Tensiones principales en el caso plano Círculo de Mohr Partiendo del sistema de ecuaciones que relaciona las componentes de la tensión en el sistema de referencia {, } en función de las componentes de la tensión en el sistema {, } (ver página de las transparencias: ' cos θ sin θ ' ' ' sinθ sin θ cos θ sinθ ( ( sinθ (cos θ sin θ Utilizando las siguientes relaciones trigonométricas: cos θ cos θ cos θ sin θ sin θ sinθ cos θ cos θ sin θ ( sustituéndolas en (, obtenemos: ' cos θ sin θ ' cos θ sin θ (3 ' ' sin θ cos θ Observaciones:. La suma de tensiones normales es un invariante del estado de tensiones, es decir: ' '. Direcciones principales Eisten dos direcciones mutuamente perpendiculares en las que las tensiones de cortadura son nulas por lo tanto, sólo eisten tensiones normales: ( >. A esas tensiones se les llama tensiones principales a las direcciones, direcciones principales. De la ecuación (3, obtendremos el ángulo θ que forma la dirección principal con el : --
' ' sin θ cos θ 0 tan θ (4 utilizando las siguientes relaciones trigonométricas: tan θ sin θ (5 cos θ [ ] / ( tan θ / ( / 4 ( / ( tan θ ( / 4 / [ ] / sustituéndolas en el sistema de ecuaciones (3, obtendremos los valores de las tensiones principales: / (6 / 3. Tensión de cortadura máima En algunas ocasiones, por ejemplo, en el estudio de las deformaciones plásticas permanentes, es interesante conocer el valor el plano sobre el que la tensión de cortadura es máima. Para ello, derivaremos la epresión de de la ecuación (3: d ' ' dθ 0; ( cos θ sin θ 0 tan θ (7 Utilizando las siguientes relaciones trigonométricas: sin θ cos θ tan θ ( tan θ / ( ( / 4 ( tan θ / ( / [ ] / [ / 4 ] / --
podemos calcular el valor de la tensión máima de cortadura, como: / ma (8 Observar que, comparando las ecuaciones (4 (7: ( tan θ (9 ( tan θ ma Esa relación se cumple cuando los ángulos difieren 90º, por lo que dado que en la ecuación (9 aparece el ángulo doble, la dirección principal la dirección normal al plano en el que la tensión de cortadura es máima forman un ángulo de 45º. Sustituendo la ecuación (8 en la ecuación (6 obtenemos que: ma ma (0 por lo tanto, sumando estas dos ecuaciones obtenemos que la tensión de cortadura máima vendrá dada por la mitad de la diferencia entre las tensiones principales: ma ( 4. Círculo de Mohr Desde el punto de vista teórico, las ecuaciones ( son suficientes para conocer las tensiones en cualquier sistema de referencia en el caso de tensión plana. Pero dado que estas ecuaciones son difíciles de memorizar, Mohr propuso una representación geométrica de esas ecuaciones. Por lo tanto, el círculo de Mohr no añade nada nuevo a lo epuesto anteriormente, pero es una herramienta que se utiliza en muchas ocasiones al estudiar las tensiones. -3-
Rescribiendo las ecuaciones (3 de la siguiente manera: ' cos θ sin θ ' ' sin θ cos θ sumando elevando al cuadrado ambas ecuaciones obtenemos: ' ' ' ( Esta ecuación se puede comparar con la ecuación de un círculo: ( c r (3 con centro en (0, c radio r: c r / (4 Por lo tanto, si representamos las tensiones normales en el eje de abscisas las tensiones tangenciales en el eje de ordenadas, la ecuación ( daría lugar al círculo de la figura. En este círculo, el punto A tiene coordenadas (, corresponde al eje. El punto B tiene coordenadas (, corresponde al eje (La convención de signos que se utiliza para las tensiones de cortadura es que son positivas en el círculo de Mohr si generan un momento en el sentido de las agujas del reloj negativas en el caso contrario. La recta AB corta al eje de abscisas en el punto C, centro del círculo. Y para ir del punto A al B ha que girar un ángulo de 80º en el círculo, es decir, que un ángulo medido en el círculo es el doble del ángulo real que forman las dos direcciones. Para conocer las tensiones en un sistema de referencia (, será suficiente conocer el ángulo θ entre los ejes. Para ello, se gira un ángulo θ desde el punto A (que corresponde al eje hasta el punto D. Las coordenadas de este punto, que corresponde al eje, serán (,. Para obtener el punto que corresponde al eje, tendremos que girar 80º (el doble del ángulo desde el punto D hasta el punto E, cuas coordenadas serán (,. También es fácil comprobar en el círculo de Mohr que los puntos F G corresponden a las tensiones principales (en estos puntos la tensión de cortadura es cero que el punto H corresponde al plano en el que la tensión de cortadura es máima. Para ir del punto F al punto H ha que girar 90º en el círculo de Mohr. Por lo tanto, se deduce que la -4-
-5- normal al plano de cortadura máima está a 45º de las direcciones principales (como se ha demostrado anteriormente. Por último, es inmediato comprobar en esta construcción geométrica que: ma ma ma / r C H