Resolución de ecuaciones no lineales

Capítulo 2 Resolución de ecuaciones no lineales 2.1 Primeros métodos: bisección, regula falsi, secante, Newton-Raphson. 2.1.1 Introducción Supongamos que cierta población, P = P t), crece a un ritmo proporcional a la población existente y al crecimiento neto por unidad de tiempo, N, debido a la emigración e inmigración. Es fácil deducir que la función de población respecto del tiempo es: P t) = P 0 e kt + N k e kt 1 ) 2.1) El cálculo de la cte. de proporcionalidad, k, o índice de crecimiento interno requiere de una técnica numérica de resolución aproximada de ecuaciones p.e. el método de Newton-Raphson que se verá más adelante). Más concretamente, si conocemos la población en un instante particular de tiempo t 1 ). Se tendría, entonces, que resolver la ecuación trascendente: P 1 = P 0 e kt 1 + N k e kt 1 1 ) 2.2) que ha de resolverse en forma aproximada. En general, el problema es hallar las raíces reales de una ecuación de la forma: fx) = 0 2.3) Es conocido que este problema está resuelto, en forma exacta por radicales), para ecuaciones polinómicas de grado 4, si bien las ecuaciones de grado 3 y 4, tienen una resolución compleja por lo que es de utilidad aproximar sus raíces por métodos más simples. Además, si no se trata de ecuaciones polinómicas por ejemplo la ecuación 2.2)) será necesario recurrir a estas técnicas en la mayoría de los casos. La idea es la construcción de una sucesión de valores x 0, x 1,..., x n,... tales que lim n x n = r donde r es raíz real de la ecuación. Así, en lo que sigue analizamos distintas formas de generar las aproximaciones. Además, en lo sucesivo, supondremos que la función fx) es continua en un intervalo [a, b] confa)fb) < 0. 1

2 Métodos Num.: Ecuaciones no lineales. 2.1.2 Método de bisección. Este método se fundamenta en una demostración constructiva del teorema de Bolzano; a saber, Si f : [a, b] R es continua y fa)fb) < 0, entonces existe, al menos, un cero de f en ]a,b[; es decir, existe r ]a, b[, fr) = 0. En estas condiciones, el método de bisección procede como sigue: Construimos la sucesión de intervalos encajados: con el siguiente criterio: [a, b] = [a 0, b 0 ] [a n, b n ] [a n+1, b n+1 ] Para cada n=0,1, el intervalo [a n, b n ] ha de cumplir las condiciones del teorema de Bolzano f es continua, fa n )fb n ) < 0). Así, para n=0 esto es cierto por hipótesis. Conocido un intervalo genérico [a n, b n ], el siguiente se construye como sigue: Tomamos c n = an+bn 2 Evaluamos f c n ) Sif c n ) = 0, entonces c n = r es un cero de fx) y FIN Sifa n )fc n ) < 0, entonces el nuevo intervalo es: [a n+1, b n+1 ] = [a n, c n ] Sifa n )fc n ) > 0, entonces el nuevo intervalo es: [a n+1, b n+1 ] = [c n, b n ] Continuar el proceso hasta que el intervalo construido tenga longitud suficientemente pequeña. 2.1.3 Métodos de regula-falsi y secante. Ambos métodos tienen una concepción geométrica similar pero con una estrategia de continuación de paso diferente. Método regula-falsi. El método Regula-Falsi procede, en su estrategia de continuación, como el método de bisección; es decir, se va construyendo una sucesión de intervalos encajados: con el siguiente criterio: [a, b] = [a 0, b 0 ] [a n, b n ] [a n+1, b n+1 ] Para cada n = 0, 1,... el intervalo [a n, b n ] cumple: fx) es continua y fa n )fb n ) < 0. Así, para n=0 se elige el intervalo [a 0, b 0 ] = [a, b]. Conocido un intervalo[a n, b n ], el siguiente se construye como sigue:

Apuntes de J. Lorente 3 Tomamos c n = a n fan)bn an) fb n) fa n) vea la figura 2.1 a)) Evaluamos f c n ) Si f c n ) = 0, entonces c n = r es un cero de fx) y el proceso termina FIN) Si fa n )fc n ) < 0, entonces: [a n+1, b n+1 ] = [a n, c n ] Si fa n )fc n ) > 0, entonces: [a n+1, b n+1 ] = [c n, b n ] Continuar el proceso hasta que aproximaciones consecutivas estén suficientemente próximas y/o los valores f c n ) sean próximos a cero. Observe que es muy similar a bisección pero el cálculo de la aproximación, en cada paso, tiene una expresión diferente punto de corte, con el eje OX, de la recta secante a la curva y = f x) que pasa por a n, f a n )), b n, f b n ))). Esto hace que la parada del método no es como en bisección ya que no está asegurado que la longitud de los intervalos tienda a cero cuandon. Sin embargo se cumple que las aproximaciones x n = c n tienden n ) a una raíz real r de fx) = 0. Con todo lo anterior se puede describir el método Regula-Falsi en la forma algorítmica siguiente: ALGORITMO CON PARADA AUTOMATICA f pequeño): ENTRADA: fx), a, b, tol, M número máximo genérico de iteraciones) PROCESO: para n = 0, 1,, M Calcular c = a fa)b a) fb) fa) y f c) Si f c) = 0, entonces: SALIDA 1, FIN Si f c) < tol, entonces: SALIDA 2, FIN Si f a) f c) < 0, entonces: tomar b = c Si f a) f c) > 0, entonces: tomar a = c SALIDA 1 El valor exacto de la raíz es: c) SALIDA 2 El valor aproximado de la raíz con tolerancia, tol, es: c) SALIDA 3 Hemos superado el número máximo de iteraciones M sin éxito, aumente su valor) 2.1.4 MÉTODO DE LA SECANTE Como ya hemos comentado anteriormente, este método tiene una concepción geométrica como la del de Regula-Falsi, pero en la continuación no se tiene en cuenta lo que ocurre con los signos de fx) en aproximaciones consecutivas salvo las dos aproximaciones iniciales. Más concretamente, supongamos que la función está en las condiciones, por lo menos, del teorema de Bolzano, entonces se construyen aproximaciones sucesivas, x 0, x 1,..., x n 1, x n, x n+1,... como sigue: Tomamos x 0 = a, x 1 = b

4 Métodos Num.: Ecuaciones no lineales. Para n = 2, 3,..., Tomamos x n+1 = x n 1 fx n 1)x n x n 1 ) fx n) fx n 1 ) vea la figura 2.1 b)) Continuar el proceso hasta que aproximaciones consecutivas estén suficientemente próximas y/o los valores f x n+1 ) sean próximos a cero. Dado que no se tiene en cuenta el cambio de signo, puede ocurrir que f x n ) f x n 1 ) sea cero o esté muy próximo a cero con lo que el método no funcionaría correctamente. Esto significa que las condiciones de convergencia para este método son más exigentes que los de bisección y regula-falsi. Así, se tiene asegurada la convergencia del método cuando la función fx) cumple las condiciones siguientes: Continua en [a, b], derivable en ]a, b[ f x) 0 en ]a, b[ La función no cambia su concavidad en [a, b] o f x) no cambia de signo si f es dos veces derivable) VISIÓN GEOMÉTRICA DE AMBOS MÉTODOS Figura 2.1: a) Método de Regula Falsi. b) Método de la secante. ALGORITMO CON PARADA AUTOMATICA x n+1 x n pequeño): ENTRADA: fx), x 0 = a, x 1 = b, tol, M número máximo de iteraciones) PROCESO: para n = 1,..., M 1 Si f x n ) f x n 1 ) = 0 o n=m-1, entonces: SALIDA 3, FIN Calcular x n+1 = x n 1 fx n 1)x n x n 1 ) fx n) fx n 1 ) y f x n+1 ) Si f x n+1 ) = 0, entonces: SALIDA 1, FIN Si x n+1 x n < tol, entonces: SALIDA 2, FIN SALIDA 1 El valor exacto de la raíz es: x n+1 ) SALIDA 2 El valor aproximado de la raíz con tolerancia, tol, es: x n+1 ) SALIDA 3 Hemos superado el número máximo de iteraciones o división por cero)

Apuntes de J. Lorente 5 2.1.5 Método de Newton-Raphson Teorema 2.1 Dada la ecuación fx) = 0, verificando: la función es continua en [a, b] y fa) fb) < 0 derivable en ]a, b[ con f x) 0 x ]a, b[; la función no cambia su concavidad. Entonces: La ecuación admite una única raíz real en el intervalo; El método iterativo: x 0 = aprox.inicial x n = x n 1 fx n 1) f x n 1 ) n 1 converge a la raíz para toda aproximación inicial, x 0, con la condición 1 : fx 0 )f x 0 ) > 0 figura 2.2). Figura 2.2: Zona apropiada para la elección de la aproximación inicial Ejemplo. El método de Newton-Raphson aplicado a la ecuación 0.1)2.2) suponiendo que N = P 0, t 10 1 = 3, y P 1 = 2P 0, produce las aproximaciones siguientes: n Aproximación 1 0.689406 2 0.420627 3 0.237984 4 0.168031 5 0.159893 6 0.159795 7 0.159795 Tabla 2.1: Es decir, un valor aproximado de k es: 0.159795. 1 Bajo alguna condición algo más fuerte para fx), la convergencia también se produce partiendo de una aproximación inicial arbitraria en el intervalo [a,b].

6 Métodos Num.: Ecuaciones no lineales. Las condiciones impuestas son bastante restrictivas y, en ocasiones, no se satisfacen en un intervalo [a,b] demasiado grande en cuyo caso hay que considerar un intervalo más pequeño conteniendo la raíz) para asegurar la convergencia del método 2. También influye, en la convergencia del método, la posible multiplicidad 3 de la raíz de forma que la rapidez pasa a ser de orden 1 lineal) mientras que el orden es 2 cuando se trata de raíces simples. Se puede recuperar el orden de convergencia cuadrático cuando la raíz es múltiple? La respuesta es sí pero corrigiendo o modificando la ecuación inicial; a saber, si transformamos la ecuación fx) = 0 en la ecuación: µx) = 0 con µx) = fx) f x) ; entonces: Si r es una raíz múltiple de fx) = 0, será raíz simple de µx) = 0; El método de N-R para la nueva ecuación convergerá a la raíz para una aproximación inicial adecuada; La rapidez de convergencia es cuadrática orden=2). 2.2 Iteración funcional. Convergencia. 2.2.1 Problema equivalente. Iteración funcional. La mayoría de los métodos conocidos construyen aproximaciones x n = r) sucesivas escribiendo la ecuación inicial en una forma equivalente adecuada: x = gx) Por ejemplo, la ecuación x 2 x 3 = 0 se puede escribir en las formas equivalentes siguientes: x = g 1 x) = x 2 3 x = g 2 x) = x + 3 x x = g 3 x) = x + 3 para la raíz positiva) x = g 4 x) = x2 + 3 2x 1 Desde esta forma de escribir la ecuación inicial, es sencillo describir una técnica iterativa para generar los valores o aproximaciones; a saber: x 0 = aproximación inicial x n = gx n 1 ) n 1 2.4) Así, el problema a estudiar se reduce a ver si g tiene o no puntos fijos y si es único o no. Más aún, será convergente el método descrito por 2.4)? 2 Una condicin de convergencia local es que f r) 0 siendo r ]a, b[ raz de fx) = 0 3 Una raz real, r, de fx) = 0 tiene multiplicidad m si f r) = 0 = = f m 1) r), f m) r) 0 para funciones suficientemente derivables)

Apuntes de J. Lorente 7 Teorema 2.2 Punto Fijo) Sea g : [a, b] [a, b] verificando: Entonces, gx) gy) L x y x, y [a, b] con 0 L < 1 2.5) 1. Existe una única raíz real de la ecuación x = gx) punto fijo de g) en [a, b]. 2. El método 2.4) genera aproximaciones que convergen al punto fijo de gx); es decir, lim n x n = r = gr) Ejemplo. Vemos un ejemplo de iteración de punto fijo para la ecuación: e x + x 3 = 0. A continuación, tabulamos las aproximaciones generadas por tres funciones de iteración distintas, observándose tanto la convergencia o no como la rapidez de convergencia. Met.1 Met.2 Met.3 1 1 1 0.281718 0.693147 0.806824 1.67459 0.835884 0.792135-2.33663 0.772012 0.79206 2.90335 0.801099 0.79206-15.2351 0.787958 0.79206 3. 0.793916 0.79206-17.0855 0.791219 0.79206 3. 0.792441 0.79206 Tabla 2.2: Valores para las funciones de iteración: g 1 x) = 3 e x ; g 2 x) = ln 3 x); g 3 x) = xex e x +3 e x +1 2.2.2 Interpretación Geométrica de un método iterativo. En la figura 2.3 podemos apreciar cómo se obtienen las iteraciones de un método de la forma: x n = g x n 1 ) x 0 x 2 x 4 x 3 x 1 x 4 x 2 x 0 x 1 x 3 Figura 2.3: a) Iteraciones convergentes. b) Iteraciones no convergentes.

8 Métodos Num.: Ecuaciones no lineales. 2.2.3 Error y orden de Convergencia. En esta sección tratamos de obtener una cota teórica del error cometido en un método iterativo verificando alguna de las condiciones de convergencia anteriormente tratadas; así como el estudio de la rapidez con que un método aproxima la raíz buscada ésta se medirá con el Orden de Convergencia ). Si e n = x n r es el error cometido en la n-ésima aproximación del método de iteración x n = gx n 1 ) donde gx) cumple la condición 2.5), entonces: e n Ln 1 L x 1 x 0 Si bien la cota obtenida tiene interés teórico, no es menos cierto que tiene poca utilidad en la práctica debido a la dificultad que existe en la obtención de la cte. L. De aquí que parezca interesante conocer el comportamiento del error cometido en un paso respecto al paso anterior; es decir, la velocidad de convergencia del método. Así, si suponemos que g C 1 y satisface las condiciones de convergencia, al menos local, tendríamos: x n r = g x n 1 ) gr) = g ξ n ) x n 1 r) es decir, para n suficientemente grande se puede dar por válida la aproximación de errores consecutivos siguiente: e n g r) e n 1 es decir, si 0 < g r) < 1 se tendrá: lim n e n e n 1 = g r) y, en este caso se dice que el método es lineal o de orden 1. Si g C 2 con g r) = 0, y g r) 0, entonces por un razonamiento similar se puede escribir: e n 1 2 g r) e n 1 2 por lo que, en esta situación, se dice que la convergencia del método al menos localmente) es cuadrática o de orden 2. Definición 2.1 Orden de convergencia de un método) Se dice que un método converge con orden p 1, si satisface la igualdad: lim n e n e n 1 p = K 0 0 < K < 1, sip = 1) Con este concepto puede compararse la velocidad de convergencia entre diversos métodos para la resolución de una ecuación fx) = 0. Además, volviendo al caso de un método de iteración de punto fijo, si g C p con g r) = 0= = g p 1) r) y g p) r) 0, entonces el método basado en gx) es de orden p.

Apuntes de J. Lorente 9 Observación El orden de convergencia, en general, no siempre es un número entero por ejemplo, el método de la secante tiene orden p = 1.62); El significado intuitivo del orden de convergencia de un método se entiende en los términos siguientes: Si un método es lineal se ganará una cifra de precisión cada cierto número fijo de iteraciones; Si un método es cuadrático se duplicarán las cifras de precisión cada cierto número fijo de iteraciones; La rapidez de convergencia de un método es tanto mayor cuanto mayor es el orden de convergencia y para métodos de igual orden de convergencia será más rápido el de cte K menor. Ejemplo Volviendo a la ecuación de la sección 2.2.1 con las funciones de iteración dadas allí podemos apreciar la rapidez de convergencia en la tabla de iteraciones siguiente: n Método 1 Método 2 Método 3 Método 4 0 1. 1. 1. 1. 1-2. 4. 2. 4. 2 1. 1.75 2.23607 2.71429 3-2. 2.71429 2.28825 2.34101 4 1. 2.10526 2.29962 2.30317 5-2. 2.425 2.30209 2.30278 6 1. 2.23711 2.30263 2.30278 7-2. 2.34101 2.30274 2.30278 8 1. 2.2815 2.30277 2.30278 9-2. 2.31493 2.30277 2.30278 10 1. 2.29594 2.30278 2.30278 Tabla 2.3: Métodos de órdenes diferentes. Puede apreciarse que el método 1 para g 1 x)) no converge y los demás sí. Además, la convergencia más rápida es la del método 4 para g 4 x)), a continuación el método 3 para g 3 x)) y por último el método 2 para g 2 x)). Esto puede comprobarse con el análisis de las respectivas derivadas de las funciones de iteración usadas. 2.3 Aspectos cualitativos. Aceleración de la convergencia: Método de Steffensen. En esta sección se presenta un método que permite mejorar, en general, la rapidez de convergencia de un método basado en una función de iteración de punto fijo. Supongamos que la ecuación fx) =0 posee una única raíz que puede estimarse mediante el método de iteración de punto fijo siguiente: x 0 = aprox. ini. x n = g x n 1 ) n = 1, 2,...

10 Métodos Num.: Ecuaciones no lineales. Entonces, se puede describir un nuevo método a partir del anterior que mejora la convergencia del anterior. Más concretamente, se procede como sigue: Supongamos calculada una iteración que notamos por x, entonces: x y = gx) z = gy) Con los valores x,y,z se calcula la nueva iteración x) mediante la fórmula debida a Aitken) siguiente: x = x y x)2 z 2y + x Por lo tanto, resumiendo el proceso descrito, se tiene el método de iteración: x 0 = aprox. inic. x n = g x n 1 ) x n 1 ) 2 x n 1 g g x n 1 )) 2g x n 1 ) + x n 1 2.4 Ecuaciones polinómicas. Sucesiones de Sturm. Las ecuaciones polinómicas presentan un interés especial y para ellas existe la posibilidad de conocer el número de raíces reales y su localización con ayuda de la teoría de Sturm. Además, es bien conocido que una ecuación polinómica de grado n posee n raíces entre reales y complejas contadas sus multiplicidades). Nuestro interés es el de la búsqueda de las raíces reales. Así, el problema de calcular las raíces de P x) = 0 pasa por varias etapas diferenciadas; a saber: 1. Número de raíces reales; 2. Localización y separación en intervalos disjuntos; 3. Estimación precisa de cada raíz mediante un método numérico adecuado. Las dos primeras etapas pueden abordarse con ayuda de la teoría de Sturm que comentamos en lo que sigue. El resultado principal de dicha teoría se fundamenta en la construcción de una sucesión de funciones llamada sucesión de Sturm) asociada a la ecuación con propiedades adecuadas al propósito que se persigue. Más concretamente: Definición 2.2 Se dice que las funciones f 0, f 1,..., f m, continuas en [a, b] forman una sucesión de Sturm en [a, b] si verifican: 1. f m no se anula en el intervalo; 2. Si f i r) = 0, entonces f i 1 r)f i+1 r) < 0 para cada i= 1,..., m 1; ) { 3. Si f 0 r) = 0, entonces: signo f0 x) 1 si r ε < x < r f 1 = x) 1 si r < x < r + ε Para una sucesión de Sturm se puede demostrar el resultado siguiente:

Apuntes de J. Lorente 11 Teorema 2.3 Supongamos que f 0 a)f 0 b) 0. Sean C a el número de cambios de signo en la serie {f 0 a), f 1 a),..., f m a)}, y C b el número de cambios de signo en la serie {f 0 b), f 1 b),..., f m b)}; entonces C a C b es el número de raíces de la ecuación f 0 x) = 0 en el intervalo ]a, b[. Para obtener una sucesión de Sturm para el caso de una ecuación polinómica Px)=0 aplicamos el procedimiento siguiente basado en el algoritmo de Euclides para el cálculo del M.C.D. n,m)): 1. Tomamos f 0 = P x), f 1 = P x); 2. Para i = 1, 2,... Hacemos la división: f i 1 f i ; Se tiene: f i 1 = f i c i + R i donde R i = resto de la división Si R i 0, entonces el proceso finaliza con f i ; Si R i 0, entonces tomamos f i+1 = R i ; 3. Escribimos la sucesión calculada: {f 0, f 1,..., f m } se supone que R m 0) Pues bien, realizado el procedimiento anterior, se verifica: 1. Si f m no se anula en R, entonces {f 0, f 1,..., f m } es una Sucesión de Sturm para la ecuación polinómica: f 0 = P x) = 0 en R. 2. Una ecuación polinómica P x) = 0 tiene todas sus raíces reales en el intervalo ] 1 M, 1 + M[ donde: { } a i M = Max : i = 0, 1,..., n 1 donde a i son los coeficientes de P x) con a n el principal). a n Con las dos propiedades anteriores se puede, aplicando el TEOREMA de Sturm, obtener el número de raíces reales de la ecuación. 2.5 Sistemas de ecuaciones no lineales. En esta sección nos ocupamos, brevemente, de la resolución numérica de un sistema de ecuaciones no lineales de la forma: f 1 x,y) =0 f 2 x,y) =0 2.6) Dicho sistema puede expresarse mediante la ecuación vectorial: F X) = 0 donde F :S R 2 R 2 es una función vectorial de componentes las funciones reales de 2 variables reales f 1 X), f 2 X) con X= x, y). Pueden obtenerse de forma similar al caso de una variable métodos iterativos de la forma: X = X 0 X n = GX n 1 )n = 1, 2,...

12 Métodos Num.: Ecuaciones no lineales. donde la ecuación vectorial X = GX) debe ser equivalente a la asociada al sistema inicial F X) = 0). Un caso particular de método para resolver el sistema 2.6) es el de Newton para sistemas; a saber: ) x0 X 0 = = aprox, inicial y 0 ) X n = X n 1 J 1 f1 X n 1 ) f 2 X n 1 ) n = 1, 2,... donde J es el Jacobiano de f 1 y f 2 evaluado en la aproximación X n 1 Ejemplo Aplique el método de Newton para estimar la raíz del sistema no lineal: en el cuadrado [1, 3] [1, 3]. Solución. x 2 + y 2 = 10 x 2 y 2 = 1 Para aplicar el método de Newton al sistema hemos de escribirlo en la forma estándar: x 2 + y 2 10 = 0 x 2 y 2 1 = 0 Ahora calculamos la matriz jacobiana asociada; es decir, ) 2x 2y J = 2x 2y Esta matriz ha de ser invertible en cada aproximación calculada, cosa que es cierta siempre que x, y) 0, 0) detj) = 8xy). Ahora, el método quedaría: 2.7) X 0 = X n = x0 ) = y 0 xn ) = y n 1. 1. ) xn 1 ) ) 1 2xn 1 2y n 1 y n 1 2y n 1 2x n 1 x 2 n 1 + y 2 n 1 10 x 2 n 1 y 2 n 1 1 ) n = 1, 2,... cuyos resultados numéricos vienen dados en la figura capturada desde Mathematica siguiente: En esta figura se puede observar como se implementa de forma básica, en MATHEMATICA, el método de Newton para un sistema no lineal y mostrándose en pantalla las iteraciones calculadas en este caso 5 han sido suficientes para comprobar la convergencia a la solución buscada). Así, una aproximación a la solución buscada r, s), será: r 2.34521; s 2.12132

Apuntes de J. Lorente 13 Figura 2.4: Newton-Sistemas