TEMAS DE FÍSICA I VECTORES Profr. Abelardo Rodríguez Soria et al TRIMESTRE 11 P

TEMAS DE FÍSICA I VECTORES Profr. Abelardo Rodríguez Soria et al TRIMESTRE 11 P PRELIMINARES. Un vector se representa gráficamente en el papel mediante una flecha. La longitud de la flecha representa la magnitud del vector (de acuerdo con una escala apropiada definida para las dimensiones físicas del vector), y la dirección de la flecha (relativa a los cuerpos físicos circundantes representados en el papel) representa tal cual la dirección del vector en el espacio físico. Usaremos indistintamente los términos vector y flecha. Fig. 1 Fig. 2 El punto inicial del vector es el punto desde donde se traza el vector (o sea el punto desde donde emana la flecha. Véase la figura 1). La punta (o punto final) del vector es el punto donde va la punta de la flecha. El cuerpo del vector es el segmento recto que enlaza el punto inicial y la punta. Generalmente escribiremos la magnitud del vector junto al cuerpo del mismo, y el símbolo que lo representa junto al punto final. Por ejemplo, la figura 2 muestra un vector simbolizado por V, de magnitud 12.5. Se denomina la dirección positiva del Eje X (o dirección +X ) a la dirección que apunta a lo largo del Eje X (o paralelamente al mismo), hacia donde crece la coordenada x. La dirección negativa del Eje X (o dirección X ) es la opuesta a ésta. Análogamente se definen las direcciones positiva y negativa del Eje Y (direcciones +Y y Y, respectivamente). Véase la figura 3. Fig. 3

La dirección de un vector en el plano X,Y puede darse numéricamente de diversas formas, mediante el ángulo que forma el vector con alguna de las direcciones coordenadas. Por ejemplo, las figuras 3a, b, c muestran tres formas de especificar la dirección de un mismo vector A en el plano X,Y. Fig. 4a Fig. 4b Fig. 4c Sin embargo, nosotros entenderemos por la dirección de un vector el ángulo obtenido mediante el siguiente procedimiento, ilustrado para el vector mostrado en la figura 5a. Desde el punto inicial del vector, trácese la dirección positiva del Eje X. (Véase la figura 5b, donde se ha señalado con línea punteada la dirección +X). Gírese la dirección +X hasta que coincida con la del vector. El ángulo girado es por definición la dirección del vector. Este ángulo se toma positivo si el giro se realiza en sentido antihorario, y negativo si se realiza en sentido horario. (Para el vector A mostrado tendríamos entonces que su dirección es +130 ). Fig. 5a Fig. 5b En la representación por magnitud y dirección, un vector V se escribe V = (V θ) donde V (o bien V ) es la magnitud del vector y θ es su dirección, tal como se ha definido aquí. El vector de la figura 5b se escribiría A = (A 130 ), donde A es su magnitud. Note que este concepto de dirección engloba ambas cosas que en los cursos elementales se nombran dirección y sentido. De todas maneras usaremos el término sentido cuando sea particularmente aclarativo.

Ejemplo 1. Obtener la dirección del vector V, de magnitud 34, mostrado en la figura 6a. La dirección +X debe trazarse en el punto inicial del vector, tal como se muestra en la figura 6b. Aquí conviene girar la dirección +X en sentido horario, obteniendose así un ángulo de 110. La dirección del vector es entonces θ = 110, y tendríamos V = (34 110 ). Fig. 6a Fig. 6b Si el giro de la dirección +X se hubiese realizado en sentido antihorario, hubiésemos obtenido la dirección θ = 250, igualmente válida. Sin embargo, se suele limitar la dirección al intervalo [ 180, 180 ]. En general, una dirección θ es equivalente a la dirección 360 ± θ. Ejercicio 1. Representar por magnitud y dirección los vectores de la figura.

Ejemplo 2. Representar gráficamente los vectores A = (12 40 ) M = (29 115 ) C = (0.5 70 ) S = ( 5 2 144 ) En la siguiente figura hemos trazado los vectores A, M, C y S. Fig. 7a Fig. 7b Fig. 7c Fig. 7d El punto inicial del vector puede ser cualquier punto del plano X Y; es arbitrario. Desde el punto inicial se ha trazado una flecha punteada que indica la dirección +X. Junto a la punta de cada vector se ha puesto el símbolo del vector (A, M, etc.), y junto al cuerpo de la flecha se ha puesto la magnitud. Ejercicio 2. Representar gráficamente los vectores U = (23 170 ) S = (4.5 30 ) W = (982 90 ) K = (68.7 0 )

En la representación por componentes, un vector A se escribe en la forma A = (A x, A y ) donde A x y A y se denominan respectivamente componente X y componente Y del vector A. Gráficamente, las componentes X y Y del vector son las proyecciones signadas (con signo algebraico) del vector sobre los Ejes X y Y, respectivamente (expresadas en la escala definida para el vector, según su naturaleza física). Las proyecciones del vector se obtienen proyectando ortogonalmente tanto su punto inicial como su punta sobre los Ejes X y Y, como se muestra en la figura 8a. O mejor, se puede construir un triángulo rectángulo en el que el vector es la hipotenusa y las componentes A x y A y vienen siendo los catetos, como se muestra en la figura 8b. Fig. 8a Fig. 8b He aquí la regla de los signos para las componentes: Si el vector apunta hacia el semiplano derecho (o sea hacia valores crecientes de x), su componente X es positiva (Fig. 9a). Si apunta hacia el semiplano izquierdo (hacia valores decrecientes de x, Fig. 9b), su componente X es negativa. Componente X positiva Componente X negativa Componente Y positiva Componente Y negativa Fig. 9a Fig. 9b Fig. 9c Fig. 9d Si el vector apunta hacia el semiplano superior (hacia valores crecientes de y, Fig. 9c), su componente Y es positiva. Si apunta hacia el semiplano inferior (hacia valores decrecientes de y, Fig. 9d), su componente Y es negativa.

Flechas alineadas con el Eje X tienen nula componente Y. Flechas alineadas con el eje Y tienen nula componente X. Ejemplos en la Fig. 10. Fig. 10 CÓMO CALCULAR LAS COMPONENTES DE UN VECTOR, DADAS SU MAGNITUD Y DIRECCIÓN. En estas notas daremos 2 métodos para calcular las componentes de un vector. MÉTODO 1. Para calcular las componentes (A x, A y ) de un vector A: i) Obtenga la dirección θ del vector, tal como lo hemos explicado en la página 2 (Vea las figuras 5a, b). ii) Obtenga las componentes simplemente mediante las fórmulas (Ia) A x = A cos θ (Ib) A y = A sen θ Ejemplo 3. Calcular las componentes del vector U mostrado en la figura 8a. Fig. 8a Fig. 8b Seguimos el procedimiento ya explicado para obtener la dirección θ, a saber: en el punto inicial del vector trazamos (o nos imaginamos) la dirección +X, como vemos en la figura 8b. Luego giramos esta dirección en sentido horario hasta que coincida con el vector. El ángulo girado es 75, que debemos considerar negativo (θ = 75 ) pues el giro se realizó en sentido horario. Entonces el vector U es

U = (8 75 ) y sus componentes son, usando (Ia) y (Ib), U x = U cos θ = 8 cos( 75 ) = 2.07055 U y = U sen θ = 8 sen( 75 ) = 7.72741 O sea que en la representación por componentes tenemos U = (2.07055, 7.72741) Note que el signo correcto de las componentes lo da automáticamente la calculadora electrónica. No hay necesidad de añadir ningún signo algebraico a las fórmulas (Ia,b). Ejemplo 4. Calcular las componentes X y Y de los vectores P y M mostrados en la figura 10a. Fig. 10a Fig. 10b Como podemos apreciar en la figura 10b, las direcciones de P y M son respectivamente 129 y 118. Dado que sus magnitudes son 400 y 14, respectivamente, tenemos entonces P = (400 129 ) M = (14 118 ) Usando las fórmulas (Ia,b) obtenemos P x = 400 cos 129 = 251.728 P y = 400 sen 129 = 310.858 M x = 14 cos( 118 ) = 6.572 M y = 14 sen( 118 ) = 12.361

El Método 1 empleado para calcular componentes en los Ejemplos 3 y 4 no es muy eficiente pues requiere de dos pasos: primeramente obtener la dirección, y luego aplicar las fórmulas (Ia,b). Existe un Método 2 en el que las componentes se calculan sin el engorroso paso de calcular primero la dirección. El Método 2 se basa en el siguiente teorema de trigonometría: En un triángulo rectángulo, un cateto es igual a la hipotenusa multiplicada por el seno del ángulo opuesto o por el coseno del ángulo adyacente. En el triángulo rectángulo ilustrado en la figura 11, α es el ángulo opuesto al cateto a, y β es el ángulo adyacente a este cateto. Análogamente, β es el ángulo opuesto al cateto b, y α es el ángulo adyacente a este cateto. Se cumplen las relaciones Fig. 11 a = c sen α = c cos β b = c sen β = c cos α He aquí el método. MÉTODO 2. Para calcular las componentes (A x, A y ) de un vector A: (i) Forme (o imagínese) un triángulo rectángulo cuya hipotenusa sea el vector y cuyos catetos sean las componentes X y Y. (ii) Calcule los valores absolutos de las componentes usando el teorema trigonométrico dado arriba. (iii) Añada el signo correcto a cada componente. Ejemplo 5. Calcular las componentes del vector V dado en la figura 12a. Fig. 12a Fig. 12b En la figura 12b está el triángulo rectángulo formado por el vector V y sus componentes V x y V y. Se tiene (con el signo correcto ya añadido): Vx = 8.3 sen 30 = 4.15, Vy = 8.3 cos 30 = 7.18801 Note que para Vx se usó el seno porque 30 es el ángulo opuesto al cateto Vx (al mismo tiempo 30 es el ángulo adyacente al cateto Vy, por ello se usó el coseno para este cateto).

Ejemplo 6. En términos del ángulo mostrado para cada vector, obtener sus componentes X y Y. Las líneas a rayas son líneas paralelas a un eje de coordenadas. Fig. 13 En la figura 14 hemos completado los triángulos rectángulos. En cada caso el cateto opuesto al ángulo dado es el que se forma con el seno de este ángulo, como se muestra en la figura. El cateto adyacente se forma con el coseno. Fig. 14 Entonces los vectores se espresan como sigue: A = ( 400 cos 36.87, 400 sen 36.87 ) B = (0.15 cos 45, 0.15 sen 45 ) C = (10 sen 42, 10 cos 42 ) D = (88 sen 75, 88 cos 75 )

Ejercicio 3. Usando el ángulo dado en la figura para cada vector, calcular las componentes X y Y de cada uno. Las líneas a rayas son paralelas a un eje de coordenadas. Ejercicio 4. Calcular las componentes X y Y de los vectores dados en la siguiente figura. Ejercicio 5. Calcular las componentes X y Y de los vectores dados en la siguiente figura.

CÓMO CALCULAR LA MAGNITUD Y DIRECCIÓN DE UN VECTOR DADAS SUS COMPONENTES X, Y (II) Dado el vector A = (Ax, Ay), su magnitud viene dada por (a) 2 2 x y A= A + A y su dirección por (b) θ = atan2(ax, Ay) donde (c) φ Si Ax, Ay > 0 180 φ Si Ax < 0, Ay > 0 atan2( Ax, Ay) = 180 +φ Si Ax, Ay < 0 φ Si Ax > 0, Ay < 0 con A y (d) φ= arctan y φ [ 0,90 ] A x Ejemplo 7. Calcular la magnitud y dirección del vector S = (12, 5). La magnitud es, por la fórmula (IIa), S = 2 2 (12) + ( 5) = 169 = 13 Para calcular la dirección θ obtenemos primeramente el ángulo φ. Por la fórmula (IId): Fig. 15 5 φ = arctan = arctan(0.41667) = 22.62 12 Consultando la fórmula (IIc), tenemos el caso en que A x > 0, A y < 0, por lo que θ = φ, o sea θ = 22.62. Entonces, S = (13 22.62 )

Si no tiene a la mano la fórmula (II) puede obtener la magnitud y dirección gráficamente como se muestra en el siguiente ejemplo: Ejemplo 8. Calcular la magnitud y dirección del vector U = ( 60, 80). Dibuje el vector (Véase la figura 16) e identifique el ángulo φ (cuyo cateto opuesto es la componente Y del vector). Indique en este dibujo cuál es la dirección θ del vector. Calcule al ángulo φ: 80 φ= arctan = arctan(1.33333) = 53.13 60 Ajuste este ángulo para obtener θ: Fig. 16 θ = 180 + φ = 126.87 La magnitud es 2 2 (60) + (80) = 10000 = 100 Entonces el vector es U = (100 126.87 ) Ejercicio 6. Usando las fórmulas (IIa,b,c,d), calcular la magnitud y dirección de los siguientes vectores: (a) L = ( 20, 12) (b) R = (0.9, 0.3) (c) W = (30, 50) (d) M = ( 2, 10) Ejercicio 7. Usando el método gráfico ilustrado en el Ejemplo 8, calcular la magnitud y dirección de los siguientes vectores: (a) K = ( 2.14, 5.66) (b) T = (5.9, 8.3) (c) S = (20, 70) (d) P = ( 9, 14)

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS Ejercicio 1. D = (0.95 145 ) U = (450 25 ) V = (112 10 ) S = (40 110 ) F = (1200 110 ) Ejercicio 3. A x = 22 sen(55 ) = 18.021 A y = 22 cos(55 ) = 12.618 B x = 120 cos(30 ) = 103.923 B y = 120 sen(30 ) = 60 C x = 0.82 sen(20 ) = 0.280 C y = 0.82 cos(20 ) = 0.770 Ejercicio 4. Se calculan los ángulos necesarios como vemos en la figura. Se encuentra que P = (110 30 ) Q = (52 80 ) R = (88 50 ) con lo que, aplicando las fórmulas (Ia,b), P x = 110 cos( 30 ) = 95.262 P y = 110 sen( 30 ) = 55 Q x = 52 cos(80 ) =9.029 Q y = 52 sen(80 ) = 51.21 R x = 88 cos( 50 ) = 56.565 R y = 88 sen( 50 ) = 67.412 Ejercicio 5. F = (5 cos 135, 5 sen 135 ) = ( 3.535, 3.535) T = (4 cos 30, 4 sen 30 ) = (3.464, 2) N = (3 sen 20, 3 cos 20 ) = (1.026, 2.819) Para F y N se usaron las fórmulas (Ia,b), puesto que se conocen sus direcciones. Para N se usó el método que emplea el ángulo dado de 20. Ejercicio 6. L = (23.324 149.036 ) R = (0.948 18.435 ) W = (58.309 59.036 ) M = (10.198 101.310 )