ONDAS: ES FÍSICA. Oscar E. Martínez

Transcripción

1 ONDAS: ES FÍSICA

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3 Pologo Ahoa qu lo tminé m doy cunta qu st no s l libo qu dsaía usa paa mis cusos. Po sí s l qu hubia dsado cuando comncé a scibilo hac algunos años (más d cuato paa s más pciso. El libo stá ahí, s stático, y l cuso s dinámico, cambia con cada alumno, con cada ocasión. Así qu a signas y spa qu siva como guía, y qu cada docnt n cada ocasión l dé su colo psonal y cicunstancial. Quizás po llo m llvó tanto timpo compltalo, algo imposibl sin las palabas d alinto d mi familia, s opotuno djá d qujat y tminalo po lo qu ls stoy infinitamnt agadcido, y solo quins m conocn sabán valoa lo qu llas (Nlly, Laua y Sanda dbion sopota. Po admás st libo lo sufion n sus tapas tmpanas vaios gupos d alumnos y docnts auilias. A los alumnos l agadciminto po la pacincia (cuando la hubo y a los docnts auilias l agadciminto po l sfuzo pusto n cambia la mana d nfoca la nsñanza qu dbion afonta. Paticulamnt va l agadciminto paa Hnan Gcco y Yanina Csa, qu lo padcion n vaias opotunidads al inicio y supion acompañalo con pimntos intoductoios n cada tma. Ondas s un tma vijo n la física, y hay montons d libos qu s ocupan dl mismo. No s si h logado hac algo distinto qu justifiqu un libo más, po la intnción istió. Ondas s un tma n qu no apacn nuvas toías, sino qu s manifista d mana spcial l jugo nt la toía, l modlo y la alidad. Fu mi intnción hac sto plícito todas las vcs qu pud. Y a lo lago dl libo apacn los mismos poblmas niqucidos po nuvos nfoqus y mayos dtalls. Ondas s tansvsal a toda la física y apac n l maco d divsas toías, mcánica, lctomagntismo, fluidos, mcánica cuántica, latividad. Es po llo qu l tma db ncaas cuntmnt a lo lago d las caas d física ingniía. Est s un cuso intoductoio, po qu qui d una bas matmática sólida. No s ptnd conociminto a pioi d lctomagntismo, po si los alumnos lo posn s convnint qu l docnt apovch la cicunstancia paa niquc con más jmplos los tmas acá dsaollados. Cominza con l péndulo y tmina con difacción po objtos piódicos tidimnsionals. En l mdio, modos nomals, ondas popagants, ondas n ts dimnsions, intfncia y difacción. En sumn: ondas. La óptica cib un tataminto spcial po un lado po su lvancia y po oto po s un caso n qu la dtcción s cuadática (s mid intnsidad y no amplitud y po qui d tucos spcials paa dtmina fass lativas. La óptica gomética cib un tataminto maginal, solo como caso límit, quda n cada docnt l intés o la ncsidad d amplialo. S busca s muy plícito n las apoimacions qu s van intoducindo, distinguiéndolas d las sticcions impustas al ango d validz d las solucions popustas. Al final d cada capítulo s incluy una guía d poblmas qu s pudn hac n paallo con la lctua (avancn con l capítulo. No incluyo sultados pus como simp digo, l sultado no s impotant, lo qu impota s l camino. Sab l sultado a pioi sul confundi, oculta las dudas. En la scitua dbí stablc un compomiso nt la tnsión y la claidad. Quizás muchos tmas o dsaollos hubian quido d más spacio y jmplos paa qu l libo pudia ls sin ayuda. No s sta mi intnción, l libo s un auilia dl docnt. Llo solo, dul. Y una última advtncia, h notado a lo lago d mis años d tambalant apoimación a la docncia qu hay una abusiva ncsidad y un pmannt clamo po ntnd todo, po sali d las class sin dudas o con mnos dudas. El conociminto no avanza así, ni n la cincia ni n l apndizaj. Cada duda qu s

4 sulv, cada dscubiminto, ab las putas a nuvas pguntas, nuvas dudas. No quio da la impsión d un conociminto acabado qu solo db s nsñado. Po llo, si alguin tmina un cuso utilizando st libo y s va con la snsación d hab ntndido, dsd ya ls pido disculpas. Los comntaios y coccions son binvnidos, scíbanm a om@df.uba.a ponindo tma: libo ondas (s qu soy d l poco l coo lctónico. Bunos Ais 3 d julio d 7 Dso agadc las múltipls coccions qu h cibido d mis alumnos a lo lago dl año 7. Bunos Ais 5 d mazo d 8

5 INDICE Oscilado unidimnsional amónico 7. Caso d studio 7. oscilado amónico lib 4.3 ngía dl oscilado amónico lib 7.4 Oscilado amónico con disipación 8.5 ngía dl oscilado amónico con disipación.6 oscilado amónico fozado.7 ngía, potncia y sonancia 6.8 la Lontziana 9.9 Oto caso d studio 3 Apéndic: númos compljos 3 Guía 34 Sistmas con más d un gado d libtad 37. Caso d studio 37. oscilado amónico con dos gados d libtad 43.3 los modos nomals 44.4 sistmas con más gados d libtad 45.5 sistmas con disipación 46.6 sistmas fozados 47.7 Cuándo s débil l acoplaminto 5.8 Caso d studio 53 Guía 53 3 Ondas n una dimnsión Caso d studio: la cuda La cuación d ondas clásica condicions d bod condicions inicials ondas con pdidas Dónd stá la ngía? Caso d studio: volvindo al péndulo 7 Guía Otas cuacions d ondas ondas longitudinals n un sot Ondas d psión n un fluido. Sonido sistmas disctos piódicos. 83 Guía Ondas popagants 9 5. Caso d studio: la solución qu djamos 9 5. Ondas popagants, vlocidad d fas Engía y potncia tanspotadas Algunas condicions d bod: flión d ondas Más jmplos d flions Funts. Popagación con disipación. Guía Paquts d ondas Caso d studio: batido d dos ondas popagants Paquts piódicos. 6.3 Engía dl paqut.

6 6.4 El poblma invso: Foui. 6 Guía 6 7 Ondas n dos y ts dimnsions 3 7. Caso d studio: d bidimnsional d masas acopladas 3 7. Ondas popagants Otas cuacions d ondas. Ondas lctomagnéticas n matials Rfacción n supficis planas, ly d Snll Ondas sféicas y cilíndicas Apoimación paaial Lnts Puntos fua dl j. Magnificación. 4 Guía Ondas vctoials: polaización Caso d studio: La luz s vctoial o scala? ondas planas linalmnt polaizadas polaización líptica y cicula dnsidad d ngía intnsidad Componnts pasivos : l polaizado Componnts pasivos : láminas d onda Componnts activos y otas situacions atípicas Polaización natual 6 Guía Intfncia Caso d studio: flión n na lámina dlgada Dtctos cuadáticos, batidos y cohncia intfncia nt dos ondas planas Intfncia con ondas sféicas (funts puntuals intfncia nt dos funts puntuals n apoimación paaial Intfómtos. Young y Michlson visibilidad d las fanjas y cohncia intfncia nt N funts puntuals intfómto d Faby Pot 84 Guía 9 9 Difacción n sistmas sncillos 93. Caso d studio: atavsando una anua 93. Intgal d Kichhoff Apoimación d campo ljano. Faunhof..4 Apoimación paaial 5.5 Haz Gaussiano. Más allá d la apoimación d Faunhof 9 Guía 3 Difacción po objtos piódicos. 5. Caso d studio: atavsando una diapositiva ayada 5. sistmas piódicos iluminados unifommnt. 9.3 sistmas piódicos, cuando la iluminación no s unifom 3.4 Sistmas piódicos n más dimnsions 7 Guía 33

7 Qué s más difícil, nconta la spusta o hac la pgunta cocta? Capítulo : OSCILADOR UNIDIMENSIONAL ARMÓNICO.Caso d studio: Analizamos l moviminto d una plota d tnis colgada po mdio d un hilo d poliamida (tanza d nylon a un gancho n l tcho. Análisis plimina: Análisis significa patilo n pdazos mas simpls paa su compnsión. El nunciado antio s una dscipción d una situación al, distinto a un nunciado d un poblma d cuso d física. Po s un poblma al d física. La dscipción así plantada s muy sumida (no dic po jmplo la maca d la plota, su gado d dsgast, l diámto dl hilo, tc. y pud sugi n l análisis la ncsidad d incopoa mas infomación, s lo natual y habitual, po aa vz ocu n un nunciado d poblmas d la guía d tabajos pácticos. La ida d stos casos s intoduci al lcto n sta mtodología, i ducindo l poblma al a algo pacido a un poblma d guía po mantnindo lo lvant al poblma al y tnindo clao cuals fuon las considacions incopoadas paa simplifica l nunciado (qu ncsaiamnt limitan la validz d la spusta. Dado l título dl capítulo un studiant ntnado qu ha cusado mcánica pobablmnt dsciba al sistma como un péndulo simpl o péndulo matmático. Po ya l habmos quitado al poblma toda su iquza y compljidad, y ni siquia sabíamos qué apoimacions hicimos. Vayamos po pats. Ya hmos stingido l áa dl conociminto a la mcánica al dci qu studiamos l moviminto. Supondmos cosas mas o mnos obvias como la stabilidad química dl sistma (po jmplo qu no s dscompon ni l pndmos fugo. Nusto análisis también sá macoscópico, no tndmos n cunta la stuctua atómica d los matials ni dl mdio cicundant (ai. Supondmos pus qu los matials foman un continuo. El sistma tin ntoncs infinitos gados d libtad qu son las ts coodnadas d cada punto. Entndmos po gado d libtad a las coodnadas ncsaias paa caactiza l stado dl sistma. Ent los puntos dl matial istn fuzas d intacción qu los vinculan y condicionan sus movimintos lativos. Una ápida obsvación nos indica qu si l sistma no intactúa con otos qu considamos tnos (cpto a tavés d la fuza d gavdad d la Tia, tind a una posición d quilibio qu s con l hilo tnso n dicción vtical. Acá convin hac nota qu la gavdad stá plícita n l nunciado al indica qu culga. Dbmos distingui sto d aggados qu hagamos nosotos po cso d intptación, y qu pudn da luga a olvida casos lvants, qu llamamos suposicions no plícitas y las abviamos po SNE. Si jcmos alguna fuza adicional sob l sistma lo apatamos d s quilibio. Vamos algunas posibilidads: -si aptamos la plota, s dfoma y al soltala tind a cupa su foma. Un caso paticula s cambia la psión ambint. -si sacudimos la plota ida y vulta con cita violncia, l hilo aliza movimintos ondulatoios. capítulo 7

8 3-si hacmos fuza sob la plota hacia abajo, l hilo s stia. Al solta, s cupa pacialmnt. Si la fuza s csiva, l hilo s omp. 4-si golpamos la plota hacia aiba, l hilo s apata d su foma ctilína. Es obvio qu hay una asimtía n l compotaminto dl hilo ant la tnsión o compsión. 5-si jcmos una cupla sob la plota, tind a ota. Si l momnto s sgún l hilo (y dpndindo d como s lo haya sujtado pud ocui qu al soltala quia gsa a su posición antio, y oscil alddo dl quilibio. 6-cualqui moviminto qu l impimamos qu no ompa l hilo, vmos qu dspués d un timpo quda oscilando como un péndulo o mas gnalmnt dscibindo una spial hasta dtns colgando vtical (péndulo bidimnsional. Est moviminto n vaivén s impotant no solamnt po su simplicidad, sino poqu vmos qu tin lmntos n común con muchas otas situacions n qu un sistma s apatado dl quilibio. En l análisis d sistmas físicos más o mnos compljos s común sgui sa scuncia d studio: Pimo buscamos las situacions d quilibio, lugo l compotaminto ant apatamintos dl quilibio paa cién ntoncs hac studios mas compljos. Est s un squma muy itoso n pat poqu los sistmas qu nomalmnt ncontamos stán cca d un stado d quilibio (al mnos n un sntido amplio dl témino. Posición d quilibio T T P P Fig... Fig... El pimnto nos pmitió nconta una condición d quilibio. Es aqulla n la cual l hilo s stia po acción dl pso hasta qu su fuza d stitución lástica compnsa la fuza pso d la plota (y su popio pso. El caso s dscito n la figua... Si stas son las únicas fuzas n jugo, no hay ninguna ota posición d quilibio, ya qu paa compnsa l pso l hilo db sta tnso, y la tnsión s hacia l gancho n la dicción dl hilo (fig... Hmos hcho una suposición no plícita (SNE, qu l hilo no jc sfuzos d cot (dijimos qu la fuza s l la dicción dl hilo, algo qu no podíamos poba. Rtomamos st tma más adlant. Moviminto alddo dl quilibio Analizamos paa st caso l moviminto pndula, (caso 6 ants dscito ya qu vimos qu hay otos posibls. Hamos vaias hipótsis capítulo 8

9 hipótsis fut : l hilo no tin masa. Con sto liminamos todos sus infinitos gados d libtad. Qu no tin masa significa qu no tin incia y no s ncsita ngía paa qu acompañ l moviminto. Sul plantas qu la hipótsis s válida po s su masa mucho mno qu la d la plota. Sin mbago l caso d moviminto ants nunciado indica qu s mas fut qu so. hipótsis fut : la plota s ígida. Sabmos qu la plota s dfomabl, po n l moviminto pndula no pac dfomas apciablmnt (la psión aodinámica vaía alddo d la misma cuando s muv spcto dl ai, quizás sta hipótsis no sa buna paa objtos mas blandos. Eliminamos con sto infinitos gados d libtad d la plota, convitiéndola n un cupo ígido. Al sistma l qudan 6 gados d libtad (las sis coodnadas qu dfinn l stado d un cupo ígido. hipótsis fut 3: la plota s puntual. Sólo pud tasladas. L qudan ts gados d libtad. Esta hipótsis pac simpl, po sgún como jzamos la fuza sob la plota va a tnd también a ota admás d tasladas. Al contasta nustas pdiccions dl modlo sultant con la pincia, s impotant valua si no stamos ponindo ngía n hac ota la plota. hipótsis fut 4: n l moviminto pndula la longitud dl hilo pmanc constant. Podmos inclui como pat d sta hipótsis qu l anclaj dl hilo al tcho s puntual y fijo. El pimnto nos indica qu l lago (al mnos n apaincia dl hilo pmanc constant. Sabmos po l caso 3 l hilo s stiabl y jc una fuza stitutiva, con lo qu s difícil asgua qu al pndula no stá también oscilando longitudinalmnt. Esta hipótsis nomalmnt s una SNE, con l isgo d qu no podmos vifica a postioi si s adcuada. Estamos ahoa ant una situación nuva. Hmos hcho hipótsis cuya validz no podmos gaantiza. Ant sto tomamos dos caminos posibls. a- Una vz hallada la solución, vificamos si s consistnt con la hipótsis (po jmplo calculamos la tnsión dl hilo y vmos si s constant: poblma 6. b- Eliminamos la hipótsis cuando tngamos hamintas d cálculo qu nos pmitan cambia po un modlo mas adcuado. (po jmplo qu l hilo s un sot. Sistma con un gado d libtad: Hasta ahoa l sistma qudó con dos gados d libtad. La plota s pud mov sob la supfici sféica d adio l o (lago dl hilo cntada n l anclaj n l tcho. Sgún como apatmos a la plota dl quilibio l moviminto pud quda stingido a un plano, oscilando hasta dtns (a mnos qu la acción tna nunca s apagu. Quins hayan lído l índic sabán qu l caso bidimnsional sá analizado n l póimo capítulo. Po lo tanto ahoa nos stingimos al caso unidimnsional. Esta s una sticción, no una hipótsis. Nos limitamos a studia las condicions inicials y fuzas qu no saqun a la plota dl plano lgido. Esto s posibl gacias a qu las fuzas d gavdad y tnsión dl hilo stán n l plano y hmos supusto qu l hilo no aliza sfuzos d cot (ppndiculas a su dicción. capítulo 9

10 Qu l sistma tnga un solo gado d libtad significa qu su stado pud s dscito con una sola coodnada. Dbmos lgi sa coodnada d modo qu nos sult mas sncilla la fomulación dl poblma. Habindo una posición d quilibio s convnint lgi la coodnada d modo qu valga co n dicha posición. En la figua..3 s musta una posibl coodnada, l ángulo qu subtind l hilo con la vtical. Utilizamos paa indica dicha coodnada la lta giga psiψ (mayúscula Ψ. l ψ T P Lys d consvación Como todo poblma dinámico, comnzamos a analizalo a pati d lys d consvación. Esto nos da una pima ida d los posibls movimintos. Dadas las fuzas psnts aún n l caso mas simpl (péndulo lib no s consvaán las cantidads d moviminto linal y angula. Analicmos la ngía. Engía cinética: Sindo l dsplazaminto s l o ψ.. y scibindo la vlocidad n función d ψ dψ v l ψ& o l o.. dt dond intoducimos como notación qu l punto indica divada spcto dl timpo. Quda E C ml o..3 ψ& Fig...3 dond m s la masa d la plota. Engía potncial gavitatoia: E mgh mgl ( cosψ..4 P o capítulo

11 qu s ilusta n la figua..4. Aquí g s la aclación d la gavdad. Hmos tomado l co n la posición d quilibio po comodidad. La psión analítica..4 s piódica, pus s pit cada vulta, moviminto qu no sía posibl n nusto caso po sta colgado d un tcho. Rstingimos adicionalmnt a -π/<ψ<π/. hipótsis fut 5: La aclación d la gavdad la hmos tomado como constant. Hasta ahoa a una SNE, ahoa d s ncsaio podmos valua cuan lvant s a nusto pimnto. Po lo ponto qu l hilo culgu d un tcho nos indica qu pobablmnt su longitud s mucho mno qu l adio d la Tia. Estimá qué o intoduc sta hipótsis. Ep/mglo,9,8,7,6,5,4,3,, - -,5 - -,5,5,5 Ψ Si apatamos la plota d su quilibio (mantnindo las sticcions ya impustas y la soltamos, caá hacia l quilibio, po al pasa po s punto ha adquiido ngía cinética y pasa d lago. Si no hay ningún mcanismo d disipación (fuza d ozaminto, llgaá al oto lado a la misma altua (consvación d la ngía. Al sta dtnida vulv a ca y gsa al punto d patida. S ncunta ahoa n actamnt la misma situación qu al cominzo, y po lo tanto ptiá l moviminto. El sultado s ntoncs un moviminto piódico como l ilustado n la figua..5 (s ha agado plícitamnt qu no s sinusoidal. Hmos hcho una hipótsis adicional d dspcia la disipación. Al aliza l pimnto vmos claamnt qu l péndulo tind a dtns. Cuan buna s sta apoimación (cuanto s apata sta pdicción d la alidad dpnd d la calidad d concodancia qu quamos nt l modlo y l pimnto. ψ Fig...4. Engía t Fig...5 capítulo

12 Si incluimos una fuza disipativa n l modlo, ntoncs ya no s consva la ngía, y la plota n su pima oscilación llga a una altua ncsaiamnt mno. Si tuviéamos una dscipción analítica d sta fuza, podíamos calcula actamnt cuanto mno sá sa altua. El moviminto cualitativamnt s pacá al gaficado n la figua..6. ψ t Fig...6 Ecuacions dinámicas: Paa obtn una dscipción mas dtallada dl moviminto dl sistma, analizamos ahoa las cuacions d moviminto. Como hmos impusto un vínculo qu obliga a un moviminto unidimnsional, dscomponmos las fuzas nt las tangncials a la tayctoia (ppndiculas al hilo tomadas positivas n l sntido ccint d ψ y las ppndiculas a la tayctoia (n la dicción dl hilo, las qu tomamos positivas si son cntíptas (n la figua..7 ambas componnts dl pso sían ngativas. Las cntíptas (indicadas con subíndic c nos pmitián calcula la fuza d vínculo ncsaia, mintas qu las tangncials (subíndic t nos daán l moviminto n si mismo. ψ T ψ P Fig...7 Epsamos la aclación tangncial n témino d la aclación angula (ψ& &, qu s la divada sgunda tmpoal d nusta coodnada: a t l o ψ& &..5 y po s un moviminto cicula d adio l o : a c l o ψ&..6 Igualando la fuza a la masa po la aclación: ma t mg sn + F R ψ..7 capítulo

13 ma c mg cosψ + T..8 Dond F R s la fuza d ozaminto. La pima cuación s la qu buscamos, la sgunda nos pmitiá nconta la tnsión dl hilo y v si algunas d las hipótsis s satisfacn (po jmplo longitud d hilo constant. Sin ozaminto Nuvamnt n la búsquda po simplifica l poblma, comnzamos po analiza la dinámica n ausncia d disipación: F R..9 Combinando..5 con..7 quda una cuación difncial d sgundo odn paa ψ: d ψ dt g l o snψ.. Como n l ango d intés l signo d snψ s l mismo qu l d ψ, stamos fnt a una aclación stitutiva (s opon al apataminto dl quilibio. Esto s consistnt con l análisis ya hcho sob la ngía y nos hac gana confianza sob no hab comtido os n l camino. Hamos una nuva apoimación qu no solamnt facilitaá la solución d la cuación, sino qu nos pondá ant un caso lvant po su gnalidad. Pquñas oscilacions Supondmos qu l apataminto dl quilibio s n todo momnto suficintmnt pquño como paa pod apoima la aclación stitutiva po una psión linal n la coodnada. Qu la aclación y po nd la fuza san linals n la coodnada quival a qu la ngía potncial sa cuadático n la misma, o sa qu stamos apoimando un potncial qu tin un mínimo po una paábola. Esto tin validz muy gnal paa pquños apatamintos, indpndintmnt d la foma paticula dl potncial, y po nd s llgaá a cuacions similas paa cualqui sistma unidimnsional ligamnt apatado dl quilibio. Dsaollando la función sinusoidal n si d potncias d ψ (coda qu l ángulo s mdido n adians: 3 sn ψ ψ ψ y n tanto 3 ψ >> ψ.. 3 la cuación.. quda: d ψ g ψ dt l o..3 Esta s la conocida cuación dl oscilado amónico lib. Hmos ncontado pus qu n l ango d validz d las apoimacions plantadas l compotaminto spado s una oscilación amónica (sinusoidal n l timpo. Y dado qu sta s una cuación d intés gnal qu tascind st caso, damos po tminado l planto dl mismo y pasamos al studio dl caso gnal. capítulo 3

14 . Oscilado amónico lib Como discutimos ants una cuación como la..3 s obtin cuando un sistma unidimnsional s apatado ligamnt dl quilibio y s lo dja oscila libmnt dspciando las fuzas disipativas. La aclación d la coodnada qu cosponda s igual a: mnos una constant positiva multiplicada po l apataminto dl quilibio. Escibimos sa cuación gnal como: d dt ψ o ω ψ.. Dond psamos la constant como un cuadado paa indica qu db s positiva. Ahoa l damos l paso a las matmáticas. Estamos fnt a una cuación d sgundo odn, po lo qu al intgala dos vcs paa halla la vaiabl d intés (ψ apacán dos constants d intgación. Buscamos una función qu divada dos vcs sa popocional a mnos sa función. Sabmos qu las funcions sn(at y cos(at satisfacn st quisito, po lo qu ya tndíamos las solucions si l damos l valo adcuado a la constant a. Utilizamos un método un poco distinto y psamos la solución d ota mana, un poco mas laga ahoa po qu dundaá n vntajas a mdida qu avancmos. Paa llo acptamos qu algunos d los paámtos qu apacn n nusta solución san númos compljos. A mdida qu avancmos, si l lcto no stá muy familiaizado con los númos compljos, comndamos acompaña la lctua con la dl apéndic. La cuación.. nos dic qu la función s popocional a su divada sgunda. Sabmos qu la función ponncial satisfac st quisito po lo qu poponmos una solución dl tipo: at ψ.. y sus divadas sán: ψ& a at aψ..3 & ψ a ψ& a ψ..4 y mplazando..4 n.. quda (paa todo timpo: a ω..5 + o qu s un polinomio n a dl mismo odn qu la cuación y cuyas aícs dan los valos d a tal qu la solución popusta s válida. Si a no satisfac la cuación..5 (polinomio caactístico, ntoncs.. no s solución d... Est polinomio tin dos aícs: a ± iωo..6 qu nos da dos solucions posibls: capítulo 4

15 i o ψ ω t..7a i o ψ ω t..7b Po s la cuación difncial linal, cualqui combinación linal d las solucions también sá solución (v poblma 9, po lo qu la solución gnal tndá la foma: ψ Aψ + Bψ A iω t + B iω t o o..8 Nóts qu po tn l polinomio caactístico l odn d la cuación difncial, l númo d solucions s igual al númo d aícs dl polinomio, o sa al odn d la cuación. Al hac la combinación linal d sas solucions apacn tantas constants como odn d la cuación, y son pcisamnt las constants d intgación spadas. Las constants A y B saln pus d planta las condicions inicials, mintas qu la constant ω o s una magnitud caactística dl sistma físico, la aclación stitutiva al quilibio. Como ncsitamos qu nusta solución sa al y no complja, la combinación linal db s tal qu la solución sa al. Un camino altnativo lo da l poblma 3, ya qu si hallamos una solución complja, su pat al también sá solución. Tomamos ntoncs como solución: iω R{ A o t iωot B } iωot iωot ψ + { A + B } + c. c...9 dond c.c. indica l conjugado compljo (v apéndic. Como aún no hmos dtminado las constants A y B, l facto ½ pud s absobido po las constants. Dsaollando la psión..9 y agupando los téminos d fcuncia ngativa i ot ( ω i ot y los d fcuncia positiva ( ω podmos obtn una psión mas convnint: iω * * * A o t iω ot iω ot iω ot iω ot ψ + B + B + A ( A + B + c. c... y scibindo la constant complja A+B * C iφ, agupando las ponncials quda: i( ω o t +φ ψ C + c. c... Nota qu con st cambio d notación sguimos tnindo dos constants d intgación (ahoa C y φ. Si analizamos la solución complja gáficamnt vmos qu l pim témino s un vcto qu ota con fcuncia angula ω o n l sntido antihoaio y su compljo conjugado ota n sntido hoaio, con módulo C y qu φ s l ángulo qu foma con l j al n instant inicial (fas inicial. Escita n su foma al quda: ψ C cos( ωo t + φ ψ M cos( ωot + φ.. dond vmos qu la amplitud ψ M s dos vcs l módulo C ya qu n cada vulta s ncuntan ambos téminos cuzando l j al al mismo timpo y suman constuctivamnt. Caso paticula: s sulta l péndulo dsd un ángulo ψ o. Vamos como s calculan las constants C y φ. La posición a t sá: ψ C cos( φ ψ o..3 y la vlocidad inicial, qu s obtin d diva..: ψ& ( t Cωo sn( φ..4 capítulo 5

16 d..3 C no pud s nula, po lo qu n..4 db s sn(φ, qu s satisfac paa φ. Instando st sultado n..3 quda C ψ o. Con lo qu a pati dl dato d la posición y vlocidad inicial hmos obtnido las dos constants d intgación. Oto jmplo: l sot. Oscilacions longitudinals. El sot no s más qu la idalización mcánica dl oscilado amónico. S dnomina sot a un aollaminto hlicoidal d un alamb típicamnt mtálico ( poqué mtálico? qu tin una foma n poso a la cual intnta volv si s dfomado. En foma más gnal s utiliza l témino paa cualqui dispositivo mcánico qu psnta una fuza stitutiva lástica. Cualquia sa l sistma, l compotaminto linal con la dfomación d la fuza stitutiva (ly d Hook no pud s mas qu una apoimación válida paa cito ango d valos. Tad o tmpano l sistma sufiá dfomacions pmannts al s somtido a fuzas csivas o polongadas. Si ahoa l o psnta sa longitud d poso dl sot, so no significa qu s su longitud d quilibio n una situación mcánica dada. Po jmplo si s culga dl mismo un cupo d masa m, l pso stiaá l sot a una nuva situación d quilibio. Ant sta nuva situación pimntal s común hac un gan númo d apoimacions y suposicions hasta llga a un modlo unidimnsional paa l qu val: d l m k( l lo + mg..5 dt Qué s ha supusto sob la masa dl sot paa qu sa válida sta cuación? Constuya las hipótsis qu consid ncsaias paa llga d una situación al a la cuación..5. La nuva posición d quilibio l s cuando mgk(l -l o, si s qu paa tal stiaminto sigu valindo la apoimación linal. Dfinindo la coodnada nuva como l apataminto dl quilibio amónico: ψ l l s obtin la cuación paa l oscilado. d ψ k ψ dt m qu s la cuación dl oscilado amónico ants dscita. Oto jmplo: l sot. Oscilacions tansvsals. l θ l o a Fig... Analicmos l jmplo psntado n la figua... Oto jmplo intsant s l psntado n la figua dl poblma 4. Acá la masa stá sujtada po dos sots, y si capítulo 6

17 s analiza la oscilación tansvsal y no longitudinal, la fuza stitutiva no sulta popocional al apataminto. La componnt d la fuza qu intsa s n la dicción dl apataminto y no a lo lago dl sot. Dicha fuza paa un sot sulta: F Fsn( θ k( l lo / l k( lo / l..6 y s ncsaio dsaolla sta psión a pim odn potncias d. Paa llo hay qu scibi l n función d : l + Como n..6 ya hay un témino linal con, hay qu dsaolla l paéntsis solamnt a odn co paa qu l poducto qud dsaollado a pim odn. Po lo tanto basta con mplaza l po a, qu n..6 quda: a..7 d k l ( o..8 dt m a Cab nota qu la aclación stitutiva sultant (y po lo tanto la fcuncia s mno qu l caso d stiaminto longitudinal. En sta apoimación lo qu hmos hcho s supon qu al movs la masa n la dicción ppndicula al sot, l stiaminto s constant n l moviminto y la fuza oscila dbido a la apaición d una poycción qu dpnd dl ángulo. Es simila al caso dl péndulo n qu la fuza no vaía, po la componnt stitutiva sí. Una apoimación intsant qu a vcs facilita la solución s la qu s pud aliza cuando l sot stá muy stiado (y sigu sindo un sot, o sa admás s muy stiabl. En st caso val a >> l o..9 y la cuación..8 quda coincidnt con la longitudinal (n st límit la fcuncia tansvsal coincid con la longitudinal. d k (.. dt m.3 Engía dl oscilado amónico lib Analicmos ahoa qu ocu con la ngía n st oscilado. Paa comnza codmos qu la fuza stitutiva s popocional al dsplazaminto, lo qu significa qu la ngía potncial (su intgal spcto dl dsplazaminto db s cuadática con l mismo. La gnalidad d st hcho povin d qu si stamos analizando pquños dsplazamintos alddo dl quilibio, la ngía potncial db tn un mínimo. Eligindo co l valo d la coodnada n dicho mínimo y l valo d la ngía potncial E P, al dsaolla la ngía n potncias d la coodnada s obtin: E de dψ d E dψ d E dψ P P P P ( ψ EP ( + ψ + ψ ψ C ψ.3. Si l témino d sgundo odn también sultaa nulo, ntoncs había qu sgui con ódns supios, po n s caso no s obtndía un oscilado amónico, ya qu la fuza stitutiva sía d odn supio (potncias mayos a uno. D todos modos sto ocu n muy aas ocasions, como n casos paticulas d tansfomacions d fas qu s studian vntualmnt n cusos avanzados d sólidos. Tnmos pus una foma d ngía popocional a la coodnada al cuadado. La ngía cinética po oto lado sá popocional al cuadado d la vlocidad (o sa la divada tmpoal d la coodnada. Acá s impotant tn psnt qu la capítulo 7

18 coodnada qu lgimos no ncsaiamnt s popocional al dsplazaminto mas qu a pim odn n l dsaollo (v poblma. La ngía cinética tndá la foma: & & y podmos calcula ambas a pati d la solución.. como E C ( ψ Cψ.3. EP ( t Cψ M cos ( ωot φ EC ( t C ψ Mωo sn ( ωot φ Paa l caso dl péndulo con la coodnada lgida d las cuacions.. y..3 s C ½mgl o y C ½ml o. Po l análisis pvio sabmos qu ambas dbn toma l mismo máimo, qu paa la ngía potncial (cuación.3.3 ocu cuando l cosno val, y paa la cinética (cuación.3.4 cuando l sno s uno (sto ocu a timpos distintos, o sa qu C Cω o.3.5 Cuando la vlocidad llga a sus máimos módulos la posición pasa po co y vicvsa. S dic qu la coodnada y su vlocidad stán n cuadatua. La ngía total sulta: E T ( t C ψ M cos ( ωot + φ + Cψ M sn ( ωot + φ Cψ M.3.6 qu como ya sabíamos s consva (no s función dl timpo..4 Oscilado amónico con disipación Hasta ahoa hmos considado una situación idal n qu no hay fuzas disipativas. Nusto pimnto nos dic qu tad o tmpano l péndulo tndá a dtns, s dci qu pdá su ngía mcánica como conscuncia d alguna fuza disipativa. Paa solv l poblma dinámico s ncsaio da la psión plícita d la fuza d ozaminto. Conocmos d mcánica dos fuzas disipativas modlo: a F R -µ D N si stá n moviminto (l signo mnos paa indica qu s opon al moviminto y F R µ E N si stá n poso (µ D y µ E son los spctivos coficints d ozaminto. b F R -γv El caso a tin la dificultad analítica d obliga a cambia d signo n cada punto d tono, valua si n dicha posición s vnc l ozaminto stático y volv a scibi la cuación. Su gado d dificultad s tal qu lo djamos como jcicio. El caso b s más fácil d intoduci analíticamnt y po lo tanto s l qu discutimos acá. Sá l pimnto n todo caso l qu nos diá cual s l mas adcuado (si alguno lo s paa cada situación, a mnos qu tngamos un modlo ya pobado qu nos induzca a acpta uno u oto. Po jmplo, uno spaía qu n l péndulo l ozaminto con l ai s ajust más a la psión b, po cómo sá l ozaminto dl hilo con l gancho, o la ficción intna dl hilo al dfomas? Cuál s l mcanismo dominant? Vifica l modlo con l pimnto sá lo qu nos pmita i ganando confianza n l modlo. capítulo 8

19 Nóts qu hmos dicho ganando confianza y no dmostado, ya qu los pimntos nunca dmustan la validz d un modlo, solo nos pmitn i ganando confianza n sus pdiccions. No s vifica pimntalmnt un modlo, solamnt s vifican algunas d sus pdiccions dnto dl o pimntal. La nuva cuación sá: d ψ ω ψ γψ& o dt.4. dond las unidads d γ son las mismas qu la fcuncia. La cuación sigu sindo linal y psa qu la función s popocional a una combinación d sus divadas. Utilizamos ntoncs l mismo método qu paa l oscilado lib y poponmos como solución la..: at ψ.4. con sus divadas..3 y..4 qu mplazadas n la cuación difncial.4. da l nuvo polinomio caactístico: a γ a + ω o y nuvamnt los valos pmitidos dl paámto a son las aícs γ γ ±.4.4 a ω o stas aícs sán als si l témino dnto d la aíz cuadada s positivo, sto s si la disipación s tan gand qu domina sob la oscilación. Si l ozaminto s tan gand qu l sistma no llga a oscila s lo dnomina oscilado sobamotiguado. Gafica st caso s dja como jcicio. No s l caso d intés paa la tmática d st libo y s lo pospon paa otos cusos. Analizamos l caso n qu l ozaminto s pquño y l sistma aliza muchas oscilacions ants d pd una facción apciabl d su ngía. Es l caso γ << ω o n st caso tnmos dos aícs compljas.4.5 γ a ± iω'.4.6 con γ ω ' ωo < ωo.4.7 Tnmos ntoncs dos solucions posibls ψ γ t t i ω '.4.8a capítulo 9

20 ψ γ t iω ' t.4.8b Y pitindo lo hcho paa l oscilado lib, tnmos como solución gnal la combinación linal d llas, apacindo nuvamnt dos constants d intgación, po s una cuación d sgundo odn. Nóts qu l témino ponncial dbido a la disipación s dccint n l timpo y común a ambas solucions. La solución gnal s pus: ψ C γ t i( ω ' t+ φ γ t + c. c. ψ M cos( ω' t + φ.4.9 Esta solución pud intptas como una oscilación amónica d fcuncia angula ω, fas inicial φ y amplitud qu dcc n l timpo ψ M. En la figua.4. s musta l aspcto típico d una oscilación d stas caactísticas. γ t.4. oscilado amotiguado; ω o, γ. Lína patida: témino ponncial capítulo

21 .5 Engía dl oscilado amónico con disipación A pati d las cuacions.3.,.3. y.3.5 podmos scibi la ngía total como E ( t C [ ω ψ + & ].5. T o ψ y s ahoa la divada tmpoal: γ γ ψ& ψ t [ cos( ω' t + φ ω' sn( ω' t + ] φ M.5. intoducindo.5. usando.47 n.5. (lugo d muchas cuntasla ngía quda: γt γ γ ET Cψ M { ωo + ω' sn[( ω' t + φ ] + cos[( ω' t + φ ]}.5.3 Nota qu la ngía oscila al dobl d la fcuncia dl oscilado, lo cual s azonabl si pnsamos qu l módulo d la vlocidad s máimo dos vcs po oscilación (una n cada sntido. Podmos scibi.5.3 d una mana mas compacta: γt γω ' γ E T Eo sn[( ω' t φ ] cos[( ω' t + φ ].5.4 ω o ω o El témino nt cochts s piódico y s pit n paticula cada vz qu s cumpl un píodo complto. Llammos a s témino f(t : γt ET Eo { f ( t }.5.5 Si calculamos la ngía pdida n una oscilación (un píodo como la ngía n l timpo t mnos la ngía n t+t, s obtin: γt γ ( t+ T γt γt ET ( t ET ( t + T Eo f ( t Eo f ( t + T Eo f ( t ( ET ( t (.5.6 γt dond s ha utilizado qu f(tf(t+t. Si admás utilizamos la condición.4.5 (condición d disipación baja, podmos dsaolla l último paéntsis n potncias d γt a pim odn como: γt γt.5.7 Y obsvando qu n l último témino d la cuación.5.6 admás d st paéntsis apac nuvamnt la ngía total n t, la vaiación d ngía n un píodo quda: πγ π ET γett ET ET.5.8 ω' Q dond l facto Q así dfinido s lo dnomina facto d méito dl oscilado, ya qu indica n cuantas oscilacions pid una facción apciabl d su ngía. Paa oscilados mcánicos s bun jcicio qu stimn valos típicos d Q (sots, péndulos, péndulos d tosión, diapasons, tc.. Cuanto mas gand st númo más s apoima l oscilado a un oscilado lib idal. capítulo

22 .6 Oscilado amónico fozado Hasta ahoa al oscilado lo apatábamos dl quilibio y lo djábamos voluciona. Vamos ahoa qu ocu si lo somtmos a una fuza qu vaía n l timpo y analizamos su moviminto mintas sa fuza s aplicada. Esta clao qu n l momnto qu djamos d aplica la fuza l sistma volucionaá como lo hmos dscito ants (cuación.4.9 con las condicions inicials aqullas n qu s ncunt al dja d aplica la fuza. La acción tna la indicamos como una aclación gnalizada a(t, qu s la qu apac sob la coodnada gnalizada ψ (su divada sgunda. Paa convtila n fuza hay qu multiplica po la masa y la constant d convsión d ψ a un dsplazaminto (po jmplo l o n l caso dl péndulo ants dscito. La nuva cuación d moviminto s: d dt ψ o dψ + ω ψ + γ dt a( t.6. Qué spamos? Hamos un pquño jcicio d pdicción cualitativa. Est s un cuso impotant al ncaa un poblma, pus nos ointa a busca la solución po un lado, nos pmit v la azonabilidad d la solución qu s obtnga y finalmnt nos pmit mdi si stamos tnindo alguna intuición sob la física involucada. En pim luga sabmos qu l sistma tin una fcuncia popia a la qu l gusta oscila (falacia patética. Si nosotos lo fozamos a una fcuncia mucho mno, s muy pacido al caso stático, aplico una fuza y s stia (si s un sot popocional a sa fuza. El moviminto sigu a la fuza n fas, o sa oscila a la misma fcuncia qu la fuza tna. Po oto lado si lo cito con una fcuncia muy alta (mucho mayo qu la popia la incia db juga algún ol, spamos qu no puda spond instantánamnt a dicha fuza y l moviminto s atas. Si lo citamos a la fcuncia popia dl sistma, podíamos nconta una solución n qu la fuza qu alizamos compnsa justo la fuza disipativa. Pa llo pnsmos qu si l sistma oscila sin fuza tna, la fuza disipativa s popocional a la vlocidad, qu vaía snoidalmnt a la fcuncia popia. Si la fuza tna s snoidal, habá una amplitud d moviminto n la qu cancla justo la fuza disipativa (si s ajusta l moviminto a la fas cocta. Esto s así simp qu la fuza vaya n l mismo sntido qu la vlocidad, o sa si la vlocidad y la fuza stán n fas. El moviminto tndía qu quda n cuadatua con la fuza. Habiéndos canclado la fuza disipativa con la fozant l moviminto sá l dl oscilado lib. Esto solamnt pud ocui si s lo fuza a la fcuncia popia dl sistma. Vamos ahoa un poco d matmáticas sob como solv st poblma. Supongamos qu somos capacs d halla solucions a st poblma, y san ψ p y ψ p dos d dichas solucions. Podmos dmosta qu su difncia ψ ψ ψ.6. h p p s solución d la cuación homogéna, o sa con a(t. Paa sta dmostación basta con mplaza.6. n la cuación homogéna y utiliza.6. paa cada una d las solucions paticulas. Nota qu sta s pcisamnt la cuación ya sulta.4.. Po lo tanto como conocmos todas las solucions a dicha cuación (todas las posibls ψ h, con solamnt nconta una ψ p tndmos todas las solucions posibls a.6., capítulo

23 ya qu cualqui ota solución po.6. sá la ya hallada más alguna d las solucions homogénas también conocidas. A ψ p s la conoc como solución paticula, y a las ψ h como solucions homogénas. La solución paticula dpndá d la foma paticula (valga la dundancia d a(t. Analicmos l caso a( t ao cos( ωt.6.3 Vmos más adlant qu sta foma funcional tin impotancia po vaios motivos, una poqu muchos sistmas als son citados pcisamnt d sta foma, ota poqu cualqui ota foma funcional d intés pud s scita como supposición d fomas amónicas d distintas fcuncias (Foui. Po oto lado s una mana d invstiga las popidads dl sistma llamada spctoscopía n la qu s studia pimntalmnt la spusta dl sistma a citacions amónicas vaiando d mana continua la fcuncia n l ango d intés (o sa n l ango n qu s spa nconta las sonancias. Utilizamos nuvamnt la notación complja paa facilita nconta una solución paticula. Popongo una aclación fozant: iωt a( t a o.6.4 dond la pat al coincid con la popusta.6.3. La pat al d la solución paticula qu ncunt paa.6.4 sá solución paticula paa.6.3 (dmostalo. Nuvamnt sulta azonabl nsaya con una solución ponncial popocional a.6.4: i t ψ p C ω.6.5 mplazando n.6. con.6.4 s obtin la cuación algbaica: ( ω o ω + i ωγ C a o.6.6 con lo qu s ncontó la solución: a a ( ω ω iωγ C.6.7 o o o ( ω o ω + iωγ ( ω o ω + ( ωγ dond s ha utilizado l tuco d multiplica y dividi po l conjugado dl dnominado, paa qu qud una psión plícita paa las pats als imaginaias. Escibindo: CA-iB.6.8 La solución buscada, qu s la pat al d.6.5 quda: ψ p Acos( ωt + Bsn( ωt.6.9 con ( ωo ω A.6. ( ω ω + ( ωγ a o o a o ωγ ( ω o ω + ( ωγ B.6. En la figua.6. s pud v un gáfico típico d stas dos funcions. Hmos mantnido la spaación nt pat n cosno y n sno, pus ahoa la fas tin un capítulo 3

24 significado muy pciso pus s la lación nt la fas dl moviminto y la fas fozant. Si cambiamos l oign d timpo, cambia n la misma magnitud la fas dl fozant y la dl moviminto, mantniéndos la difncia. Nóts qu n la solución paticula no apac ninguna constant d intgación, ya qu las dos ncsaias stán n la pat homogéna qu dbmos suma paa obtn la solución complta: ψ ψ p + ψ h.6. Esta solución gnal s ajusta con las condicions inicials, qu dtminan los valos d los coficints contnidos n ψ h. Si analizamos la foma d sas solucions, vmos qu ψ h dca con un timpo caactístico τ / γ, po lo qu si djamos pasa un timpo gand compaado con τ, la pat homogéna d la solución s habá hcho tan pquña qu sulta dspciabl. Entoncs ψ ψ p paa t>>τ.6.3 B A.6. oscilado fozado (idénticos paámtos a.4. capítulo 4

25 A B C Fig..6. Oscilado fozado. Paámtos ω4, ω o ; γ,. A solución homogéna (s obsva como tind a tinguis. B Solución complta (s obsva como tind a la solución stacionaia.. C idm B dtall dl tansitoio. A sta solución a timpos lagos s la dnomina stado stacionaio, y s la qu s utiliza habitualmnt paa dscibi l moviminto sultant ant un oscilado fozado. No hay qu pd d vista qu la solución así psada val solamnt paa timpos lagos. En st caso l sistma pid mmoia d su stado inicial y quda dominado po l fozant. En la figua.6. s ilusta la volución tmpoal paa l caso d un oscilado fozado n qu s incluyn las solucions homogénas. S pud obsva como s van tinguindo las oscilacions n las fcuncias popias dl sistma, qudando oscilando a timpos lagos a la fcuncia dl fozant. Analicmos un poco l sultado obtnido. Paa llo vamos la lación nt la componnt n cuadatua (B y la componnt n fas (A con l fozant, a pati dl cocint nt.6. y.6.: t(s B A ωγ ωγ ( ω ω ( ω + ω( ω ω o o o.6.4 Analizamos pimo ljos dl pico, o sa ω o ω >> γ.6.5 n st caso quda B A ω γ << ( ω + ω ω ω o o.6.6 capítulo 5

26 con lo qu: B << A.6.7 o sa qu domina l témino n fas. Si stamos a la izquida dl pico, o sa cca dl co n fcuncia, A s positivo, y significa qu l oscilado sigu a la fuza. En paticula n ω, s A ω qu s la solución stática (paa l péndulo qudaía a o / o kl o ψ F. Si ω << ωo sulta A a o / ωo y l moviminto sigu a la fuza n foma cuasistática (tomando n todo instant l valo d quilibio ψ ( ao / ωo cos( ωt. Si ω >> ωo l moviminto stá actamnt n contafas (A s ngativo con la fuza. Justo n ω ωo l témino n fas s anula (A, y quda actamnt n cuadatua, con un valo paa B: a B.6.8 ω o oγ con lo qu a ψ o sn( ωot ωoγ.6.9 a ψ& o cos( ωot γ qudando γ ψ& a( t.6. qu indica qu la funt tna justo compnsa l ozaminto n cada instant d modo d apovcha al máimo l tabajo d la fuza tio paa sustnta l moviminto. Vmos qu st sultado coincid con nustas pctativas dl análisis pvio..7 Engía, potncia y sonancia La fuza tna amónica stá alizando un tabajo sob l oscilado, y como discutimos ants sá simp positivo si la fuza stá n fas con la vlocidad, lo qu ocu solamnt n ω ωo. Vamos ntoncs como s st tabajo n función d la fcuncia. Como ψ s una coodnada gnalizada, la vlocidad s popocional a su divada tmpoal y la fuza popocional a la aclación gnalizada a. La potncia qu ntga la fuza tna s popocional ntoncs al poducto d la aclación po la divada tmpoal d la coodnada: P aψ & aoω cos( ωt[ Asn( ωt + Bcos( ωt].7. dond la constant d popocionalidad dpndá d la coodnada gnalizada paticula qu hayamos lgido. En l caso paticula dl péndulo ants dscito apacá ml o paa pasa d la aclación gnalizada a la fuza y oto l o paa pasa la vlocidad gnalizada a vlocidad, con lo qu hubia qudado: P mlo aψ&..7. Ragupando.7. llgamos a: capítulo 6

27 P aoω[ B cos ( ωt Asn( ωt ].7.3 Vmos qu l pim sumando no cambia d signo n l timpo ya qu povin dl moviminto n qu la vlocidad sta n fas con la fuza. El sgundo sumando, qu povin dl moviminto n qu la vlocidad sta n cuadatua, oscila cambiando d signo ya qu a vcs la vlocidad tin l mismo signo qu la fuza (l sistma cib l tabajo y a vcs s oponn (l sistma aliza tabajo conta l tio. Si dnominamos como <f> al pomdio tmpoal d cualqui función dl timpo n un píodo d oscilación, qu s obtin como: < t + T / f ( t > f ( t' dt '.7.4 T t T / qu s quivalnt a busca l valo constant qu ncia l mismo áa n un piodo. En la figua.7. s ilusta l caso d una función piódica cualquia y s musta l ctángulo qu ncia igual áa po píodo, qu sulta s l d altua unidad n st caso. Entoncs paa la potncia ntgada po la fuza tna s tin: < P > T + / t T o tt / a ω [ B cos ( ωt' Asn(ωt'] dt' T.5 + f(t t Fig..7.: Ilustación dl concpto d valo mdio d una función piódica. El sgundo sumando n l intgando oscila dos vcs n T, po lo qu su intgal fácilmnt s pud dmosta qu s anula. El cosno cuadado s simp positivo, va nt y d mana simética, po lo qu su valo mdio sá ½ (s dja la intgal como jcicio. Quda pus (usando.6.: capítulo 7

28 ω γ < P > ωb.7.6 a o ( ωo ω + ( ωγ y obsvando qu toma su valo máimo (qu llamamos P o n psado como Pω γ < P > o.7.7 ( ω ω + ( ωγ o ω ω, quda o Paa l caso paticula dl péndulo s hubia obtnido: ml a P o o o.7.8 γ Hagamos un análisis d st sultado: En pim luga notmos qu l tabajo alizado po la fuza n custión n un ciclo complto s la potncia mdia multiplicada po l píodo. Paa fcuncias muy bajas (situación cuasistática la potncia instantána (.7.3 s casi co pus la vlocidad s muy pquña (popocional a ω. Po st no s l motivo po l qu s anula la potncia mdia, ya qu cuanto mas pquña s la fcuncia, mas lago l timpo d intgación (T. La potncia mdia s anula poqu l tabajo nto n un ciclo a baja fcuncia s nulo, ya qu l oscilado s mpujado la mitad dl ciclo y fnado la ota mitad. Cuando la fcuncia d citación coincid con la popia, l moviminto quda n cuadatua con la fuza qu sulta sta simp mpujando. S tin allí la máima amplitud d moviminto y la máima tansfncia d ngía d la fuza tna al sistma. A sta condición n qu s cita al sistma a su fcuncia popia y s obtin la máima tansfncia d ngía s la dnomina sonancia. Paa altas fcuncias, nuvamnt tind a co la potncia mdia y la amplitud quda ducida a valos muy pquños. Paa halla l ancho d sta cuva, buscamos los valos d ω paa los cuals la potncia s duc a la mitad: P P o ω γ < > P o.7.9 ( ω ω + ( ωγ o qu s satisfac paa ( ω o ω ( ωγ.7. qu tin dos solucions positivas (las qu buscamos y dos ngativas qu no tinn significado. Las solucions son: γ γ ω, ωo + ±.7. y la distancia nt ambas (ancho total a altua mitad d la cuva s ω ω ω γ.7. τ o altnativamnt capítulo 8

29 τ ω.7.3 Hmos llgado a una lación impotantísima d la física sob la qu volvmos n muchas opotunidads, y s qu l poducto dl ancho d la cuva d sonancia multiplicado po l timpo d spusta dl sistma s un númo dl odn d la unidad. Obsvmos qu si alizamos un pimnto n l cual vamos vaiando la fcuncia d citación a amplitud fozant constant y mdimos la ngía ntgada al sistma (absoción l máimo d la cuva nos da la fcuncia popia ω o y l ancho nos da l valo dl coficint d disipación γ. Est tipo d mdicions no quin d un sguiminto tmpoal d la volución dl sistma y ni siquia dl conociminto dl stado inicial dl mismo, po llo s ha convtido n un métodos d caactización d sistmas físicos muy difundido conocido como spctoscopía..8 La Lontziana En muchos sistmas físicos d intés l facto d méito Q d las sonancias s alto, s dci val la lación.4.5 qu codamos: γ << ω o.8. Si dsamos v la foma d la cuva d sonancia n la gión dond toma valos significativos, sto s paa ω ω o << ω o.8. Podmos simplifica l dnominado común a tantas psions antios qu s:.8.3 D( ω ( ωo ω + ( ωγ ( ωo + ω ( ωo ω + ( ωγ Y usando las apoimacions ants mncionadas, mplazamos ω o + ω po ω o y ωγ po ω o γ, qudando:.8.4 D( ω 4ω o[( ωo ω + ( γ / ] A la foma funcional obtnida, qu si la nomalizamos paa qu su valo máimo sa la unidad quda: R ( ω.8.5 ( ωo ω + ( γ / s la dnomina cuva Lontziana o cuva d Lontz. En la figua.8. s ha gaficado un jmplo d sta cuva (cuva n guions, con ω o y γ. S la compaa con la psión sin apoima (cuva llna.. capítulo 9

30 .8.-a Potncia disipada: compaación nt psión acta y apoimación..8.-b Potncia disipada: Si s calcula la ngía mdia almacnada, la potncia mdia pdida po ozaminto o la amplitud dl moviminto n cuadatua con la fuza con stas misma apoimacions, s obtin la misma foma funcional. Db notas qu la psión.8.5 s simética spcto d la sonancia, cosa qu no ocu con la psión pvia capítulo 3

31 a la apoimación. S dja como jcicio sugido pti stas apoimacions paa las cuvas cién mncionadas..9 Oto caso d studio Obsvamos n una plaza n las hamacas dos chicos. En l pim caso la mad lo mpuja paa mantn la oscilación. En l sgundo l chico s hamaca solo, sin ayuda tna. Podmos dscibi stos movimintos n bas a lo studiado? Aclaación: no s busca una plicación sociológica o sicológica sob la lación con los pads. La pgunta s sob la física d la situación. Est caso quda paa la discusión n clas. S sugi simula ambos casos con l modlo mpíico d la plota qu culga dl hilo. capítulo 3

32 Apéndic I: númos compljos Tinn la foma: za+ib Con a y b númos als i - Dond a s la pat al y b la pat imaginaia y s dnota como: R(za Im(zb S los psnta n l plano con la pat al n la abscisa y la imaginaia n la odnada. Im b ρ z a φ a R Módulo: z a + b Suma d compljos: z a +ib z a +ib z + z a +ib +a +ib a + a + ib +ib R(z + z R(z + R(z Im(z + z Im(z +Im(z Nota: n la fpsntación gáfica s cospond a la suma d vctos. Poducto d compljos: z. z (a +ib (a +ib (a a -b b +i(a b - a b Nota qu l la pat al dl poducto NO s l poducto d las pats als. Notación pola: z ρ (cos φ + isnφ con ρ z Notación ponncial: φ i cosφ + isnφ Nota qu: iφ cos φ + sn φ Poducto n notación ponncial: iφ iφ i( φ + φ z.z ρ ρ ρρ d dond z.z ρ ρ z. z z ρ iφ ponnt compljo: capítulo 3

33 z a+ ib a ib o sa: a ρ y φ b Divadas: z(tf(t+ig(t z & f& + ig& con f y g funcions als Dsaollo n si: 4 cos( φ φ + φ φ 4! ( n! n n n+ sn( φ φ φ + φ φ ! 5! ( n +! iφ 3 n + iφ + ( iφ + ( iφ ( iφ +... cos( φ + isn( φ 3! n! n Compljo conjugado: iφ z a ib ρ ρ(cosφ isnφ z + z a + ib + a ib a n notación ponncial: R( z z z iφ iφ iφ iφ z + z ρ + ρ + ρ ρ cosφ pus iφ iφ + cosφ análogamnt iφ iφ snφ i z z i a + ib a + ib i b Im( z ρsnφ con lo qu una mana d halla las pats als o imaginaias s suma o sta l compljo conjugado. Poducto po l conjugado: iφ iφ i( φ φ z z ρ ρ ρ ρ z y usando sto s pud scibi la invsa como: z z z z z z psión qu facilita halla las pats als imaginaias d la invsa. capítulo 33

34 Guía Encunt la pat al, l módulo, la fas y l conjugado d iwt iφ z z ρ a + ib iφ iφ z A + B con A, B, ρ y φ als. z a+ ib iφ i z + φ Esciba la cuacion dl pndulo usando como coodnadas: a b z c ξsnψ Esciba la ngia potncial y cintica n dichas coodnadas. Discuta cuals lccions son azonabls y cuals no, y poqu. - Rsulva l pndulo n pquñas oscilacions tomando como coodnada l ángulo nt l hilo y la hoizontal (tcho. 3 Dmust qu si ψ s una solución matmática complja d la cuación dl oscilado amónico, su pat al tambin s solución. z ψ Pob 4 Esciba y sulva las cuacions d moviminto paa los siguints sistmas. a Péndulo d longitud l n un campo gavitatoio constant g. Discuta todas las apoimacions alizadas. Dmust qu sin dichas apoimacions la supposición linal d dos solucions no s solución (l sistma no s linal b Oscilacions longitudianls dl sistma d la figua paa los dos casos límit: i sot poco stiado ii sot muy longabl (slinky. c Oscilacions tansvsals dl sistma d la figua nuvamnt paa los mismos dos casos límit. Analic cuidadosamnt las apoimacions alizadas y paa l caso i, dsciba las difncias nt sots inicialmnt longados (l>l y aqullos inicialmnt lajados (ll. En todos los casos discuta l significado dl límit cuando la constant stitutiva tind a co. Compa las fcuncias d los modos longitudinals con los tansvsals. 5-Rsulva l sot vtical con un pso colgado usando como co d coodnadas la dl sot n poso sin pso. Esciba la ngía potncial (gavitatoia mas lástica y ncunt l quilibio y la cuvatua. Al oscila, la ngía potncial s solo la dl sot o tambin oscila la potncial gavitatoia? 6-calcul la tnsión dl hilo n función dl ángulo paa un péndulo n pquñas oscilacions. Discuta la validz d la hipótsis d longitud d hilo constant. D valos d odn d magnitud azonabls a los paamtos qu ncsit paa la discusión. Discuta la validz d la apoimación gconstant. 7 Oscilado amotiguado. Si la condición inicial s ψψ o y ψ&. Encunt la solución a la cuación d miviminto y sciba cual s la ngía inicial. l k m l k capítulo 34

35 8-s tin un péndulo qu oscila con una disipación tal qu su amplitud s duc un % cada oscilacions. Con qu pcisión dbíamos dtmina su longitud paa nota l coiminto n su fcuncia dbido al ozaminto? 9-vifiqu qu si ψ y ψ son solucions d la cuación dl oscilado amónico lib, cualqui combinación linal ψaψ +Bψ tambin s solución. Must qu sto tambin val si la fuza disipativa s popocional a la vlocidad. Val si s un ozaminto constant? Paa un péndulo con fuza d disipación popocional a la vlocidad calcul l tabajo qu aliza la fuza d ozaminto y compálo con la pédida d ngia. -Rsulva un oscilado amónico lib al qu s l agga una fuza d ozaminto constant. Sugncia: sulva cada mdia oscilación aggando la fuza qu cambia la posición d quilibio. Calcul l moviminto cada mdio ciclo. Evalu como cambia la amplitud cada mdio ciclo. Calcul como s sa amplitud máima n función dl númo d oscilación y compála con una fuza disipativa popocional a la vlocidad. -gafiqu las solucions al oscilado amotiguado n l caso d amotiguaminto cítico y n l sobamotiguado. 3-a sulva d mana complta l oscilado fozado citado n l pico d sonancia ( ω ωo con la condición inicial d sta n poso n su posición d quilibio. b simplifiqu la psión paa l caso n qu γ << ωo y gafíqula paa pon n vidncia como l sistma tind a su solución stacionaia. 4 Constuya un péndulo d tosión, mida sus paámtos lvants y sciba la cuación difncial qu dscib su moviminto. 5 Discuta nt los distintos oscilados unidimnsionals qu s l ocuan factibls, cuál constuiía paa vifica las pdiccions dl modlo d oscilado amónico lib. 6 Rpita l poblma 3 paa l caso n qu no s lo cita n l pico d sonancia. Rsulva y gafiqu n foma complta l caso d muy baja fcuncia. 7 Rsulva l oscilado amónico sin pédidas y must qu cuando domina la solución lástica (ljos d la sonancia la solución hallada apoima adcuadamnt a la qu tin n cunta las pédidas. Nota gnal: n todos los poblmas (d todas las matias, analic a pioi qué pud pdci sin hac cálculos y analic a postioi qué podía hab pdicho sin hac cálculos. Si va achicando la difncia nt ambos stá apndindo los concptos (o pdindo capacidad d análisis. capítulo 35