Tema 7 Cónicas. Clasificación. Desde el punto de vista algebraico una cónica es una ecuación de segundo grado en las variables x, y. De ese modo, la ecuación general de una cónica viene dada por una expresión de la forma: a x + a xy + a y + a 0 x + a 0 y + a 00 = 0. 7. En el Tema 3, se vió la descripción de los diferentes tipos de cónicas cuando el término a = 0, lo que se corresponde con que los ejes de las cónicas coinciden con los ejes coordenados. Además, se describieron en forma canónica o reducida, que consiste en considerar que los centros en el caso en que la cónica posea centro o los vértices si la cónica no posee centro coinciden con el origen de coordenadas. Sin embargo, en general, el término a 0 y, en ese caso, no es fácil reconocer a simple vista el tipo de cónica a partir de una ecuación. El objetivo de este tema es clasificar una cónica según su ecuación reducida o no y obtener los principales elementos que la definen. 7.. Tipo de una cónica En primer lugar, tenemos que estudiar la parte principal de 7.: que se describe matricialmente como: a a x, y a a x + a xy + a y, 7. a x x = x, y A y y La matriz A es una matriz simétrica, luego posee autovalores reales y puede diagonalizarse mediante una matriz de paso ortogonal. El estudio del signo de los autovalores {λ, λ } de A nos dará el tipo de cónica que obtenemos:. Si λ λ > 0, es decir, los dos autovalores son positivos o los dos negativos, entonces la cónica es de tipo elíptico. Dentro de este tipo, podemos distinguir: a Una elipse real. b Un punto.
c Una elipse imaginaria no hay puntos que verifican esta ecuación.. Si λ λ < 0, es decir, un autovalor es positivo y el otro negativo se suele considerar λ > 0 y λ < 0, entonces la cónica es de tipo hiperbólico. Dentro de este tipo, podemos distinguir: a Una hipérbola. b Un par de rectas secantes 3. Si λ λ = 0, es decir, uno de los dos autovalores es cero no consideraremos el caso en que ambos autovalores son cero, entonces la cónica es de tipo parabólico. Dentro de este tipo, podemos distinguir: a Una parábola. b Un par de rectas paralelas. c Una recta doble. d Un par de rectas imaginarias no hay puntos que verifican esta ecuación. Como podemos deducir, el cálculo de los autovalores y, por tanto, el tipo de cónica que estamos estudiando, es fácil. Lo más complicado es determinar de qué cónica se trata exactamente. Para ello, podemos hacerlo de dos formas:. pasando de la ecuación original 7. a una ecuación canónica o reducida que nos permita identificar claramente de qué cónica se trata,. o bien, estudiando sus invariantes. Ejemplo 7.. La cónica de ecuación 3x + 3y xy = 0 se puede transformar mediante una cambio de variable en la cónica: x + y que es una elipse de ejes a = y b =. Observemos que hemos pasado de las variables x, y a las variables x, y. =, 7... Clasificación buscando la ecuación reducida Para escribir las nuevas variables usamos: x x y = P y 7.3 con P la matriz de paso ortogonal asociada a la matriz A. El proceso es el siguiente: La ecuación 7. se puede escribir usando 7. como: x, y A x y + a 0, a 0 x y + a 00 = 0 Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico Curso 03/4
Usando ahora el cambio de variable 7.3 y teniendo en cuenta que P es una matriz ortogonal, la expresión anterior se transforma en: x, y P t A P x Observemos que P t λ 0 AP = D = 0 λ y + a 0, a 0 P x y, luego obtenemos: + a 00 = 0 λ x + λ y + b 0 x + b 0 y + a 00 = 0, con b 0, b 0 = a 0, a 0 P 7.4 Se trata ahora de obtener una expresión del tipo:. Si λ λ 0, buscamos una expresión del tipo: λ x α + λ y β = c donde α, β será el centro de la cónica elipse o hipérbola si no es degenerada. a Si λ λ > 0, entonces: Si cλ > 0, entonces se trata de una elipse real. Si cλ = 0, entonces se trata de un punto. 3 Si cλ < 0, entonces se trata de una elipse imaginaria. b Si λ λ < 0, entonces: Si c 0, entonces se trata de una hipérbola. Si c = 0, entonces se trata de un par de rectas secantes.. Si λ λ = 0 y consideramos que λ = 0, buscamos una expresión del tipo: λ y = p x Como partimos de 7.4 y λ = 0, obtenemos: λ y + b 0 x + b 0 y + a 00 = 0, con b 0, b 0 = a 0, a 0 P 7. Podemos encontrar dos casos iniciales: a Si b 0 0, entonces podemos reescribir la ecuación 7. como: λ y + b 0 = b 0 a b 0 x λ 4λ luego realizando el cambio de variable: x = x + a b 0 b 0 4λ y = y + b 0 λ obtenemos la parábola de expresión: λ y = b 0 x. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 3 Curso 03/4
b Si b 0 = 0, entonces podemos reescribir la ecuación 7. como: λ y + b 0 = b 0 a λ 4λ luego realizando el cambio de variable: x = x obtenemos la expresión: que nos permite distinguir entre: y = y + b 0 λ λ y = b 0 4λ a = c, Si cλ > 0, se trata de un par de rectas paralelas. Si cλ = 0, se trata de una recta doble. 3 Si cλ < 0, se trata de un par de rectas imaginarias. 7... Clasificación por invariantes A veces resulta complicado usar el método anterior para clasificar las cónicas. Una forma alternativa es usar los llamados invariantes de una cónica, que son aquellas expresiones formadas por coeficientes de la ecuación de la cónica que no varían al cambiar de sistema de coordenadas mediante un giro o una traslación. Para ello reescribimos la expresión 7. como: a a 0 a x x a a 0 x, y, a y = x, y, A y a 0 a 0 a Se puede demostrar que una cónica tiene los siguientes tres invariantes: tra = a + a, δ = A = a a a a a a 0 a a a 0, = A = a a 0 a 0 a La ecuación reducida de una cónica se puede calcular usando dichos invariantes. De ese modo:. Si la curva es de tipo elíptico entonces δ > 0 y la ecuación reducida viene dada por: donde: λ x + λ y = δ, Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 4 Curso 03/4
a Si λ < 0, entonces es una elipse real. b Si λ > 0, entonces es una elipse imaginaria. c Si λ = 0, entonces es un punto.. Si la curva es de tipo hiperbólico entonces δ < 0 y la ecuación reducida viene dada por: donde: λ x + λ y = δ, a Si 0, entonces es una hipérbola. b Si = 0, entonces es un par de rectas secantes. 3. Si la curva es de tipo parabólico entonces δ = 0 consideramos λ = 0 y λ 0 y: a Si 0, entonces la ecuación reducida viene dada por λ y = ± x, λ luego se trata de una parábola. b Si = 0, entonces la ecuación reducida viene dada por λ y = c, donde c hay que determinarlo por el método de clasificación anterior: Si c λ > 0, entonces es un par de rectas paralelas. Si c = 0, entonces es una recta doble. 3 Si c λ < 0, entonces es un par de rectas imaginarias. La determinación de los principales elementos de cada cónica no degenerada se verá en la siguiente sección. 7.. Elementos de una cónica no degenerada Teniendo en cuenta que el método de clasificación de los invariantes parece un poco más operativo, vamos a intentar obtener los elementos principales de las cónicas no degeneradas mediante su ecuación reducida y razonamientos geométricos. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico Curso 03/4
7... Elementos de una elipse La clasificación por invariantes de una elipse nos dice que δ > 0 y λ 0, de manera que su ecuación reducida es: λ x + λ y = δ con λ λ > 0. 7.6 Por tanto, para poder clasificarla completamente, tenemos que calcular los autovalores asociados a A, que serán ambos positivos o ambos negativos. En el caso en que λ < 0 obtenemos una elipse, luego podemos escribir la ecuación 7.6 de la forma: con δλ > 0 y δλ > 0. x δλ + y δλ =, Esto significa que la elipse en forma reducida es de centro 0, 0. Sin embargo, lo que necesitamos es encontrar los principales elementos asociados a la ecuación en forma general fx, y = 0. Para ello: Cálculo del centro: Para encontrarlo, resolvemos el sistema que se corresponde a: x, y = 0 x x, y = 0, siendo fx, y = 0 la ecuación original de la cónica. y 7.7 Cálculo de los ejes: Los ejes son rectas que pasan por el centro y tienen como vectores directores los autovectores asociados a los autovalores de la matriz A. El eje principal el que contiene a los focos será el que tiene como autovector el asociado al menor autovalor en valor absoluto. Los autovalores se suelen considerar de manera que 0 < λ < λ. Cálculo de los focos: Los focos son puntos que están en el eje principal a una distancia c del centro de la elipse, siendo c = a b, a el semieje mayor de la elipse y b el semieje menor de la elipse, que serán: el semieje real será a = δλ y el semieje imaginario b =. δλ Por tanto, para calcularlos se impone que: dc, F = c una vez las coordenadas del centro C son conocidas y que el foco está en el eje principal luego verifica su ecuación. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 6 Curso 03/4
Ejercicio 7.. Calcula los principales elementos de la cónica 8x + 7y + xy 8x 6y 8 = 0. Sol.: Las matrices asociadas a la cónica son: A = 8 6 6 7, A = 8 6 4 6 7 8 4 8 8 por tanto, δ = 00 > 0 y = 00 < 00, luego se trata de una elipse. Calculemos ahora sus principales elementos: ecuación reducida: Calculamos los autovalores de A y obtenemos: 8 λ 6 A λ I = 6 7 λ = λ λ + 00 = 0 λ =, λ = 0 obteniendo: x + 0y = δ = x centro: El centro se obtiene resolviendo el sistema: x, y = 0 { x 6x + y 8 = 0 x, y = 0, y 34y + x 6 = 0 + y 0 = x, y =, eje principal: El eje principal pasa por el centro y tiene como vector director el autovector menor en valor absoluto, es decir, λ =, que se obtiene resolviendo el sistema: 3 6 6 x y = 0 0 luego el autovector asociado es v = es: x = y que es equivalente a x + y = 0,. Por tanto, la ecuación del eje principal y = x y = x eje secundario: El eje secundario pasa por el centro y tiene como vector director el autovector asociado al autovalor mayor en valor absoluto, es decir, λ = 0, que se obtiene resolviendo el sistema: 6 6 3 x y = 0 0 luego el autovector asociado es v = es: x = y que es equivalente a x y = 0,. Por tanto, la ecuación del eje secundario y = + x y = x Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 7 Curso 03/4
focos: Los focos están en el eje principal, luego sus coordenadas son de la forma: F = x 0, x 0 Por otra parte, el foco debe verificar que dc, F = c, siendo c = a b = 9 0 = ±. Por tanto, tenemos que resolver x 0 de la ecuación: dc, F = c dc, F = c x 0 + x 0 = 9 4 x 0 = 36 x 0 + x 0 + = 9 0 4 x 0 = ± 6 x 0 = 9 Obtenemos dos soluciones, cada una de ellas correspondiente a un foco: 7 F =,, F =, 7... Elementos de una hipérbola La clasificación por invariantes de una hipérbola nos dice que δ < 0 y 0, de manera que su ecuación reducida es: λ x + λ y = δ con λ > 0, λ < 0, lo que es equivalente a: x δλ + y δλ =. Esto significa que la hipérbola en forma reducida es de centro 0, 0. Sin embargo, lo que necesitamos es encontrar los principales elementos asociados a la ecuación en forma general fx, y = 0. Para ello: Cálculo del centro: Resolvemos el sistema 7.7 asociado a la hipérbola. Cálculo de los ejes: Los ejes son rectas que pasan por el centro y tienen como vectores directores los autovectores asociados a los autovalores de la matriz A. El eje principal el que contiene a los focos será el que tiene como autovector el asociado al autovalor que cumpla lo siguiente: Si < 0, entonces < 0 y > 0. Luego como el valor positivo es, δλ δλ δλ entonces el autovector elegido es el asociado a λ. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 8 Curso 03/4
Si > 0, entonces > 0 y < 0. Luego como el valor positivo es, δλ δλ δλ entonces el autovector elegido es el asociado a λ. NOTA: Otro criterio es elegir λ > 0, λ < 0 de manera que λ x + λ y = δ. Ahora bien, Si λ > 0, entonces λ es el autovalor principal el autovector asociado es el vector director del eje principal o real. Por tanto, λ será el autovalor secundario el autovector asociado es el vector director del eje secundario o imaginario. Si λ < 0, entonces λ es el autovalor principal el autovector asociado es el vector director del eje principal o real. Por tanto, λ será el autovalor secundario el autovector asociado es el vector director del eje secundario o imaginario. Cálculo de los focos: Los focos son puntos que están en el eje principal a una distancia c del centro de la hipérbola, siendo c = a + b, a el semieje real de la hipérbola y b el semieje imaginario de la hipérbola, que serán: Si < 0, entonces < 0 y > 0. Entonces, el semieje real será a = y δλ δλ δλ el semieje imaginario b =. δλ Si > 0, entonces > 0 y < 0. Entonces, el semieje real será a = y δλ δλ δλ el semieje imaginario b =. δλ Por tanto, para calcularlos se impone que: dc, F = c una vez las coordenadas del centro C son conocidas y que el foco está en el eje principal luego verifica su ecuación. Ejercicio 7.. Calcula los principales elementos de la cónica x +y +4xy+x = 0. Sol.: Las matrices asociadas a la cónica son: A =, A = 0 0 por tanto, δ = 6 < 0 y = 0, luego se trata de una hipérbola. Calculemos ahora sus principales elementos: ecuación reducida: Calculamos los autovalores de A y obtenemos: λ A λ I = λ = λ + λ 6 = 0 λ =, λ = 3 obteniendo: x 3y = δ = 6 x y 8 Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 9 Curso 03/4 =
centro: El centro se obtiene resolviendo el sistema: x, y = 0 { x 4x + 4y + = 0 x, y = 0, y y + 4x = 0 x, y = 6, 3 eje principal: El eje principal pasa por el centro y tiene como vector director el autovector asociado al autovalor que hace que el término al cuadrado sea positivo, es decir, λ =, que se obtiene resolviendo el sistema: 4 x 0 = que es equivalente a x y = 0, y 0 luego el autovector asociado es v = es: x 6 = y + 3. Por tanto, la ecuación del eje principal y = 3 + x 6 y = x 3 eje secundario: El eje secundario pasa por el centro y tiene como vector director el autovector asociado al autovalor que hace que el término al cuadrado sea negativo, es decir, λ = 3, que se obtiene resolviendo el sistema: x 0 = que es equivalente a x + y = 0, 4 y 0 luego el autovector asociado es v =. Por tanto, la ecuación del eje secundario es: x 6 = y + 3 y = 3 x 4y + x + = 0 6 focos: Los focos están en el eje principal, luego sus coordenadas son de la forma: F = x 0, 3 + x 0 6 Por otra parte, el foco debe verificar que dc, F = c, siendo c = a + b = + 8 = 36 = ± 6. Por tanto, tenemos que resolver x 0 de la ecuación: dc, F = c dc, F = c x 0 6 + 3 + x 0 6 + = 3 36 x 0 + 4 x 0 6 = x 0 = 6 36 6 36 x 0 = 6 36 x 0 = 6 ± 6 Obtenemos dos soluciones, cada una de ellas correspondiente a un foco: + F =,, F =, 6 3 6 3 Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 0 Curso 03/4
7..3. Elementos de una parábola La clasificación por invariantes de una hipérbola nos dice que δ = 0 y 0, de manera que su ecuación reducida es considerando λ = 0: λ y = ± x. λ lo que es equivalente a: y = ± x. λ λ Esto significa que la parábola en forma reducida es de vértice 0, 0. Sin embargo, lo que necesitamos es encontrar los principales elementos asociados a la ecuación en forma general fx, y = 0. Para ello: Cálculo del vértice: El vértice verifica dos propiedades: La pendiente m de la directriz debe coincidir con la tangente a la parábola en el vértice, es decir, m = x. 7.8 y La directriz tiene como vector director el autovector asociado al autovalor no nulo. El vértice debe verificar la ecuación de la parábola. Resolviendo las dos ecuaciones obtenemos las coordenadas del vértive. Cálculo del eje: El eje de la parábola es una recta que pasa por el vértice y tiene como vector director el autovector asociado al autovalor nulo. Cálculo del foco: El foco F es un punto que está en el eje y que dista del vértice una distancia de p, si la ecuación de la parábola es y = px. Por tanto, se impone para encontrar sus coordenadas: Que las coordenadas del foco verifican la ecuación del eje. Que dv, F = p. Obtendremos dos puntos P y P que verifican ambas condiciones, pero sólo uno de ellos es el foco. Para distinguirlo, necesitamos: calcular la recta r que pasa por P y tiene como vector director el autovector asociado al autovalor no nulo. calcular la recta r que pasa por P y tiene como vector director el autovector asociado al autovalor no nulo. Cortamos r con la parábola. Cortamos r con la parábola. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico Curso 03/4
La recta que tiene dos puntos de corte con la parábola es la que contiene al foco. El foco será el punto de corte de la recta con el eje. La recta que no tiene puntos de corte con la parábola es la directriz. Ejercicio 7..3 Calcula los principales elementos de la cónica x +y +xy 7x y+7 = 0. Sol.: Las matrices asociadas a la cónica son: A =, A = 7 7 7 por tanto, δ = 0 y = 0, luego se trata de una parábola. Calculemos ahora sus principales elementos: ecuación reducida: Calculamos los autovalores de A y obtenemos: λ A λ I = λ = λ λ = 0 λ = 0, λ = obteniendo: y = ± λ = ± x y = ± x vértice: Debe verificar la ecuación 7.8, luego necesitamos calcular el autovector asociado al autovalor no nulo, es decir, λ =, que se obtiene resolviendo el sistema: x y = 0 0 luego el autovector asociado es v = que es equivalente a x + y = 0,. Por tanto, la pendiente m =. Como: = x + y 7, x y = x + y entonces la ecuación 7.8 se escribe: x + y 7 = x + y x + y 3 = 0 y = 3 x. 7.9 Ahora, hacemos que además el vértice verifique la ecuación de la parábola. Como el vértice verifica la ecuación 7.9, entonces V = x 0, 3 x 0 y: x 0 + 3 x 0 + x 0 3 x 0 7x 0 3 x 0 + 7 = 0 x 0 =, luego el vértice tiene como coordenadas V =,. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico Curso 03/4
eje: El eje pasa por el vértice V =, y tiene como vector director el autovector asociado al autovalor nulo, es decir, λ = 0, que se obtiene resolviendo el sistema: x 0 = que es equivalente a x + y = 0, y 0 luego el autovector asociado es v =. Por tanto, la ecuación del eje es: x = y y = x + 3. foco y directriz: El foco está en el eje luego sus coordenadas son de la forma F = x 0, x 0 + 3. La distancia del vértice al foco es p, siendo p = ±. Por tanto, el foco verifica: dv, F = ± 4 dv, F = 3 x 0 + x 0 + 3 = 3 lo que es equivalente a: x 0 = 3 x 0 = ± 8 es decir, las soluciones son x 0 = 8 y x 0 = 3 8. Eso nos daría dos puntos P = 8, 9 y P = 8 sólo tiene un foco. Calculamos ahora: 3 8,. Sin embargo, la parábola 8 la recta r que pasa por P y tiene como vector director el autovector asociado al autovalor no nulo, es decir, v =, obteniendo: x 8 = y 9 8 y = x + 7 4 la recta r que pasa por P y tiene como vector director el autovector asociado al autovalor no nulo, es decir, v =, obteniendo: x 3 8 = y 8 y = x + 9 4 Ahora calculamos las intersecciones de las rectas con la parábola: Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 3 Curso 03/4
r fx, y = 0 : tiene dos puntos de corte 7 8, 8 puntos de corte, nos indica que el foco es F = P = r fx, y = 0 =, luego r es la directriz. 3 y 8, 7 8 8, 9. 8, luego al tener 7.3. Estudio de las cónicas degeneradas Analizamos cada una de las cónicas degeneradas en el mismo orden en que fueron expuestas en la Sección 7... 7.3.. Punto tipo elíptico Se clasifica claramente a partir de los invariantes δ > 0 y = 0. Calcular las coordenadas de dicho punto es equivalente a calcular las coordenadas del centro de una elipse, es decir, resolver el sistema 7.7. Ejercicio 7.3. Calcula los principales elementos de la cónica x +y xy+x y+ = 0. Sol.: Las matrices asociadas a la cónica son: A =, A = por tanto, δ = 3 4 > 0 y = 0, luego se trata de un punto. El cálculo de las coordenadas de dicho punto se hace calculando las coordenadas que resuelven el sistema 7.7, es decir, x, y = 0 { x x y + = 0 x, y = 0, y Luego la cónica se reduce al punto, 0. y x = 0 x, y =, 0. 7.3.. Elipse imaginaria tipo elíptico Se clasifica claramente a partir de los invariantes λ > 0, luego no es necesario calcular nada adicional. Ejercicio 7.3. Calcula los principales elementos de la cónica x +y xy +4x y + 4 = 0. Sol.: Las matrices asociadas a la cónica son: A =, A = 4 por tanto, δ = 3 > 0 con λ =, λ = 3 y = 6, luego λ > 0 y se trata de una elipse imaginaria. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 4 Curso 03/4
7.3.3. Par de rectas secantes tipo hiperbólico La clasificación por invariantes de un par de rectas secantes nos dice que δ < 0 y = 0, de manera que su ecuación reducida es: lo que es equivalente a: λ x + λ y = 0 con λ > 0, λ < 0, λ x + λ y λ x λ y = 0 Esto significa que dichas rectas secantes en forma reducida se cortan en el punto 0, 0. Sin embargo, lo que necesitamos es encontrar los principales elementos asociados a la ecución en forma general fx, y = 0. Para ello: Cálculo del punto de corte: Es equivalente a resolver el sistema 7.7 asociado a la ecuación fx, y = 0. Cálculo de las rectas secantes: Las rectas que buscamos pasan por el punto de corte y tienen como pendiente las soluciones de la ecuación: a + a m + a m = 0 7.0 siendo a, a y a los coeficientes que aparecen en la ecuación de la cónica fx, y = 0 para fx, y = a x + a xy + a y + a 0 x + a 0 y + a 00. Ejercicio 7.3.3 Calcula los principales elementos de la cónica x y xy+x+y 3 = 0. Sol.: Las matrices asociadas a la cónica son: A =, A = 3 por tanto, δ = 9 4 < 0 y = 0, luego se trata de un par de rectas secantes. El cálculo de dichas rectas coincide con el cálculo de las asíntotas de la hipérbola, es decir, tenemos que calcular las rectas que tienen como pendiente las soluciones de 7.0 y que pasan por el centro. Calculemos dichos elementos: centro: El centro se obtiene resolviendo el sistema: x, y = 0 { x x y + = 0 x, y = 0, y 4y x + = 0 x, y = 3, 4 3 pendiente verificando 7.0: Resolvemos la ecuación: que son m = y m =. m m = 0 Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico Curso 03/4
recta : Pasa por el centro y tiene como pendiente m =. Por tanto, la ecuación de la primera recta es: y = 4 3 x + y = x + 3 recta : Pasa por el centro y tiene como pendiente m =. Por tanto, la ecuación de la primera recta es: y = 4 3 + x + y = x 3 + 3 7.3.4. Par de rectas paralelas tipo parabólico Son rectas que tienen la dirección del autovector asociado al autovalor λ = 0 y verifican la ecuación de la cónica. Ejercicio 7.3.4 Calcula los principales elementos de la cónica x +y +4x 4y xy = 0 = 0. Sol.: Las matrices asociadas a la cónica son: A =, A = por tanto, δ = 0 y = 0, luego en este caso sabemos que se trata de una cónica de tipo parabólico degenerada, pero desconocemos el tipo par de rectas paralelas, recta doble o par de rectas imaginarias. En cualquier caso, la dirección de las rectas será la del autovector asociado al autovalor nulo. Obtenemos en primer lugar sus autovalores: autovalores: Calculamos los autovalores de A y obtenemos: λ A λ I = λ = λ λ = λλ = 0 λ = 0, λ = autovector asociado a λ = 0: Se obtiene resolviendo el sistema: x 0 = que es equivalente a x y = 0, y 0 luego el autovector asociado es v =. Por tanto, la/s recta/s buscada es de la forma: x y + a = 0 y = x + a, que sustituido en la ecuación de la cónica nos da: x + x + a + 4x 4x + a xx + a = 0 a 4a = 0 que es una ecuación cuyas soluciones son a = y a =, ambos reales. Por tanto, hay dos rectas: x y + = 0 y x y = 0 que verifican las condiciones anteriores. Ambas tienen la misma dirección, pero no son iguales. Se trata entonces de un par de rectas paralelas. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 6 Curso 03/4
7.3.. Recta doble tipo parabólico Es una recta que tiene la dirección del autovector asociado al autovalor λ = 0 y verifica la ecuación de la cónica. Ejercicio 7.3. Calcula los principales elementos de la cónica x +4y +4xy 6x y + 9 = 0. Sol.: Las matrices asociadas a la cónica son: A = 4, A = 3 4 6 3 6 9 por tanto, δ = 0 y = 0, luego en este caso sabemos que se trata de una cónica de tipo parabólico degenerada, pero desconocemos el tipo par de rectas paralelas, recta doble o par de rectas imaginarias. En cualquier caso, la dirección de las rectas será la del autovector asociado al autovalor nulo. Obtenemos en primer lugar sus autovalores: autovalores: Calculamos los autovalores de A y obtenemos: λ A λ I = 4 λ = λ λ = λλ = 0 λ = 0, λ = autovector asociado a λ = 0: Se obtiene resolviendo el sistema: x 0 = que es equivalente a x + y = 0, 4 y 0 luego el autovector asociado es v = forma: x + y + a = 0 y = x + a, que sustituido en la ecuación de la cónica nos da: x a x a x + 4 + 4x 6x. Por tanto, la/s recta/s buscada es de la x a + 9 = 0 a + 6a + 9 = 0 que es una ecuación cuya solución doble es a = 3. Por tanto, hay una recta doble: que verifica las condiciones anteriores. x + y 3 = 0 7.3.6. Par de rectas imaginarias tipo parabólico Son rectas que tienen la dirección del autovector asociado al autovalor λ = 0 y verifican la ecuación de la cónica. Pero al intentar resolverla no se obtienen soluciones reales. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 7 Curso 03/4
Ejercicio 7.3.6 Calcula los principales elementos de la cónica 4x +y +4xy 4x y+ = 0. Sol.: Las matrices asociadas a la cónica son: A = 4, A = 4 por tanto, δ = 0 y = 0, luego en este caso sabemos que se trata de una cónica de tipo parabólico degenerada, pero desconocemos el tipo par de rectas paralelas, recta doble o par de rectas imaginarias. En cualquier caso, la dirección de las rectas será la del autovector asociado al autovalor nulo. Obtenemos en primer lugar sus autovalores: autovalores: Calculamos los autovalores de A y obtenemos: 4 λ A λ I = λ = λ λ = λλ = 0 λ = 0, λ = autovector asociado a λ = 0: Se obtiene resolviendo el sistema: 4 x 0 = que es equivalente a x + y = 0, y 0 luego el autovector asociado es v = forma: x + y + a = 0 y = x a, que sustituido en la ecuación de la cónica nos da:. Por tanto, la/s recta/s buscada es de la 4x + x a + 4x x a 4x x a + = 0 a + a + = 0 que es una ecuación cuyas soluciones son a = + i y a = i, ambos números imaginarios. Por tanto, hay dos rectas imaginarias: x + y + = i y x + y = + i que verifican las condiciones anteriores. Se trata entonces de un par de rectas imaginarias. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico 8 Curso 03/4