Introducción a los números reales

Introducción a los números reales Prof. Yoel Gutiérrez 1 Introducción Una teoría matemática cuenta en su origen con conceptos primitivos (no definidos) a partir de los cuales pueden ser definidos los otros conceptos que vayan surgiendo. En nuestro caso, consideraremos los números reales como un concepto primitivo. Las proposiciones que, sin demostrar, se aceptan como ciertas se llaman axiomas y junto con los conceptos primitivos constituyen el punto de arranque y base de una teoría matemática. Muchos de los resultados más importantes en Matemáticas se llaman teoremas. En contraste con los axiomas o definiciones que se dan por supuestos, los teoremas si requieren de una demostración. Un teorema es una proposición compuesta por otras dos. Una de ellas llamada premisa o hipótesis implica la otra que se llama conclusión o tesis. La cadena de razonamientos lógicos que permiten deducir la tesis a partir de la hipótesis constituye lo que se llama demostración del teorema. Un teorema recibe el nombre de lema cuando por si mismo no tiene mucha trascendencia en la teoría que se esta desarrollando pero va a ser usado, inmediatamente después de su formulación, en la demostración de otro teorema de marcada importancia. Un teorema recibe el nombre de corolario de otro teorema cuando es una consecuencia inmediata de él. En algunos casos se nos pide si una afirmación como la siguiente: Para cualesquiera números reales a, b, c y d se cumple que si a > b y c > d, entonces a + c > b + d, es verdadera o falsa. Ante una situación como ésta es natural que comencemos probando con algunos casos particulares para observar si para ellos la proposición se cumple o no se cumple. Ahora bien, las consecuencias de esta forma de proceder son muy distintas según que las pruebas sean positivas o negativas. En efecto, si comprobamos que la proposición se cumple para todos los casos particulares que probemos a lo más que podemos llegar es a sospechar que es cierta, pero con ello no hemos demostrado que la proposición lo es, pues, qué sucede con los casos no considerados? 1

Introducción a los números reales. Yoel Gutiérrez - 005 Si por el contrario, comprobamos que para un caso particular la proposición no se cumple, este solo contraejemplo ya basta para refutarla. Mientras no se diga lo contrario, las letras a,b,c,...u,v,w,x,y,z que aparecen en los axiomas y teoremas representan números reales cualesquiera. Axiomas de cuerpo Junto con el conjunto de los números reales se supone la existencia de dos operaciones llamadas adición y multiplicación, tales que para cada par de números reales x e y se puede formar la suma de x e y, que es otro número real designado por x + y y el producto de x por y designado por xy o x.y. Estas dos operaciones satisfacen los siguientes axiomas: 1. PROPIEDAD CONMUTATIVA. x + y = y + x, xy = yx.. PROPIEDAD ASOCIATIVA. x + (y + z) = (x + y) + z, x(yz) = (xy)z.. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA. x(y + z) = xy + xz. 4. EXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS. Existen dos números reales distintos, que se indican por 0 y 1 tales que para cada número real x se tiene: 0+x = x+0 = x y 1.x = x.1 = x. 5. EXISTENCIA DEL INVERSO ADITIVO. Para cada número real x existe un único número real x tal que ( x) + x = x + ( x) = 0. 6. EXISTENCIA DEL INVERSO MULTIPLICATIVO. Para cada número real x 0 existe un único número real x 1 = 1 x 0 tal que x 1 x = xx 1 = 1. Las propiedades anteriores se han descrito, principalmente, en términos de suma y multiplicación. Ahora podemos definir las operaciones básicas de resta y división en términos de las de suma y multiplicación, respectivamente..1 Resta La diferencia a b de dos números reales a y b, se define como En forma alternativa decimos que a b = a + ( b) a b = c c + b = a

Introducción a los números reales. Yoel Gutiérrez - 005. División El cociente a b de dos números reales a y b, se define como También podemos decir que a b = a. 1 b b 0 a b = c c.b = a, b 0. De los axiomas y definiciones anteriores se pueden deducir todas las leyes usuales del álgebra elemental. Las más importantes de ellas se recogen a continuación como teoremas.. Teoremas 1. LEY DE CANCELACIÓN PARA LA SUMA. Si a + b = a + c, entonces b = c.. a = ( 1)a.. ( a) = a. 4. (a + b) = ( a) + ( b). 5. a(b c) = ab ac. 6. 0.a = a.0 = 0. 7. LEY DE CANCELACIÓN PARA LA MULTIPLICACIÓN. Si ab = ac y a 0, entonces b = c. 8. Si a 0, entonces (a 1 ) 1 = a. 9. Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0. 10. Si aa = a, entonces a = 0 o a = 1. 11. ( a)b = (ab) y ( a)( b) = ab. Observaciones Las siguientes propiedades básicas de la igualdad se usan frecuentemente en el álgebra. 1. si a = b, entonces a + c = b + c.. si a = b, entonces ac = bc.. si a = b y c = d, entonces a + c = b + d. 4. si a = b y c = d, entonces ac = bd.

Introducción a los números reales. Yoel Gutiérrez - 005 4 Productos notables y Factorización de polinomios Los productos notables son multiplicaciones entre polinomios que, debido a la frecuencia con que aparecen, se realizan en forma directa mediante la aplicación de mecanismos preestablecidos. A continuación se enumeran los más utilizados 1. (x + y) = x + xy + y.. (x y) = x xy + y.. (x + y)(x y) = x y. 4. (x + a)(x + b) = x + (a + b)x + ab. 5. (x + y) = x + x y + xy + y. 6. (x y) = x x y + xy y. Factorizar un polinomio significa escribirlo como el producto de varios polinomios más simples. Los principales casos de factorización son: 1. El proceso inverso de todos los productos notables dados anteriormente. Por ejemplo: x + xy + y = (x + y).. Factor común. Es todo factor que se repite en cada uno de los términos de un polinomio y que constituye el máximo común divisor de ellos. Para aplicar esta factorización, expresamos el polinomio dado como el producto del factor común por otro polinomio de forma tal que la aplicación de la propiedad distributiva genere el polinomio inicial. En su forma más simple, se representa: ax + ay + az = a(x + y + z). Suma y diferencia de cubos: x + y = (x + y)(x xy + y ) x y = (x y)(x + xy + y )

Introducción a los números reales. Yoel Gutiérrez - 005 5 4 Axiomas de orden Este grupo de axiomas tiene que ver con un concepto que establece un orden entre los números reales. Este orden nos permite decidir si un número real es mayor o menor que otro. Supondremos que existe un cierto subconjunto R + R, llamado conjunto de números positivos, que satisfacen los tres axiomas de orden siguientes: 1. Si x e y pertenecen a R +, lo mismo ocurre a x + y y xy.. Para todo real x se cumple sólo una de las tres condiciones siguientes: x = 0, x R + o x R +.. 0 no pertenece a R +. Ahora se pueden definir las relaciones <, >, y llamados respectivamente: menor que, mayor que, igual o menor que e igual o mayor que, de la manera siguiente: 1. x < y significa que y x es positivo.. y > x significa que x < y.. x y significa que x < y o x = y. 4. y x significa que x y. Observaciones 1. R + = {x R/x > 0}.. Si un número real distinto de cero no pertenece a R +, entonces pertenece a los reales negativos, que se denota por R. Es decir R = {x R/x < 0}. El par de desigualdades simultáneas x < y, y < z se escriben frecuentemente en la forma más breve x < y < z; interpretaciones análogas se dan a las desigualdades compuestas x y < z, x < z y, x y z. De los axiomas de orden se pueden deducir todas las reglas usuales para operar con desigualdades, las más importantes se dan a continuación como teoremas.

Introducción a los números reales. Yoel Gutiérrez - 005 6 4.1 Teoremas 1. Para a y b números reales cualesquiera se verifica una y sólo una de las tres relaciones siguientes: a < b, b < a o a = b. Si a < b y b < c, entonces a < c.. Si a < b, entonces a + c < b + c. 4. Si a < c y b < d, entonces a + b < c + d. 5. Si a < b y c > 0, entonces ac < bc. 6. Si a < b y c < 0, entonces ac > bc. 7. Si ab > 0, entonces se tiene a > 0 y b > 0, o bien a < 0 y b < 0. 8. Si ab < 0, entonces se tiene a > 0 y b < 0, o bien a < 0 y b > 0. 9. Si a 0, entonces a > 0. 10. Si a y b son reales positivos, entonces: (a) a < b, si y sólo si, a < b. (b) a < b, si y sólo si, a < b. 4. Interpretación geométrica de los números reales como puntos de una recta Para representar los números reales por medio de los puntos de una recta, se elige un punto para representar al 0 y otro a la derecha del 0 para representar el 1, como se indica en la figura. -1 0 1 x Esta elección determina la escala. Cada número real corresponde a uno y sólo un punto de la recta y, recíprocamente, cada punto de la recta a un número real y sólo uno. Por esta razón la recta se denomina frecuentemente recta real o eje real, y es costumbre utilizar las palabras número real y punto como sinónimos. Por eso se dice muchas veces el punto x en vez del punto correspondiente al número real x.

Introducción a los números reales. Yoel Gutiérrez - 005 7 4. Intervalos Son subconjuntos de R que se usan frecuentemente para describir soluciones de desigualdades de una variable. Dados dos números reales a y b tales que a < b, el intervalo abierto (a, b) es el conjunto de los números reales comprendidos entre a y b; este conjunto no contiene a ninguno de los extremos a y b. El intervalo cerrado [a, b] es el conjunto de los números reales entre a y b, y, además, los extremos a y b. A continuación se indican la amplia variedad de posibilidades. (a, b) = {x R/a < x < b}, (a, b] = {x R/a < x b}, (a, + ) = {x R/x > a}, (, b) = {x R/x < b}, [a, b] = {x R/a x b}, [a, b) = {x R/a x < b}, [a, + ) = {x R/x a}, (, b] = {x R/x b}. En las figura.a y.b se ilustran gráficamente el intervalo acotado (a, b] y el no acotado [a, + ). ] [ a b a Figura.a Figura.b En forma análoga se representan gráficamente el resto de los intervalos. 5 Ecuaciones e inecuaciones cuadráticas 5.1 Ecuaciones cuadráticas Uno de los métodos para resolver ecuaciones de la forma ax + bx + c = 0,con a 0, es el de completar el cuadrado, el cual se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1 Resolver la ecuación x + x 10 = 0 solución. Sumamos 10 a cada miembro de la ecuación Sumamos [ 1 ] = 9 4 a cada miembro x + x = 10 x + x + 9 4 = 10 + 9 4

Introducción a los números reales. Yoel Gutiérrez - 005 8 Factorizamos el lado izquierdo ( x + ) 49 = 4 Aplicamos raíz cuadrada a cada lado y despejamos x x + = ± 49 4 x = ± 7 Por consiguiente x = o x = 5 Observaciones 1. La técnica que acabamos de usar se llama completar al cuadrado. Este proceso se puede ampliar al caso en que el coeficiente de x sea un número distinto de 1.. El proceso de completar el cuadro se puede resumir como sigue: Para completar el cuadrado en expresiones cuadráticas, como x + bx, se suma el cuadrado de la mitad de b. Así ( b ( x + bx + = x + ) b ). En la solución del ejercicio anterior aplicamos raíz cuadrada en ambos miembros. La base para hacerlo es la siguiente propiedad Si n = k, entonces n = k o bien n = k; esto es, n = ± k 4. Aplicando el método de completar el cuadrado se obtiene la fórmula cuadrática: Si ax + bx + c = 0, con a 0, entonces x = b ± b 4ac a la cual se puede emplear en todos los casos. (a) Si b 4ac > 0, entonces ax + bx + c = 0 tiene dos soluciones reales. (b) Si b 4ac = 0, entonces ax + bx + c = 0 tiene una única solución real. (c) Si b 4ac < 0, entonces ax + bx + c = 0 no tiene soluciones reales. 5. Inecuaciones cuadráticas Son inecuaciones de la forma ax + bx + c > 0, ax + bx + c < 0, ax + bx + c 0 o bien ax + bx + c 0. Para resolver esta inecuaciones, analíticamente, seguiremos los siguientes pasos:

Introducción a los números reales. Yoel Gutiérrez - 005 9 1. Determinamos la raíces del polinomio ax + bx + c. Si el polinomio tiene dos raíces reales distintas, digamos x 1 y x, factorizamos el polinomio ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ) y aplicamos las propiedades de las desigualdades.. Si el polinomio tiene una única raíz real, digamos x 1, factorizamos el polinomio ax + bx + c = a(x x 1 ) y usamos el hecho que a 0 para todo a R, para resolver la inecuación planteada. 4. Si el polinomio no tiene raíces reales se cumple que b 4ac < 0. Completando el cuadrado se tiene que ax + bx + c = a(x + b a ) b 4ac 4a de lo cual se concluye que (a) Si a > 0, entonces ax + bx + c > 0 para todo x R. (b) Si a < 0, entonces ax + bx + c < 0 para todo x R. 6 Valor absoluto En el cálculo es frecuente tener que operar con desigualdades. Son de particular importancia las que se relacionan con la noción de valor absoluto. Si x es un número real, el valor absoluto de x es un número real no negativo que se designa por x y se define como sigue: { x, si x 0, x = x, si x < 0. Si los números reales están representados geométricamente en la recta real, el número x se denomina distancia de x a 0. Observaciones 1. a b representa la distancia entre los puntos a y b sobre la recta numérica.. Si x 1 e x son los extremos de un intervalo de la recta numérica, la coordenada del punto medio es x 1 + x

Introducción a los números reales. Yoel Gutiérrez - 005 10 6.1 Teoremas (a) x = x. (b) x = y, si y sólo si, x = y o x = y. (c) Si a 0, entonces x = a, si y sólo si, x = a o x = a. (d) x = x. (e) x = x. (f) x x x. (g) xy = x y. (h) x = x, con y 0. y y (i) x + y x + y. (j) x y x y. (k) x < a, si y sólo si, a < x < a. (l) x > a, si y solo si, x < a o x > a. 7 ejercicios 7.1 Productos notables, factorización de polinomios y racionalización (a) Diga si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera o falsa. Si es falsa, corrija el lado derecho para llegar a una igualdad correcta. 5 i. 7 = 4. x + y ii. y x = (x + y x y ). ax 5b ax 5b iii. =. 6 x + x 1 iv. = x + 1 xy x y. v. x 1 + y 1 = y + x xy. vi. 4 = 8.

Introducción a los números reales. Yoel Gutiérrez - 005 11 (b) Descomponer en factores. i. b x + 6bx. ii. x(a + 1) a 1. iii. 4y 1 y + 4y. iv. a 6 a b + b 6. v. 100m n 4 1 16 x8. vi. x + xy + y 1. vii. x 4 + x. viii. t + t. ix. x 4 5x 50. x. 1 (a b). (c) Realice las operaciones indicadas y simplifique. i. x x 1 1 x x. x y ii. x + y + x + y x y + 4xy x y. x + y iii. x 1 + y. 1 iv. v. vi. x x x 4x+ 5 + 5 x 1 x a+x b+x a x b x. a x b x 1 x 1. x x x+1 (d) Racionalizar los denominadores. 10 i.. 5 ii. iii. x y y x. x x + 1 x.. iv. v. vi. 4 +. x. 9x 1 x.

Introducción a los números reales. Yoel Gutiérrez - 005 1 7. Ecuaciones lineales (a) Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones. 5x i. + 6x = x 5. 6 x + 1 ii. = x 1. 1 iii. (x 1) (x ) = 1 (x + ) + 1 6. iv. ( x ) (1 x ) = x + x. v. x 1 4x (1 + x) =. (b) Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles tiene centímetros más de longitud que la base del triángulo. El perímetro mide 1 centímetros. Encuentre la longitud de cada lado. (c) La longitud de un rectángulo mide 1 centímetro menos que veces la anchura. Si se le aumentan 6 centímetros a la longitud y se le aumentan 5 centímetros a la anchura, la longitud será el doble de la anchura. Encuentre las dimensiones del rectángulo. (d) Tomas gana 475 dólares semanales más una comisión del 4% sobre sus ventas. Si en una semana sus ingresos totales fueron de 50 dólares. Cuáles fueron sus ventas en esa semana? (e) Tenemos las instrucciones de un truco matemático. Primero, trate de resolverlo. A continuación, use representaciones algebraicas de cada frase y explique por qué funciona este truco. Piense un número. Sume. Multiplique el resultado por. sume 9. Multiplique lo obtenido por. Divida el resultado entre 6. Reste el número con el que empezó. El resultado es 5.

Introducción a los números reales. Yoel Gutiérrez - 005 1 7. Ecuaciones cuadráticas (a) Si ax + bx + c = 0, con a 0, demuestre, aplicando el método de completación del cuadrado, que x = b ± b 4ac. a (b) Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones. i. x x + = 0. ii. x x 10 = 0. iii. x + x = 0. iv. 1x x 4 = 0. v. x 4 5x + 4 = 0. vi. x 4 1x 7 = 0. vii. x + x + = 0. (c) La piscina en el patio posterior de una casa tiene forma rectangular, con 10 metros de anchura y 18 metros de longitud. Está rodeada por un pasillo de anchura uniforme, cuya área mide 5 metros cuadrados. Cuánto mide la anchura del pasillo? (d) La longitud de una pieza rectangular de cartón tiene centímetros más que la anchura. Se forma una caja abierta cortando en cada esquina un cuadrado de 4 centímetros de lado y doblando los lados hacia arriba. si el volumen de la caja es de 67 cm, encuentre las dimensiones de la pieza original de cartón. (e) La longitud de un rectángulo es cm. mayor que su ancho. el área es de 70 cm. Determines las dimensiones del rectángulo. 7.4 Ecuaciones racionales (a) Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones i. 5 x + 6 x 4 = 5 (x ). ii. x + 1 x 1 x x = 4 x. iii. x 5 x = 6. iv. x + 4 x 10 = 8 7. v. 1 x 1 + 1 x + 1 = 0.

Introducción a los números reales. Yoel Gutiérrez - 005 14 x + 1 vi. x 1 x(x 1) = 4 x. 5 vii. x 9 = x + x. (b) Un tubo puede vaciar un tanque en dos horas. Otro tubo lo puede vaciar en 4 horas. cuánto tiempo se necesita para vaciar el tanque usando ambos tubos? (c) Trabajando juntas, Alma y Julia pueden pintar su cuarto en horas. Alma tarda 5 horas en pintarlo sola. Cuánto tiempo tarda Julia en pintarlo ella sola? 7.5 desigualdades e inecuaciones lineales (a) Determine en cada caso la verdad o falsedad. Demuestre con un contraejemplo las proposiciones falsas. i. Si x <, entonces x es negativo. ii. si 0 < x, entonces x < x. iii. si a < b, entonces a < b. iv. Si x < 0, entonces ( x) = x. v. x = x. vi. Si x > 1 y y >, entonces x + y >. vii. Si x < 5 y y < 6, entonces xy < 0. viii. Si a < b y c < d, entonces a c < b d. (b) Hallar el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones. i. 4x 7 < x + 5. ii. < 1 5x 4. iii. + x < 5x + 1 < 16. iv. (x ) + 1 > (x 4). x + 1 v. 4x + 4 x + 1. 4 vi. x + x. vii. (x 1) 1 x 1. viii. (x + )(x 5) < (x + 1). ix. 5 x 1 8. (c) Considere el conjunto de todos los rectángulos cuyo largo es una unidad menos que tres veces su ancho. Encuentre los anchos posibles de todos los rectángulos cuyos perímetro sean menores que 150 centímetros.

Introducción a los números reales. Yoel Gutiérrez - 005 15 (d) Las temperaturas Fahrenheit (F) y las temperaturas Celsius (C) están relacionadas por la fórmula C = 5 (F ). 9 Durante un determinado periodo, la temperatura en grados Celsius varió entre 5 y 0. Cuál fue la variación en grados Fahrenheit durante dicho periodo? (e) En un pequeño negocio, una familia emplea a dos trabajadores que sólo colaboran unas horas por semana. La cantidad total de los salarios que pagan a estos empleados varía de 18 a 146 Dólares por semana. Si un empleado gana 18 Dólares más que el otro. cuáles son las posibles cantidades ganadas semanalmente por cada uno de los empleados? (f) Una tienda tiene tres empleados de tiempo parcial a los cuales se les paga un total semanal de 10 a 5 dólares. Dos de ellos ganan lo mismo y el tercero gana 1 dólares menos que los otros. Determine los sueldos posibles semanales que gana cada uno de ellos. (g) Resuelva los siguientes sistemas de inecuaciones { (x 1)(x + ) < x 4 x i. ii. x + 1 > 0 x 1 + x 1 (x + 1) 6 + x 1 > x < x 1 7.6 Inecuciones cuadráticas (a) Hallar el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones. i. x + x 1 < 0. ii. x 5x + 6 > 0. iii. x < x. iv. x 4 x 0. v. (x 6) (x ) > 0. vi. x < x. ( vii. x 1 ) < 5 4 x. (b) Se construye una caja recortando unos cuadrados de lado x unidades en cada esquina de una pieza de carton de 1o cm de ancho y de 15 cm de largo. Determine el valor de x para que el volumen de la caja sea menor que 6 cm (c) Resuelva los siguientes sistemas de inecuaciones

Introducción a los números reales. Yoel Gutiérrez - 005 16 i. ii. iii. { x + 5 > 0 x x + > 0 { x x + > 0 x + x 1 < 0 x + x < x + 1 x + x 1 < x + 1 7.7 Inecuaciones racionales (a) Hallar el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones. 5 i. x < 0. x 1 ii. x > 1. 5 iii. x < 4. iv. x + 1 > 0. v. (x ) > 0. vi. x + > 0. 4x 1 vii. x. viii. x 1 4 1 x. x ix. x + 1 + x > x + 1 x + 1. (b) La Ley de Boyle establece que para un cierto gas a temperatura constante P.V = 400, donde P es la presión a la que esta sometida el gas y V su volumen. Si tenemos que el volumen del gas varía a un rango de valores mayores o iguales que 0 y menores ques que 49. Cuál es el rango correspondiente de variación para la presión P? (c) La fórmula 1 = 1 R R 1 + 1 R + 1 R da la resistencia total R de un circuito eléctrico que contiene tres resistencias R 1, R y R conectadas en paralelo. Si 10 R 1 0, 0 R 0 y 0 R 40, encuentre el rango de valores para R.

Introducción a los números reales. Yoel Gutiérrez - 005 17 7.8 Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto (a) Determine en cada caso la verdad o falsedad. Demuestre con un contraejemplo las proposiciones falsas. i. Si tanto x como y son negativos, entonces x + y = x + y. ii. Si x < 5, entonces x < 5. iii. a b = a b. iv. Si a < b, entonces a b = b a. (b) Demuestre la regla del producto, xy = x y para el caso en que x < 0 y y > 0. (c) Demuestre la regla del cociente, x y = x y para el caso en que x < 0 y y < 0. (d) Bajo que condiciones x + y = x + y? Cuándo no es cierta esa igualdad? (e) Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones. i. 4x = 7. ii. x + 1 = 1. iii. 4 x = 0. iv. 7x = 4 x. v. x 5 = x + 5. vi. x + = 4x + 1. x vii. x = 1. x viii. x = 1. ix. x x = 0. x 4 x. x =. (f) Hallar el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones. i. x + <. ii. x 6 10. iii. x 5 < x + 4. iv. x 1 1. v. 6 10x < 1. vi. x 1. vii. x > + x. viii. x 1 x 1 <.

Introducción a los números reales. Yoel Gutiérrez - 005 18 ix. x 4 x 5 0. x. x 1 x + 1. xi. 1 4 x <. (g) resuelva los sistemas de ecuaciones siguientes. { x < x i. ii. x + > 1 { x > x x 1 > 7.9 Ecuaciones e inecuaciones irracionales (a) Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones i. x + = x 5. 1 ii. =. x iii. x + 16 x = 4. iv. x = 1 + 1 x. v. x 1 x 9 = x 4. vi. x + 1 + x 4 = 5. vii. x 4 x =. (b) Hallar el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones. i. x 1 < 1. ii. 4x + > 5. 1 1 iii. + 4 + x < 1 + x. iv. x + 1 + 1 x + x. x + v. < 1 x 1.