Instituto Tecnológico de Costa Rica Universidad de Costa Rica Primer Examen Parcial Pre-Cálculo Duración: 3 horas 16 de abril de 016 Puntaje: 50 puntos Instrucciones Generales: 1. Lea cuidadosamente cada instrucción y pregunta antes de contestar.. Esta es una prueba consta de tres partes: respuesta corta, selección única y de desarrollo. 3. Las expresiones algebraicas que se presentan en este examen se asumen bien definidas en R 4. En los ítems de desarrollo debe aparecer todo el procedimiento necesario para obtener su solución. 5. Escriba con bolígrafo de tinta indeleble azul o negra. No proceden reclamos sobre pruebas escritas con lápiz o que presenten alguna alteración. 6. No se permite el uso de celulares. 7. Si algún procedimiento está desordenado, no se calificará. 8. La calculadora que puede utilizar es aquella que contiene solo las operaciones básicas. 9. La prueba debe resolverse individualmente. Nombre: Código: Colegio: 1
Selección Única. Total de puntos A continuación se le presentan 0 enunciados, cada uno con cuatro opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta. Marque una equis (x) sobre la letra que antecede a la opción que completa de forma correcta cada enunciado. 1. La factorización al máximo de la expresión a m` a m 1 es: a) a m 1 pa 1q pa ` a ` 1q b) a m 1 pa 1q pa a ` 1q c) a m` p1 aq p1 ` a ` a q d) a m` p1 aq p1 a ` a q. Uno de los factores que se obtiene en al factorizar x xy ` xz x ` y z corresponde a: a) x y b) x z c) x ` y z d) x y ` z 3. Considere las siguientes afirmaciones: I. 4x ` 9 no es factorizable en R II. z 6 ` 64 no es factorizable en R III. y 4 ` 4y ` 4 es factorizable en R De las afirmaciones anteriores son verdaderas: a) I y III b) I y II c) II y III d) Solo I
4. Al racionalizar el denominador de 3?? y simplificar su resultado se obtiene: 1 ` a) 4? 5 b) 1? c) 5 4? d)? 1 5. Al simplificar al máximo la expresión 3 5 n 3 a 5 a) a n se obtiene: 7 n a3 b) 3a n c) a n 5 d) a 3n 5 6. Al efectuar la operación a) 1 y x b) x y x y c) x y y x x xy y 1 y se obtiene: d) 1 x y 3
7. Al dividir el polinomio P pxq por x el cociente es x ` x ` 1 y el residuo es 5. Se puede afirmar con certeza que: a) P pxq x px ` x ` 1q ` 5 b) P pxq x px ` x ` 1q ` 5 x c) P pxq x x ` x ` 1 ` 5 x d) P pxq x x ` x ` 1 ` 5 x 8. La suma de las edades de A, B y C es 69 años. La edad de A es el doble que la de B y es 6 años mayor que C. Si x representa la edad de B, entonces una ecuación que permite calcular las edades de A, B y C es: a) 5x ` 6 69 b) 5x 6 69 c) x 6 69 d) x ` 6 69 9. Al despejar A en la expresión 1 C 1 A ` 1 B a) C B se obtiene por resultado: b) c) 1 C B BC B C d) B C BC 4
10. El conjunto solución de la ecuación 4 x 3 0 es: " 1 a), 7 * b) c) " * 7 " * 1 d) 11. Los valores de k para que la ecuación 4kx kx ` 1 0 tenga dos soluciones iguales son: a) 0 y 8 b) solo 1 c) 4 y 0 d) solo 4 1. La ecuación? x ` 6 3x 5 tiene: a) una única solución y es entera b) una única solución y es irracional c) dos soluciones reales d) cero soluciones reales 5
13. Una ecuación equivalente a a x?x 3 es: a) x?x 4 9 b) x?x ` 4 9 c) x 5? x d) x?x 5 14. Si dos circunferencias de radios R y r son exteriores entonces para la distancia d entre sus centros se cumple que: a) d ă R ` r b) d ă R r c) d ą R r d) d ą R ` r 15. El diámetro de una circunferencia que tiene su centro en el punto p4, 3q y que es tangente al eje Y es igual a: a) 6 b) 8 c) 9 d) 16 16. Si los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos p 1, 1q y p4, 13q entonces el radio de la circunferencia es: a) 13 b)? 05 c) 13 d)? 153 6
17. Cuál es la ecuación de una circunferencia cuyo radio mide 4cm y el centro es el punto p, 0q? a) x 4x ` y 0 b) x ` 4x ` y 0 c) x 4x ` y 1 d) x ` 4x ` y 1 18. El valor de k para que la recta kx 3y 10 sea paralela a x ` 3y 6 es a) b) 3 c) d) 3 19. Si los vértices del triángulo ABC son A p0, 0q, B p0, 4q y C p6, 0q entonces la pendiente de la mediana correspondiente a BC es: a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 7
0. Considere las siguientes afirmaciones: I. La parábola y 3x x ` 1 es cóncava hacia abajo. II. El eje de simetría de la parábola y 4 ` 3x x es x 3 4 III. La parábola y 4x 3x ` 1 no interseca al eje X De las afirmaciones anteriores son verdaderas: a) I y II b) II y II c) I y III d) Solo III 1. Si pa, bq es un punto de la parábola y 3 px q se puede asegurar con certeza que: a) a ě b) a ď c) b ě 3 d) b ď 3. La parábola de ecuación y ax ` 3b contiene los puntos p0, 9q y p1, q Cuál es el valor de a ` b? a) 14 b) 7 c) 3 d) 4 8
Respuesta Corta. Total de puntos 10 Complete las siguientes afirmaciones con la información que se le solicita. 1. Cuál es la factorización completa de la expresión 81 p3x yq?. Cuál es la factorización completa de la expresión 6p 7pq ` q? ˆ15x yz 3 3 ˆ1x 3. Cuál es la expresión que se obtiene al simplificar al máximo la expresión? 7xy 3 5z 3 4. Cuál es la expresión que se obtine al simplificar al máximo la expresión 5m 7n 3 : 10m4 14n 4? 5. Si M es el punto medio de AB con Mp1, 3qy Bp3, 6q, cuáles son las coordenas de A? 6. Proponga un ejemplo de la ecuación de una parábola que sea cóncava hacia arriba 7. Cuál es la distancia entre los puntos p 6, 1q y p5, 4q? 8. Cuáles son los puntos de intersección de la curva definida por y x ` 5x 3 con el eje X? 9. Cuál es la ecuación de una recta que pasa por p 5, 4q e interseca al eje X en p, 0q? 9
10. Si la distancia d entre los centros de dos circunferencias es d 0, cuál es el nombre que reciben dichas circunferencias? Desarrollo. Total de puntos 18 A continuación se le presentan 3 ejercicios. Resuélvalos en forma clara, correcta y ordenada. Deben aparecer todos los procedimientos necesarios para resolver cada ejercicio. 1. Simplifique al máximo la siguiente expresión. 7 puntos j ˆ x 4 1 x 1 x 3 1 px ` 1q : x ` 1 x 10
. Determine el conjunto solución de la ecuación 3x 3 x ` 1 ` x ` x 4 5x 5x ` 17 x 3x 4 6 puntos 11
3. Resuelva el siguiente problema Si el mayor de dos números se divide por el menor, el cociente es y el residuo es 9 y si el triple del menor se divide por el mayor el cociente es 1 y el residuo 14. Calcule los números que cumplen la relación anterior. 5 puntos 1