CI4A: ANALISIS ESTRUCTURAL Prof.: Rcardo Herrera M. Programa CI4A NÚMERO NOMBRE DE LA UNIDAD OBJETIVOS DURACIÓN 4 semanas Prncpo de los trabajos vrtuales y teoremas de Energía CONTENIDOS.. Defncón de trabajo externo, trabajo externo complementaro, energía de deformacón complementara, evaluacón de la energía de deformacón en un segmento de vga, evaluacón del trabajo externo (teorema de Clapeyron)... Prncpo de los trabajos vrtuales..3. Teorema de los trabajos vrtuales complementaros..4. Prncpo de la Energía potencal total estaconara, determnacón de funcones de desplazamentos..5. Teorema de Castglano I y II..6. Método de la carga untara para evaluar desplazamento ante cargas externas, movmento de apoyo, cambos de temperatura, errores de fabrcacón..7. Teorema de Menabrea, análss de estructuras hperestátcas..8. Alternatvas para elegr los sstemas de fuerzas y desplazamentos, aplcacones a sstemas con grandes desplazamentos y materales no lneales..9. Teorema de Bett..0. Teorema de Maxwell, coefcentes de flexbldad. Manejar defncones de trabajo y energía. Calcular desplazamentos en sstemas sostátcos. BIBLIOGRAFÍA [Belluz, Cáp. 5, 6] [Gere&Tmoshenko, Cáp. 0] [Hbbeler, Cáp. 8] [Lable, Cáp. 7] [Leet, Cáp. 8, 9] [Luthe, Cáp. ] [Popov, Cáp. 5] [Rosenberg, Cáp. ] [Tmoshenko, Cáp. 0]
Capítulo : Prncpo de los Trabajos Vrtuales y Teoremas de Energía.. Hpótess Báscas y Defncones... Hpótess Báscas Las accones se aplcan gradualmente desde cero hasta su valor fnal => Energía cnétca = 0 No exsten varacones de temperatura => T = 0
... Defncones Trabajo Externo (W): es una medda de la energía que es necesaro consumr para mover un cuerpo. Trabajo Externo Complementaro (W c ): no tene una nterpretacón físca. Corresponde al área entre la curva R-r y el eje de las fuerzas. En el caso de sstemas lneales elástcos W = W c W = Rdr W c = rdr... Defncones Energía de Deformacón (U ): para sóldos deformables podemos caracterzar un tpo de energía nterna relaconada con la capacdad de deformacón del sóldo. Densdad de Energía de Deformacón (u ): se defne la densdad de energía de deformacón como el trabajo de las tensones a través de las deformacones u U = σdε = V u dv 3
... Defncones Smlarmente, se puede defnr una energía de deformacón complementara (U c ) y una densdad de energía de deformacón complementara (u c ). u c = εdσ U c = V u c dv... Defncones En general, para un sóldo deformable podemos calcular u como du u = = σ xε x + σ yε y + σ zε z + τ xyγ xy + τ yzγ yz + τ dv u = [ γ ] pero, tensones y deformacones están relaconadas a través de la ley de Hooke E ν [ σ + σ + σ ] [ σ σ + σ σ + σ σ ] + [ τ + τ + τ ] x y z E x y y z x z G xy yz xz xz xz 4
... Defncones En forma abrevada U = V j dv Para un elemento general vga-columna (barra), podemos escrbr la energía de deformacón en térmnos de las deformacones como L barra ' ' U = [ EAε x + EI yφ y + EI zφz + GJφx + GAyγ xy + GAzγ xz ]dx 0 σ j ε j... Defncones En térmnos de esfuerzos nternos U barra = L N ( x) EA M y( x) + EI M z( x) + EI M x( x) + GJ V y( x) + ' GA V z( x) + GA 0 ' y z y z dx Y para un sstema estructural sst U = U barras barra 5
Notar: U = 0... Defncones U = 0 sólo s no hay accones aplcadas (no hay esfuerzos nternos o deformacones) Térmnos están al, por lo que superposcón no es aplcable. La energía depende sólo del estado fnal de deformacón..3. Teorema de Clapeyron (833) El trabajo de las fuerzas externas sobre un sóldo deformable es gual a la energía nterna de deformacón almacenada W E = U Este teorema es el resultado de la aplcacón del Ppo. de Conservacón de la Energía ( a ley de la Termodnámca), consderando que no exsten varacones de temperatura n energía cnétca Para el caso partcular de sstemas lneales elástcos con carga proporconal sst barra WE = R r = U = u dv barras V 6
..3. Teorema de Clapeyron (833) Este teorema sólo permte encontrar desplazamentos en el punto de aplcacón de la carga. No srve para cargas dstrbudas o varas cargas puntuales (salvo casos muy partculares). Por lo tanto se necesta otras herramentas para estos casos Capítulo : Prncpo de los Trabajos Vrtuales y Teoremas de Energía.. Prncpo de los Trabajos Vrtuales 7
.. Prncpo de los Trabajos Vrtuales Un sstema de partículas sometdo a un conjunto de accones está en equlbro sí y solo sí para cualquer desplazamento vrtual arbtraro compatble se tene que δw E = 0 Un sóldo rígdo sometdo a un conjunto de accones está en equlbro sí y solo sí para cualquer desplazamento vrtual arbtraro compatble se tene que δw E = 0.. Prncpo de los Trabajos Vrtuales Un sóldo elástco deformable está en equlbro sí y solo sí para cualquer desplazamento vrtual arbtraro compatble se tene que δw E = δu 8
.. Prncpo de los Trabajos Vrtuales El prncpo de Trabajos Vrtuales relacona tres conceptos: Sstema de fuerzas en equlbro Sstema de desplazamentos compatble δw = δu Basta con cumplr dos condcones para que la tercera se verfque.. Prncpo de los Trabajos Vrtuales El prncpo es váldo para cualquer materal (no necesaramente lneal elástco) y para deformacones no pequeñas. Su aplcacón requere defnr sstemas: Sstema real de fuerzas en equlbro (SF) Sstema vrtual de deformacones compatble (SD) 9
.3. Prncpo de los Trabajos Vrtuales Complementaros Análogamente al PTV exste un prncpo smlar para el trabajo vrtual complementaro Un sóldo elástco deformable está en un estado compatble de deformacón sí y solo sí para cualquer sstema de fuerzas vrtuales en equlbro se tene que δw Ec = δu c.3. Prncpo de los Trabajos Vrtuales Complementaros El prncpo es váldo para materal lneal elástco y deformacones pequeñas. Su aplcacón requere defnr sstemas: Sstema vrtual de fuerzas en equlbro (SF) Sstema real de deformacones compatble (SD) 0
.4. er Teorema de Trabajo Mínmo: Energía Potencal Estaconara Una condcón necesara y sufcente para que un sstema esté en equlbro bajo un régmen de deformacones compatbles es que la energía potencal total sea estaconara y mínma. = U d + U e = U W = 0 = du dw e du = dw e e.5. Teorema de Castglano I La dervada parcal de la energía de deformacón respecto de un desplazamento es gual a la carga aplcada en el punto donde se mde el desplazamento. r U = j R j
.5. Teorema de Castglano I r puede ser traslacón o rotacón. Váldo para grandes deformacones sempre que la energía nterna de deformacón se calcule para grandes deformacones..6. Teorema de Castglano II La dervada parcal de la energía de deformacón respecto de una carga es gual al desplazamento del punto donde se aplca la carga. R U = j Solo aplcable a materal lneal elástco en pequeñas deformacones. r j
.7. Integral de Mohr El desplazamento en cualquer punto de una barra se puede calcular como r = L 0 M M EI N N + EA ℵV V + GA T T + GJ dx donde M, N, V y T representan los esfuerzos en la barra generados por una carga untara aplcada en el punto y en la dreccón del desplazamento que se quere calcular.7. Integral de Mohr Método de Vereschagun: La ntegral de la multplcacón de funcones f y g donde f es una funcón lneal se puede calcular como I ( x) g( x) dx = A f ( x ) = f g g 3
.8. Teorema de Bett (87) En una estructura elástca lneal, el trabajo hecho por un prmer grupo de fuerzas R durante la deformacón producda por un segundo grupo de fuerzas R es gual al trabajo hecho por el segundo grupo de fuerzas a través de las deformacones causadas por el prmer grupo. T T { R } { r } = { R } { r }.9. Teorema de Maxwell (864) Corresponde a la restrccón del teorema de Bett para el caso de que los dos sstemas de fuerzas constan de solo una fuerza untara cada uno. r = r Implca que las matrces de flexbldad y rgdez son smétrcas 4
.0. Teorema de Menabrea En una estructura hperestátca, las reaccones en los enlaces en exceso toman valores tales que hacen mínma la energía de deformacón. U X j = 0 Resumen Teo. Energía y Trabajo Clapeyron: W = U TTV: δw = δu (desplazamento untaro) TTVC: δw c = δu c (carga untara) TEPE: dπ = du dw= 0 => du = dw Castglano I: Castglano II: Menabrea: U = R rj U = rj R j U = 0 X j j 5
Resumen Teo. Energía y Trabajo Bett: {R } T {r } = {R } T {r } Maxwell: r = r.. Líneas de nfluenca Dagrama cuya ordenada representa el valor de un esfuerzo nterno o reaccón para una carga ubcada en la poscón ndcada por la abscsa. 6
.. Líneas de nfluenca Tenen aplcacón en estructuras cuyas sobrecargas son mportantes y varables: puentes, psos, puente-grúas. Srven para determnar la ubcacón de las cargas que producen los mayores esfuerzos en una seccón partcular o las mayores reaccones en un apoyo.. Líneas de nfluenca Müller-Breslau (885): Las ordenadas de la línea de nfluenca o superfce de nfluenca para cualquer accón nterna o carga reactva son proporconales a los desplazamentos que se obtenen elmnándose el vínculo que causa dcha accón nterna o reaccón e ntroducendo en su lugar una deformacón o desplazamento correspondente. 7