Teoría de Conjuntos.
Los conjuntos siempre han existido desde los comienzos de la humanidad, incluso antes de ella. Tenemos el Universo, el cual es un grupo enorme e infinito, del cual podemos deducir ciertas ideas, ordenarlos en conjuntos mas pequeños como las galaxias o nuestro propio sistema solar.
Podemos decir entonces que los conjuntos siempre han existido y su misión es ordenar y agrupar, con el fin de poder definir grupos, etnias, comestibles, vestimentas, y así podríamos seguir enumerando. Por ejemplo, si tomamos una tienda de retail como un conjunto, al cual denominaremos Universo, dentro de ella se tienen distintos departamentos: Electrónica, Vestimenta, Hogar, etc.
Tomaremos como un conjunto definido de este Universo llamado Retail: Vestimenta. Dentro de la vestimenta encontramos: Vestimenta de niños, Vestimenta de niñas, Vestimenta de Hombre Sport, Vestimenta de hombre Formal, Vestimenta de Mujer Sport, Vestimenta de Mujer Casual, Vestimenta de Mujer Formal, etc.
Si tomamos la Vestimenta como un conjunto definido de este Universo llamado Retail, podemos definir grupos pequeños de diferentes estilos de vestuarios, distintas edades, distinto sexo, etc. Aquí tenemos un acercamiento a lo que se conoce como un subconjunto. La idea de la teoría de conjunto, soluciona muchas cosas dentro de la matemática, y no sólo dentro de la matemática, sino también en la vida cotidiana, ya que aprendemos a agrupar nuestras cosas en la casa, como cuando juntamos los sweater en un lado, los pantalones en otro, etc. Cuando lavamos ropa y no juntamos la ropa negra con la blanca, etc.
Ahora que se tiene mas clara la idea de lo que es un Universo, un Conjunto y un Subconjunto, tendremos algo de historia sobre la teoría de conjunto. George Cantor (1845-1918) fue quien prácticamente formuló de manera individual la teoría de conjuntos a finales del siglo XIX y principios del XX. Su objetivo era el de formalizar las matemáticas como ya se había hecho con el cálculo cien años antes. Cantor comenzó esta tarea por medio del análisis de las bases de las matemáticas y explicó todo basándose en los conjuntos (por ejemplo, la definición de función se hace estrictamente por medio de conjuntos). Este monumental trabajo logró unificar a las matemáticas y permitió la comprensión de nuevos conceptos. El problema apareció cuando se comenzaron a encontrar paradojas en esta teoría, siendo la más célebre la paradoja de Russell, y más tarde varios matemáticos encontraron más paradojas, incluyendo al mismo Cantor. Russell descubrió su paradoja en 1901, y la publicó en un apéndice de su libro "Principios de las matemáticas".
Georg Ferdinand Cantor A continuación, entraremos mas en detalles sobre la definición de un conjunto.
a SedicequeAesunconjunto,cuandoparacadaelemento a donde esuna proposición verdadera. Los conceptos de conjunto, elemento y pertenencia son intuitivamente muy simples. Conjunto: Conjunto (del latín coniunctus) es lo que está unido, contiguo o incorporado a otra cosa, o que se encuentra mezclado, combinado o aliado con otra cosa diversa. Unconjunto,porlotanto,esunagregadodevariascosasopersonas. Componente: Componente es aquello que forma parte de la composición de un todo. Se trata de elementos que, a través de algún tipo de asociación o contigüidad, dan lugar a un conjunto uniforme. Por ejemplo: Un pequeño motor, un reloj y un mecanismo electrónico son los componentes de este aparato. Pertenencia: La pertenencia (del latín pertinentĭa) es la relación de una cosa con quien tiene derecho a ella. El término suele utilizarse para nombrar a la cosa que es propiedad de una persona determinada (es decir, que tiene un dueño). Por ejemplo: Tengo que trasladar mis pertenencias a la nueva casa. A
Notación: Conjunto: Elementos: Pertenece: No Pertenece: A, B, C...,,... a b c Para anotar un conjunto, lo podemos hacer mediante dos alternativas: 1.- Axioma Extensión: Elementos del Conjunto. 2.- Axioma Especificación (Comprensión): Propiedades de los elementos del conjunto.
En el caso de dar un conjunto por extensión, escribimos los elementos del conjunto. Sin embargo, al escribir un conjunto por especificación lo hacemos dando las propiedades del conjunto, o sea, si A es un conjunto y P(x) es una propiedad aplicada a los elementos del conjunto A, entonces existe un conjunto B constituido con los elementos del conjunto AquesatisfaceenlapropiedadP. { /, ( ) } B = a a A P a esverdadero Ej: Escribir por extensión { / +," " } A = x x x esimpar A = { 1,3,5,... }
Subconjunto: Se dice que un conjunto A es subconjunto de B si y sólo si todo elemento deaestambiénelementodeb.anotaremos: A B OSEA A B x ( x A x B) IgualdaddeConjunto:SedicequedosconjuntosAyBsonigualessiysólosiellostienen los mismos elementos. O sea: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A = B x x A x B A = B x x A x B x B x A A = B A B B A Conjunto Universo: Se llama conjunto universo aquel conjunto que contiene a todos los elementos que intervienen en un determinado estudio o investigación y se nota como: Este símbolo denota el Universo dentro de la teoría de conjunto.
Ejemplo: Igualdad de conjuntos. Tenemos dos conjuntos de alimentos: Conjunto A: Pan Amasado Conjunto B: Pan batido. Ambos conjuntos son iguales, porque tienen los mismos elementos, en este caso es el pan. Conjunto A Conjunto B
Conjunto Vacío: Sea A un conjunto. Se llamará subconjunto vacío de A al conjunto: { x / x A, x x} = Observaciones: { } 1.- El conjunto vacío se puede anotar y también. 2.- El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto. Conjunto Potencia: Es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado. Si A es el conjunto, entonces anotaremos: P ( A) ( A ) P ( A) Ej: Del conjunto dado anteriormente el conjunto será: Conjunto Completo P ( A ) = {, { 1 },{ 3 },...,{ 1,3 },{ 5,3 },...,{ 1,3,5 },...,{ 1,3,5,7,... }}
Observación: Para determinar el conjunto potencia, el número de subconjunto está dado por: * 2 = P( A) Númerodeelementosde. *=númerodeelementosdea. Conjuntos Disjuntos: Se dice que dos conjuntos son disjuntos si y sólo si estos conjuntos no tienen elementos en común. Por ejemplo, si tenemos dos grupos de alimentos. Un conjunto A que posee paquetes defideosyotroconjuntobqueposeepaquetesdearroz. Si lo analizamos del punto de vista si ambos son iguales, la respuesta es no, ya que un conjunto tiene fideos y el otro tiene arroz, por lo tanto, estos conjuntos son disjuntos. Conjunto A Conjunto B
Operaciones Básicas entre Conjuntos. Unión: Dados los conjuntos A y B, se define la unión entre ellos como el conjunto formado por los elementos de A ó los elementos de B. O sea: A B = { x / x A x B}
Propiedades: A A = A A = A A U = U 1.- 2.- 3.- A B B A = ( ) ( ) 4.- 5.- 6.- Si entonces A 7.- entonces A B C = A B C A B C D A B B D B A C B C Intersección: Dado dos conjuntos A y B se define la intersección entre ellos como el conjuntodetodosloselementosqueestánenaytambiénelementosqueestánenb. { / } A B = x x A x B
Propiedades: A A = A A = A U = A 1.- 2.- 3.- A B B A = ( ) ( ) 4.- 5.- A B C = A B C U A( x) Complemento: Dado un conjunto universal y un subconjunto entonces se llamará complemento del subconjunto A al conjunto formado por todos aquellos elementosquenoestánena. { U / } c A = x x A
Propiedades: ( c A ) c = A ( ) c =U ( U) c = 1.- 2.- 3.- Diferencia: Dados dos conjuntos A y B de un mismo Universo U se define la diferencia entre ellos como el conjunto de todos aquellos elementos que están en A pero no están en B. Propiedades: 1.- 2.- 3.- 4.- 5.- 6.- { U / } A B = x x A x B A A = A U = c A B = A B A = A A ( B C) = ( A B) ( A C) A ( B C) = ( A B) ( A C)
Diferencia Simétrica: Sea A y B dos conjuntos se define la diferencia simétrica entre ellos comoaquelconjuntoquecontienetodosloselementosdeaperonotodoslosdeb. { / } A B = x x A x B Propiedades: 1.- 2.- 3.- A B C = A B A C 4.- 5.- 6.- 7.- A B = B A A( BC) = ( A B) C ( ) ( ) ( ) A B = ( A B) ( A B) = ( ) ( ) A B = ( A B) ( A B) A B A B B A A B = ( A B) ( A B)