Inroduccón ndad 5 Para algunas leyes físcas es fícl enconrar experenos que conduzcan de una anera reca y convncene a la forulacón de la ley. a ley de nduccón elecroagnéca de Faraday, que es una de las ecuacones fundaenales del elecroagneso, es ferene en cuano a que hay un buen nuero de experenos sencllos de los cuales puede deducrse recaene. INDCCION EECTOMAGNETICA Inroduccón Inroduccón Mchael Faraday (79-867) Físco y quíco ngles se lo consdera el ayor cenífco experenal del sglo XIX os experenos de Faraday y Henry deosraron que un capo agnéco varable produce una correne elécrca en un crcuo. os experenos de nduccón fueron llevados a cabo por Faraday en Inglaerra en 83 y por Joseph Henry en los Esados ndos aproxadaene en la sa época. os resulados de esos experenos condujeron a una de las leyes fundaenales del elecroagneso: la ley de Faraday Experenos de nduccón Experenos de nduccón Aparece una correne oenánea en el nsane en que se cerra el nerrupor de la bobna zquerda, cuando se abría de nuevo volvía a observarse una correne nducda oenáneaene en la bobna derecha y esa ena sendo conraro a la prera. Por lo ano úncaene exsía correne nducda cuando el capo agnéco producdo por la bobna esaba cabado. na bobna conecada a un galvanóero, s nroducos un án reco en la bobna con su polo nore haca la bobna ocurre que enras el án ese en oveno el galvanóero se desvía, ponendo en anfeso que esa pasado una correne por la bobna S el án se ueve alejándose de la bobna el galvanóero se desvía nuevaene pero en sendo conraro, lo que quere decr que la correne en la bobna ahora esa en sendo conraro
Experenos de nduccón Experenos de nduccón as bobnas se colocan en reposo una con respeco a la ora, cuando se cerra el nerrupor, se produce una correne en la bobna de la derecha, el galvanóero se desvía oenáneaene Cuando se abre el nerrupor, nuevaene el galvanóero se desvía. na fuene elecroorz varable en el epo hace que engaos peraneneene una correne en la segunda bobna Experenos de nduccón ey de nduccón de Faraday os experenos deuesran que habrá una fuene elecroorz nducda en la bobna de la zquerda sepre que caba la correne de la bobna de la derecha. o porane es la rapdez con la cual caba la correne y no la agnud de la sa. Faraday uvo la nucón de darse cuena que el cabo en el flujo, Φ,de nduccón agnéca era era el facor coún porane en odos los experenos. Ese flujo puede ser producdo por un án reco o por una espra de correne. a ley de la nduccón de Faraday ce que la fuerza elecroorz nducda,, en un crcuo es gual al valor negavo de la rapdez con la cual esá cabando el flujo que aravesa el crcuo. a ecuacón que defne la ley de nduccón de Faraday la podeos expresar coo ey de nduccón de Faraday ey de enz El sgno enos es una ncacón del sendo de la fe nducda N S la bobna ene vuelas, aparece una fe en cada vuela que se pueden suar, es el caso de los orodes y solenodes, en esos casos la fe nducda será: N d ( NΦ ) Podeos resur cendo a fuerza elecroorz nducda en un crcuo es proporconal a la rapdez con la que varía el flujo agnéco que lo aravesa, y recaene proporconal al núero de espras del nducdo Se puede enuncar la ley de enz en érnos de la conrbucón de la correne nducda al capo agnéco oal es la sguene: El sendo de la correne nducda es al que su conrbucón al capo agnéco oal se opone a la varacón del flujo de capo agnéco que produce la correne nducda a ley de enz, que explca el sendo de las correnes nducdas, puede ser a su vez explcada por un prncpo ás general, el prncpo de la conservacón de la energía.
Conclusón Podeos decr que el fenóeno de nduccón elecroagnéca se rge por dos leyes: a ley de Faraday-Henry: cuanava, que nos da el valor de la correne nducda Ejeplo na expra recangular de ancho, uno de cuyos exreos se encuenra en un capo de nduccón agnéco unfore, rgdo perpencularene al plano de la espra, oveos la espra a la derecha con una velocdad consane. l v a ley de enz: cualava, que nos da el sendo de la correne nducda F Ejeplo lv x F F 3 r r r lv F l x l v Φ lx d Φ d dx ( lx) l lv lv l v F lsen9 l Ejeplo En consecuenca el rabajo necesaro para over la espra, por undad de epo será: d P F Fv l v Ese resulando es dénco a consderar la poenca spada por efeco Joule sobre la ressenca P j lv l v Capos agnécos varables con el epo Consdereos ahora que no hay oveno de objeos, sno que el capo agnéco puede varar con el epo. S una espra conducora se coloca en el capo agnéco que varía con el epo, cabará el flujo que pasa por la espra y en consecuenca aparecerá una fe nducda en la espra. n capo agnéco que caba produce un capo elécrco Capos agnécos varables con el epo El rabajo de la fe será Igualando Teneos un capo r que varía Consderaos una carga q que se ueve alrededor El rabajo W sobre la carga será ( r) W Fed q E π W q d q q Eπr Eπr 3
Capos agnécos varables con el epo Eπr Coo Para el caso general será r r Edl Igualando E r dl r ey de Faraday en su fora general Correnes de Foucaul Supongaos un capo agnéco varable perpencular a una cara de un conducor exenso, por ejeplo una placa ( ) r ( ) r r d r r Edl ds Expresón negral de la ey de Faraday El capo elécrco nducdo en el conducor producrá en su neror correnes elécrcas nducdas, conocdas coo correnes de Foucaul o correnes en reolno Correnes de Foucaul Esas correnes de Foucaul se producen abén cuando un conducor se ueve en el seno de un capo agnéco. Su efeco es una spacón de energía por calenaeno Joule del conducor. ( P ) n aeral conducor puede ser calenado por las correnes de Foucaul nducdas en su neror por un capo elécrco varable, proceso que se conoce coo calenaeno por nduccón. Correnes de Foucaul El los casos en que no desee esa spacón de energía, por ejeplo el núcleo de herro de un ransforador, ese núcleo se fabrca con lánas delgadas de herro conducor separadas por capas aslanes. as capas aslanes auenan uy fuere la ressenca en el cano de las cargas, de anera al que reducen la correne y en consecuenca el calenaeno Aplcacones de la ey de Faraday. Generadores de fuerza elecroorz Produccón de una correne alerna a correne alerna se caracerza porque su sendo caba alernavaene con el epo. Produccón de una correne alerna El alernador Produccón de una correne connua a nao Ello es debdo a que el generador que la produce nvere perócaene sus dos polos elécrcos, convrendo el posvo en negavo y vceversa, uchas veces por segundo. a ley de Faraday esablece que se nduce una fuerza elecroorz en un crcuo elécrco sepre que varíe el flujo agnéco que lo aravesa. ecordando con la defncón de flujo agnéco r r Φ ds ds cosθ 4
Produccón de una correne alerna Es posble provocar el fenóeno de la nduccón sn desplazar el án n ofcar la correne que pasa por la bobna, hacendo grar ésa en orno a un eje denro del capo agnéco debdo a un án Produccón de una correne alerna Coo la espra esa grando, el ángulo varía connuaene, lo cual hace que el flujo ese cabando, y por lo ano aparece una fe nducda θ En al caso el flujo agnéco Φ varía porque varía el ángulo. θ S se hace roar la espra unforeene, ese oveno de roacón peróco da lugar a una varacón abén peróca del flujo agnéco, supongaos que la espra gra con una velocdad angular ω el ángulo en un nsane será θ ω y el flujo Φ que aravesa la espra será: Φ S cosϖ Produccón de una correne alerna Coo ( S cos ϖ ) d Sϖsen ϖ Para una bobna de N espras o vuelas, se nduce una fe en cada vuela y coo esán conecadas en sere la fe oal es NS ϖsen ϖ Sendo Φ S cosϖ Produccón de una correne connua Veos a connuacón oro po de conexón sna de la espra con el exeror, las escobllas hacen conaco con las ades de un conuador de anllo pardo Produccón de una correne connua Induccón uua El generador que ncorpora el conuador para anener el sendo de la correne se llaa generador de correne connua Joseph Henry (797 878) Descubró el fenóeno de la auonduccón. a undad de nducanca se llaa henry en su honor 5
Induccón uua Induccón uua S se colocan dos bobnas una cerca de la ora, una correne en una bobna producrá un flujo en la ora bobna, s ese flujo caba porque caba la correne, aparecerá una fe nducda en la segunda bobna de acuerdo con la ey de Faraday. Sn ebargo no se necesan dos bobnas para poner de anfeso un efeco de nduccón. Aparece una fe nducda en la bobna s caba la correne en la bobna sa. Ese fenóeno se llaa auonduccón y la fuerza elecroorz producda de esa anera se llaa fe auonducda. Obedece a la ey de Faraday de la sa anera que la obedecen oras fes nducdas. Consdereos una bobna apreada (la pare cenral de un solenode) d ( NΦ ) NΦ El núero de encadenaenos de flujo es la candad caracerísca porane para la nduccón, para una bobna dada, esa candad es proporconal a la correne NΦ a consane de proporconaldad recbe el nobre de nducanca del aparao Induccón uua NΦ ( NΦ ) d( ) d reeplazando en la ey de Faraday será Induccón uua S no hay herro u oros aerales slares,, lo so que vos en su oeno para C, depende solo de la geoería del aparao. En un nducor la presenca de un capo agnéco es la caracerísca porane, que se corresponde a la presenca de un capo elécrco en un condensador. El síbolo usado es para Sendo esa la ecuacón de defncón de nducanca para bobnas de odas foras y aaños, ya sea que esén apreadas o no, que haya herro u oros aerales en su núcleo. Induccón uua a undad de la nducanca la obeneos de la defncón: [] [ vols][ seg] [] [ ap] [] [ ] henry Son de uso frecuene los subúlplos lhenry * 3 crohenry * 6 henry henry Cálculo de la nducanca Vaos a calcular en fora senclla la auonduccón para una bobna de apreada, sn herro. N Φ NΦ ( nl)( A) μ n Φ ( nl)( A) n la N NΦ μ μ n la μ n la l A 6
Inducanca en sere y paralelo Inducanca en sere Al gual que vos para el caso de capacores y ressencas, dado un crcuo forado por varas bobnas es posble calcular el valor de una únca nducanca que reeplace a odo el conjuno nducanca equvalene V V 3 V V 3 V V V + V + V3 + + 3 V V ( + + 3 ) eq n eq ( + + 3 ) para bobnas n en sere eq eq Inducanca en paralelo 3 V 3 V V V V V3 + V V3 + + + + 3 eq 3 + 3 V 3 + + V n V V eq eq eq Crcuo Cuando analzaos el crcuo C, vos que al nroducr el condensador la carga no oa neaaene su valor de equlbro. Ese rerazo en el aueno de la carga se desgna consane de epo capacva. n rerazo análogo en el aueno o snucón de la correne elécrca se presena s se coneca o s se desconeca una fe en un crcuo que enga una ressenca y una nducanca. Crcuo Crcuo + a b ( ) ( ) I.63I e ( ) ( ) + e τ 7
Crcuo Crcuo + a b ( ) ( ).368I I I e I + e τ Energía y el capo agnéco El capo elécrco podía consderarse coo aseno de energía alacenada, y en el vacío la densdad de energía elécrca vale: u E E E Sendo la nensdad del capo elécrco del puno analzado. S ben el razonaeno se hzo para un capacar de placas planas paralelas es valda para odas las confguracones de capos elécrcos. Energía y el capo agnéco a energía abén puede alacenarse en un capo agnéco. Dos alabres que llevan correnes en el so sendo se araen enre s, y para separarlos algo ás debeos realzar rabajo. Esa energía gasada se alacena en el capo agnéco que exse enre los alabres. a energía puede recobrarse perendo que los alabres vuelvan a su poscón orgnal. Energía y el capo agnéco Consdereos el crcuo aneror para dervar una expresón de la energía + + d splfcaos Mulplcaos abos ebros por d + d velocdad con que la fuene enrega energía al crcuo spacón de energía por efeco Joule en la ressenca la energía oal alacenada en una velocdad nducanca con que se alacena que lleva energía una correne en el capo agnéco. Densdad de energía Veos ahora una expresón para la densdad de energía en un capo agnéco Consdereos un solenode de longud y área su voluen será Al a energía alacenada debe esar por copleo denro del voluen, porque el capo agnéco fuera del solenode es cas cero. Adeás la energía alacenada debe esar unforeene srbuda porque el capo agnéco es consane denro del solenode u voluen Al l A u 8
Densdad de energía u voluen Al coo Para un solenode vos que: μ n la Al Y la correne es: μ n μ n u ( μ n la) u Al μn μ u μ Densdad de energía as sguenes ecuacones dan la densdad de energía alacenada en cualquer puno en donde el capo de nduccón agnéca sea r y el capo elécrco sea E r as ecuacones son válda para oda clase de confguracones de capo agnéco y elécrco. u μ u E E Osclacones elécrcas Crcuo C n ssea C se aseeja a un ssea asa-resore en que enre oras cosas abos sseas enen una frecuenca caracerísca de osclacón. Consdereos el esado ncal en que el condensador esa cargado con una carga q y que la correne en la bobna es cero. En ese oeno la energía alacenada en el condensador será: E q C Osclacones elécrcas Crcuo C A eda que q snuye, abén snuye la energía alacenada en el condensador. Esa energía es ransda al capo agnéco que aparece alrededor del nducor debdo a la correne. El capo elécrco snuye, se fora un capo agnéco y la energía se ranse del prero al segundo. e energía en el capo agnéco será Osclacones elécrcas Crcuo C Osclacones elécrcas Crcuo C En un deernado oeno la carga del condensador será cero, le energía alacenada en el condensador habrá pasado por copleo al capo agnéco del nducor, en ese oeno fluye energía de regreso del nducor al condensador y el cclo coenza nuevaene. C + E q + C En una suacón deal donde no haya pérda de energía ese proceso se anendrá peraneneene S suponeos que la ressenca del crcuo C es cero, no hay ransforacón de energía en calor por efeco Joule, no hay perda de energía, será d d d q + C 9
Osclacones elécrcas Crcuo C d d d + q + C q dq C coo dq d q d dq d q q dq d q + + q C c Osclacones elécrcas Crcuo C Esa es la ecuacón ferencal que descrbe las osclacones de un crcuo C deal ω d q d x + q que es de la fora + K c dx Sendo la solucón de la fora q x Acos ( ω +θ ) S es la carga áxa del capacor C la solucón para el crcuo deal será C q q cos ( ω +θ ) es la frecuenca angular de las osclacones elecroagnécas. Osclacones elécrcas Crcuo C Osclacones elécrcas Crcuo C q q cos dq ( ω +θ ) coo ( q ( ω + θ )) dq d cos ωqsen ( ω θ ) ω q sen + ( ω + θ ) El ángulo de fase θ depende de las concones ncales Veos la frecuenca angular ω a frecuenca angular ( ω θ ) ω q sen + d q d( ωqsen( ω + θ )) ω q cos( ω + θ ) eeplazaos en nuesra ecuacón ferencal d q + q ω q cos θ c c ω + C ω será ( q cos( ω + θ )) Volveos a dervar ( ω + θ ) + q cos( ω + ) ω + ω C C Osclacones elécrcas Crcuo C Osclacones elécrcas Crcuo C q q cos ( ω +θ ) ( ) sen ω ω q A gual que el caso aneror realzaos el análss consderando las energías que enran en juego. a ayor ferenca es que en ese caso eneos poenca spada en la ressenca por efeco Joule C e energía alacenada enre el nducor y el condensador será q + E + C pero ahora d
Osclacones elécrcas Crcuo C Osclacones elécrcas Crcuo C d d q + C + q C dq d q dq + + q C coo cuya solucón es: dq d q q q e cos ( ω +θ ) ω C q q e cos ( ω +θ ) con ω C