2 CINEMATICA DE LA PARTICULA

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1 CINEMATICA DE LA ARTICULA. GENERAL.. Sistmas d Rfncia d Cdnadas La dscipción dl mimint d una patícula ui dispn d un sistma d fncia, u s un nt físic al, spct dl cual s dfin la psición, p l tant la lcidad aclación d la patícula. Un sistma d cdnadas s un mdl matmátic u pmit dscibi la psición d la patícula cn spct al sistma d fncia. aa un sistma d fncia dad s pudn utilia infinits sistmas d cdnadas. Empls d sistmas d cdnadas sn l Sistma Catsian (--) ls sistmas d cdnadas cuilínas tgnals, cm las cilíndicas las sféicas. La figua musta un sistma d cdnadas (,,) n un sistma d fncia S, un ct, l u pdía s la psición d un punt, su lcidad, tc. El ct s pud scibi n témins d sus cmpnnts d ls cts unitais ppndiculas nt sí,, u sn la bas dl sistma... Cambi Diada d un ct Supóngas un ct tal u sus ppidads sn función dl timp d la psición n un sistma d fncia dad. En témins gnals, l ct pud cambia tant n magnitud cm n dicción. Cm mpl, n la figua s musta l ct, dfinid p l sgmnt nt ls punts A B fis a la A A supfici d un disc ígid u gia n tn a su. aa un bsad n un sistma d fncia fi, tn al disc, ls punts A B s mun a A B spctiamnt dspués d una tación, dfinind l ct. Aún cuand la B B magnitud dl ct, u s igual a la distancia nt ls punts, n cambia n l timp p la cndición d cup ígid, l ct n s igual a dbid al cambi d dicción dl ct. aa st bsad, l cambi dl ct s: ' Sin mbag, un bsad fi al disc á ls punts A B simp n la misma psición, p l tant, n á cambis n. En gnal, paa un ct u cambia n l timp, la diada tmpal s: d lim (t t) (t) & t 0 t En l mpl anti, sta diada s nula paa un bsad n un sistma d fncia fi al disc, paa l cual l ct n cambia. Ests sultads mustan claamnt u la diada dl ct dpnd dictamnt dl sistma d fncia n u s alú sta diada. Cuand sa ncsai ntncs, s indicaá l sistma n u s alúa la diada cn la siguint ntación: d Diada En témins d las cmpnnts dl ct: d n S & S CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -

2 d S & d S d S & & Nóts u la psión cntin las diadas d las cmpnnts, u sn scalas, d ls cts unitais. Sin mbag, tal cm cuió cn la magnitud dl ct n l mpl anti, ls scalas n dpndn dl sistma d fncia. l tant, la diada d un scala n dpnd dl sistma dnd s alú sta diada. d d S.. lcidad Angula Supóngas un ct u cambia n l timp, cm s musta n la figua. El cambi d dicción stá caactiad p l cambi d psición angula. S dfin la apid d tación apid angula ω d cm: d lim ω & (t t) (t) t 0 t ctialmnt, la lcidad angula ω tin la magnitud ω la dicción nmal al plan u dscib n su tación. ω. GEMETRIA DEL MIMIENT.. sición Supóngas un sistma d cdnadas S(--) cn ign. La psición d la patícula stá dfinida p l ct, mdid dsd l ign dl sistma. Si, sn las cdnadas dl punt,,, sn ls cts unitais n las diccins d ls s dl sistma -- (la bas dl sistma), ntncs l ct psición d n S s: Tactia La tactia s l luga gmétic d ls punts u cupa n l timp... Gads d Libtad Rsticcins Ls gads d libtad d un sistma cspndn a las difnts fmas indpndints n u s pud m l sistma. mpl, una patícula lib n l spaci pud ms n cualui dicción. En paticula, s pud m n ts diccins ppndiculas nt sí, sind l mimint n cada dicción indpndint d ls mimints n las tas ds. En l mpl d la figua, l sistma cnsist n un cilind ací d cnt C adi R, u uda sin dslia sb una supfici hintal fia, un sgund cilind d cnt D adi, u uda sin dslia al inti dl pim. s un punt fi n la supfici dl cilind inti. El punt tin ds fmas indpndints d ms: l mimint dl pim cilind gand sb l sul l mimint dl cilind mn al inti dl pim. R C u D CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -

3 El núm d gads d libtad dl sistma cspnd al núm d cdnadas indpndints ncsaias paa spcifica la cnfiguación dl sistma n un instant cualuia. mpl, la patícula lib d ms n l spaci tin ts gads d libtad, las cdnadas a usa pdían s las catsianas cuilínas. En l mpl anti, l punt tin ds gads d libtad, las cspndints cdnadas pdían s las psicins angulas d ls cnts d ls cilinds. Las sticcins limitan, n fma ttal pacial, l mimint n alguna dicción dada. En gnal, las sticcins satisfacn una cuación d la fma (,t)0. mpl, la psición d una patícula bligada a ms sb la supfici d una sfa db satisfac la cuación, dnd,, sn las cdnadas catsianas s l adi d la sfa. En st cas, la patícula tin ds gads d libtad. Nóts sin mbag u n s psibl usa las cdnadas catsianas paa dfini la psición d la patícula, a u dads ls als dl pa (, ) p mpl, istn ds als d u satisfacn la cndición d la sticción. Db usas ntncs l pa, d las cdnadas cilíndicas l pa, d las sféicas. La istncia d una sticción gna una acción n la dicción n u l dsplaamint stá stingid. Usualmnt stas accins sn incógnitas a sl n l pblma... lcidad En la figua siguint s musta la tactia cuilína u sigu una patícula n l spaci. En l timp t la patícula s ncunta n A su psición stá dfinida p l ct. Dspués d un intal d timp t la patícula s ha mid hasta l punt A. El cambi d psición s l ct nt ls punts A A, diigid dsd A hacia A. En l timp (t t) la psición s l ct ( ). Duant l intal t l camin cid p la patícula s l ac s. La lcidad mdia d la patícula n l intal t s: t La dicción d la lcidad mdia cspnd a la dicción d la scant a la cua nt ls punts A A, u s la dicción dl ct. Tactia A s A La lcidad mdia mdida n un intal d timp mu puñ, t 0, s la lcidad instantána : lim d & t 0 t Cuand t 0, la dicción d tind a la dicción tangnt a la cua n l punt A. La lcidad instantána tin ntncs la dicción d la tangnt a la cua d la tactia n cualui punt...4 Aclación En la figua s musta ls cts lcidad n A A. El cambi d lcidad n l intal t s. S dfin la aclación mdia d la patícula n l intal t cm: a t A Simila al cas d la lcidad, s dfin la aclación instantána a cm: d d a & && A Tactia a A A difncia d la lcidad, l ct aclación instantána n tin una dicción dfinida cn spct a la tactia. CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -

4 . MIMIENT EN CRDENADAS CARTESIANAS.. sición Supóngas un sistma d cdnadas catsianas -- cn ign. Supóngas u l sistma d cdnadas stá fi al sistma d fncia S n l cual s alúa l mimint, s dci, la psición dl ign las diccins d ls s n aían n l timp. La psición d la patícula stá dfinida p l ct, mdid dsd l ign dl sistma. dnd,, sn las cdnadas catsianas dl punt,, sn ls cts unitais n las diccins d ls s -- dl sistma (sn la bas dl sistma)... lcidad Rcdand u la diada dl ct s pud scibi n témins d las diadas d sus cmpnnts, cnsidand u l sistma d cdnadas stá fi al sistma d fncia, p l u las diadas d ls cts unitais sn nulas, s tin la siguint psión paa la lcidad n S: d d d d d & &.. Aclación Cn las mismas cnsidacins antis, la psión paa la aclación instantána a n S s: d d & a d d && && && && && & EJEML - CINAR.DC - C-004- Un sistma cnsist n un disc ígid d adi, u pmanc simp n l plan tical, pitad n su cnt a un punt fi. Una cuda intnsibl d lngitud l tin un d sus tms fi a un punt A n l bd dl disc, una patícula fia n su t tm. El sistma s tal u tds ls lmnts s ncuntan n td instant n un plan tical únic la cuda pmanc simp n tnsión. S minaá la lcidad absluta d la patícula utiliand cdnadas catsianas abslutas. ϕ l A ω ϕ A ω l Las figuas siguints mustan la cnfiguación dl sistma. S lig un sistma d cdnadas catsianas -, cn ign cincidnt cn l cnt dl disc, intad n tal fma u l plan - cincid cn l plan n u s ncunta l sistma, udand l nmal al plan. A iuida s musta l cas cspndint a un instant ants u la cuda s nll n tn al disc. A la dcha s musta la cnfiguación n u pat d la cuda stá nllada n tn al disc. CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -4

5 aa sl l pblma s db analia p spaad ambs cass, dfinind paa cada un d lls l núm d gads d libtad las cdnadas lgidas paa psnta l mimint. a) Cas (): ants u la cuda s nll n tn al disc Supóngas u l disc stá fi. s mu dscibind un mimnt cicula n tn a punt A. La psición d uda ttalmnt dfinida n cualui instant p l ángul. Supóngas aha u stá fi (l mimint anti n ist), p l disc pud ta. En st cas la patícula s mu sgún la tación dl disc, su psición n un instant cualuia uda dfinida p l ángul ϕ. Nóts u ambas fmas d ms sn ttalmnt indpndints nt sí. Es dci, la patícula tin gads d libtad, s ui ds cdnadas paa dscibi la cnfiguación dl sistma n un instant cualuia. Las cmpnnts catsianas - s pudn scibn n témins d ls águls ϕ : csϕ lcs( ϕ ) sinϕ lsin( ϕ ) l A ϕ ω l Las cmpnnts d la lcidad s minan diand las psins d la psición: & sin ϕ ϕ& l sin( ϕ )( ϕ & & ) ωsin ϕ l sin( ϕ )( & ω) & cs ϕ ϕ & l cs( ϕ )( ϕ & & ) ωcs ϕ l cs( ϕ )( ω & ) b) Cas () pat d la cuda stá nllada n tn al disc La patícula tin gads d libtad, dfinids p ls ánguls ϕ β. La lngitud ttal d la cuda s: l βs s Las cmpnnts catsianas - sus diadas s scibn n témins d ls ánguls ϕ β: & cs( ϕ β) ssin( ϕ β) cs( ϕ β) ( l β)sin( ϕ β) sin( ϕ β)( ϕ & β& ) β& sin( ϕ β) ( l β)cs( ϕ β)( ϕ & β& ) β& sin( ϕ β) [ sin( ϕ β) ( l β)cs( ϕ β) ]( β& ω) ωsin( ϕ β) ( l β)( β& ω)cs( ϕ β) β ϕ A ω sin( ϕ β) scs( ϕ β) sin( ϕ β) ( l β)cs( ϕ β) & cs( ϕ β)( ϕ & β& ) β& cs( ϕ β) ( l β)sin( ϕ β)( ϕ & β& ) β& cs( ϕ β) [ cs( ϕ β) ( l β)sin( ϕ β) ]( β& ω) ωcs( ϕ β) ( l β)sin( ϕ β)( β& ω) CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -5

6 .4 MIMIENT EN CRDENADAS CURILINEAS RTGNALES.4. Sistma tgnal d Supficis Supóngas un cnunt d lacins,, dfinidas p: (,, ) (,, ) (,, ) Cada una d las ts cuacins (,,) Ct. dfin una familia d supficis n l spaci. mpl, la lación Ct. psnta la supfici d una sfa, cn cnt n l ign dl sistma d cdnadas, d adi igual a la aí cuadada d la Ct. La familia d supficis uda dfinida p ls difnts als d la Ct. Supóngas u las lacins sn tals u, paa un punt dad n l spaci, s tin u un mimb d cada familia d cuas u pasa p l punt dad, las ts supficis sn tgnals nt sí n l punt. Est ui dci u s l punt únic d intscción d las ts supficis u ls cts nmals a cada supfici n sn ppndiculas nt sí. Las cuacins u dfinn las ts supficis u pasan p l punt udan minadas hacind la ct igual a la cspndint lación (,,) aluada n las cdnadas d : (, (, (,, ), ), ) ( ( (,,,,,, ) ) ) () () () mpl, las siguints ts lacins cspndn a ( figua): tan plan hintal la supfici d un cilind d cincidnt cn l un plan tical u pasa p l un plan hintal cilind aa un punt dad, istn ls als d, tals u las ts supficis s intsctan n l punt, ls cts nmals a las supficis n sn ppndiculas nt sí. plan tical Las cuacins d las ts supficis sn: tan tan CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -6

7 .4. Sistma d Cdnadas Cuilínas tgnals aa un sistma tgnal d supficis, ls cts unitais n las diccins d ls cts nmals a las supficis n l punt fman una bas paa l sistma. Ls als (), () () sn las cdnadas dl punt n l sistma d cdnadas cuilínas tgnals. El cas mstad n l mpl anti cspnd a las cdnadas cilíndicas, dfinidas cm: tan cs sin cspnd al adi dl cilind s l ángul u fma la pcción d cn l s la cdnada dl plan hintal.4. cts Unitais San un punt n l spaci S () las supficis dfinidas p () paa,,. El ct unitai () s nmal a S () n l punt apunta n la dicción n u cc. El ct unitai s ntncs tangnt a la lína L () dfinida p la intscción d las supficis S i () S k (), cn i k. Rcdand u l gadint d una función scala Φ tin la dicción d la máima tasa d ccimint d Φ, u sta dicción s nmal a la supfici n cualui punt, la psión paa l ct unitai n la dicción, n l punt, s: dnd: () () () (),, ( ), ( ), ( ) Nóts u ls cts unitais sultan tgnals nt sí n cualui punt. aa l sistma d cdnadas cilíndicas dfinid antimnt, ls cts unitais sn: cs sin sin cs Nóts u sts cts stán dads n cmpnnts catsianas, las u a su stán n función d las cdnadas catsianas (--), n función d las cdnadas cilíndicas ( - - ). Nóts admás u ls cts pudn s btnids dictamnt a pati d su dfinición. s nmal a la supfici dl cilind n, s dci, stá cntnid n l plan hintal tin la dicción dfinida p. Si l módul s, ntncs la cmpnnt n s cs n s sn. D igual fma s btinn ls ts. CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -7

8 CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -8 () () () () () () ().4.4 Tansfmación d Cdnadas Un ct cualuia s pud psnta mdiant sus cmpnnts n un sistma catsian, mdiant sus cmpnnts n un sistma cuilín tgnal: Supóngas u s cnc las cmpnnts catsianas. Entncs, cada una d las cmpnnts cuilínas stá dada p la suma d las pccins d cada cmpnnt d n la dicción d : En ntación maticial: En fma abiada: Dnd [T] s la mati d tansfmación d cdnadas. Dadas las ppidads d la mati [T], la tansfmación insa stá dada p: Es cnnint maca u las cmpnnts dl ct, cualuia sa l sistma usad, pudn s psadas n función d las cdnadas d cualuia d ls sistmas. mpl, las cmpnnts catsianas pudn sta n función d las cdnadas cuilínas, tc. En l cas dl sistma cilíndic, la mati d tansfmación d cdnadas s:.4.5 Diadas Espacials d un ct n Cdnadas Cuilínas tgnals Supóngas un ct tal u sus cmpnnts stán psadas n función d las cdnadas cuilínas tgnals,,. Las diadas dl ct cn spct a las cdnadas pudn aluas n l sistma catsian n l sistma cuilín: ct n cmpnnts Catsianas: ct n cmpnnts cuilínas: () () () () () () () () cuilínas : Cmp. catsianas : Cmp.,, [ ] T [ ] [ ] T T T [ ] cs sin 0 sin cs T () () () ()

9 Diadas spacials d ls cts unitais dl sistma cilíndic: Diadas Tmpals d un ct n Cdnadas Cuilínas tgnals Supóngas un ct tal u sus ppidads sn función dl timp d la psición, psadas n témins d cdnadas cuilínas tgnals, s dci, (,t). La diada tmpal dl ct s: Si l ct s psnta mdiant sus cmpnnts cuilínas: Entncs dnd d (, t) (, t) & & t d & Diadas tmpals d ls cts unitais dl sistma cilíndic & & & & () & & k k k ( sin cs ) ( cs sin ) 0 & & & & &.4.7 Intptación Física d las Diadas d ls cts Unitais Las diadas d ls cts unitais han sid btnidas n fma analítica. En sta scción s studia l significad físic d stas diadas. En la figua apac l ct dl sistma d cdnadas cilíndicas, l cual stá cntnid n l plan -. S aminaá l fct u pducn sb aiacins d las cdnadas,,. Dad u su módul n cambia, la única aiación psibl d st ct s d dicción. Supnind pim una aiación d la cdnada, mantin su dicción, n sufind cambis. Est significa u / 0. L mism cu cn spct a. Supóngas aha una aiación. El ct cambia a, sufind una aiación cm s musta n la figua. El módul d s: sin / sin / CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -9

10 Supnind u l cambi cu n un intal d timp t mu puñ, ntncs. s puñ tind a s ppndicula a, s dci, tin la dicción d. s ntncs ( sin /) paa puñ La aiación d cn spct a. s: ( sin /) paa En l límit: lim lim sin / 0 0 puñ ( ) lim ( /) 0 D igual fma t lim t 0 t lim t 0 ( sin /) lim ( /) t t 0 t d &.4.8 lcidad Aclación n Cdnadas Cilíndicas btnidas las psins paa las diadas d ls cts, la lcidad la aclación s btinn diand l ct psición. mpl, paa l cas d cdnadas cilíndicas s tin: sición: lcidad: Aclaciòn : & & & & & & & a && & & & & && & & && ( && & ) ( && & &) && CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -0

11 EJEML - Una patícula Dslia cn apid cnstant a l lag d una spial cilíndica d tical, adi pas h. Dtmin la aclación d n un instant cualuia. CINAR4 Ct SLUCIN a) Gnal En la figua s musta la patícula, un sistma d fncia -- abslut, las cdnadas cilíndicas dl punt. h b) Slución usand cdnadas cilíndicas Las cuacins gnals sn: sición: lcidad: Aclaciòn : Inclinación dl spial h tanα π & & & & & & & a && & & & & && & & && ( && & ) ( && & &) && sinα h h ( π) h ( π ) csα π ct & & 0 & csα h π π ( π) h ( π) h & sinα & 0 h ( π) & 0 Rmplaand n la cuación d la aclación: c) Slución dicta La lcidad s tangnt a la tactia, tnind las siguints cmpnnts: csα ( π ) ( π) π a ( ) h π h sinα La cmpnnt n s cnstant. La cmpnnt n s cnstant n módul, p cambia d dicción, gnánds ntncs una aclación cntípta d al: a c ( csα) ( π ) h ( π) CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -

12 .4.9 Cdnadas Esféicas,, dfinidas sgún: tan tan sin cs sin sin cs La pima lación dfin la supfici d una sfa d adi, cntada n l ign dl sistma. La sgunda s la supfici d un cn d tical, étic n l ign ángul nt la gnati l. La tca cspnd a un plan tical u pasa p l fma un ángul cn l. cts unitais: sin cs cs cs sin sin sin cs cs sin cs sin Mati d tansfmación d Cdnadas: [ T] sin cs cs cs sin sin sin cs sin cs cs sin 0 Diadas spacials d ls cts unitais: sin cs sin cs Diadas tmpals d ls cts unitais: & & sin & & & cs & & sin & cs & Mimint: sición : lcidad : Aclación : & a & & sin (&& & & sin ) ( && & & & sin cs ) ( && sin & & sin & & cs ) CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -

13 EJEML - El sistma d la figua cnsist n un tub d fma smi-cicula d adi R, pitad n un d sus tms a un punt fi. El tub s mu n fma tal u n cualui instant, tds sus punts s ncuntan n un plan tical únic, dich plan ta n tn al cn una lcidad angula cnstant Ω Supnind u al inti dl tub cicula una patícula cn una apid cnstant, s minaá la lcidad la aclación abslutas d la patícula utiliand cdnadas sféicas. CINAR.DC C-004- En la figua siguint s musta s sistma, indicand las cdnadas a usa: b (s ). Al lad dch s dibua l plan dl anill, indicánds la cdnada. S mustan admás ls cts unitais utiliads n la slución dl pblma. R R γ α Las cuacins gnals paa l mimint n cdnadas sféicas sn: b R γ b R α β sición : lcidad : Aclación : & a & & sin (&& & & sin ) ( && & & & sin cs ) ( && sin & & sin & & cs ) Idntificand ls témins: b Rcsα & b& Rsinα α& γ γ& && γ α α & α && 0 R b& β α & β & α & β & && β && α && β&& & Ω && 0 Ealuand n las psins gnals s tin: && b&& R sin ( α α && csα α& ) sinα b&& csα R sin α R cs α β & RΩ cs α sin R ( β α) CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -

14 a cs α R cs α β & R R R cs α β && cs α R Ω ( β α) ( sin α) β & R cs α Ω sin( β α) cs( β α) ( sin α) Ω sin( β α) ( R cs α) β & Ω cs( β α) R cs α Rβ& ( β&& Ω sin( β α) cs( β α) ) sin α sin β & RΩ R ( β α) R ( β α) R cs α β & cs( β α) RΩ sin cs α sin R β & sin α R.4.0 Cdnadas las En l cas d una patícula u s mu n un plan únic, s pud utilia l sistma d cdnadas cilíndicas, ubicand l ppndicula al plan, cn l ign n l plan. El sistma sultant s cnc cm cdnadas plas. La psición, lcidad aclación d una patícula n st sistma s btinn hacind ct0 n las cuacins gnals dl sistma cilíndic. Usualmnt s dnta n luga d : sición : lcidad : Aclaciòn : & a & (&& & ) ( && && ) El significad físic d stas psins s pud ntnd d la figua, dnd s musta la tactia l sistma d cdnadas plas paa una patícula n mimint plan. A A A ' ( ) ( ) ( ) Tactia Cambi d psición A Cambi d lcidad ' Cmpnnts dl cambi d lcidad ( ) En l instant t la patícula stá n A, n una psición, dfinida p. Un instant t dspués stá n A, sind l cambi d psición. Las cmpnnts plas d sn: CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -4

15 dnd sn las cmpnnts d n las diccins spctiamnt. Supnind un intal mu puñ d timp, l módul d s igual a la aiación dl módul d, s dci,, l módul d s pud apima a la lngitud dl ac. S tin ntncs: Diidind p t, n l límit cuand t tind a c, s tin: d d & & aa studia la aclación, la lcidad n ambas psicins A A s psntada n sus cmpnnts plas Las aiacins d stas cmpnnts, spctiamnt, s psntan n sus cmpnnts plas. ( ) ( ) ( ) ( ) Aclación a a A Tactia A a Las magnituds d stas cmpnnts s pudn btn d la figua: Cambi d magnitud d ( ) ( ) () & Cambi d dicción d ( ) ( ) & Cambi Cambi d magnitud d dicción d d ( ( ) ) ( ( ) ) (& ) & Diidind p t, n l límit cuand t tind a c, agupand témins, s tin: (&& & ) ( & & & ) d() & d d d(& ) a && & & Eaminand las aiacins d ls cts inlucads s ha btnid paa a las mismas psins ants diadas n fma ttalmnt analítica. Mimint cicula El mimint cicula d una patícula n tn a un punt cualuia s dscib fácilmnt utiliand un sistma d cdnadas plas cn l ign n l cnt d tación, hacind R ct. En st cas s usual usa la siguint ntación: & ω lcidad angula & α aclació n angula La lcidad aclación stán dadas p las siguints psins lcidad : Aclaciòn : ω a ω La lcidad, u n td instant s tangnt a la cicunfncia, s ppndicula al adi. El témin -ω cspnd a la aclación cntípta s una mdida dl cambi d la dicción d la lcidad. El sgund témin, α, s la aclación tangncial mid l cambi d módul d la lcidad. α CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -5

16 EJEML -4 Ds patículas cminan simultánamnt sus mimints n l punt A, cn apid. La patícula s dsplaa cn mimint unifmmnt tadad cn aclación -a a l lag dl diámt AB d la cicunfncia d adi cntnida n l plan hintal. La patícula s dsplaa a l lag d la smicicunfncia AB cn aclación tangncial cnstant a. Supnind u ambas patículas alcanan simultánamnt l punt B, min l al d a paa u sta situación sa psibl l al d la aclación d la patícula cuand alcana l punt B. SLUCIN Sa t l timp u dman las patículas n llga al punt B. A B CINAR5 Ct Ec. Tactia patícula u s mu a l lag dl : a t t a t Ec. Tactia patícula u s mu a l lag dl smicícul AB: t at s t at Hacind sπ paa tt, s tin t a t π t a t Sumand ambas cuacins: π t t a s btin mplaand t n cualuia d las cuacins antis: a t t ( π ) ( π ) Aclación d patícula n B: La aclación d la patícula mina mdiant sus cmpnnts tangncial nmal. La cmpnnt tangncial d a tin módul cnstant igual a a En B: a 4 ( π ) ( π ) t a 4 ( π ) La cmpnnt nmal d a s la aclación cntípta. En B s: a n [ (t )] ( a t ) 4 ( π ) ( π ) ( π ) a ( π ) ( π ) n a ( π ) ( π ) ( π ) ( π ) 4 CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -6

17 .4. Cdnadas Lcals Supóngas una patícula u dscib una cita tactia n un plan dad. aa un instant t, l mimint d la patícula s pud psnta cm un mimint cicula n tn a un punt, cncid cm cnt instantán d tación. La distancia nt l punt A d la tactia s l adi instantán d cuatua. Dadas stas cndicins, la lcidad s ppndicula al adi instantán d cuatua. En gnal, tant la psición d cm l adi cambian d instant a instant. n Cambi d psición A Tactia A t s n Cmpnnts dl cambi d lcidad Las cmpnnts tangncial nmal s dfinn cn spct a la tactia. Ls cts unitais cspndints, t n, cambian a cada instant. La lcidad tin la dicción d t Supóngas un intal d timp puñ. Entncs, s pud cnsida u n cambian n l intal. El camin cid n l intal s pud calcula cm s. El módul d la lcidad mdia n l intal s s/ t./ t. En l límit, l módul d la lcidad instantána sulta d./. La lcidad s ntncs: & t La aiación d la lcidad n l mism intal s pud psnta n las cmpnnts tangncial nmal ( figua). La cmpnnt nmal n s db l cambi d dicción d. Su módul s La cmpnnt tangncial t s db al cambi d la magnitud d. Su módul s (d./). Diidnd p t, n l límit, s btin la siguint psión paa la aclación: a & ( && & & ) n t CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -7

18 .5 MIMIENT RELATI.5. Dfinicins Supóngas una patícula u s mu sb la supfici d un disc, l cual a su s mu ta n l spaci. El mimint abslut d la patícula s alúa utiliand un sistma S(,,) fi n l spaci. Est análisis, u pud s bastant cmpl, s pud facilita cnsidand p spaand l mimint d la patícula cn spct al disc, aggand ls fcts dl mimint dl disc. aa studia l mimint n l disc, s pud utilia un sistma S (,, ) fi al disc u, p l tant, s mu cn l disc. En l u sigu s studiaá las lacins nt ambs sistmas. San S S ds sistmas d fncia n cdnadas catsianas, cn ígns spctiamnt. En l cas gnal, ambs sistmas tinn ígns difnts ls s tinn inclinacins psicins angulas difnts, tal cm s musta n la figua. La siguint s la ntación utiliada paa psnta un ct cualuia n ambs sistmas. ' ' ' ' ' ' ' Nóts u cada una d las cmpnnts d ls cts pud sta psada n función d las cdnadas d cualuia d ls sistmas. La psición d un punt cualuia s pud psnta n ambs sistmas: ct psición d n sistma S ' / / ' ct ct n n cmpnnt s cmpnnt s sistma sistma S' ct psición d n sistma S' S / R / / La psición d cn spct a, mdida n S, s: R '/ La lación nt ls cts psición mdids n ambs sistmas s: R ' La lcidad la aclación d s pudn btn diand la psión anti n l sistma S: a a / / d d d d ( R ' ) d R ( R ' ) Cncid l mimint lati nt ds sistmas d fncia, utiliand las lacins nt las psicins mdidas n ambs sistmas, s pud ncnta las lacins nt l mimint aluad n ambs sistmas. En l u sigu s studiaá la fma d alua stas lacins. S supndá u l sistma S, cncid cm sistma lati, s mu cn spct al sistma S. dr d' d ' CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -8

19 .5. Mimint Rlati nt Sistmas d Rfncia a) Caactiación dl mimint En l cas gnal, l mimint lati nt sistmas inclu taslacins tacins. La taslación cspnd al cas n u tds ls punts fis al sistma S, n paticula l ign, s mun cn la misma lcidad cn spct a. Est significa u ls s dl sistma S n tan, s dci, mantinn sus psicins angulas cn spct a ls s d S. El mimint lati nt ls sistmas uda dfinid p l mimint d cn spct a. & '/ R& '/ && '/ & a'/ A lcidad Aclación d d ' ' n n sistma sistma S S' En l cas d mimint d tación, la psición angula d ls s dl sistma S cambia n l timp. Cualui cta fia a S ta cn la misma lcidad angula ω cn spct a S. En paticula, ls s,,, tan cn la misma lcidad ω. El mimint d tación uda ntncs dfinid sta lcidad angula ω. ω S'/ S ω lcidad d tación d S' cn spct a S b) Diadas tmpals Rsulta cla u la mdición d ls cambis d citas cantidads físicas dpndá dl sistma d fncia n u s alú la mdición. Es imptant ntncs dfini claamnt l sistma d fncia n u s alúa las diadas tmpals d stas cantidads físicas. mpl, la lcidad la aclación A dl punt, así cm la lcidad angula ω d S cn spct a S han sid dfinidas n S, p l u dbn s aluadas n st sistma. S studiaán las diadas tmpals d cantidads físicas cn spct a ambs sistmas, utiliand la siguint ntación: d Diada tmpal d aluada n S & S Diada tmpal d aluada n S' Las lcidads aclacins d la patícula n ambs sistmas sn: lcidad d n sistma lcidad d n sistma Aclación d n sistma Aclación d n sistma S : S': S : S': d & ' S' d / & / S d' ' / ' & ' / ' ' S' d a / & / a S d' a ' / ' & ' / ' a' S' S studiaá las lacins nt las diadas aluadas n ambs sistmas, tant paa cts cm paa scalas. Escalas: aa una cantidad scala cualuia B, la diada tmpal aluada n ambs sistmas s la misma: B & B& ' CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -9

20 cts: Sa un ct cualuia. La psión d n cmpnnts d S s: ' ' ' ' ' ' ' ' ' La diada tmpal d mdida n S s: & & ' ' ' & ' ' ' Nóts u n sta psión apacn las diadas tmpals d ls cts unitais d S ls u aían n l timp al sta tand. La diada tmpal d mdida n S s: & ' & ' ' ' ' Nóts u n sta psión n apacn las diadas tmpals d ls cts unitais a u stán fis a S. Admás, dad u s un scala, sus diadas tmpals n ambs sistmas sn iguals, s dci: & ' ' & ' Cmpaand ambas psins paa la diada d, s btin la siguint lación nt las diadas aluadas n ambs sistmas: & ' & Ls sultads btnids sán utiliads paa studia l mimint lati nt ambs sistmas. ' & ' '.5. Mimint Rlati a Es n Taslación D acud a la dfinición anti d taslación, ls s dl sistma S n tan, s dci, mantinn sus psicins angulas cn spct a S. En st cas, las diadas n S d ls cts unitais d S sn nulas. Est ui dci u la diada tmpal d un ct s la misma n ambs sistmas. Rmplaand n la cuación anti: Rcdand las cuacins btnidas paa la lcidad aclación d : a a / / d d d d ( R ' ) & ' & d R ( R ' ) A En stas cuacins las diadas stán aluadas n S. Ls témins R, A stán dfinids n S, p l u calcula sus diadas n psnta pblmas. Sin mbag, s un ct dfinid n S. Su diada n S pud s calculada n témins d su diada n S. Rcdand l sultad anti, s pud scibi: dr d' d' d' ' & ' S S' d ' d ' ' & a' S S' d ' d' d ' CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -0

21 Rmplaand n las cuacins d mimint lati s llga a : ' a A a'.5.4 Es n Rtación a) Diadas tmpals Supóngas l cas n u ls ígns d ambs sistmas S S cincidn n td instant, p S ta cn spct a S cn una lcidad angula ω. Est significa u cualui cta fia a S, n paticula ls s,,, tan cn la misma lcidad ω.. Ls cts unitais d S cambian n l timp n S. aa mina las diadas tmpals d ls s studiaá l fct d una aiación infinitsimal d d la psición angula d ls s d S cn spct a S. En témins d sus cmpnnts n S, d s: d d ' ' d ' ' d ' ' d ω En la figua s apcia l cambi d dbid al cambi d psición d. Las cmpnnts d d s calculan n témins d las cmpnnts d la tación: d d d d ' ' ' ' : : : d n pduc a iación a iación a iación ' ' d ' d d ' ' ' d d ' ' ( ) ( ) ' ' d d ' ' ' ' d d d d d La diada tmpal d s ntncs: d' S Esta psión s pud scibi cm: En fma simila s btin: & ' ω' ' ω' ' & ' ω ' & ' ω ' & ' ω ' -d d Rmplaand n la psión paa la diada tmpal: & ()' & ' ω ' ()' & ω ' ' ó & ()' & ω ( ) ' ' CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -

22 b) pidads dl ct lcidad Angula ωs'/ s ωs / s' ωs''/ s ωs'/ s ω& s'/ s ω& ' s'/ s ωs''/ s' (la diada tmpal d ω s la misma n ambs sistmas).5.5 Mimint Rlati a Es n Rtación S studia aha l cas gnal n u l sistma S s taslada ta cn spct a S. Cncidas las lacins nt ls cts psición nt las diadas d cts n ambs sistmas, s btinn las lacins nt las lcidads aclacins d una patícula mdidas n ambs sistmas. a) sición: R ' b) lcidad: Diand la psión paa la psición s btin: & R& ' & Dnd las diadas tmpals s alúan n l sistma S. D ls sultads antis s tin & R& ' & & & / '/ / '/ d [ ' ] S d [ ' ] S' ω ' ' ω ' Diada d ' n S lcidad d n sistma S lcidad d ' n sistma S lcidad d n S' ω ' l tant: ' ω ' Esta cuación s la psión gnal paa la lcidad latia n un sistma n taslación tación simultánas. c) Aclación: Diand la psión paa la lcidad s btin: dnd: La aclación s: d d & & [ ' ω ' ] S [ ' ω ' ] [ ' ω ' ] ω [ ' ω ' ] d a' d S d S' S' ω& ' ω ' [ ' ] [ ω] ' ω [ ' ] ω ' ω ( ω ' ) ω ( ω ' ) Esta cuación s la psión gnal paa la aclación latia n un sistma n taslación tación simultánas. CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula - S' d S' ( ω ' ) ω ' a A a' ω& ' ω

23 ω& ' psnta la cmpnnt tangncial d la aclación d un punt cincidnt cn n l instant dad p fi a S ( ω ' ) ω psnta la cmpnnt nmal d la aclación d un punt cincidnt cn n l instant dad p fi a S ω ' cspnd a la aclación d Cilis CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -

24 EJEML --a CINAR.DC - C-004- l S studiaá l sistma dl Empl., utiliand ls pincipis dl mimint lati. a) Cas () Sistma - cn ign cincidind cn A intad sgún ángul ϕ cm s musta n figua. S usaán ls cts unitais mstads n la misma figua. ' lcs ' l sin ' l l ' l& ω ω ' ω ' ωl ω ' ' ω ' l& ω ' ωl l( & ω) ω ' A ϕ ω l l( & ω)sin ' [ ω l( & ω)cs] ' [ l( & ω)sin csϕ [ ω l( & ω)cs ] sin ϕ] [ l( & ω)sin sin ϕ [ ω l( & ω)cs] csϕ] [ ωsin ϕ l( & ω)sin( ϕ) ] [ ωcsϕ l( & ω)cs( ϕ) ] c) Cas () Sistma - cn ign cincidind cn punt d dspgu d la cuda, intad sgún s musta n la figua. S usaán ls cts unitais mstads n la misma figua. ' s' ( l β)' ' β& ' ω ( ϕ & β& ) ' ( β& ω) ' ω ' ( β& ω)( l β) ' ( ϕ & β& ) ' ( β& ω)' ' ω' β& ' ( β& ω)( l β) ' ( β& ω)' ( β& ω)( l β) ' ω ' s β ϕ A [ ( β& ω)( l β)cs( ϕ β) ωsin( ϕ β) ] [ ( β& ω)( l β)sin( ϕ β) ωcs( ϕ β) ] ω Ls sultads btnids d ambas fmas sn ls misms CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -4

25 EJEML --a CINAR.DC - C-004- S studiaá l sistma dl Empl., utiliand ls pincipis dl mimint lati. En la figua siguint s musta l sistma, indicand las cdnadas a usa. El sistma alati - - tin ign cincidnt cn l sistma fi X-Y-Z. stá diigid sgún ls tms dl anill. s dfin n l plan dl anill, nmal a. sulta ntncs cincidnt cn la dicción. R b R γ R γ α b R α β Las cuacins gnals paa la lcidad aclación sn: ' ω ' a A a' ω& ' ω ( ω ' ) ω ' Ealuand ls témins, cnsidand ls cts n cmpnnts sféicas, s tin: 0 A 0 ω β& Ω Ω cs( α β) β& Ω sin( α β) ω & β&& β& & β&& β& ( ω ) β&& β& [ Ω cs( α β) Ω sin( α β) ] β& Ω sin( α β) β&& β& Ω cs( α β) ' cs α ' γ sin α cs α a' ω ' [ cs α sin α ] [ Ω cs( α β) β& Ω sin( α β) ] Ω csα sin( α β) β& csα csα ω ( ω ' ) [ Ωcs( α β) β& Ωsin( α β) ] [ Ω csα sin( α β) β& csα ] [ β& csα Ω csα sin ( α β) ] [ βω & csα cs( α β) ] [ Ω csα cs( α β)sin( α β) ] csα[ β& Ω sin ( α β) ] βω & csα cs( α β) Ω csα cs( α β)sin( α β) CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -5

26 ω & ' [ β& Ω sin( α β) β&& β& Ω cs( α β) ] [ csα ] Ω β& csα cs( α β) β&& csα [ Ω cs( α β) β& Ω sin( α β) ] [ sin α cs α ] ω ' β& cs α Ω [ sin α cs α ] [ cs α cs( α β) sin α sin( α β) ] β& sin α Ω cs α sin( α β) β& cs α sin α Ω cs α sin( α β) cs α[ β& ] a [ csα sin α ] { Ω β& csα cs( α β) β&& csα } { csα [ β& Ω sin ( α β) ] β Ω csα cs( α β) Ω & csα cs( α β) sin( α β) } { β& csα Ω [ csα cs( α β) sin α sin( α β) ] β& sin α } csα csα [ β& Ω sin ( α β) ] [ Ωβ& csα cs( α β) β& Ω csα cs( α β) Ω [ csα cs( α β) sin α sin( α β) ] β& csα sin α β&& csα Ω csα cs( α β) sin( α β) β& sin α csα β& Ω sin ( α β) β& Ω [ β& csα cs( α β) cs(α β) ] sin α β&& csα Ω csα cs( α β) sin( α β) β& sin α Rsultad idéntic al btnid p cdnadas sféicas. CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -6

27 EJEML -5 El sistma d la figua cnsist n un disc ígid hintal, d adi R, u ta n tn al tical u pasa p su cnt. Un p sgund disc, tical, d adi R, s ubica n una anua dl pim disc, ta n tn a su cnt, unid p un pasad al pim disc. Una patícula dslia R R a l lag d una anua adial n l disc tical. Supnind u l disc hintal ta cn lcidad angula Ω cnstant, u l disc tical ta cn lcidad angula p Ω cnstant, u la patícula s dsplaa cn apid a l lag d la anua, min la lcidad aclación abslutas d la patícula utiliand: incipi d mimint lati. Cdnadas cuilínas. Dmust u ambs sultads sn iguals. CINAR6 Ct SLUCIN a) Gnal En la figua s musta la patícula l sistma d fncia -- abslut. La psición angula dl diámt dl disc stá dfinida p l ángul dl sistma cilíndic. La distancia nt l cnt dl disc la patícula n un instant cualuia s. La psición angula d cn spct al plan hintal stá dfinida p α. R p R α b) Mimint lati Ω Dadas las cndicins dl sistma, s cnnint scg un sistma lati - - fi al disc. En la figua s musta l plan - u cincid cn l plan dl disc. cincid cn la anua a l lag d la cual s mu la patícula. s ppndicula ntncs al disc stá n l plan d la platafma hintal. En la figua s indican admás ls cts unitais, u cspndn a las diccins d las cdnadas cilíndicas. CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -7

28 Ecuacins gnals: a R ' ' ω ' A a' ω& ' ω ( ω ' ) ω ' Idntificand témins: R R RΩ A RΩ ' ' ω Ω p ' ω & p & ' p ' ' a' 0 [ ω ' ] p [( Ω p ' ) ' ] p Ω En témins d ls cts unitais d S : cs α' sin α' ' sin α' cs α' aa la lcidad: ( Ω p' ) ( ' ) Ω cs α' p' ω ' ' ω ' RΩ ' Ω cs α' p' RΩ' ' Ω cs α' p' ' p ' Ω [ R cs α] ' aa la aclación: a A a' ( ω ' ) ( RΩ ) ( ) [ ( ) p Ω sin α ' p Ω cs α ' Ω sin α cs α ' Ωp sin α ' ] ( Ω cs α p ) ' [ ( p Ω cs α) RΩ cs α] [ ' Ω sin α cs α p RΩ sin α] ω ( ω ' ) ( Ω p' ) ( Ω cs α' p' ) p Ω cs α( cs α sin α ) ω& ' p Ω ω ' p ' [ Ω cs α] ' p Ω sin α ' ( Ω p' ) ( ' ) Ω cs α ' p ' ω& ' ω [ p Ω sin α Ωp sin α Ω cs α] ( R cs α) Ω cs α p ' ' Ω sin α cs α ' Ωp sin α ' ' ω ' ' Ωp sin α' ' [ p ] [ ( ) ' R cs α Ω sin α] ' Ω[ cs α p sin α] ' ' Ω cs α p sin Ω α ' p ' CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -8

29 c) Cdnadas Cilíndicas Ecuacins gnals sición : lcidad : Aclaciòn : & a & & ( && & ) ( && & & ) && Idntificand témins R cs α : sin α lcidad: & & & & & cs α sin αα & cs α p sin α && sin αα& & p sin α p cs αα & p & Ω && 0 & & sin α cs αα & sin α p cs α && cs αα & & p cs α p sin αα & p ( cs α p sin α) ( R cs α) Ω ( sin α p cs α) ( sin α p cs α) ( cs α p sin α) ( cs α p sin α)( cs α sin α ) ( R cs α) Ω ( ) ( sin α p cs α)( sin α cs α ) [ cs α p sin α cs α sin α p sin α cs α] ' [ sin α cs α p sin α sin α cs α p cs α] ' ( R cs α) ' p ' ' ( R cs α) Ω ' ' ' [ Ω] ' ' ' a Aclación: ( && & ) ( && & & ) & [ p ( ) ( ) sin α p cs α R cs α Ω ] ( cs α p sin α) [ Ω] [ p( cs α p sin α) ] [ p ( ) ( ) sin α p cs α R cs α Ω ]( cs α' sin α' ) [ ( cs α p sin α) Ω]( ' ) [ p ( cs α p sin α) ]( sin α' cs α' ) [ p ( ) ( ) sin α p cs α cs α R cs α cs αω p ( cs α p sin α) sin α] ' [ p ( ) ( ) sin α p cs α sin α R cs α sin αω p ( cs α p sin α) cs α] ' [ ( cs α p sin α) Ω] ' [ p ( R cs α) Ω cs α] [ ( ) ' p R cs α Ω sin α] ' [ cs α p sin α] Ω ' CI 0 Mcánica Racinal - UTFSM Cap Cinmática d la atícula -9