Entendemos por número la expresión de un valor, la cuantificación de una magnitud. Los números naturales expresan valores referentes a cosas enteras, no partidas, los números naturales van de uno en uno, no admiten la partición de las unidades, y solamente expresan valores positivos. N= {1, 2, 3, 4, 5, 6,.........} De forma intuitiva, puede decirse que el conjunto de los números enteros es el formado por los elementos siguientes: {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,...}. Este conjunto se denota por Z, e incluye como subconjunto al de los números naturales. Representación de los números enteros El conjunto Z de los números enteros se representa comúnmente como una serie de valores discretos marcados sobre una recta. Así, los números enteros no llenan la recta, sino que entre ellos existen infinitos puntos que no pertenecen al conjunto Z. Representación gráfica del conjunto Z. Los números racionales son los que se pueden representar por medio de fracciones. Este conjunto se denota por la letra Q Los números racionales representan partes de algo que se ha dividido en partes iguales. Por ejemplo, si cortamos una torta en 4 trozos iguales y nos comemos tres trozos de la torta, nos hemos comido 3/4 de la torta. Son números racionales 1/2, 3/4, 11/5, 2535/3,... También son números racionales los números enteros 2 = 2/1, 5 = 10/2,... Un mismo número racional se puede expresar con varias fracciones. Por ejemplo: 1/2, se puede expresar como 1/2, 2/4, 3/6,... De todas estas formas, la primera se llama fracción irreducible y las demás fracciones equivalentes. Hay infinitos números racionales. Aunque parezca increíble, podemos 'contar' (asociar un número natural a cada número racional) los números racionales. Muchas veces los números racionales se expresan como números decimales. Por ejemplo: 1/2 = 0,5, 3/4 = 0,75. Se pueden clasificar en dos grupos: Limitados y periódicos. Estos últimos se pueden clasificar a su vez, en periódicos puros y periódicos mixtos. Los números racionales limitados son los que en su representación decimal tienen un número fijo de números. Por ejemplo: 1/4 = 0,25. Los números racionales periódicos son los que en su representación decimal tienen un número ilimitado de números. Hay dos tipos de números racionales periódicos: Los periódicos puros: Un número, o grupo de números, se repite ilimitadamente, desde el primer decimal. (por ejemplo: 3,838383...) y los periódicos mixtos: un número o grupo de números se repite ilimitadamente a partir del segundo o posterior decimal (por ejemplo 3,27838383...). A veces, nos dan el número decimal y nos piden que calculemos el número fraccionario. Fracción generatriz de un número decimal Para convertir un número decimal en fracción multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número y ponemos el número resultante en el numerador. En el denominador ponemos el número por el que hemos multiplicado el número original. Ejemplo: Convertir 3,25 en un número fraccionario. Si multiplicamos 3,25 por 100 desaparecen los decimales y nos quedaría 325. Como hemos multiplicado por 100, tenemos que dividir por 100 para que el número no cambie. Entonces nos quedaría: 325/100. Número decimal periódico puro
Ejemplo: Convertir 3,252525... (25 se repite indefinidamente) en un número fraccionario. a = 3,252525... 100a = 325,252525... Restando nos queda: 99a = 322, luego a = 322/99 Número decimal periódico mixto Ejemplo: Convertir 3,12252525... (25 se repite indefinidamente) en un número fraccionario. a = 3,12252525... 10000a = 31225,252525... 100a = 312,252525... Restando nos queda: 9900a = 30913, luego a = 30913/9900 Operaciones con números racionales COMPARACIÓN Toda fracción positiva es mayor que cualquier fracción negativa. Si las fracciones tienen igual denominador será mayor aquella cuyo numerador sea mayor. Si tienen distinto denominador se comparan las fracciones equivalentes a las dadas con igual denominador. SUMA y RESTA DE NÚMEROS RACIONALES Sumar y restar fracciones con igual denominador es muy sencillo. El resultado tendrá por numerador a la suma o resta de los numeradores y el denominador será el mismo. Si las fracciones no tienen el mismo denominador, se sustituyen por fracciones equivalentes con igual denominador (determinamos un denominador común). Luego se opera de la misma manera que en el cálculo anterior. PRODUCTO DE NÚMEROS RACIONALES La multiplicación de dos racionales es otro número racional que tiene: Por numerador el producto de los numeradores. Por denominador el producto de los denominadores. COCIENTE La división de dos Racionales es otro Racional que tiene: Por numerador el producto de los extremos. Por denominador el producto de los medios. Orden en las operaciones: 1º.Pasar a fracción los números mixtos y decimales. 2º.Calcular las potencias y raíces 3º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 4º.Efectuar los productos y cocientes. 5º.Realizar las sumas y restas. Primero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis. Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último.
Realizamos el producto y lo simplificamos. Realizamos las operaciones del paréntesis. Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado. Número Irracionales: Son aquellos que se escriben mediante una expresión decimal con infinitas cifras y no periódicas. Dicho conjunto lo denotamos por "I". Los números irracionales son los números reales que no pueden expresarse en forma de fracción. Por tanto estos números tienen infinitos decimales en los cuales no hay un patrón que se repita indefinidamente. La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales.. El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en, y es un conjunto totalmente ordenado. Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número. Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos e son heredadas por. Como ya se ha visto, es denso en. También es denso en. Podemos considerar como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales. A diferencia de lo visto para, y, el conjunto de los reales no es numerable
TALLER DE NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES Y OPERACIONES
Clasificación de triángulos Atendiendo a sus lados tenemos: Un triángulo es una lìnea poligonal cerrada con tres lados y tres ángulos. La suma de sus ángulos es 180º. Cada uno de los lados es menor que la suma de los otros dos, esto es a < b + c b < a + c c < a + b De la afirmación anterior se deduce que la diferencia de dos lados es menor que el tercero. Triángulos equiláteros Triángulos isósceles Triángulo escaleno Los tres lados son iguales Dos lados son iguales y el tercero es desigual Los tres lados son desiguales Atendiendo a sus ángulos: Acutángulo Rectángulo Obtusángulo Los tres ángulos son agudos Un ángulo es recto(90º) Un ángulo es obtuso (>90º) Área de un triángulo Si conocemos un lado (base) y su distancia al vértice opuesto (altura), entonces el cálculo del área viene dado por la fórmula: Si conocemos los tres lados del triángulo, el área se puede calcular usando la fórmula de Herón Dado un triángulo de lados a, b y c la semisuma de sus lados, entonces
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO: es la recta, o parte de recta, que divide a un ángulo en otros dos ángulos congruentes entre sí. En un triángulo se pueden trazar tres bisectrices, una por cada ángulo, las cuales se cortan en un punto denominado INCENTRO. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo (tangente a los lados del triángulo), por lo tanto, el segmento perpendicular, que une el incentro con uno de los lados del triángulo, es el radio de la circunferencia inscrita MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO: es la recta, o parte de recta, que pasa por el punto medio de un segmento y es perpendicular a éste, es decir, que divide a un segmento directa en otros dos, congruentes entre s í. En un triángulo se pueden trazar tres mediatrices, una por cada lado del triángulo, las cuales se cortan en un punto denominado CIRCUNCENTRO El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo (que pasa por los vértices del triángulo), por lo tanto, el segmento que une el circuncentro con uno de los vértices del triángulo es el radio de la circunferencia circunscrita. MEDIANA DE UN TRIÁNGULO: es el segmento de recta que une el punto medio de un lado de un triángulo con el vértice opuesto. En un triángulo se pueden trazar tres medianas, una por cada vértice del triángulo, las cuales se cortan en un punto denominado BARICENTRO O GRAVICENTRO.El baricentro o gravicentro es el centro de gravedad del triángulo.4. ALTURA DE UN TRIÁNGULO: es el segmento de recta que va desde un vértice de un triángulo hasta el lado opuesto o su prolongación y es perpendicular a éste. En un triángulo se pueden trazar tres alturas, una por cada vértice del triángulo, cuyos segmentos o sus prolongaciones se cortan en un punto denominado ORTOCENTRO.