EFECTO DOPPLER, TRANSFORMACIONES DE LORENTZ Y DILATACIÓN DEL TIEMPO

EFECTO DOPPLER, TRANSFORMACIONES DE LORENTZ Y DILATACIÓN DEL TIEMPO XAVIER TERRI STAÑÉ Paradoja de los Gemelos New Lorentz Transformation Einstein s Teoría Conetada STRACT: It is enerally onsidered that the Doppler effet, predited by the theory of speial relatiity of Einstein, is an indiret proof for the orretness of the Lorentz transformations. In this artile it appears the formula for the Doppler effet from the new relational transformations. We also study the relationship between the Doppler effet and the time dilation of Einstein s speial relatiity theory. KEYWORDS: Relational metri, Lorentz transformation, relational transformation, speial relatiity, relational theory, Doppler effet, twin paradox, time dilation, absolute time, relatie time, Newton, Lorentz, Einstein. MÉTRI PARA DOS TETRAVECTORES RELACIONALES DISTINTOS Sabe la nuea teoría relaional ómo expliar el famoso efeto Doppler? Esta frutífera ley físia, tan ontrastada en todos los aminos que onduen a Roma, que tanto fasina a los muy sabios desubridores de todo tipo de leyes en eneral En el apítulo 3 del texto La paradoja de los emelos de la teoría de la relatiidad de Einstein habíamos isto que la métria que permite alular el produto esalar de un etor relaional dx por sí mismo iene dada por (53) (la numeraión de las fórmulas del presente artíulo que no sia el orden natural eneral de las restantes fórmulas orresponderá a la del antediho texto):

(53) donde: (54) Pero esta métria tan sólo permite alular el produto esalar de un etor por sí mismo (su módulo al uadrado ). Para poder alular el produto esalar seún A para dos etores relaionales distintos, dx y dx, es neesario ampliar la métria anterior. Postulado: Métria relaional para C y D seún A: on: CD, A CD, A, () CD, A CD, A CD A, A CD () Nótese que si en () haemos D=C se reupera la expresión (54): CD, A CC, A (3) Además: CD, A (4) CONSISTENCIA DE LA DEFINICIÓN Con estas propiedades y aproehando los resultados obtenidos en el apítulo 3, es fáil demostrar la onsistenia de la métria postulada en (). Cuál será la métria relaional para C y D seún B? Antes, fórmula (50), habíamos isto que:

BC D (9) Análoamente: DC D' (5) Saando la raíz uadrada de (9) y (5) y multipliando ambos resultados: DB DD' (6) Por otro lado, antes también imos (9): Análoamente: E (9) DB E' (7) Saando la raíz uadrada de (9) y (7) y multipliando ambos resultados: DB EE' (8) Por tanto, repitiendo todos los proedimientos que aprendimos en el Capítulo 3 y utilizando los presentes resultados (4), (6) y (8), se obtiene que la métria relaional para C y D seún B es: on: CD, B CD, B, (9) CD, B CD, B CD A, A DB CD (0)

quedando así demostrada la onsistenia del postulado iniial (). INVARIANCIA La métria () permite alular el produto esalar tetradimensional seún A para dos etores relaionales distintos C y D: dx y dx seún A. La métria (9), el produto esalar para dx y dx DB seún B. Tal produto, por ser una manitud esalar, resultará ser el mismo seún A que seún B, es deir, inariante. La inariania del produto esalar permite esribir, en notaión éntia (se dan por sobreentendidos los habituales subíndies y superíndies tensoriales y el sumatorio de la notaión de Einstein): CD, AdX dx CD, BdX dx DB () En el aso partiular C=D se reupera la anterior expresión (60). La fórmula preedente también ontiene otros asos partiulares, uno de los uales es D=A. Es este último aso partiular el que nos permitirá deduir la fórmula del efeto Doppler. EL EFECTO DOPPLER El efeto Doppler, en tanto que es un fenómeno muy probado, uya fórmula puede ser deduida a partir de las transformaiones de Lorentz, suele ser interpretado omo una sólida prueba a faor de la alidez de las transformaiones de Lorentz. Y puesto que a partir de éstas se onstruye la teoría de la relatiidad espeial de Einstein, omo una prueba indireta a faor de la alidez de ésta y, orrelatiamente, de todas sus muy onoidas onseuenias: la dilataión del tiempo de Einstein, la ontraión de lonitud de Lorentz-Einstein, la fasinante paradoja de los emelos, et, etétera, Pero para deduir la fórmula del efeto Doppler las transformaiones de Lorentz no son impresindibles. Vamos a demostrar ahora que el efeto Doppler también puede ser deduido a partir de la nuea teoría relaional (aso partiular de la nuea teoría onetada, impresindible para eliminar el espaio absoluto y los sistemas ineriales de Newton-Einstein, uando se supone una total ausenia de raedad). Veámoslo Como siempre, se indiará la omponente x de la eloidad relatia del ente B on respeto al ente A omo. En prinipio, el terer ente C puede orresponder a diersas osas onretas, el extremo espaial de una ara de medir, el libro que el letor está leyendo en este preiso instante, Imainemos el aso onreto en el que el ente C orresponde a un fotón que es emitido desde el ente A haia el ente B en la direión positia del eje OX. A partir de la teoría relaional es fáil demostrar que para un fotón: P E E y E P E () y (3)

y: U AA y U (4) y (5) AA 0 E orresponde a la enería del fotón seún A, y E a la enería de este mismo fotón seún B. (Para omprender el sinifiado físio de estas fórmulas, muy fáiles de deduir, es oneniente reflexionar sobre La paradoja inétia y La diotomía fuerzas de ontato-fuerzas a distania Ver pá. 56.) El onepto relatiista masa en reposo de un fotón es una ontraditio in adjeto, no tiene el menor sentido. Menos aún lo tiene la proposiión masa en reposo de un fotón=0. La eloidad loal de un fotón siempre es iual a la onstante, lueo es imposible que un fotón esté nuna en reposo. En ausenia de raedad, la teoría relaional elimina la distinión relatiista entre masa en reposo y masa en moimiento. En un hoque entre partíulas elementales, serán las masas iniiales y las masas finales, sin que interenan los fatores de Lorentz de la relatiidad espeial, las que deberán ajustarse de modo que quede arantizada la onseraión del tetramomento total relaional. Si apliamos la fórmula () de la inariania del produto esalar de dos etores relaionales distintos ( dx y dx seún A o dx y dx DB seún B) al aso partiular D=A se obtiene:, AdX dx AA, BdX dx (6) Sustituyendo en (6) por los etores relaionales apuntados en (), (4), (3) y (5):, APU AA, BPU (7) Calulemos los dos miembros de (7) por separado. Primero el primero: AA E E, APU AA AA E (8) (Se ha tenido en uenta que la eloidad de A on respeto a A es nula: AA 0), y después, el seundo:, B P U E E E (9)

Por representar el ente C un fotón que iaja de A haia B, su eloidad será positia y la misma on respeto a A que on respeto a B:. Al sustituir (8) y (9) en (7), ambas expresiones quedan iualadas y, por tanto, podemos simplifiar el primer paréntesis de ada una de ellas. Se obtiene: E E (0) Desarrollando los paréntesis y teniendo en uenta que : E E () Un fotón, en auerdo on la fórmula de Plan, freuenia: E h, está araterizado por su () Esta es la fórmula del efeto Doppler (reordemos que se ha supuesto que el fotón C es emitido desde el ente A y que, por lo tanto, el ente A es el obserador que, por definiión, obsera la freuenia propia del fotón C, aquí representada por ). Si B se aleja de A, entones 0 y. Lo ontrario si B se aera haia A. El obserador B obsera que la luz emitida por uerpos que se alejan experimenta un orrimiento haia el rojo (menor freuenia); la emitida por uerpos que se aeran, un orrimiento haia el azul (mayor freuenia). Nótese que la fórmula relaional del efeto Doppler es simétria bajo el interambio de las etiquetas A y B. En eneral, los resultados obtenidos por la teoría relaional, onstruida a partir de las transformaiones relaionales, son distintos a los obtenidos por la teoría de la relatiidad espeial, onstruida a partir de las transformaiones de Lorentz. Sin embaro, en el aso partiular del efeto Doppler ambas teorías ofreen el mismo resultado: la fórmula (). La nuea teoría relaional, a la ez que elimina la ontradiión de los emelos, explia el efeto Doppler. EL EFECTO DOPPLER Y LA DILATACIÓN DEL TIEMPO DE LORENTZ- EINSTEIN Como se explia en el artíulo La relatiidad del tiempo. El tiempo de la relatiidad un fotón, puesto que está araterizado por su freuenia, se omporta omo un reloj. Un fotón es

un reloj. Pero seún insisten los defensores de la relatiidad, amparándose en la formula de la dilataión del tiempo relatiista (), para un fotón el tiempo no pasa (?). Cómo se entiende que para un reloj, insrumento onstruido expresamente para ertifiar el paso del tiempo, el tiempo no pase? La paradoja del fotón atemporal (er pá. 0), por proenir también de la fórmula () de la dilataión relatiista del tiempo, es la misma que la paradoja de los emelos de Einstein. En la medida que el efeto Doppler de la luz es un fenómeno real bien probado y, a su ez, deduible teóriamente a partir de las transformaiones de Lorentz, la esuela relatiista lo interpreta omo una prueba exlusia a faor de la alidez de las transformaiones de Lorentz. Lueo, ya que a partir de éstas también se dedue la dilataión del tiempo (), omo una prueba indireta de que la dilataión del tiempo de Einstein, a pesar de ser la responsable de la absurda paradoja de los emelos, es un efeto real. Cabe onsiderar, pues, que el efeto Doppler es una prueba exlusia para las transformaiones de Lorentz y que, por ende, la dilataión del tiempo de Einstein, responsable de la inneable ontradiión lóia de la paradoja de los emelos, orresponde a un efeto real? Aabamos de onstatar que las transformaiones de Lorentz no son las únias que permiten deduir la fórmula del efeto Doppler (). También es deduible a partir de las nueas transformaiones relaionales (69) y de la nuea teoría relaional. Cosa que sinifia que tanto omo el efeto Doppler pueda ser onsiderado omo una prueba de aquéllas. lo será también de éstas. En onseuenia, puesto que es deduible de ambas, la disyuntia a la que ahora debemos responder es: Transformaiones de Lorentz (y paradoja de los emelos) o transformaiones relaionales (y punto y final a la paradoja de los emelos)? Como seuidamente eremos, aparte de que el efeto Doppler no es una prueba exlusia a faor de las transformaiones de Lorentz, lo que en realidad demuestra el efeto Doppler es que la dilataión del tiempo de Einstein, onseuenia de las transformaiones de Lorentz de la teoría de la relatiidad espeial, no es más que una mera fiión matemátia, enerada por el apresurado intento de la teoría de Einstein de 905, la relatiidad espeial, de intentar expliar de ualquier modo la inesperada onstania de la eloidad de la luz. Reordemos que las nueas transformaiones relaionales explian la onstania de la eloidad loal de la luz sin inurrir en ninuna ontradiión (i)lóia. Reordemos que un fotón es un reloj lumínio definido por la rela: determinado número de osilaiones= unidad de tiempo, y que para no introduir a priori ninuna posible asimetría en el método de omparaión de los relojes, los entes A y B onstruyen sus respetios relojes lumínios interambiándose fotones. El efeto Doppler, o ariaión en la freuenia del fotón seún la eloidad relatia de la fuente que lo emite on respeto al obserador que lo reibe, no implia en absoluto la asimétria dilataión del tiempo de Einstein. Todo lo ontrario. Por enir expresado por una fórmula que es simétria bajo el interambio de las etiquetas A y B, demuestra que los relojes lumínios de A y B marhan al mismo ritmo: el efeto Doppler detetado por A para un fotón que B enía haia A (disminuión de freuenia si A y B se están alejando; aumento de freuenia si A y B se están aerando) es el mismo que el efeto Doppler detetado por B para un fotón que A enía haia B. En onseuenia, el deenir del tiempo para A y B, testimoniado por el funionamiento de sus respetios relojes lumínios, transurrirá al mismo ritmo para ambos, sin ninuna asimétria

dilataión o ontraión temporal de A on respeto a B o de B on respeto a A, y ersaie. Como aabamos de demostrar, lo que en realidad demuestra el efeto Doppler, por estableer un diáloo simétrio entre A y B, es que la dilataión temporal de Lorentz- Einstein, onseuenia de las transformaiones de Lorentz, no existe. La disyuntia arriba apuntada, transformaiones de Lorentz o transformaiones relaionales?, se resuele así: transformaiones relaionales. La erdad nuna enaña. Lo erdadero no es onfuso, ni onfunde: Para justifiar de ualquier modo la dilataión del tiempo de Einstein, la teoría de la relatiidad espeial afirma que lo que hay que omparar es un solo reloj de A on infinitos relojes que están diseminados a lo laro del sistema de referenia de B. Está laro que tal omparaión no es mútuamente simétria y que, por tanto, no es líito pretender deduir de ella ninuna asimétria dilataión temporal. La aparente asimetría relatiista entre A y B sobre sus orrespondientes apreiaiones en el disurrir del tiempo, la dilataión del tiempo de Einstein, es una ilusión enerada por la omparaión asimétria de los respetios relojes de A y B. Pero esta insensata omparaión asimétria relatiista es suseptible de ser simetrizada: se puede también, junto a la omparaión antediha, omparar un solo reloj de B on infinitos relojes que están diseminados a lo laro del sistema de referenia de A. Entones, una ez que ya haya sido simetrizada y puesta de auerdo on los más elementales requisitos lóios, tampoo será líito deduir, de ésta y de aquélla a la ez, ninuna asimétria dilataión temporal entre los entes A y B. Por qué? Porque es imposible que lo que ya ha sido simetrizado pueda permaneer aún asimétrio. Se habrá ya reonoido que ualquier posible asimétria omparaión entre relojes on la que se pretenda justifiar la insensata dilataión del tiempo de Einstein es una asimetría que ha sido enerada onfusamente. La teoría de la relatiidad de Einstein es un ensueño surrealista en el que el tiempo se derrite Conlusión: El efeto Doppler demuestra que la dilataión del tiempo de Einstein es falsa. Contra lo que se suele reer, el efeto Doppler no onstituye ninuna prueba a faor de las transformaiones de Lorentz. Las transformaiones relaionales explian también el efeto Doppler. Además, omo ya es bien sabido, son las euaiones de transformaión que han lorado eliminar la paradoja-ontradiión de los emelos a la ez que preseran la onstania de la eloidad loal de la luz ( y sólo la loal: la pura eidenia demuestra, omo se explia en La nuea reoluión operniana, que existen eloidades no loales, transersales a la direión radial, infinitamente superiores a ).

BREVES NOTAS PARA REFLEXIONAR SOBRE LA RELATIVID DEL TIEMPO ) Por qué los relojes on los que se erifia empíriamente la relatiidad espeial (proesos de desinteraión de ariopintas partíulas elementales, mesones, muones, ) no son los mismos que los relojes on los que se erifia empíriamente la relatiidad eneral (ariopintos relojes atómios, CS-33, )? No se supone que la relatiidad espeial es un aso espeial de la relatiidad eneral y que, por inlusión lóia, debería poder ser también erifiada on el mismo tipo de relojes definidos y defendidos por la relatiidad eneral, y no por otros? ) Qué sinifia el flujo del tiempo? Qué sinifia el flujo del tiempo se detiene en el horizonte de suesos de un aujero nero? Qué sinifia el río de Herálito? Qué sinifia el río de Herálito se detiene en el horizonte del mar? 3) Si subimos un preiso reloj atómio a la ima de una montaña, qué habrá distorsionado más su tan preiso y fráil funionamiento? Un imposible uidadoso y esrupuloso transporte haia la ima o la nimia ariaión de la fuerza raitatoria en un punto de la ima on respeto a un punto situado al niel del mar? Cómo se sabe la diferenia exata de alturas entre la ima y el niel del mar? Aaso por la sumamente preisa diferenia de presión atmosféria entre ambos luares? Cómo se sinronizan dos relojes atómios separados espaialmente, uno en tierra y otro en un aión? No será aaso por interambio de señales lumínias? Y ómo se sabe el espaio que los separa? Aaso por el tiempo que tardan estas señales en alanzarlos? Círulo iioso? Tautoloía? Qué se entiende por reloj preiso? Aaso el que azarosamente, el que de ez en uando, ha onseuido ser ajustado a los requisitos teórios de la teoría espeial y/o eneral de la relatiidad? 4) Si dos relojes idéntios marhan a distintos ritmos uando son sometidos a estímulos físios difereniados ( relojes de péndulo situados en diferentes poteniales raitatorios, asijas que ontienen un líquido olátil sometido a diferentes temperaturas o presiones, ), onsideraremos que hemos demostrado alún tipo espeial de relatiidad del tiempo o que ambos relojes, por estar sometidos a situaiones físias distintas, han dejado ya de ser idéntios? Si el ritmo de eaporaión del líquido no es el mismo en las asijas, afirmaremos que el tiempo es relatio a la temperatura, a la presión, a la omposiión químia del líquido? 5) Todo fluye. Todo proeso real, es proeso temporal. La proposiión relatiista el tiempo es relatio es tan metafísia omo la proposiión newtoniana el tiempo es absoluto. Ambas proposiiones areen de sentido. Preisamente porque no tiene el menor sentido alifiar de absoluto ninún proeso temporal, toda buena teoría deberá ser apaz de justifiar y definir qué tipo de proeso real elie y entiende por reloj, pues es tan sólo mediante la omparaión relaional y simétria de relojes idéntios, definidos on suma preisión, uando tendrá sentido empezar a hablar sobre la relatiidad del tiempo. La relatiidad físia, no metafísia, del tiempo exie no tan sólo omparar relojes idéntios, sino que la teoría sea apaz de definir qué es lo que entiende por reloj. Qué es un reloj seún la teoría eneral o/y espeial de la relatiidad?

6) Ulteriormente, ualquier otro posible proeso temporal podrá ser puesto en orelaion on diho reloj. Este es el sentido físio profundo por el que una teoría físia debe de ser formulada para poder ser apliable en ualquier sistema de tetraoordenadas posible, pues para orelaionar diho reloj on ualquier otro posible proeso temporal, on ualquier otro posible reloj o proeso real (un reloj de péndulo, el ritmo biolóio de reproduión de determinados seres ios, por ejemplos), bastará on efetuar la transformaión pertinente en la tetraoordenada temporal. 7) La teoría onetada es onsistente on el reloj lumínio, uyas onseuenias son exatamente las mismas que las que se extraen del famoso reloj de espejos ideado por Einstein (a partir de éste es fáil deduir, si pensamos en términos de espaiotiempo, no en espaio y tiempo omo oneptos independientes el uno del otro, que la sorprendente onstania de la eloidad loal de la luz es una mera triialidad). En ambio, seún la métria de Shwarzshild de la relatiidad eneral el funionamiento del reloj de espejos de Einstein depende de su orientaión espaial on respeto a la fuente raitatoria. Curioso, eh. La relatiidad del tiempo depende de si estamos de pie o estamos tumbados! 8) Otra osa uriosa de la métria de Shwarzshild: la eloidad de propaaión radial de la luz no es onstante, sino que depende de la oordenada radial r Por lo isto, seún la relatiidad eneral las estrellas son intelientes! Saben alular a qué eloidad exata deben emitir su luz para que uando esta nos alane, loalmente hablando, su eloidad sea siempre iual a la onstante. No será que el primer y seundo elemento de matriz de una métria espaiotemporal sensata deben ser, salo sino, iuales entre sí y no el inerso el uno del otro? 9) Una ez aeptado que el tiempo no es absoluto, sino relatio, se deberá también aeptar, en potenia, durante el proeso de reaión de la nuea teoría, que el tiempo es absolutamente relatio. Y preisamente por este mismo motio, la teoría, una ez ya onstruida y atualizada, deberá dar luar a un tiempo relatiamente absoluto: la relatiidad del tiempo nuna jamás deberá enerar ninún tipo de paradoja o ontradiión lóia. 0) La absoluta relatiidad del tiempo es pareida a la absoluta relatiidad de la enería (enería inetia, enería potenial, ). Los raes pueden tener diferentes enerías, pero el aumento de enería inétia de un rae queda ompensado por su disminuión de enería potenial. Expresado on más laridad, las eodésias raitatorías de Einstein onseran onstante la omponente oariante de la tetraeloidad U 0 ; las euaiones de 0 moimiento de la teoría onetada, la omponente ontraariante U (Ver pá. 49.) ) Las euaiones de ampo de la teoría de la raitaión deberán permitir la flexibilidad neesaria para ajustar sus onstantes de interaión de modo que permitan eliminar ualquier paradójia asimetría en el deenir del tiempo. Pero las Euaiones de Einstein de ampo raitatorio areen de esta flexibilidad: la malastan desde el momento en que son forzadas a deduir que masa es iual a densidad por olumen eulídeo. No pueden haer otra osa que dediarse, on eidente humildad e inidente prepotenia, al estudio del unierso entendido omo un todo. Y, iertamente, Unierso=Todo. Jamás se equioa el que de humildad presume.

BREVE NOTA PARA REFLEXIONAR SOBRE LA RELATIVID DEL ESPACIO SOLUTO Inluso aeptando que existiese alún ente real mereedor de ser sinifiado omo sistema inerial o espaio absoluto, entones, ya que por neesidad lóia moimiento tan sólo puede ser entendido omo moimiento on respeto a alo, tan líito omo pudiese ser referir el moimiento de ualquier posible osa a este espaio absoluto, lo sería referir el moimiento de ese espaio absoluto a ualquier posible osa. La nuea reoluión operniana onsiste en eliminar los sistemas ineriales y el espaio absoluto de Newton-Einstein Xaier Terri Castañé Terrassa, Julio 00