la fuza lctomotiz inducida: - 1 -

14 θ+ dλ d d c( θ, t) = = ( θ, t). d ( θ ', t) ldθ ' dt dt B S= = dt B S θ 9 µ ln I θ+ 0 d = cos( ' t ) d ' θ ω ϕ θ = g dt θ 18 µ lωn I cos( θ ω ϕ) 0 = t g.8 La fuza lctomotiz sob la fas a dl stato s pud obtn intgando las fuzas lctomotics sob cada uno d los conductos distibuidos unifommnt nt las posicions angulas θ. Considando qu n un difncial d ángulo dθ, xistn N dθ conductos, la fuza lctomotiz inducida sob todos los conductos d la fas a dl stato s: 18 µ 0 lωni N a () cos( ) g 54 µ 0 lωni = sn( ωt + ϕ) t = θ ωt ϕ dθ = g Po ota pat, n la fas a dl oto la situación s:.9 + ω mt 18 µ 0 lωni N a () cos( ) g + ω mt t = θ ωt ϕ dθ = 54 µ l( ω ω ) N N I ( ω ω t ϕ) 0 m = sn ( ) m + g.10 D las xpsions.9 y.10, s pud obtn la lación d tansfomación nt las amplituds o nt los valos fctivos d las fuzas lctomotics dl stato y dl oto: Ea N 1 N E = ω N ω ω = N s a m.11 dond: s s dfin como l dslizaminto d la máquina d inducción

15 Si las bobinas dl oto s ncuntan n cotocicuito, la fuza lctomotiz qu apac sob llas, fuza la ciculación d coints sinusoidals d scuncia positiva n l oto. Las coints oiginadas po la inducción d fuza lctomotiz n l oto, poducn un campo magnético otatoio d fcuncia d dslizaminto. Como l matial fomagnético tin una pmabilidad muy alta, la caída d fuza magntomotiz ocu casi compltamnt n l nthio. Si s supon, tal como s hac n la dducción dl cicuito quivalnt d un tansfomado, qu la caída d fuza magntomotiz s dspciabl, s obtin dl balanc d las fuzas magntomotics statóicas y otóicas, l siguint sultado apoximado: FMM ( θ, t) = FMM ( θ, t) + FMM ( θ, t) 0 g 18 NI 18 NI = cos( θ ωt ϕ) + cos( θ [( ω ω ) ] ) 0 m + ωm t γ.1 D la xpsión.1 s obtin la lación d tansfomación idalizada nt las amplituds o nt los valos fctivos d las coints dl stato y dl oto d la máquina d inducción: I I N N.1 Las xpsions.11 y.1, s pudn combina paa dtmina la lación d tansfomación xistnt nt las impdancias dl stato y dl oto d la máquina: Z N 1.14 Z N s Considando qu l cicuito dl oto stá fomado po la sistncia y po la inductancia d las cospondints baas o bobinas, s pudn psnta po un cicuito quivalnt fomado po una sistncia n si con una inductancia. Cuando st cicuito quivalnt s fi al stato mdiant la lación d tansfomación.14, s obtin l sultado siguint: N 1 N 1 R Z Z = ( R + j ( ) L ) = ( + j L )..15 ω ωm ω N s N s s

16 Si al modlo dl oto, fido al stato s l añad la sistncia y actancia d dispsión dl stato, una actancia d magntización paa cogi la hipótsis.1, y una sistncia n paallo con sa actancia paa poduci las pédidas n l hio, s obtin l modlo clásico d la máquina d inducción qu s ilusta n la figua.5 [49,51,5]. R j X j X I I V R m E j X m R s Fig..5 Modlo cicuital clásico d la máquina d inducción n égimn pmannt Paa dtmina po mdio d la ly d Lonz.19, l pa dsaollado po la máquina d inducción, s intgan las fuzas poducidas po l campo magnético otatoio dl stato sob las coints qu ciculan po los conductos dl oto: N. l. a b c 0 τ =. { B ( θ, t). i ( t) dθ + B ( θ, t). i ( t) dθ + B ( θ, t). i ( t) dθ } = 16 µ N N I I. l. sn( ϕ γ) E. I sn( ϕ γ) g ω 0 = = a S pud dmosta qu la xpsión.16, coincid con l cálculo dl pa léctico alizado utilizando l cicuito quivalnt clásico, si s cuda qu:

17 a a. R ; sn( ) s ϕ γ s R + E = I + X = τ R = Ia.. a. s + X I = I a ω s R ω + X s R s R X R s.17 Si s intnta utiliza l modlo clásico d la máquina d inducción n l análisis tansitoio, los sultados discpan dl compotaminto al dl convtido dbido a qu las coints qu ciculan po l stato no s cospondn con las hipótsis d patida. La modlación dicta a pati d las lys fundamntals dl lctomagntismo ofc una intptación física d los pincipios d funcionaminto básicos d la máquina d inducción. A nivl d disño y constucción, st nfoqu s d gan utilidad poqu tin n cunta los aspctos gométicos y constuctivos d la máquina d inducción. En sta scción s ha psntado un modlo simplificado d la distibución d los conductos n l stato y oto. Sin mbago, distibucions más compljas o distibucions disctas d los dvanados, s taducn solamnt n vaiacions d las lacions d tansfomación d las tnsions, coints impdancias nt l stato y l oto d la máquina. El cicuito quivalnt s indpndint d la distibución d los conductos n las anuas d la máquina, po los paámtos d st cicuito si son dpndints d sta gomtía..4 Modlación d la máquina d inducción utilizando métodos maticials y l pincipio d los tabajos vituals [1,,48,67,76]. La máquina d inducción convncional pos ts bobinas idénticas n l stato, spaciadas 10 lécticos unas d otas. El oto pud sta configuado con una gomtía difnt po simp s posibl dtmina un conjunto d nollados tifásicos qu poduzcan fctos quivalnts al dvanado o a las baas als. D sta foma s dispon d un total d sis bobinas, ts n l stato y ts n l oto, stas últimas s ncuntan nomalmnt n cotocicuito, n spcial cuando l oto s d jaula d adilla. Las bobinas quivalnts dl oto también s ncuntan spaadas spacialmnt 10 lécticos nt llas, po l j

18 magnético d la bobina a dl oto s ncunta n la posición angula θ con spcto al j magnético d la fas a dl stato. En la figua.6 s mustan squmáticamnt los putos lécticos y l j mcánico d la máquina d inducción tifásica. + N i a bobina quivalnt fas A "a" dl stato Estato b Roto c v a i a Ej ω m τ m + N i c + N i a v a i a θ = 0 C + N i b B + N i c + N i b a θ(t) bobina quivalnt fas "a" dl oto Fig..6 Diagama squmático d la máquina d inducción tifásica Cada una d las bobinas psntadas n la figua.6, stán patidas n l spacio d tal foma qu poduc fuza magntomotiz distibuida sinusoidalmnt n l nthio, cuando s l inycta una coint. En gnal, las bobinas dl oto y dl stato d la máquina pudn tn un númo d vultas y una distibución spacial d los dvanados difnts. Si s con cada una d las sis bobinas, ts n l stato y ts n l oto, s obtinn sis cuacions d mallas. En cada una d stas cuacions apacn dos téminos igualando las tnsions xtnas aplicadas a las bobinas. El pimo d stos téminos cospond a la caída d tnsión n la sistncia popia d la bobina. El oto témino s la fuza lctomotiz inducida n l cicuito magnético d sa bobina. Es ncsaia una cuación adicional qu dfina l compotaminto dinámico dl j mcánico. El conjunto d cuacions qu dtmina l modlo d la máquina d inducción n coodnadas pimitivas s l siguint:

19 dond: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] v v R 0 i = = + = v 0 R i R i + dωm τ + τm = J + α fic.. ωm dt [ ][ ] [ ].18 [] v Vcto fomado po las tnsions aplicadas a las 6 bobinas d la máquina. [] i Vcto d las coints qu ciculan po las 6 bobinas. [] Vcto d las fuzas lctomotics consvativas inducidas po l acoplaminto magnético d las 6 bobinas. [ R] Matiz cuadada d 6*6, con las sistncias d cada bobina n la diagonal pincipal y l sto d los lmntos nulos. τ Pa d oign lctomagnético. τ m Pa d oign mcánico aplicado po la caga. ω m Vlocidad angula mcánica. J Incia total asociada al j mcánico d otación. Coficint d ficción. α fic. Suponindo qu duant la opación tansitoia o pmannt dl convtido, l matial fomagnético s compltamnt isotópico y qu no s satua, s posibl nconta una dpndncia linal nt los nlacs d flujo [ λ] y las coints [] i d las sis bobinas d la máquina: dond: [ []= λ []i L []= λ ] [ ] λ = [ L ] L [ L ] L [ ] [ ] [ i ] [] i = [ L ] [ L ] [ L ] t [ L ] [] i [] i.19 [ L ] Inductancias dbidas a los acoplamintos popios y mútuos nt las bobinas dl stato. [ L ] Inductancias dbidas a los acoplamintos popios y mútuos nt las bobinas dl oto. [ L ] Inductancias dbidas a los acoplamintos mútuos nt las bobinas dl stato y las bobinas dl oto. Los dvanados dl sistma statóico o otóico, s ncuntan dsfasados spacialmnt 10 lécticos unos d otos. Si s xcita con una coint unitaia la bobina b o c s obtin una facción dl flujo mútuo sob l dvanado d la fas a qu s spctivamnt cos(10 )=-1/ y cos(40 )=-1/. Po ota pat, l

20 flujo poducido n una bobina po la coint inyctada n l popio dvanado obtin la facción cospondint al cos(0 )=1. Sin mbago, s ncsaio añadil l flujo d dispsión a la bobina xcitadoa. D sta foma s muy fácil dmosta po simpl inspcción d la figua.6, qu las submatics d inductancias popias dl stato, y popias dl oto d la xpsión.19, son: [ L ] [ L ] L L L L + L L L = = + = = L σ L aa ab ac σ 1 1 Lba Lbb Lbc L L Lσ L L 1 1 ca Lcb Lcc L L L + Lσ L L L L + L L L = = + = = L L σ aa ab ac σ 1 1 Lba Lbb Lbc L L Lσ L L 1 1 ca Lcb Lcc L L L + Lσ.0.1 Cuando s analizan las matics d inductancia mútuas nt l stato y l oto, s obsva qu s ncsaio añadi l ángulo θ, al obsva l flujo d acoplaminto nt unas bobinas y otas. En st caso los sultados qu s obtin son los siguints: [ L ]= [ L ] t = L aa L ba L ca L ab L bb L cb L ac L bc L cc cos θ cos(θ ) cos(θ 4 ) = L cos(θ 4 ) cos θ cos(θ ) cos(θ ) cos(θ 4 ) cos(θ 4 ). Paa dtmina l vcto d fuzas lctomotics [], s diva con spcto al timpo l vcto d los nlacs d flujo λ [ ]. Esto cospond a la aplicación d la Ly d Faaday a un cicuito acoplado magnéticamnt: - 0 -

21 dond: d d d d = = L i = L i + L i = + g dt dt dt dθ = d [ L ] [ ] [ ] [ ] [ ] L 0 L i dθ [ ] = t p + i θ [ ] [ ] [ ] d t L [ ] [ ] [ ] L i i L 0 d θ [ ] [ λ] {[ ] []} [ ] [] θ [ ] [ ] [ t]. [ t ] s fi a las fuzas lctomotics d tansfomación, dbidas a la vaiación d las coints po las bobinas. [ g ] son las fuzas lctomotics d gnación, dbidas al cot d los θ p nlacs d flujo po las bobinas n moviminto. s la vlocidad angula dl oto. s l opado divada tmpoal. Los téminos d gnación s dtminan calculando las divadas pacials d la matiz d inductancias con spcto a la posición angula θ. Dbido a qu la máquina s d oto liso, los únicos téminos dpndints d la posición angula son las inductancias mútuas nt l stato y l oto. Ralizando stas opacions, s obtin l siguint sultado: sn sn( 4 ) sn( θ θ θ ) d d t 4 [ L ] = [ L ] = L sn( θ ) snθ sn( θ ) dθ dθ.4 sn( θ 4 4 ) sn( θ ) sn( θ ) La dtminación dl pa léctico instantáno qu dsaolla la máquina d inducción s obtin aplicando l pincipio d los tabajos vituals. En l capítulo s dmostó la vntaja d utiliza l concpto d congía n l campo, cuando las coints son las vaiabls indpndints, y los nlacs d flujo las vaiabls dpndints. Considando qu la máquina tin su j mcánico n una posición angula θ compltamnt fija, toda la ngía o congía nta al convtido inyctada dsd los putos lécticos, En stas condicions, la congía n l campo s dtmina d la siguint foma: - 1 -

22 6 W ' c = W ' = ( i 1,,i 6 ) ( 0,, 0) 6 k= 1 = 1 L i kk k + L i kj i j k = k = k = 1 j = k + 1 λ k (i' 1,, i' 6 )di' k 6 6 k =1 j =1 1 L kj i j i k = (i 1,,i 6 ) 6 = L i ' kj di ' = j k (0,, 0) 6 k =1 j =1 1 [ i 1 i i 6 ][ L] i 1 i i 6 = 1 i [ ] t [ L] [ i].5 Rcodando la xpsión.8, paa l cálculo d la fuza o l pa a pati d la congía n l campo, y mplazando los sultados.4 y.5, n sta cuación, s obtin l siguint sultado paa l pa léctico d la máquina d inducción: τ = W ' ( c θ ;[ i ] t ) = θ = 1 i = L i a [ ] t θ ( 1 i [ ] t L [ ][ i ] + i θ L [ i b i c ] [ ] [ ][ i] ) = 1 [ ] [ ] t θ L i i [ ] t i [ ] [ ] θ L t 0 = i [ ] [ ] t θ L t 0 [ ] [ ] [ θ L ][ i ] = snθ sn(θ ) sn(θ 4 ) sn(θ 4 ) snθ sn(θ ) sn(θ ) sn(θ 4 ) sn(θ 4 ) i a i b i c [ i ] [ ] i =.6 El sistma d cuacions difncials.18, modla compltamnt l compotaminto dinámico, tansitoio o d égimn pmannt d la máquina d inducción. Sin mbago, cuando s dtminan las fuzas lctomotics inducidas n las bobinas, o l pa léctico sob l j mcánico, s hac xplícita n las cuacions la dpndncia no linal y funcional con la posición angula θ. Las matics d inductancias mútuas stato-oto, dpndn d la posición angula θ, y po sta azón l pa léctico y las fuzas lctomotics también. Est ángulo vaía continuamnt duant la opación d la máquina, con la única xcpción d la condición cospondint al oto bloquado. Paa obtn la solución numéica dl sistma d cuacions difncials no linals.18, s convnint dspja las divadas d las vaiabls d stado n función d las popias vaiabls d stado y d las funts indpndints qu xcitan l convtido. La matiz d inductancia [L] acopla futmnt stos téminos, y s ncsaia la invsión analítica d sta matiz, cuya dimnsión s 6*6. Dbido a qu la mitad d los lmntos d la matiz d inductancias son - -

23 funcions tigonométicas d la posición angula θ, la invsión analítica d sta matiz s una taa laboiosa, qu culmina con sultados finals d scasa utilidad páctica. Una altnativa paa la intgación numéica dl modlo d la máquina d inducción n coodnadas pimitivas consist n invti numéicamnt la matiz d inductancia [L] n cada paso d intgación, una taa no mnos adua qu la invsión analítica, incluso paa los computados psonals modnos. Sin mbago, sta altnativa s viabl n la actualidad [9]. A psa d lo qu s puda pnsa d las discusions antios, st modlo tin algunas vntaja impotants. En pim luga, stá dsaollado a pati d vaiabls qu s posibl mdi físicamnt n los putos o js d la máquina, al mnos aqullas qu s ncuntan asociadas a los dvanados statóicos. Po ota pat, utiliza muy poca infomación gomética sob la constucción d la máquina, sta infomación s ncunta condnsada y agupada n la matiz d inductancia [L]. La dducción y compnsión dl modlo s muy simpl cuando s utiliza st método, poqu s cicunscib a fomula las cuacions d un cicuito d sis mallas acopladas magnéticamnt. Finalmnt, con la aplicación dl pincipio d los tabajos vituals, s obtin l pa lctomagnético n l j mcánico. El modlo d la máquina d inducción n coodnadas pimitivas s muy sncillo n su dducción, po qui un gan sfuzo d cálculo si s dsa obtn sultados pácticos. A continuación s cita una anécdota qu fcuntmnt s cunta a los studiants d los cusos d máquinas lécticas qu s nfntan con poblma smjants:...dspués d qu l masto ha xplicado a sus alumnos, con gan dtall y smo, l famoso po poco utilizado sistma d los númos omanos, ls pid qu alicn una opación aitmética tan simpl como pud s la multiplicación o división d dos cifas psntadas n st sistma numéico. Los studiants avntajados ponto s daán cunta d lo difícil qu pud s st poblma, poqu no conocn las glas paa aliza stas opacions - l masto s talntoso y abngado, po no tanto -. Los alumnos más intlignts ponto tansfomaan los númos omanos n aábigos, alizaán la opación dsada con las glas conocidas paa st sistma numéico, y postiomnt algunos, n gnal los más tabajados y ddicados, antitansfomaán la solución obtnida a númos omanos nuvamnt.... La - -

24 tansfomación d un tipo d vaiabls a otas, pud simplifica la stuctua matmática dl poblma, pmitindo una solución más ápida dl modlo. La antitansfomación algunas vcs s optativa. Las cuacions d la máquina d inducción n coodnadas pimitivas psntan su compotaminto mdiant lacions funcionals y no linalidads xtmadamnt compljas. Po sta azón s ncsaio studia l pocso d tansfomacions d coodnadas qu simplifica l poblma. Estas simplificacions pmitn incmnta la compnsión dl poblma y acla la apidz n la dtminación d las solucions. Estas dos vntajas hacn posibl l mplo d los modlos tansfomados n una gan vaidad d aplicacions qu quin l uso d cálculo y stimación n timpo al..4 Modlación d la máquina d inducción mdiant métodos vaiacionals [0,76]. Paa modla un convtido lctomcánico utilizando los métodos vaiacionals discutidos n l capítulo, s db comnza po dfini un conjunto d coodnadas gnalizadas qu psntn todos los gados d libtad xistnts n st sistma físico. En l caso paticula d la máquina d inducción stas coodnadas pudn s las cagas léctica q k, y l dsplazaminto angula θ dl j mcánico. Las divadas o vlocidads d la coodnadas gnalizadas sían n st caso las coints i k, po las bobinas y la vlocidad angula ω m. Las vaiabls gnalizadas cospondints al sfuzo son las fuzas lctomotics k inducidas n cada dvanado, y l pa léctico sob l j mcánico τ m. Finalmnt las vaiabls gnalizadas d momntum cospondían a los nlac d flujo λ k, y al momntum angula mcánico p m. Las lacions físicas y matmáticas qu satisfacn st conjunto d vaiabls s sum n la tabla.1: Vaiabl Sistma Eléctico Sistma Mcánico Coodnada (z) Caga Eléctica (q k ) Posición Angula (θ ) Vlocidad ( z ) Coint ( i k = q k ) Vlocidad Angula (ω m ) - 4 -

25 Esfuzo ( f Momntum ( p = p ) FEM ( k = λ k ) Pa ( τ m = l m ) = kz ) Enlac (λ k = L ki i j ) Momnt. ang. (l m = J.ω m ) Tabla.1 Asignación d vaiabls paa l modlo vaiacional d la máquina d inducción Una vz qu han sido dfinidas las vaiabls d stado dl convtido, s dtmina la función d Lagang, valuando las ngías potncials y las congías cinéticas asociadas con l compotaminto dl sistma. Rcodando qu las bobinas otóicas y statóicas d la máquina d inducción s xcitan mdiant funts indpndints d tnsión, y qu sob l j mcánico xist admás dl pa léctico, una funt indpndint d pa mcánico, la función consvativa d Lagang s: L( q, q, q, q, q, q, θ ; i, i, i, i, i, i, ω ) = a b c a b c m a b c a b c m ' t ([ ], θ ) ([ ], θ ;[ ], ω ) ω [][ ][] t t t Jω [ i ] [ L ][ i ] [ i ] [ L ( θ )][ i ] [ i ] [ L ][ i ] = W q + W q i = + J + i L i =.7 pot m cin m m m = m m Considando qu los conductos d las bobinas posn sistncia léctica, qu stá psnt la ficción n la otación dl j, y si s aplica l pincipio vaiacional.64, a los js lécticos y mcánicos dl convtido lctomcánico no consvativo, constituido po la máquina d inducción, s obtinn las siguints xpsions: Paa los js lécticos: 6 = ( vk( t)) k. ik; = 0; = Lkjij = k k k k k j= 1 d L L L L λ dt i q q i v () t =. i + λ ; k = 1,,,6.8 k k k k [ v] = [ R][ i] + [ ] Paa l j mcánico: - 5 -

26 d L L = ( τm() t ) α fic.. ωm dt ωm θm L t [ L ] t L = [ i ] [ i ] = τ ( θ ; [ i ] ); = J. ω = l θ θ ω m m m m m m t ( [] i ) τ θ ; + τ ( t) = α. ω + J. ω m m fic. m m.9 El conjunto d las xpsions.8 y.9, cospondn xactamnt con l sistma d cuacions difncials.18, qu modla l compotaminto dinámico d la máquina d inducción n l sistma d coodnadas pimitivas. Po los métodos vaiacionals s alcanza xactamnt la misma psntación matmática qu s obtin a tavés d la fomulación cicuital o maticial dl poblma. D hcho, los pincipios vaiacionals poducn las lys cicuitals y mcánicas básicas, dbido a qu han sido dsaollados a pati d la gnalización d todos los pincipios básicos qu ign l compotaminto d los sistmas físicos [,6,48,59,76]. Las cuacions d la máquina d inducción también pudn obtns utilizando un sistma d coodnadas gnalizadas altnativo. D cualqui foma, los pincipios vaiacionals son xactamnt los mismos. Un sistma d coodnadas gnalizadas altnativo podía utiliza los nlacs d flujo como λ vaiabl gnalizada, la fuza lctomotiz como vlocidad gnalizada, la coint i como vaiabl d sfuzo gnalizado, y la caga q como momntum gnalizado. En st sistma d coodnadas altnativo, las vaiabls mcánicas pudn mantn las mismas asignacions. En la tabla. s psnta un sumn dl sistma d coodnadas altnativo: Vaiabl Sistma Eléctico Sistma Mcánico Coodnada ( z) Enlac d Flujo (λ k ) Posición Angula (θ ) Vlocidad ( z ) FEM ( k = λ k ) Vlocidad Angula (ω m ) Esfuzo ( f = p ) Coint ( i k = q k ) Pa ( τ m = l m ) Momntum ( p = kz ) Caga (q k = C kj j ) Momnt. ang. (l m = J.ω m ) Tabla. Asignación d vaiabls altnativas paa l modlo vaiacional d la máquina d inducción - 6 -

27 Con l sistma d coodnadas lécticas altnativas dfinidas n la tabla., s pud stablc la cospondint función d stado Lagangiana, paa un sistma consvativo: L( λ, λ, λ, λ, λ, λ, θ ;,,,,,, ω ) = a b c a b c m a b c a b c m ' = Wpot ([ λ], θm ) + Wcin ([ λ], θm; [ ], ωm ) = t 1 t 1 1 [ λ ] [ L( )] [ λ] J [ λ] [ ( )] [ λ] t t t [ λ ] [ ][ λ ] [ λ ] [ ( θ )][ λ ] [ λ ] [ ][ λ ] = θ + ω = Γ θ + Jω m m m m = Γ + Γ + Γ + Jω m m.0 Aplicando nuvamnt l pincipio vaiacional.64, paa sistmas no consvativos, a la función d Lagang calculada n la xpsión.0, s obtin l siguint modlo matmático d la máquina d inducción, n l sistma altnativo d coodnadas gnalizadas: Paa los js lécticos: = (). ; = Γ = ; = 0 i () t = g. + i ; k = 1,,,6 6 d L L L L ( ikiny, t ) gkk kjλ j ik dt k λk λk j= 1 k kiny, k k k.1 [ ][ ] [ ] iiny = G + i Paa los js mcánicos: d L L = ( τm( t)) α fic.. ωm dt ωm θm L t [ Γ] t L = [ λ] [ λ ] = τ ( θ ; [ λ ] ); = J. ω = l θ θ ω 1 m m m m m m. t [ λ] τ ( θ ; ) + τ ( t) = α. ω + J. ω m m fic. m m La xpsión.1 s una psntación nodal d las bobinas d la máquina d inducción, mintas qu l modlo.8 s una psntación n mallas d los mismos cicuitos [61]. En cambio, las xpsions.0 y. son idénticas nt sí, como s pud compoba fácilmnt, cuando xist linalidad nt los nlacs d flujo y las coints: - 7 -

28 [][ ][ Γ] [ Γ] t t [ L] [ ] [ L ][ i ] [ ] [ ] [ L ][ i ] t τ 1 1 = [ λ] λ = θ Γ Γ = m θ m = i L L i = i i = i i [ L] [ L] [ L ] [ Γ ][ ][ ] [] [] [ ] [ ] t t t t t 1 1 θm θm θm. El pim modlo s utiliza con mayo fcuncia, dbido pincipalmnt a qu n los sistmas lécticos als las funts d tnsión indpndint son pácticamnt idals. Sin mbago, n la actualidad los convtidos lctónicos d potncia pudn s capacs d funciona, con gan apoximación, como funts d coint indpndints idals. En stos casos l sgundo modlo ofc claas vntajas paa la modlación dl convtido. Es intsant dstaca qu los concptos d ngía potncial y ngía cinética stán lacionados stchamnt con l sistma d coodnadas qu s utiliza n un dtminado momnto. En l pim sistma d coodnadas, la ngía potncial tnía qu v con la capacidad d acumula caga léctica. En l sistma altnativo, la ngía potncial staba lacionada con la capacidad d acumula nlacs d flujo. La vntaja d los métodos vaiacionals s qu incmntan la gnalización d los concptos, po n algunos casos pud pac confusa su aplicación dbido a qu no s sptan ncsaiamnt las línas pistmológicas clásicas d azonaminto físico. Los pincipios vaiacionals pudn suminista modlos altnativos, qu utilizan difnts tipos d vaiabls. Los dos jmplos qu s han psntado n sta scción son d gan intés páctico, poqu pmitn obtn dictamnt las cuacions difncials básicas d la máquina d inducción, n la psntación po mallas o nodos, y n las coodnadas pimitivas dl convtido. Admás, st método s muy páctico paa incopoa citos lmntos acumulados o disipados d ngía. Los modlos d la máquina d inducción dsaollados considan qu xist linalidad nt los nlacs d flujo y las coints po las bobinas, po l método vaiacional, al igual qu los métodos fundamntados n l análisis d cicuitos y l pincipio d los tabajos vituals, no stán limitados po sta hipótsis. Po l contaio, pudn s xtndidos al análisis d modlos lctomagnéticos no linals d la máquina d inducción. La única difncia consist n la ncsidad d stablc una función d Lagang, qu caactic l - 8 -

29 stado dl convtido paa cada uno d los casos. Esta función db s indpndint d la histoia pasada, d las divadas d las vaiabls d stado dl sistma, y dl instant d timpo qu s sté considando..5 Tansfomación d las cuacions difncials d la máquina d inducción n coodnadas pimitivas mdiant métodos modals. Cualquia d los modlos dsaollados n las sccions. y.4, psntan l compotaminto d la máquina d inducción n égimn dinámico, tansitoio o pmannt. Como ya s ha discutido, stos modlos no son pácticos o ficints cuando s qui la solución analítica o numéica d un dtminado poblma. Los dos obstáculos más impotants son l acoplaminto no linal xistnt nt las vaiabls dl sistma d cuacions difncials, y la dpndncia con la posición angula θ, d stos acoplamintos. En la scción.7 s psntaon algunas idas pácticas, po d scasa gnalidad paa la dtminación d tansfomacions útils paa la simplificación d los modlos no linals d la máquina d inducción. Dbido a la falta d gnalidad dl método popusto, xistn gan vaidad d altnativas, con divsos gados d simplificación y dsacoplaminto d las vaiabls. S han utilizado divsas técnicas a tavés d los años, po hay una cita convgncia o unidad n los citios y objtivos básicos. Si l poblma d la modlación d la máquina d inducción fus linal, s podía dtmina la matiz caactística d st sistma d cuacions difncials d pim odn. Con l análisis d la matiz caactística s obtndían dictamnt los autovalos y autovctos dl modlo. Los autovalos dfinn las constants d timpo dl sistma, y los autovctos constituyn la matiz d tansfomación qu dsacopla las vaiabls pimitivas dl modlo, y dfinn los gados d libtad xistnts paa la solución analítica. Cuando l poblma no s linal, sta técnica no s aplicabl n gnal. El sfuzo s diig ntoncs hacia la búsquda dl dsacoplaminto o diagonalización d la matiz qu psnta la dpndncia n la vaiabl d stado θ, y qu admás acopla las divadas dl sto d las vaiabls d stado. En l modlo d la máquina d inducción n coodnadas pimitivas sta matiz cospond con la matiz d inductancia [L]

30 La matiz d inductancia [L] s pud paticiona, tal como s ha hcho antiomnt, n cuato submatics: [ L] [ L ] [ L ] [ ] [ ] [ L ] [ L ] t [ ] [ ] = = = L L L L L L L L L cos cos( ) cos( + σ θ θ θ ) L L L L L cos( ) cos cos( σ θ θ θ ) L L L L cos( ) cos( + σ θ θ ) cosθ cosθ cos( θ ) cos( θ ) L + Lσ L L cos( θ ) cosθ cos( θ ) L L Lσ L + cos( θ ) cos( θ ) cosθ L L L + L σ.4 Las dos submatics d inductancias popias y mútuas dl stato o dl oto, [L ] y [L ], son compltamnt siméticas indpndints d la posición angula θ [4]. Las submatics d inductancias mútuas nt las bobinas dl stato y dl oto, [L ] y [L ], son cíclicas [19], y futmnt dpndints d la posición angula dl oto θ. Analizando los autovalos y autovctos d las matics compltamnt siméticas y d las matics con simtía cíclicas, s pudn nconta tansfomacions d coodnadas qu simplifiqun la stuctua d la matiz d inductancias, y po tanto dl sistma d cuacions difncials. Una matiz compltamnt simética s caactiza po tn todos los lmntos d la diagonal pincipal iguals nt sí (a), y los lmntos fua d la diagonal pincipal también son iguals nt sí (b), po nt llos no ncsaiamnt son iguals (a b): a b b S = b a b..5 b b a Los autovalos d la matiz compltamnt simética [ S], son: [ ] - 0 -

31 a γ b b dt( [ S] γ [ I] ) = dt b a γ b = ( a γ) + b b ( a γ) = 0 b b a γ γ = a+ b; γ = a b; γ = a b El autovcto asociado con l autovalo γ 0 s: b b b V ([ S] γ 0[ I] )[ V0] = [ 0] b b b V 10 0 [ 0] V 00 1 = V =.7 b b bv Los autovctos asociados con los autovalos γ 1 y γ son: b b b V0(1,) 0 ( V1(1,) + V(1,) ) ([ S] γ 1, [ I] ) (1,) [ ] b b b V 1(1,) 0 V = 0 (1,) = V = V1(1,).8 b b b V 0 V (1,) (1,) Con los ts autovctos obtnidos n.7 y.8, s constuy la matiz d tansfomación qu diagonaliza las matics compltamnt siméticas, algunos autos dnominan a sta matiz, tansfomación d Kanbau [19,4]: k ( k + k ) ( k + k ) T k k k [ ] Kanbau = 1 4 k k k El dtminant d la tansfomación.9 db s difnt d co paa qu xista la matiz invsa. Si los coficints indtminados d la tansfomación pudn s númos compljos, la tansfomación tin diz gados d libtad. Paa gaantiza qu la matiz d tansfomación s puda invti, quisito indispnsabl si s ncsaia la tansfomación invsa, s ncsaio satisfac simultánamnt las dos condicions siguints: k1 ( k + k) ( k4 + k5) dt[ TKanbau ] = dt k1 k k 4 = k1( kk5 kk4) 0 k1 k k 5 k 0 k k k k

32 Estas dos sticcions, no ducn los gados d libtad, po stingn los posibls coficints al luga gomético dl hipspacio dimnsional qu satisfac simultanamnt las dos dsigualdads. Una sticción qu s d gan utilidad cuando s tansfoman las vaiabls d los convtidos lctomcánicos d ngía, po cuya aplicación no s indispnsabl, ni ncsaia, consist n impon la condición d hmitianidad sob la tansfomación. Cuando s utilizan tansfomacions hmitianas, las potncias s consvan nt l sistma d coodnadas pimitivas y l sistma d coodnadas tansfomadas. Una matiz s hmitiana si su invsa s igual a su taspusta conjugada. Paa la tansfomación d Kanbau, la hmitianidad s asgua al cumpli las siguints condicions: * * * k1 ( k + k) ( k4 + k5) k1 k1 k * * * * k1 k k 4 ( k k) k k = * * * * k1 k k 5 ( k4 k5) k4 k * 1 * * * * * * kk = ; kk + kk 4 4 = ; kk + kk 5 5 = ; kk + kk 4 5 =.41 Las igualdads obtnidas n l dsaollo.41, stingn n cuato los gados d libtad cuando s impon la condición hmitiana a la tansfomación d coodnadas. Si admás s xig qu la tansfomación db utiliza solamnt coficints als, s suficint con dfini sólo uno d stos coficints paa obtn la tansfomación dsada, con la xcpción dl pim coficint k 1, qu ya stá dtminado po la slcción d tansfomacions hmitianas. Cuando s scog abitaiamnt qu la suma d los coficint k 4 y k 5 s co, y qu l sto d los coficints dbn s als, s obtin la conocida tansfomación d Clak [14,15]: [ ] T Clak = =.4 La tansfomación d Clak.4, s utiliza con gan fcuncia paa tansfoma los sistmas tifásicos quilibados n sistmas bifásicos otogonals quivalnts. Como la tansfomación stá dsaollada mdiant coficints als puos, s pud aliza físicamnt mdiant tansfomados idals. Po sta azón, s ha utilizado n los analizados d ds analógicos paa obtn la spusta modal - -

33 d los sistmas lécticos d potncia, o paa analiza los dsquilibios d una d n componnts d scuncia αβo. Algunos autos obtinn sta tansfomación a pati d la poycción a js otogonals d los flujos poducidos n las ts bobinas d una máquina tifásica quilibada [76]. La ota matiz qu s ncsaio analiza paa solv l poblma d la diagonalización d la matiz d inductancias [L], s la matiz cíclica d dimnsión *. Esta matiz stá confomada po ts lmntos difnts - a, b y c -, qu s ncuntan pmutados n cada nuva fila, mdiant la otación d sus lmnto con un avanc hacia la dcha: a b c C = c a b.4 b c a [ ] Los autovalos cospondints a la matiz cíclica [C], son: a γ b c = c a b = a + b + c bc a = b c a γ ([ C] [ I] ) dt γ dt γ ( γ) ( γ) 0 j j4 j4 j 0 = a+ b+ c; 1 = a+ b + c ; = a+ b + c γ γ γ.44 El autovcto asociado con l autovalo γ 0 s: ( b+ c) b c V C 0 I V0 = 0 c ( b c) b V V = V =.45 b c ( b+ c) V 0 1 ([ ] γ [ ])[ ] [ ] [ ] El autovcto asociado con l autovalo γ 1 s: 0 1 j C 1 I V1 = 0 V 1 = V01.46 j 4 ([ ] γ [ ])[ ] [ ] [ ] Y po último, l autovcto asociado con l autovalo γ s: - -