DEPARTAMENTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Iniciación al Cálcul Funcines Pedr Vicente Esteban Duarte Presentación El cncept de función es tal vez el más imprtan en el Cálcul. A partir de él, se definen el límite, la cntinuidad, la derivada, la integral de funcines, etc. Además, las funcines describen mdels en muchas ramas de la ciencia, cm la Física, la Ecnmía, la Bilgía, entre tras. El estudi de las funcines, sus prpiedades, gráficas e interpretacines, acrdes cn el cntet, permiten describir un sin númer de aplicacines slucinar una gran variedad de prblemas de diverss tips. El módul tiene ls siguientes bjetivs: Objetiv general Estudiar las funcines reales de variable real algunas aplicacines para la slución de prblemas. Objetivs específics Caracterizar funcines desde l gráfic, l verbal a partir de ecuacines. Encntrar el dmini rang de funcines a partir de las ecuacines sus gráficas. Graficar funcines utilizand las reglas de traslación, refleión cambis de escala. Mdelar cn funcines prblemas elementales. Ls cncepts epuests ls ejercicis planteads permiten cmprender cncepts fundamentales de las funcines sus gráficas.. El tiemp estimad para la slución del taller es de cuatr (4) hras. En su estudi slución le deseams muchs éits.
Pedr Vicente Esteban Duarte 1. Funcines El cncept de función, tal cm se estudia actualmente, es reciente en la histria de la Matemática 1. Para dar la definición se requirió de la lógica de predicads, del estudi de cnjunts de las relacines que se dan entre ells. Definición. Si A B sn ds cnjunts, una función f de A en B es una crrespndencia (relación) que asigna a cada element de A eactamente un element de B. Una frma de representar una función es cm se ilustra a cntinuación. f : A B = f() Observacines. De acuerd cn la definición de función, ha que tener en cuenta ls siguientes aspects: a. La epresión una función f de A en B indica que el cnjunt de partida es A el de llegada B. b. La epresión asigna a cada element de A hace referencia a que tds ls elements del cnjunt A están cm primera cmpnente en la relación f. c. La epresión que asigna a cada element de A eactamente un element de B indica que cada de A está slamente una vez relacinad cn un element de B. En tras palabras, ningún element de A puede estar ds veces relacinad cn elements de B. Ejempl: Si A ={1, 2, 3} B ={a, b, c, d} el siguiente cnjunt de parejas rdenadas define una función f de A en B. f ={(1,a)(2,b)(3,c)} cm f : A B 1 a= f(1) 2 b= f(2) 3 c= f(3) Cm una tabla, se puede definir así: 1 http://astrseti.rg/traduccines/histria-de-las-matematicas/histria-del-cncept-de-funcin/ 2
Pedr Vicente Esteban Duarte 1 2 3 a b c En dnde representa a cualquier element del cnjunt A e a cualquiera del cnjunt B. Ls elements de A se escriben en la primera fila (al lad izquierd, si la tabla es vertical), ls de B en la segunda fila (al lad derech, si la tabla es vertical). En un plan cartesian: d c (3, c) b (2, b) a (1, a) f 1 2 3 Ls elements de A se escriben abaj en el eje hrizntal ls de B a la izquierda en el eje vertical. Las parejas rdenadas, en el plan cartesian, se pueden representar cm punts, bteniend la misma lectura que en el diagrama anterir, cm se muestra a cntinuación: d c b a f 1 2 3 También, se pueden representar en un diagrama sagital: A f B 1 2 3 a b c d Para la función f, cada par de elements que están relacinads se escribe de cualquiera de las siguientes frmas: 3
Pedr Vicente Esteban Duarte (1,a) f es decir a= f(1) (2,b) f es decir b= f(2) (3,c) f es decir c= f(3) Observacines ejercicis. Para la función f definida anterirmente, se tiene: a. Tds ls elements del cnjunt A están relacinads una sla vez, cn un element del cnjunt B. b. En el cnjunt B ha elements que n están en la relación. c. En general, si(,) f es decir, = f(), se lee cm: f transfrma a en. d. Cn un mism par de cnjunts se puede definir muchas funcines diferentes. Cm ejempl de ell, se tienen las funcines g h que se muestran a cntinuación. A g B A h B 1 a 1 a 2 b 2 b 3 c d 3 c d e. Escriba las funcines g h anterires cm un cnjunt de parejas rdenadas, en frma tabular en el plan cartesian. f. Cmpruebe que las funcines f, g h sn subcnjunts del prduct cartesian A B. g. Eplique prqué cada un de ls siguientes diagramas sagitales n representa a una función. A i B A j B 1 a 1 a 2 b 2 b 3 c d 3 c d 4
Pedr Vicente Esteban Duarte Una función se puede ver cm una máquina que efectúa un prces de transfrmación, en la que ls insums que se le suministran sn ls elements A ls prducts sn ls elements B, dentads pr f(), cm se puede bservar en la siguiente figura: f f() Ejercici Si A ={q, w, r} B ={,, z, h} s={(q,h),(w,z),(r,)}, s es una función de A en B. a. Verdader, puest que tds elements de A están relacinads una sla vez cn ls de B. b. Fals, s es una función de B en A. Ejercici Si A={q, w, r} B={,, z, h} u={(,q),(,w),(z,r)}, es una función de B en A. a. Verdader, puest que tds elements de B están relacinads una sla vez cn ls de A. b. Fals, u n es una función de B en A, puest que el element h de B n esta en la relación. 1.1. Dmini, rang gráfic de una función Una función está cmpuesta pr tres partes, a saber: dmini, rang gráfic. Si f es una función de A en B se tiene que: Dmini. Es el cnjunt A (cnjunt de partida) está dad prd f ={/= f()}, pr l tant se tiene qued f = A. 5
Pedr Vicente Esteban Duarte Para la función f ={(1,a)(2,b)(3,c)}, se tiene qued f = A={1, 3, 3}. En tras palabras, tds ls elements que sn la primera cmpnente de las parejas rdenadas que pertenecen a la función. Rang. Es un subcnjunt del cnjunt B (cnjunt de llegada) está dad pr R f = {/ = f()}. Al rang de la función f, también se le llama el cnjunt de imágenes de f. Está frmad pr tds ls elements del cnjunt de llegada que sn imágenes de algun de ls elements de A. Para la función f = {(1,a)(2,b)(3,c)}, se tiene que R f = {a, b, c}, en tras palabras, tds ls elements que sn la segunda cmpnente de las parejas rdenadas que pertenecen a la función. Nte que en la definición de la función f el cnjunt de llegada es B = {a, b, c, d}, pr l tant R f B. Gráfic. El gráfic de una función f está dad pr el cnjunt de parejas(,) que pertenecen a la función ((,) f). En general, el gráfic de la función f se representa pr = f(). El gráfic es la figura que se btiene al graficar tds ls punts que están en la función en el plan cartesian. Para la función f el gráfic es el siguiente: d c b a f 1 2 3 Ejercicis: Resuelva cada un de ls siguientes ejercicis. a. DetermineD g, D h, R g,r h, de las funcines g h definidas en la página 4. b. Para ls cnjunts P={,,,, } H ={,k,,,,, }, defina tres funcines de P en H determine su dmini, rang gráfic. Ejercici El dmini de la función t()= 1, es a. D t =(1, ) b. D t =(,1] c. D t =(, ) d. D t =[,1) 6
Pedr Vicente Esteban Duarte Ejercici Una función g se puede definir en el mism cnjunt A, es decir g puede ser una función de A en A. a. Fals, para pder definir una función se necesitan ds cnjunts diferentes. b. Fals, una función n puede ir de A en A. c. Verdader, una función puede definirse de A en A, para ell debe cumplir la definición de función. d. Verdader, desde que sea una relación, una función se puede definir de A en A. 1.2. Funcines reales de variable real En el estudi del Cálcul se trabajan funcines de reales de variable real. Es decir, funcines en las que el dmini rang sn el cnjunt de ls númers reales (R) subcnjunts de él. Las funcines reales de variable real, generalmente se definen pr su fórmula, es decir pr = f(). Ejempl: Para la función = determine su dmini, rang realice su gráfica en el plan cartesian. Encuentre varis punts de la función dada. Slución: El dmini el rang de una función real de variable real se puede leer a partir de la gráfica de ella. Para realizar la gráfica, se pueden utilizar Asistentes Matemátics cm GeGebra R, Applets en internet u trs paquetes que permiten realizarla. A partir de la gráfica de una función = f(), el dmini se btiene cm la prección de la gráfica sbre el eje X. Para el ejempl, pdems verificar que el dmini de f es el interval[0, ), de dnded f =[0, ). A partir de la gráfica de una función = f(), el rang se btiene cm la prección de la gráfica sbre el eje Y. Para el ejempl, pdems verificar que el rang de f es el interval(,0], de dnder f =(,0]. 7
Pedr Vicente Esteban Duarte Nte que el gráfic de la función es un subcnjunt del prduct cartesian der R, que en muchs tets se escribe cmr 2. Observación: El dmini de una función, para la que su gráfica esté representada en el plan cartesian, se lee en el eje X de izquierda a derecha. El rang, se lee en el eje Y de abaj hacia arriba. Otra frma de encntrar el dmini de una función es analíticamente, analizand la frma cm está definida la función. Para la función = f()=, se tiene que la raíz es par, pr l tant, n puede tmar valres negativs, es decir 0, está desigualdad define el interval[0, ), pr l tantd f =[0, ). Una tabla, para alguns valres de la función f()=, se presenta cntinuación: Evaluación f() 0 f(0)= 0 0 1 f(1)= 1 1 1.5 f(1.5)= 1.5 1.224... 4 f(4)= 4 2 5 f(5)= 5 2.236... 9 f(9)= 9 3 Evaluación de funcines. Al evaluar una función f ha que tener en cuenta que ls punts que define sn un subcnjunt del prduct cartesian der R ( f R R). La siguiente gráfica ilustra esta situación. b f (a, b) = (a, f(a)) a Ejempl 8
Pedr Vicente Esteban Duarte Para la función = g() = 4 2 4 encuentre analíticamente su dmini. Lueg realice la gráfica de la función encuentre el rang. Slución La función g es una raíz de índice par (4), pr l tant, el argument debe ser psitiv, es decir 2 4 0. Pr l tant ha que reslver esta inecuación. 2 4 0 ( 2)(+2) 0 De dnde 2 0 ó +2 0; 2 ó 2, ests valres se pueden representar en la recta real, de la siguiente manera: 2 2 R Al tmar valres de prueba en cada un de ls subintervals definids en la recta real, se tiene que: Para (, 2), si tmams = 4, se tiene que ( 4 1)( 4+1)>0, pr l tant, en este interval el argument de la función es psitiv. Para( 2,2), si tmams =0, se tiene que(0 1)(0+1)<0, pr l tant, en este interval el argument de la función es negativ. Para (2, ), si tmams = 3, se tiene que (3 1)(3 + 1) > 0, pr l tant, en este interval el argument de la función es psitiv. Al marcar, en la recta real, cada un de ests intervals cm psitivs negativs, se tiene: + + + + -2 2 R Se puede leer fácilmente el dmini de la función. En este cas, sól interesan ls intervals en ls que ls valres n sn negativs, es decir D f =(, 2] [2, )=R ( 2,2). Nte que ls valres = 2 =2 están en el dmini de la función. La gráfica de la función = f()= 4 2 4 se presenta en la siguiente figura: 9
Pedr Vicente Esteban Duarte Nte que al leer el dmini de la función de la gráfica, se btienen ls mism intervals que ls encntrads analíticamente. El rang de la función está dad prr=[0, ) que es la prección de la gráfica sbre el eje Y. Ejempl Encuentre el dmini de la función =g()= 1 4 2 4. Slución Nte que la función g es 1, la función f dada en el ejempl anterir. En ls númers reales la división pr f cers (0) n está definida, pr l tant, además, del análisis realizad para f ha que sacar ls valres de que hacen cer el denminadr. Es decir = 2 =2, pr l tant la gráfica en la recta real es: + + + + -2 2 R Pr l tant el dmini de la función g está dad prd g =(, 2) (2, )=R [ 2,2]. Cmpare las similitudes diferencias entre el D f el D g. 10
Pedr Vicente Esteban Duarte Ejercici El dmini de la función t()= 1, es a. D t =(1, ) b. D t =[1, ) c. D t =(, ) d. D t =[,1) Ejercici El dmini de la función q()= 1 1, es a. D q =(1, ) b. D q =[1, ) c. D q =(, ) d. D q =(,1) Ejercici El dmini de la función h()= a. D h =(, ) b. D h =R [ 4, 3] c. D h =R { 3, 4} d. D h =R { 4, 3} 1 2 + 12, es 1.3. Reglas básicas de transfrmación de funcines Si se cnce la gráfica de una función = f() k es una cnstante psitiva, se puede btener la gráfica tras funcines al sumarle, restarle multiplicand f en la función cncida. Para ls ejempls que siguen, la función cncida será f()=, cua gráfica es: 11
Pedr Vicente Esteban Duarte 1.3.1. Desplazamient vertical Si se cnce = f() k>0 es una cnstante, entnces: a. f()+k está k unidades arriba de la gráfica de f. b. f() k está k unidades abaj de la gráfica de f. Nte que se le está sumand restand a tda la función. Ejempls Para k= 1, analice las gráficas de f()= +1 f()= 1. Slución Las gráficas de las ds funcines pedidas se muestran a cntinuación. Nte que f()= +1 está desplazada una unidad hacia arriba de la gráfica de f()= f()= 1 una unidad hacia abaj, cm se muestra a cntinuación. f()= +1 f()= 1 D f =[0, ) R f =[1, ) D f =[0, ) R f =[ 1, ) 12
Pedr Vicente Esteban Duarte 1.3.2. Desplazamient hrizntal Si se cnce = f() k>0 es una cnstante, entnces: a. f( + k) está k unidades izquierda de la gráfica de f. b. f( k) está k unidades derecha de la gráfica de f. Nte que se le está sumand restand a la variable. Ejempls Para k= 1, analice las gráficas de f()= +1 f()= 1. Slución Las gráficas de las ds funcines pedidas se muestran a cntinuación. Nte que f() = +1 esta desplazada una unidad hacia izquierda de la gráfica de f()= f()= 1 una unidad hacia derecha, cm se muestra a cntinuación. f()= +1 f()= 1 D f =[ 1, ) R f =[0, ) D f =[1, ) R f =[0, ) 1.3.3. Refleión Si se cnce = f() k>0 es una cnstante, entnces: a. f() es una refleión sbre el eje X de la gráfica de f. b. f( ) es una refleión sbre el eje Y de la gráfica de f. c. f( ) es una refleión cn respect al rigen de la gráfica de f. 13
Pedr Vicente Esteban Duarte Nte que se le está sumand restand a la variable. Ejempls Para k= 1, analice las gráficas de f()= +1 f()= 1. Slución Las gráficas de las ds funcines pedidas se muestran a cntinuación. Nte que f()= es la refleión sbre el eje X de la gráfica de f()= f()= es su refleión sbre el eje Y. f()= f()= D f =[0, ) R f =(,0] D f =(,0] R f =[0, ) 1.3.4. Cambis de escala Si se cnce = f() k>0 es una cnstante, entnces: a. k f() es un cambi en la escala vertical de f. b. f(k) es un cambi en la escala hrizntal de f. Nte que se está multiplicand la variable en el argument de la función. Ejempls Si k=2, grafique f()=2 f()= 1 2. Slución Las gráficas de las ds funcines pedidas se muestran a cntinuación. Nte que f()=2 f()= 1 2 cambian la escala vertical de la gráfica de f()=. Ejempls 14
Pedr Vicente Esteban Duarte f()=2 f()= 1 2 D f =[0, ) R f =[0, ) Si k=2, grafique f()= 2 f()= 1 2. D f =[0, ) R f =[0, ) Slución Las gráficas de las ds funcines pedidas se muestran a cntinuación. Nte que f()= 2 f()= cambian la escala hrizntal de la gráfica de f()=. f()= 2 f()= 1 2 1 2 D f =[0, ) R f =[0, ) D f =[0, ) R f =[0, ) 1.4. Gráficas de funcines básicas En las siguientes figuras se encuentran las gráficas de algunas de las funcines que sn más usuales en el Cálcul. A partir de sus gráficas se pueden realizar rápidamente muchas tras. Ejempls 15
Pedr Vicente Esteban Duarte f()= 2 f()= 3 D f =R R f =[0, ) D f =R R f =R f()= 1 f()= 1 2 D f =R {0}R f =R {0} D f =R {0} R f =(0, ) f()=sen() f()=cs() D f =R R f =[ 1,1] D f =R R f =[ 1,1] 16
Pedr Vicente Esteban Duarte f()=e f()=ln() D f =R R f =(0, ) D f =(0, ) R f =R f()=tan() f()= 3 D f =( 1.57,1.57) R f =R D f =R R f =R 17
Pedr Vicente Esteban Duarte Teniend en cuenta el listad de las funcines básicas las reglas de transfrmación de funcines, grafique: f()= (+2) 2 + 1 La función básica es g() = 2, el sign mens de la función f() = (+2) 2 + 1, está diciend que la gráfica de f es una refleión sbre el eje X de la de g. El númer 2 al interir del paréntesis de f()= (+2) 2 + 1, indica que la gráfica de f está desplazada ds unidades sbre el eje X a la izquierda de la de g. El númer 1, pr fuera de f() = (+2) 2 + 1, indica que la gráfica de f está desplazada una unidad arriba del eje Y en relación de la de g. Pr l tant la gráfica de f es: f()= (+2) 2 + 1 D f =R R f =(,1) Teniend en cuenta el listad de las funcines básicas las reglas de transfrmación de funcines, grafique: f()=( 2) 3 1 La función básica es g()= 3, el númer 2 al interir del paréntesis de f()=( 2) 3 1, indica que la gráfica de f está desplazada ds unidades a la derecha sbre el eje X de la de g. El númer 1, pr fuera de f()=( 2) 3 1, indica que la gráfica de f está desplazada una unidad hacia abaj del eje Y en relación de la de g. Pr l tant la gráfica de f es: 18
Pedr Vicente Esteban Duarte f()=( 2) 3 1 D f =R R f =R Ejercici Para graficar la función h()= 1+1, se tiene en cuenta que a. La función básica es f()=, de la que h() es una refleión sbre el eje X, está desplazada una unidad a la derecha sbre el eje X una unidad hacia arriba en el eje Y. b. La función básica es f()=, de la que h() es una refleión sbre el eje Y, está desplazada ds unidades a la derecha sbre el eje X una unidad hacia arriba en el eje Y. c. La función básica es f()=, de la que h() es una refleión sbre el eje X, está desplazada ds unidades a la izquierda sbre el eje X una unidad hacia arriba en el eje Y. d. La función básica es f()=, de la que h() es una refleión sbre el eje X, está desplazada ds unidades a la derecha sbre el eje X una unidad hacia abaj en el eje Y. 19
Pedr Vicente Esteban Duarte Ejercici Para gráficar la función h()= +2 1, se tiene en cuenta que a. La función básica es f()=, de la que h() es una refleión sbre el eje X, está desplazada una unidades a la derecha sbre el eje X una unidad hacia arriba en el eje Y. b. La función básica es f()=, de la que h() es una refleión sbre el eje Y, está desplazada ds unidades a la derecha sbre el eje X una unidad hacia abaj en el eje Y. c. La función básica es f()=, de la que h() es una refleión sbre el eje X, está desplazada ds unidades a la izquierda sbre el eje X una unidad hacia arriba en el eje Y. d. La función básica es f()=, de la que h() es una refleión sbre el eje X, está desplazada ds unidades a la derecha sbre el eje X una unidad hacia abaj en el eje Y. Ejercici Para graficar la función h()= e, se tiene en cuenta que a. La función básica es f() = ln(), de la que h() es una refleión sbre el eje Y n está desplazada en ningun de ls ds ejes. b. La función básica es f()=e, de la que h() es una refleión sbre el eje X. c. La función básica es f()=e, de la que h() es una refleión sbre el eje X una refleión sbre el eje Y. d. La función h() es la misma de f()=e. 1.5. Funcines pares e impares En el estudi caracterización de las funcines, eisten algunas que cumplen prpiedades que facilitan su estudi. Función par. Una función = f() es par si se cumple que f( ) = f(). 20
Pedr Vicente Esteban Duarte Cm ejempl tenems la función = f()= 2. Al aplicarle el criteri para las funcines pares se tiene que f( )=( ) 2 = 2 = f(). Cmprband que f()= 2 es par. En general, tdas las funcines de la frma g()= 2n, n N cn pares. La gráfica de f()= 2 es la siguiente: En general, cuand una función es par, su gráfica es simétrica cn respect al eje Y. Función impar. Una función = f() es impar si se cumple que f( ) = f(). Cm ejempl tenems la función = f()= 3. Al aplicarle el criteri para las funcines impares se tiene que f( )=( ) 3 = 3 = f(). Cmprband que f()= 3 es impar. En general, tdas las funcines de la frma g()= 2n+1, n N sn impares. La gráfica de f()= 3 es la siguiente: En general, cuand una función es impar, su gráfica es simétrica cn respect al rigen. Funcines que n sn pares n sn impares Eisten funcines = f() que n sn pares ni impares. Cm ejempl tenems la función = f()= 2 + 3 +1. Al aplicarle el criteri para las funcines impares se tiene que f( )=( ) 2 +( ) 3 + 1= 2 3 + 1, de dnde n se puede factrizar el sign mens ( ) para cmprbar que f( )= f(). Pr l tant la función n es impar. Cmpruebe que la función dada n es par. 21
Pedr Vicente Esteban Duarte La gráfica se presenta a cntinuación. Ejercici La función f()= 4 + 6 es a. Par, puest que cumple que f( ) = f() b. Impar, puest que cumple que f( ) = f() c. N es par ni impar. Ejercici La función f()= 4 + 6 + +π es a. Par, puest que cumple que f( ) = f() b. Impar, puest que cumple que f( ) = f() c. N es par ni impar. Ejercici La función f()= 3 + 5 es a. Par, puest que cumple que f( ) = f() b. Impar, puest que cumple que f( ) = f() c. N es par ni impar. 22
Pedr Vicente Esteban Duarte Ejercici La función f()= 3 + 5 + 2 es a. Par, puest que cumple que f( ) = f() b. Impar, puest que cumple que f( ) = f() c. N es par ni impar. 1.6. Criteri de la recta vertical para funcines Para saber si una gráfica en el plan cartesian crrespnde a una función, en muchas casines resulta útil trazar una recta paralela al eje Y. Si alguna recta vertical crta a la gráfica en más de un punt, se cnclue que n es función. Observe ls siguientes ejempls: Función N es función Observe que en la gráfica de la izquierda, en cualquier parte del eje X en la que se trace la recta vertical, estas slamente crta a la gráfica en un sl punt. N sucede l mism cn la gráfica de la derecha. Al desplazar la recta vertical en el interval( 3, 1), esta crta a la gráfica (elipse) en ds punts. Cn este criteri ha que tener cuidad, pues en muchas casines parece que la recta vertical cruza la gráfica en un sl punt, per est n resulta ser ciert. En muchs cass, si se tiene la gráfica realizada pr un asistente matemátic, cnviene hacer zm alrededr de la parte en la que se tengan dudas. 1.7. Funcines pr trams En muchas aplicacines el dmini de una función se parte en subintervals para cada un de ells la gráfica es diferente. En general, una función pr trams se define de la siguiente manera: 23
Pedr Vicente Esteban Duarte f 1 () si a f()= f 2 () si a<<b... f 1 () f 2 ()... a b R Al realizar la gráfica de una función pr trams, en cada subinterval se representa la parte de la función crrespndiente. Ejempl Grafique en el plan cartesian la función f()= { 2 + 1 si 2 <1 si 1 <3 Encuentre su dmini, su rang f( 2), f(0), f(1) (2). La gráfica está dada pr: El dmini de la función está dad pr ls intervals que definen cada una de las ramas de la misma, en este cas D f =[ 2,1) [1,3)=[ 2,3). El rang, está dad pr las alturas para las que ha gráfica, en este casr f =[ 3,3). Para evaluar la función en ls valres pedids, ha que tener en cuenta en qué interval se encuentra el valr dad en. Para = 2, 2 [ 2,1) la rama de la función definida ahí es 2 + 1, pr l tant f( 2)= ( 2) 2 + 1= 4+1= 3, cm se puede verificar en la gráfica. 24
Pedr Vicente Esteban Duarte Para = 0,0 [ 2,1) la rama de la función definida ahí es 2 + 1, pr l tant f(0) = (0) 2 + 1 = 0+1=2, cm se puede verificar en la gráfica. Para =1, 1 [1,3) la rama de la función definida ahí es, pr l tant f(1)=(1)=1, cm se puede verificar en la gráfica. Nte que =4n tiene imagen, en tras palabras f(4) n eiste, pues 4 D. Ejercici: Relacine cada una de las siguientes funcines cn su gráfica. f()= si 4 <1 si 2 <4 2 si 3 <0 h()= si 1 <4 +1 g()= 1 sen() t()= cs()+1 si 5<<2 si 2 <5 si 5 0 si 2 5 Para cada una de las funcines definidas en la página 25, determine su dmini su rang. Además, si es psible, evalúelas en = 2, =0, = 1 = 3. En ls cass, en ls que n sea psible evaluarlas, eplicar el prqué. 1.8. Operacines cn funcines Las funcines reales de variable real, se pueden sumar, restar, multiplicar, elevar a una ptencia, entre tras peracines. Si f() g() sn ds funcines reales de variable real: 25
Pedr Vicente Esteban Duarte La suma es f()+g(). La resta f() g(). La multiplicación f()g(). La división f(), siempre que g() 0. g( El dmini de la suma, la resta, la multiplicación de funcines está dad pr la intersección de ls dminis de cada una de las funcines. Para la división ha que tener en cuenta que además de la intersección de ls dminis ha que verificar si ha divisines pr cer (0) Al perar cn funcines l que se está haciend es realizar peracines cn las imágenes de las mismas. Ejempls Para f()= 2 2+1 g()=+1 a. Encuentre f()+g() D f+g Slución f()+g()=( 2 2+1)++1= 2 +2 ElD f =R, D g =R, pr l tantd f+g =D f D g =R R=R Nte que f( 1)=4, g( 1)=0 f( 1)+g( 1)=4+0=4, cm se puede verificar en las gráficas anterires. b. Encuentre f() g() D f g Slución f() g()=( 2 2+1) (+1)= 2 3 ElD f =R, D g =R, pr l tantd f g =D f D g =R R=R 26
Pedr Vicente Esteban Duarte f()= 2 2+1 g()=+1 f()+g()= 2 +2 f() g()= 2 3 27
Pedr Vicente Esteban Duarte Nte que f( 1)=4, g( 1)=0 f( 1) g( 1)=4 0=4, cm se puede verificar en las gráficas anterires. c. Encuentre f()g() D f g Slución f()g()=( 2 2+1)(+1)= 3 2 +1 ElD f =R, D g =R, pr l tantd f g =D f D g =R R=R 28
Pedr Vicente Esteban Duarte f()g()= 3 2 +1 Nte que f( 1) = 4, g( 1)=0 f( 1)g( 1)=(4)(0)=0, cm se puede verificar en las gráficas anterires. d. Encuentre f() g() D f g Slución f() g() = 2 2+1 +1 El D f = R, D g = R, pr l tant D f = D f D g { 1} = R R { 1} = R { 1}. Al realizar g la división, el cciente entre las ds funcines n puede tmar el valr = 1 pr l tant ha que sacarl de su dmini. 29
Pedr Vicente Esteban Duarte f() g() = 2 2+1 +1 Nte que para = 1, n eiste gráfic, pues la división de f cn g n está definida para ese valr. Ejercici Para f()= 2 +12 g()=+3, se tiene que f() g() f(2) g(2), respectivamente, sn a. 2 2 12, 12 b. 2 2 12, 12 c. 2 2+9, 9 d. 2 + 2+9, 9 Ejercici Para f() = +3 g() = 3, se tiene que f()g() f(2)g(2), respectivamente, sn a. 2 9, 5 b. 2 9, 5 c. 2 + 9, 5 d. 2 9, 5 30
Pedr Vicente Esteban Duarte Ejercici Para f() = 2 12 g() = +3, se tiene que f() g() para 3 f(2), respectivamente, sn g(2) a. +4, 2 b. 4, 2 c. 4, 2 d. +3, 3 1.9. Cmpsición de funcines Si f g sn ds funcines, la cmpsición (la cmpuesta) de f cn g está dada pr ( f g)()= f(g()). El dmini de ( f g)() está dad pr el cnjunt de tdas las del dmini de g tales que g() este en el dmini de f. Gráficamente ( f g)() = f(g()) se representa de la siguiente manera: A g B f C g() f(g()) ( f g)() La cmpsición de funcines ( f g)(), también se lee, primer g lueg f, indicand que en primer lugar se evalúa la función g en el valr lueg f en el valr g() cm se aprecia en el gráfic anterir. Ejempls a. Para f()= +1 g()= 1, encuentre(g f)(1),( f g)(1) D g f. Slución: 31
Pedr Vicente Esteban Duarte Para facilitar el prces, se calcula primer f(1)= 1 1+1 = 1 2 g(1)= 1 1 = 1 (g f)(1)=g( f(1))=g ( ) 1 = 1 2 1 2 = 2 ( f g)(1)= f(g(1))= f(1)= 1 1+1 = 1 2 Nte que, en general, (g f)() ( f g)(). Cmpruébel cn las mismas funcines anterires para =2. Para encntrard g f, se encuentra primer el D f el D g. D f =R { 1}, puest que si = 1, f( 1) n eiste, ha una división pr cer. D g =R {0}, puest que si =0, g(0) n eiste, ha una división pr cer. D f g =R { 1,0}. Observe que 0 D g, pr l tant n está en el D f g. Al realizar la cmpsición ( f g)() se puede bservar que = 1 n está en el dmini de D f g, cm se puede bservar a cntinuación. ( f g)()= f(g())= f ( ) 1 = 1 = 1 + 1 1 1+ = (1) (+1) = 1 +1 Para encntrar una fórmula para f(g()), se escribe a g() cm argument de f lueg se reemplazan las de f pr g(), cm se realizó anterirmente. b. Encuentre una fórmula para g( f()),d g f, g( f(2)) g( f( 3)). Slución: Para encntrar g( f()), se reemplaza a f() en el argument de g lueg se reemplaza en g. ( ) g( f())=g = 1 +1 = +1 +1, pr l tant g( f())=. +1 D g f =R { 1,0}, bserve que 1 D f =0 n está en el D g f. = 3 2 g( f(2))= 2+1 2 g( f( 3))= 3+1 2 = 2 2 = 1 c. Realice las gráficas de f(), g(), f(g()) g( f()). 32
Pedr Vicente Esteban Duarte f()= +1 g()= 1 f(g())= 1 +1 g( f())= +1 33
Pedr Vicente Esteban Duarte Ejerci. D f(g()). En la siguiente gráfica se encuentra la funcines f g. Encuentre f(g(2)), g( f( 2)) f g Slución: g(2)= 3, f( 3)=0, pr l tant f(g(2))=0 f( 2)=1, g(1)= 4, pr l tant g( f( 2))= 4 D f(g()) =D g =[ 2,4], nte que las imágenes de g están en el dmini de f. Ejercici Para f()= 2 +12 g()=+3, f(g()) es a. 3 + 5 2 + 18 b. 3 + 5 18 c. 2 + 5+18 d. 2 5+18 34
Pedr Vicente Esteban Duarte Ejercici Para f()= 2 +12 g()=+3, g( f()) es a. 2 + +15 b. 2 +15 c. 2 + 5+18 d. 2 + 5+18 2. Bibligrafía 1. Leithld, L., & Gnzález, F. M. (1994). Matemáticas previas al cálcul: funcines, gráficas gemetría analítica: cn ejercicis para calculadra graficadra. Harla. 2. Swkwski, E. W. (1989). Calculus with analtic gemetr. Cálcul cn gemetría analítica/. 3. Larsn, R., Bruece, Edwards. (2011). Cálcul. McGraw Hill, Nvena edición. Índice 1. Funcines 2 1.1. Dmini, rang gráfic de una función........................... 5 1.2. Funcines reales de variable real............................... 7 1.3. Reglas básicas de transfrmación de funcines........................ 11 1.3.1. Desplazamient vertical............................... 12 1.3.2. Desplazamient hrizntal.............................. 13 1.3.3. Refleión....................................... 13 1.3.4. Cambis de escala.................................. 14 1.4. Gráficas de funcines básicas................................. 15 1.5. Funcines pares e impares.................................. 20 35
Pedr Vicente Esteban Duarte 1.6. Criteri de la recta vertical para funcines.......................... 23 1.7. Funcines pr trams..................................... 23 1.8. Operacines cn funcines.................................. 25 1.9. Cmpsición de funcines.................................. 31 2. Bibligrafía 35 36