Univesidd Ncionl de L Plt Fcultd de Ciencis Ntules y Museo Cáted de Mtemátic y Elementos de Mtemátic Asigntu: Mtemátic Contenidos de l Unidd Temátic nº VECTORES Sum y difeenci de vectoes. Poducto de un vecto po un escl. Vectoes lies. Vesoes. Componentes de un vecto. Descomposición cnónic de un vecto. Ángulos y cosenos diectoes de un vecto. Poducto escl. Ángulo ente dos vectoes. Condiciones de plelismo y de pependiculidd. Poducto vectoil. Poducto mixto. Intepetción geométic de los poductos ente vectoes. Nociones soe espcios vectoiles Ing. Clos Alfedo López Pofeso Titul
Fcultd de Ciencis Ntules y Museo Cáted de Mtemátic y Elementos de Mtemátic Asigntu: Mtemátic Unidd Temátic nº : Vectoes Ing. Clos Alfedo López VECTORES. Ciets mgnitudes, que quedn pefectmente definids po un solo númeo el (su medid o módulo) se denominn MAGNITUDES ESCALARES pudiendo epesentse po segmentos tomdos soe un ect. Son escles, l tempetu, l longitud, l supeficie, el volumen etc. Existen ots mgnitudes, p ls cules no esult suficiente un númeo p su deteminción. Po ejemplo, si queemos expes que hemos plicdo soe un cuepo un fuez de 0 kg, no st el númeo el 0 (su númeo) p identificl; es necesio demás indic: DIRECCION, SENTIDO Y PUNTO DE APLICACION de l fuez. Un mgnitud de ls ccteístics de l descipt ecie el nome de MAGNITUD VECTORIAL, y se epesent geométicmente medinte un elemento que l simoliz denomindo VECTOR FIJO (poque tiene un punto de plicción). En el siguiente ejemplo, puede vese l difeenci de efectos, si p el mismo módulo, l mism diección y el mismo sentido cmimos el punto de plicción del vecto. F 0 kg. Existen otos tipos de vectoes: F 0 kg.
) Aquellos cuyo efecto esult se el mismo si ctún (con igul módulo, diección y sentido) soe l mism ect de cción y que se denominn VECTORES AXILES O DESLIZANTES. F A A F Cundo se plic l fuez F en el cuepo ígido A el efecto no ví si l mism se uic soe l mism ect de cción. ) Aquellos cuyo efecto esult se el mismo si ctún (con igul módulo, diección y sentido) soe culquie posición de ls infinits ects plels un diección pefijd. Estos vectoes, que estudiemos en el pesente cuso, ecien el nome de VECTORES LIBRES. Es deci que si dos vectoes ctún soe ects plels y tienen el MISMO MODULO y el MISMO SENTIDO, diemos que dichos vectoes son IGUALES, puesto que l se sus ects sostén plels, TIENEN LA MISMA DIRECCION. Los vectoes que cumplen con l condición pecedente se denominn VECTORES EQUIPOLENTES. En genel, llmemos vecto todo SEGMENTO ORIENTADO. El punto A se denomin oigen del vecto y el punto B extemo del mismo. B A L ect sostén del segmento AB detemin entonces LA DIRECCION y l punt de l flech, o se, l oientción desde A hci B detemin EL SENTIDO DEL VECTOR. AB Nomenclemos los vectoes:,, AB ó AB En lo sucesivo, cundo hlemos de VECTOR se entendeá que nos efeimos l VECTOR LIBRE.
OPERACIONES ENTRE ESCALARES Y VECTORES. Designemos l númeo el con el nome de escl p distinguilo de un vecto. DEFINICIÓN. ) El poducto de un vecto po un escl no nulo ( 0 ) es oto VECTOR cuyo módulo es igul l poducto del módulo del vecto po el vlo soluto del ; cuy diección coincide con l del vecto y cuyo sentido es igul l escl ( ) sentido del vecto si > 0 y esult de sentido contio l del vecto si < 0. ) El poducto del escl ceo ( 0) po culquie vecto d como esultdo el VECTOR NULO ó VECTOR CERO. 0 0 c) El poducto de culquie escl ( 0) po el vecto nulo, d como esultdo EL VECTOR NULO. 0 0 OPERACIONES ENTRE VECTORES. SUMA DE VECTORES. A B A B C s D C D L sum de los vectoes y es el VECTOR s cuyo oigen es el oigen de un vecto equipolente de y cuyo extemo es el extemo de un vecto equipolente de tzdo pti del extemo del vecto equipolente de. Si los vectoes y los uicmos con un oigen común O, p sumlos podemos utiliz l REGLA DEL PARALELOGRAMO que se ilust en l siguiente figu:
s P efectu l sum de vios vectoes se pocede de l siguiente mne: se sumn dos de los vectoes y su vecto SUMA ó RESULTANTE se sum con el siguiente vecto y sí siguiendo hst temin con todos los vectoes. El vecto SUMA ó RESULTANTE es el vecto que tiene su oigen coincidente con el oigen del pime vecto y su extemo con el extemo del último vecto sumdo. L epesentción gáfic es l siguiente: O R s s s 5 Si el extemo del último vecto sum coincide con el oigen del pimeo, el VECTOR SUMA O RESULTANTE ES EL VECTOR NULO.
DIFERENCIA DE VECTORES. A B B' D' A' D R C' C Rest un vecto de oto es equivlente sum l vecto el vecto opuesto de. (OPUESTO DE - ). En l figu R es el vecto RESTA que se otiene l est del vecto el opuesto del vecto. EXPRESION CANÓNICA DE UN VECTOR. y ( j O ( i x A un vecto lie lo podemos epesent en un sistem ctesino otogonl xy, de modo tl que su oigen coincid con el oigen O del sistem coodendo. En ests condiciones, dicho vecto puede se expesdo como l sum de los vectoes y cuys diecciones coinciden espectivmente con los ejes de sciss y odends, es deci: ( ) Si llmmos vesoes fundmentles en el plno xy DOS VECTORES CUYOS MODULOS SEAN IGUALES A LA UNIDAD: ( i en l diección y el sentido positivo del eje x, ( j en l diección y sentido positivo del eje y, podemos expes los vectoes y de l siguiente mne:
( i ( j ( ) siendo y los módulos de los vectoes y. En ests condiciones, l expesión () se escie: ( ( i j ( ) L expesión () se denomin EXPRESION CANONICA DEL VECTOR y su epesentcion gáfic seá l siguiente: y ( j ( j O B ( i ( i P A x OP ( OA i ( OB j efeenci po l cuteñ ( ) En el espcio tidimensionl E identificmos el sistem de ( ( ( ( ( ( O, i, j, k en l cul OP xi y j zk z z P (x,y,z ) ( k x ( i ( j y y x y del mismo modo que p el plno E, l expesión genel de un vecto ente dos puntos seá: ( ( ( PP x x i y y j z z ( ) ( ) ( )k
y l distnci ente dos puntos PP seá igul l módulo del vecto P ( x x ) ( y y ) ( z ) P z ANGULOS DIRECTORES Y COSENOS DIRECTORES. Llmemos ANGULOS DIRECTORES DE UN VECTOR los ángulos compendidos ente 0º y 80º que los ejes coodendos positivos fomn con dicho vecto y COSENOS DIRECTORES los cosenos de dichos ángulos. De cuedo ls figus siguientes se tiene: OA cos OA cosβ siendo el módulo del vecto y y A ( j β A A β A ( j (i ( i A x A x A β y ( j ( i x y ( j (i β A x A A A A Teniendo en cuent l expesión cnónic del vecto ( ( i j y esultn se módulos de los vectoes que se otienen poyectndo soe los ejes coodendos x e y el vecto.
Si nos intees otene, en función de sus componentes, EL MODULO DEL VECTOR, plicndo el Teoem de Pitágos l tiángulo OA A de ls figus nteioes, esult: expesión que siempe se tom positiv. ÁNGULOS Y COSENOS DIRECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL x β γ cos ; siendo y ( y x β y ( y y ( γ β cos β : siendo γ x β y ( y y ( γ cos γ ; siendo
PRODUCTO ESCALAR. ( ( i j Sen ( ( ( i j Definimos como poducto escl l númeo que esult de eliz el poducto de los módulos po el coseno del ángulo compendido. cos Intepetción geométic del poducto escl.. De l figu, l poyección de soe el vecto vle cos ; en consecuenci podemos deci que el poducto escl ente dos vectoes es igul l poducto del módulo de uno de ellos po l poyección del oto soe él. cos 90º ' cos ' donde ' cos Actividd: Poyect el vecto soe l diección del vecto p demost que el poducto escl puede expesse como el módulo del vecto pot l poyección del vecto soe Expesión del poducto escl en función de ls componentes de los vectoes que se multiplicn. ( ( ( i j k Sen ( ( ( i j k desollndo: ( ( ( ( ( ( i i i j i k ( ( ( ( ( ( j i j j j k. ( ( ( ( ( ( k i k j k k en l que de cuedo l definición de poducto escl : ( ( ( ( i i i i cos 0º ( ( ( ( j j k k po l mism zón ( ( ( ( i j i j cos 90º 0 0 y del mismo modo ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( i k j i j k k i k j 0
esultndo i i i El poducto escl ente dos vectoes es un númeo igul l sum de los poductos de ls componentes que tienen l mism diección. Puede tmién expesse el poducto escl cundo se lo define como l sum de los poductos de ls componentes que tienen igul diección: P el espcio tidimensionl ϕ De l figu pecedente puede compose: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ϕ cos ; que puede esciise: ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] ϕ cos v [ ] [ ] ϕ cos simplificndo, otenemos: [ ] [ ] ϕ cos Popieddes del poducto escl Es conmuttivo: Es distiutivo especto l sum de vectoes: ( ) c c Ängulo ente vectoes.. Siendo, de cuedo lo visto: cos podemos escii: cos cos expesión que nos pemite otene el coseno del ángulo ente dos vectoes.
Condición de plelismo ente vectoes.. Si dos vectoes y son plelos sus componentes deen se popocionles. En efecto, si y tienen l mism diección, entonces uno de ellos puede se expesdo como el poducto ente un escl y el oto vecto: o ien de donde λ λ ( ( ( ( ( ( ( i j k ) i j k λ λ λ λ λ λ que se expes: Condición de pependiculidd ente vectoes.. Si dos vectoes y son pependicules, su poducto escl es nulo. Siendo pependicul cos90º o se 0 cos Si 0 cos 0 y en consecuenci 0 P se si dos vectoes son pependicules veificmos l vlidez de l expesión nteio, si se cumple son otogonles; si el esultdo, entonces fimmos que los vectoes no son pependicules. 0
Poducto vectoil. Es un poducto ente vectoes exclusivo del espcio tidimensionl que d como esultdo oto vecto: x c Si c es un vecto deemos defini sus elementos, es deci, módulo, diección y sentido. ) Módulo: x c sen el módulo del poducto vectoil es igul l poducto de los módulos de los vectoes que se multiplicn po el seno del ángulo compendido. ) Diección: Es pependicul l plno que genen los vectoes que se multiplicn. c) Sentido: El mismo que coesponde l ten de efeenci. Un tiuzón colocdo con su eje en l diección del eje z cundo es gido desde hci, vnz en sentido de ls z positivs (es el sentido cundo multiplicmos x ) Si efectumos el poducto x, el sentido del vecto esultnte es hci ls z negtivs. c Popieddes del poducto vectoil. No es conmuttivo: x x El poducto vectoil no es socitivo: x( xc ) ( x ) xc
Intepetción geométic del módulo del poducto vectoil. x sen siendo h sen entonces x h lo que signific que el módulo del poducto vectoil es equivlente l áe del plelogmo cuyos ldos son los módulos de los vectoes que se multiplicn. h Expesión nlític del poducto vectoil.. Desollndo: expesión en l que: esultndo que puede similse : x ( ( ( i j k Si ( ( ( i j k ( ( ( ( i j k i ( ( ( ) ( j k ) ( ( ( ( ( ( x ( ixi ) ( ixj) ( ixk ) ( ( ( ( ( ( ( jxi ) ( jxj ) ( jxk ) ( ( ( ( ( ( ( kxi ) ( kxj ) ( kxk ) ( ( ( ( ixi i i sen0 º 0 ( ( ( ( jxj kxk 0 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ixj k ; jxk i ; kxi j ( ( ( ( ( ( ( ( ( jxi k ; kxj i ; i xk j ( ( ( ( ( ( x k j k i j i ( ( ( i j ( ) ( ) ( )k ( ( ( c x i j k expesión de un deteminnte simólico denomindo de éste modo poque difeenci de un deteminnte su desollo no d como esultdo un númeo sino un vecto. ACTIVIDAD: veific l equivlenci de ls dos expesiones nteioes.
NOTA: Si queemos clcul el módulo del vecto esultnte del poducto vectoil no esult posile otenelo de : x sen y que se desconoce el vlo del ángulo ; el polem se esuelve clculndo el vecto esultnte c y oteniendo de éste vecto el módulo: c ( ) ( ) ( ) Poducto mixto. Como su nome lo indic consiste en eliz conjuntmente ls opeciones de poducto vectoil y poducto escl. ( ( ( i j k ( ( ( Sen los vectoes i j k ( ( ( c ci cj ck ( xc ) dee elizse pimemente el poducto vectoil ( xc ) que oj como esultdo un vecto y después multiplic ese vecto esclmente po, oteniéndose como esultdo finl un númeo. Si se petendie ope elizndo el poducto escl se otendí como esultdo un númeo ; dicho númeo deeí multiplicse vectoilmente po c ; opeción no definid; en consecuenci opemos esolviendo pimemente el péntesis ( xc ) y luego multiplicndo el vecto esultnte esclmente po el vecto. De cuedo l desollo elizdo el poducto vectoil seá: ( ( ( i j k v xc c c c ( ( ( v xc ** ( c c ) i ( c c ) j ( c c )k Desemos eliz ho ( ( ( ( v ( i j k ) ( c c ) i ( ( ( ( ( i j k ) ( c c ) j ( ( ( ( ( i j k ) ( c c )k de cuedo l desollo del poducto escl esult xv ( xc ) ( c c ) ( c c ) ( c ) c ***
que equivle : ( xc ) deteminnte (d como esultdo un númeo) cuys fils son ls componentes de los vectoes que se multiplicn. P justific l vlidez de est expesión st con comp ls expesiones ** y *** : En ells es fácil ve que el ppel que desempeñn los vesoes en ** es el mismo que elizn ls componentes del vecto en l expesión ***, zón po l cul puede eemplzse l fil que coesponde los vesoes en el deteminnte simólico po l fil de ls componentes de esultndo el deteminnte ****. Intepetción geométic del poducto mixto. Si utilizndo como ldos los módulos o longitudes de los vectoes, y c, constuimos el plelepípedo de l figu v podemos osev: ) xc v, siendo v pependicul l plno que confomn y c. c ) xc v S : supeficie de l se del plelepípedo (ve intepetción geométic del módulo del poducto vectoil) xc v v cos cos c) ( ) expesión en l que del plelepípedo; esult, entonces: y siendo v S c c c **** es l poyección de soe v, equivlente h; ltu v v cos v h ( xc ) S h Volumen v El poducto mixto es un númeo igul l volumen del plelepípedo cuyos ldos son los vectoes que se multiplicn. Impotnte: Si consevndo l posición de los vectoes yc modificmos l diección del vecto cmiá el volumen del plelepípedo. Como cso extemo cundo este último vecto se uique en el plno de los dos nteioes, el volumen se nulá, lo que signific que el poducto mixto seá igul ceo. Recípocmente podemos deci que si el poducto mixto ente tes vectoes es nulo, ello signific que los vectoes son coplnes.
ESPACIOS VECTORIALES Genelizemos ho p un espcio0 n.dimensionl los conceptos ásicos del álge vectoil que se desollon p vectoes del plno E y del espcio tidimensionl E. Ls popieddes de ls opeciones (,٠) se tnsifomn, como veemos, en popieddes p un conjunto de vectoes stctos que definen o confomn lo que se denomin Espcio Vectoil. El mtemático quien se dee el desollo de ests ides es Hennn Gsmnn, siendo el pimeo en defini un espcio vectoil n.dimensionl y el concepto de independenci linel. Definición de Espcio Vectoil: Se V {x, x,...x n } conjunto de vectoes y dos opeciones que se pueden eliz en el mismo; sum () y poducto po un escl (٠). El conjunto (V,,K, ٠) se denomin espcio vectoil; en él K es el cuepo de los númeos eles que sin pede iguosidd puede eemplzse po el conjunto de los númeos eles.p que un conjunto de elementos denomindos vectoes confome un espcio vectoil, deen cumplise ls siguientes popieddes: ) Ente los elementos del conjunto está definid l opeción de sum como ley inten: se ope con elementos de un detemindo conjunto y el esultdo se otiene en el mismo conjunto. (summos vectoes y otenemos como esultdo un vecto) ) Vle l popiedd conmuttiv: x x x x c) Vle l popiedd socitiv: x ( x x ) ( x x ) x d) Existe elemento neuto en l opeción: el vecto nulo 0 e) Existe inveso ditivo: x, ( x) / x ( x) 0 (l sum de un vecto y su inveso ditivo, d como esultdo el elemento neuto en l opeción. f) Está definid l opeción poducto de un vecto po un escl: x x como ley exten (opemos con elementos de dos conjuntos distintos y el esultdo d en uno de ellos: el de los vectoes) g) Vle l popiedd socitiv: ( β x) ( β ) x. h) Vle l popiedd distiutiv especto de l sum de escles: ( β ) x x β x i) Vle l popiedd distiutiv especto de l sum de vectoes: ( x x ) x x j) Existe elemento neuto en l opeción (el escl ): Además del conjunto de los vectoes geométicos cuys opeciones hemos detlldo, tmién tienen estuctu de espcio vectoil, ente otos conjuntos el de los polinomios, el de ls funciones, el de los pes odendos de númeos eles, ls tens, ls cutens,... n-upls..., el de ls mtices, etc...
P justific que un conjunto tiene estuctu de espcio vectoil, es peciso defini: ) Ls opeciones de sum y poducto po un escl. ) El elemento neuto. c) El inveso ditivo de cd elemento del conjunto V. d) Compo que se veificn ls popieddes. Actividd: veific que tiene estuctu de espcio vectoil: ) El conjunto R n. ) El conjunto de todos los polinomios con coeficientes eles. c) El conjunto de ls mtices con elementos eles. d) El conjunto de tods ls funciones de vlo el. Cominción linel de vectoes:. Los vectoes pueden expesse como n-upls odends, dispuests fils o en columns. P l disposición column: ; diemos que su dimensión es x (númeo de fils po númeo de columns). En genel p un conjunto de 6 vectoes de dimensión podemos escii: x x x x x 5 x 6 5 6 5 6 5 6 5 6 esultndo un cudo de coeficientes fomdo po fils y columns. Designemos un fil culquie con l let "i" y un column culquie con l let "j". En nuesto cso "i" ví ente y mients que "j" lio hce ente y 6. De est mne el elemento peteneceá l fil y l column. L sum de vectoes, cundo los mismos están jo el specto de vectoes column, se eliz de l siguiente mne: x x x
y el poducto de un vecto po un escl: x y l opeción comind que ecie el nome de cominción linel de los vectoes y con los escles y x x esultá: x x x Dependenci e independenci linel: No siempe esult posile expes un vecto como cominción linel de un conjunto de vectoes ddo: Ejemplo : Si queemos expes el vecto 0 0 como cominción linel de los vectoes y esult necesio encont los escles que pemitn expesl: que d oigen l sistem de ecuciones lineles: cuy solución es 67, ;,67 0 L epesentción gáfic es: ( ), ( ), ( ), ( ),,67 0 ( ),67,
y entonces, el vecto (,) puede expesse: 0,67,67 Ejemplo : Se ho el polem de expes el vecto (,) como cominción linel de los vectoes (,) y (-,-). (,) opendo convenientemente, esult del sistem de ecuciones lineles: (, ) (, multiplicndo todos los téminos de l segund ecución po : 8 nos encontmos en pesenci de un sistem incomptile y que los segundos miemos son igules, de lo que se despende l inconsistenci 8. Est situción nos indic que no existe mne posile de expes l cominción linel popuest. Geométicmente, el cso se intepet poque los vectoes (,) y (-,.-) son plelos, definiendo un únic diección; en consecuenci, esult imposile descompone en vecto (,) en un únic diección, distint de l popi. Conclusión: Existe un solo vecto que siempe se puede expes como cominción linel de un conjunto ddo: dicho vecto es el vecto nulo. Cundo l únic posiilidd de expes el vecto nulo como cominción linel de un conjunto de vectoes ddo. lo es utilizndo escles todos nulos, l cominción linel ecie el nome de cominción linel tivil y el conjunto de vectoes se define como linelmente independiente. Si demás de l cominción linel tivil, que siempe existe, pueden estlecese ots cominciones lineles utilizndo lgún escl distinto de ceo, el conjunto de vectoes se denomin linelmente dependiente. Vemos como funcionn ests situciones (como csos pticules) en los espcios de dos y tes dimensiones: ) supongmos en el espcio idimensionl un conjunto de vectoes linelmente dependientes. Como hemos dicho, en este cso, demás de l cominción linel tivil, pueden estlecese ots cominciones lineles utilizndo lgún escl distinto de ceo.
Se l cominción linel: 0 x x constuid con el escl 0. En ests condiciones podemos despej x, oteniendo: x x; si hcemos β - x β x esultndo mos vectoes plelos: tl es el cso de (,) y (-,-). En consecuenci un vecto que no teng l diección común ellos, no podá se expesdo en función de los mismos (solo podá expesse en función de vectoes de su popi diección, utilizndo l opeción poducto de un vecto po un escl). Consecuenci: si en el espcio idimensionl queemos se si dos vectoes son o no linelmente independientes, compomos su plelismo (los cocientes ente ls componentes de l mism diección deen se igules). Si esultn plelos son linelmente dependientes, en cso contio seán linelmente independientes. ) Supongmos ho un conjunto de vectoes linelmente dependientes del espcio tidimensionl. Cundo se d est situción el vecto nulo podá expesse como cominción linel del conjunto ddo, utilizndo lgún escl distinto de ceo: 0 x x x ; con 0 despejndo; x x x concluimos que el vecto x puede se expesdo como cominción linel de los vectoes x yx, es deci que está uicdo en el plno que ellos definen. (en elidd los vectoes no definen un único plno, sino un hz de plnos plelos). Al eliz l intepetción geométic del poducto mixto ente tes vectoes, vimos que es opeción d como esultdo un escl numéicmente coincidente con el volumen del plelepípedo cuyos ldos son los módulos de los vectoes que se multiplicn. Result entonces que, ddos tes vectoes petenecientes l espcio tidimensionl, si su poducto mixto es nulo, esultán coplnes y en consecuenci linelmente dependientes; po el contio, si el poducto mixto esult distinto de ceo, segumos que los vectoes no son coplnes, es deci, son linelmente independientes. Cso genel (p el espcio n-dimensionl): P culquie espcio E n si queemos identific l independenci o dependenci linel de un conjunto de vectoes, deeá expesse el vecto nulo como cominción linel de ellos. Se po ejemplo en E el conjunto: ( ( ( ( i j k l ( ( ( ( i j k l ( ( ( ( c ci cj ck cl ( w ( ( d di dj dk dl l cominción linel es: ( 0,0,0,0) (,,, ) (,,, ) ( c, c, c, c ) ( d, d, d d ),
dndo oigen l siguiente sistem de ecuciones lineles: 0 c d 0 c d 0 c d 0 c d que ecie el nome de sistem de ecuciones lineles homogeneo po tene todos sus téminos de igul gdo (todos sus téminos independientes son nulos). Este tipo de sistem de ecuciones siempe tiene solución (l menos l tivil, con tods ls viles nuls ( 0 ) que coesponde l cso en que el sistem tiene únic solución, es deci, es linelmente independiente. Puede ocui tmién que, demás de l solución tivil, el sistem pued stisfcese utilizndo lguno de los escles distinto de ceo. En este cso, l solución es múltiple, lo que se veific clculndo el vlo del deteminnte socido los coeficientes de ls incógnits, que p este cso dee se nulo: c d c c c Resumiendo: l independenci o dependenci linel de un conjunto de vectoes, puede veificse en culquie espcio clculndo el vlo del deteminnte socido los coeficientes de ls incógnits del sistem que puede constuise l estlece el vecto nulo como cominción linel del conjunto de vectoes que se estudi. Si el deteminnte socido esult con vlo distinto de ceo, el conjunto es linelmente independiente, en tnto que, cundo dicho deteminnte d esultdo nulo, el conjunto de vectoes es linelmente dependiente. Sistem de Genedoes: Recie este nome todo conjunto de vectoes un cieto espcio vectoil, tl que, culquie vecto de dicho espcio pued se expesdo como cominción linel de los mismos. Al espcio vectoil coespondiente se le d el nome de espcio genedo po el conjunto de vectoes ddo. Ejemplo: el conjunto {(,0);(,);(0,)} es un sistem de genedoes de (V,, K, ٠). Como el vecto (,) puede expesse como cominción linel de los vectoes (,0) y (0,) l se (,)(,0)(0,), el conjunto {(,0);(,);(0,)} es un sistem de genedoes linelmente dependiente. Con idéntico zonmiento y teniendo en cuent que los vectoes (,0) y (0,) son linelmente independientes, podemos deci que el conjunto {(,0);(0,)} es un sistem de genedoes linelmente independiente. d d d 0
Si se tt de un S.G.l.d, culquie vecto del espcio coespondiente podá se expesdo como cominción linel de los mismos de infinits mnes distints, mients que, si se tt de un S.G.l.i l cominción linel que pemitiá expes culquie vecto seá únic. Bse de un espcio vectoil: Cundo estmos en pesenci de un S.G.l.i decimos que el mismo es un se del espcio vectoil. Dicho de ot fom: un se de un espcio vectoil está confomd po un conjunto de vectoes linelmente independientes cuyo númeo es el mínimo cpz de gene el espcio. Osevción: ) P cl el concepto de se consideemos el conjunto {(,,);(,,)}. Como puede veificse este conjunto es l.i, sin emgo no es se de su espcio vectoil, y que el númeo de sus vectoes es insuficiente p gene el espcio E. ) El conjunto vcío es po convención l se del espcio vectoil nulo. Dimensión de un espcio vectoil: Se define de est mne l númeo máximo de vectoes linelmente independientes de un cieto espcio vectoil. Ejemplo: en el espcio (V,,k, ٠) el númeo máximo de vectoes l.i es tes. Cmio de se. De lo que hemos visto esult que en un espcio vectoil culquie existe l menos un se; sin emgo l mism no es únic y que puede considese se de un detemindo espcio, todo conjunto de vectoes del mismo que se un sistem de genedoes linelmente independiente.. Al podese defini en un espcio vectoil más de un se, esult de inteés estlece lgun metodologí que pemit otene l expesión de un vecto en un detemind se, cindo se conoce l expesión del mismo vecto en culquie ot se peteneciente l mismo espcio vectoil.. El polem esolve ecie el nome de cmio de se. Ejemplo: En el espcio idimensionl, el vecto (,) está expesdo en se cnónic, es deci en se {(,0);(0,)}. El polem de cmio de se esolve es expes el mismo vecto en se B {(,); (,)}. Est opeción consiste en encont el vlo de los escles que pemitn expes l cominción linel (,) (,) β (,). El vlo de los escles se otiene esolviendo el sistem de ecuciones lineles: β β cuyo esultdo es / y β 5/ Result entonces que el vecto (,) se expes en se {(,); (,)} como:
5 (,) (,) (, ) Los númeos / y β 5/ se denominn coodends del vecto (,) con especto l se B. Result entonces que (,) tiene distints componentes especto de difeentes ses, de modo tl que cd se de un mismo espcio gene un sistem de coodends. Actividd: efectu l intepetción geométic del cmio de se elizdo. Supongmos ho que queemos expes culqujie vecto del espcio idimensionl con efeenci un se dd. Volvmos nuest se B ( ( {(,); (,)}; entonces culquie vecto v xi yj se expes en se B: (x,y) (,) β (,), lo que d oigen l sistem: x β y β ( ( donde x e y son ls coodends con efeenci l se { i, j} en téminos de ls coodends efeids l se B. L tnsfomción inves se otiene de: x β y β estndo m.m: x y despejndo : x y otenido y eemplzndo en culquie de ls ecuciones se lleg : β x y En ls tnsfomciones descipts cd coodend de un punto en un sistem de coodends es un cominción linel de ls coodends del mismo punto en el oto sistem. Un tnsfomción de este tipo ecie el nome de tnsfomción linel. Un tnsfomción linel de un sistem oto qued detemind po los vectoes de cd se y que, conociendo como se tnsfomn los vectoes de l se qued detemind l tnsfomción de culquie vecto del espcio común ms ses. Volveemos soe el tem l tt l unidd soe mtices en l cul definiemos l mtiz socid l cmio de se. Actividd: 5 ) expes el vecto v, siendo ; en se ) Expes el vecto v (,,,5 ) en se B ; ; ; B ;