Dimenionamieno de loe con demanda inciera. Vícor M. Albornoz Ingrid L. Bohn María F. de la Maza Deparameno de Induria Univeridad écnica Federico Sana María Av. Sana María 6400. Saniago Reumen En el preene rabajo e aborda la reolución de un problema de dimenionamieno de loe con inceridumbre en la demanda. Modelada la inceridumbre a ravé de un conjuno finio de ecenario, definido obre odo el horizone de planificación, e propone un modelo de programación eocáica para el problema abordado. El modelo propueo reula nauralmene de mucho mayor amaño que un modelo deerminia para el mimo problema. De ee modo, al hacer uo de un ofware eándar de programación enera, el modelo no puede er reuelo a opimalidad en u formulación original, eencialmene por fala de memoria. Lo anerior moiva el eudio de eraegia alernaiva de reolución. En ee arículo, en paricular, e emplea la reformulación equivalene propuea por Eppen y Marin. Se muera lo reulado en la reolución de un problema epecífico bajo diino conjuno de ecenario, eguido del cálculo del valor de la información y un análii de enibilidad con diferene diribucione de probabilidad y con diino coo de eup, empleando el ofware AMPL/CPLEX. rabajo parcialmene financiado por FONDECY, Proyeco de Inveigación No.99006, y por la Univeridad écnica Federico Sana María, Proyeco de Inveigación USM No. 28.02.2
. Inroducción En la acualidad, la emprea enfrenan mercado cada vez má complejo y compeiivo que permie obervar un ineré creciene por abordar diferene problema de logíica de la producción y de lo ervicio mediane el uo de modelo de opimización, como pare de lo iema inegrado de planificación y adminiración. En paricular, en problema de planificación de la producción en proceo de manufacura, e conempla uualmene modelo de opimización que ienen por objeivo proveer una políica ópima de producción, obre un ciero horizone de planificación, de modo al de minimizar coo y, imuláneamene, aifacer ciero requerimieno eimado de demanda. Con el propóio de enregar una adecuada olución al omador de deciione, en mucha iuacione e hace indipenable ademá la incorporación explícia de la inceridumbre preene en la demanda y coo del problema, para una correca formulación del mimo. La Programación Eocáica, a ravé de lo modelo denominado con recuro, provee una meodología para llevar a cabo ee propóio, que mediane la reolución de un modelo de opimización enrega una políica ópima implemenable, omando en cuena cada ecenario paricular. En cao de coniderar una demanda y coo conocido, un modelo (deerminia) de dimenionamieno de loe provee una olución ópima en lo nivele de producción de uno o múliple produco, en un número finio y dicreo de periodo, de modo de aifacer lo requerimieno de demanda. El modelo conidera la minimización de lo coo (variable) de producción y manenimieno de unidade en invenario y ambién ciero coo fijo (eup), pudiendo coniderar adicionalmene la diponibilidad de ciero recuro ecao. En preencia de inceridumbre, modelada ea úlima a ravé de un conjuno finio de ecenario definido obre odo el horizone de planificación, en ee rabajo e formula y reuelve un modelo con recuro que provee una olución ópima omando en cuena cada ecenario de modo de minimizar lo coo eperado de producción, invenario y eup, y imuláneamene dar cumplimieno a lo requerimieno de demanda, limiacione en la diponibilidad de recuro y un conjuno adicional de rericcione que dan origen a una olución ópima implemenable, en el enido de que a ecenario de demanda idénico haa un ciero periodo, oda la deciione adopada haa ee periodo deben reular ambién idénica para lo repecivo ecenario. Eneguida, e exiende el uo de la redefinición de variable dearrollada por Eppen y Marin, para un modelo deerminia de dimenionamieno de loe, a un modelo de programación eocáica con recuro en variable enera-mixa. Como e podrá apreciar, el empleo de la
reformulación de Eppen y Marin reula má eficiene que la imple reolución del modelo propueo en u formulación original, haciendo uo en amba iuacione de un ofware de propóio general para problema de programación enera, como lo que provee AMPL/CPLEX. Por úlimo, e muera lo reulado alcanzado en la reolución de diferene inancia de un problema de prueba con dao reale, que conempla ecenario de demanda, y e eablecen la principale concluione y poible exenione del preene rabajo. 2. Problema de dimenionamieno de loe La planificación de la producción iene por propóio proveer una políica de producción que permia decidir cuándo y cuáno elaborar cada produco frene a una demanda comúnmene flucuane en el iempo. Eo plane pueden dearrollare en horizone de planificación de largo, mediano y coro plazo, cada uno de lo cuale e ubdividido en un ciero número de periodo. En cualquiera de lo cao, eo plane e uan comúnmene en un equema de horizone rodane, que i bien conidera odo lo periodo del horizone de planificación, ólo recoge la olucione del primer periodo. Una vez concluido ee, el modelo e vuelve a reolver agregando un nuevo periodo al final del horizone (maneniendo fijo aí el número oal de periodo), lo cual permie inroducir, de er neceario, cambio en lo parámero aociado a periodo fuuro que enfrenan una inceridumbre creciene conforme e alejan del primer periodo de planificación. En un horizone de planificación de largo plazo, lo periodo on anuale y la deciione e relacionan principalmene con la capacidad, como conruir una nueva plana o expandir una exiene, y con lo produco, i e eliminan o e crean deerminada línea de produco. Por u pare, en un horizone de mediano plazo lo periodo generalmene on mee o rimere y la deciione eán vinculada a nivele de elaboración de produco finale o familia de produco, nivele de invenario, cambio en la fuerza de rabajo, ubconraación y iempo exra. Eo permie adicionalmene conocer lo requerimieno de maeria prima para aí firmar conrao con lo principale proveedore. Eo plane de mediano plazo e conocen como Planificación Agregada de la Producción y correponden a deciione a un nivel ácico en la firma. Por úlimo, en un horizone de coro plazo comúnmene lo periodo correponden a día o emana y la deciione (operacionale) e relacionan con en la canidade de cada produco final, ubenamblada y pare, e dan dealle a lo proveedore para que enreguen la canidade eablecida de maeria prima en fecha epecífica y e decide qué hacer en cada máquina o
aller. Lo iema moderno de planificación de la producción llaman a eo un Plan Maero de la Producción (MPS), cuyo degloe para cada componene de un produco final e hace uando la Planificación de Requerimieno de Maeriale (MRP). En la acualidad, y debido principalmene a lo reciene avance en ecnología de la Información, la compañía llevan a cabo eo plane en un equema inegrado de planificación y adminiración con el reo de la organización, incluyendo a vece haa lo mimo proveedore. Lo iema má eudiado y uilizado como pare de ee equema má global de planificación on el MRP II, la Producción Juo a iempo (Ju In ime, JI), la ecnología de Producción Opimizada (OP) y ERP (Enerprie Reource Planning). Ahora bien, lo modelo de opimización, como lo de dimenionamieno de loe eudiado en el preene arículo, on fundamenale para idenificar plane ópimo de producción y, de hecho, eán iendo incluido en forma creciene a ravé de módulo en ofware dearrollado para implemenar eo iema. Si la producción e para invenario, como e el cao de una emprea de elecrodoméico como CI (ver Gazmuri e al. 992 y Gazmuri y Maurana, 200), la compañía elabora eencialmene un número no muy elevado de produco finale muy eándare y debe dimenionar lo loe de produco finale, maneniendo exiencia de la mayor pare de u produco. Exien divero modelo de opimización para hallar loe ópimo de producción de uno o múliple produco obre un ciero horizone de planificación. En ee arículo, para implificar u preenación, e conidera un modelo báico no capaciado de dimenionamieno de loe, conocido como el modelo de Wagner-Whiin (958), que erá exendido para la diina formulacione que incluyen la preencia de ecenario de demanda. El modelo de Wagner-Whiin aume un horizone de planificación finio y dicreo, con demanda, coo marginale de producción e invenario y/o coo de eup conane pero variando en el iempo y, upone que no exie ningún ipo de rericción en cuano a la uilización de recuro como maquinaria y/o mano de obra. La olución ópima propuea para ee problema, buca por una pare reolver el conflico enre producir grande loe, para amorizar lo coo de eup, o producir pequeña canidade ajuada a la demanda, para ener bajo coo de invenario, de modo que lo coo de eup y manejo de invenario ean pequeño. No exiiendo inerdependencia enre íem, debido a la auencia de rericcione de capacidad, el dimenionamieno de loe puede er realizado para cada íem eparadamene. Má preciamene, el objeivo principal del problema conie en deerminar lo loe de producción para un produco en periodo, de modo de minimizar lo coo de producción, invenario y eup y, imuláneamene, aifacer la demanda del produco en cada periodo. La demanda e conocida y e aume que debe er aifecha compleamene en cada uno de lo
periodo, no permiiéndoe la exiencia de unidade de falane o de demanda pendiene. La variable de deciión del modelo correponden a: x : producción en el periodo, con =,...,. : I nivel de invenario al final del periodo, con =,...,. y : variable binaria de eup del periodo, que oma el valor i e fabrica el produco en el periodo y 0 ino, con =,...,. En conecuencia, el modelo de Wagner-Whiin puede er formulado de acuerdo al iguiene modelo lineal de programación enera-mixa: Min.a. x + h I + = = = v r y () + x I d,.. I = = (2) x d y =,.. (3) I 0 = 0 (4) x { 0,} 0, I 0, y =,.. (5) En el modelo ()-(5), la función objeivo conempla la uma de lo coo oale de producción, con un coo uniario v de producción en el periodo, de invenario, con un coo de manenimieno de invenario de una unidad al final del periodo, y de eup, con r el coo de eup para el periodo, con =,...,. La rericción (2) eablece, mediane la producción de unidade y la exiencia en invenario, el cumplimieno de lo requerimieno de demanda cada periodo del horizone de planificación =,...,. En la rericción (3), el érmino h d en d repreena una coa uperior del nivel de producción en el periodo, coniderando en ee cao d = i = d i, que correponde a la demanda acumulada dede el periodo haa. Ee valor provee, en auencia de rericcione de capacidad y bajo el upueo de no permiir unidade de falane, la mejor coa uperior para el nivel de producción en cada periodo. La incluión de ea rericción permie repreenar la inerción de lo coo fijo de eup en la función objeivo para cada periodo. En efeco, i la producción x > 0, para el cumplimieno de (3) neceariamene la variable binaria y =, en cao conrario, i x = 0, por coo y = 0. Adicionalmene, la rericción (4) upone
un nivel de invenario inicial nulo y la rericción (5) impone deciione no negaiva de producción e invenario. Por ora pare, el modelo ()-(5) fue reformulado por Eppen y Marin eencialmene como un problema de Rua má Cora. Ea reformulación hace uo de la erucura epecial que poee la olución ópima del problema deerminia de dimenionamieno loe no capaciado: primero, que la deciione (ópima) no nula de producción eán aociada a periodo en lo cuale el invenario al inicio del periodo e cero y, egundo, como conecuencia de lo anerior, que la producción (ópima) en un deerminado periodo e nula o correponde a la demanda acumulada dede el periodo haa algún periodo (fuuro) k, con k, e decir x { 0,d,..., d } para k =,..., con d k = j = d j para k. A modo de ejemplo, e conidera un problema con =3 periodo de planificación. El repecivo problema de rua má cora eá aociado a una deerminada red dirigida (Figura ), con un nodo auxiliar 0 de origen y nodo, 2 y 3 que repreenan lo repecivo periodo de producción. Uando la mencionada erucura que poee la olución ópima, e aocia al arco (0,) una deciión de producción del periodo que equivale a la demanda de ee periodo, al arco (0,2) una deciión de producción en el periodo que equivale a la demanda del periodo y 2, al arco (0,3) una deciión de producción en el periodo que equivale a la demanda del periodo, 2 y 3, a u vez al arco (,2) una deciión de producción en el periodo 2 que equivale a la demanda del periodo 2, al arco (,3) una deciión de producción en el periodo 2 que aiface la demanda del periodo 2 y 3 y, finalmene, al arco (2,3) una deciión de producción en el periodo 3 que equivale a la demanda del periodo 3. Dado lo anerior, para cada uno de lo arco (i,j) de la red e puede definir un coo poiivo (de producción, invenario y eup) aociado a la repeciva deciión de producción en dicho arco. De ee modo, la rua má cora del nodo 0 al nodo 3 provee preciamene la olución ópima del problema. 0 2 3 Figura. Problema de rua má cora. Má generalmene, para el modelo ()-(5) e define una red con un conjuno de nodo 0,,..., y un conjuno de arco (i,k) para i=0,,...,- y k=i+,...,; aociado a cada uno de eo arco (i,k) hay un coo c ik (v + j = = h ) d, correpondiene al coo de producir (y almacenar) j k
d k unidade en el periodo =i+ para aifacer la repeciva demanda dede el periodo haa el periodo (fuuro) k. Por ora pare, el modelo reformulado conempla, por cada arco (i,k) de la red, una variable de deciión binaria z ik, que indica i la rua má cora del nodo 0 al nodo paa o no por el arco (i,k), o en ora palabra i la producción en =i+ equivale a la demanda del periodo haa el periodo k, y conerva la variable binaria de eup y para cada periodo =,...,. Con odo lo anerior, el modelo propueo para el problema no capaciado de dimenionamieno de loe, egún la redefinición de Eppen y Marin, reula er: Min c ik i= 0 k= i+ z ik + i i= r y i K (6).a. z k= k= i+ 0 k = i z ik z ji = 0 j= 0 z ik yi+ k= i+ (7) i = 0,... (8) i = 0,... (9) z ik {0,} ; y i {0, } (0) La función objeivo (6) minimiza lo coo de producción, invenario y eup, donde la conane K= =, h d. La rericción (7), obliga a definir una olución de producción en el primer periodo, o equivalenemene a definir una rua que alga del nodo cero (origen) a ravé de un ólo arco. La rericción (8), correponde a ee mimo hecho para lo periodo inermedio =,...,-, que en érmino de un problema de rua má cora eablece que i una rua llega a un nodo inermedio ambién debe alir una rua dede ee nodo. La rericción (9), relaciona la deciión de producción en un periodo paricular con la correpondiene variable de eup. Ademá, impone que fijado el valor de i, a lo má ólo una de la variable z ik ome el valor de enre odo lo valore poible de k, que define, en cao de producir, aquella única deciión no nula de producción en el periodo =i+, de acuerdo a lo poible valore que puede omar la olución ópima en ee periodo. La venaja que preena ea nueva formulación e que permie recuperar la olución ópima al modelo ()-(5) mediane la imple reolución de la relajación lineal del modelo (6)-(0), como conecuencia del reulado eablecido en la propoición 4. del ciado arículo de Eppen y Marin y el hecho que x = k=, d k z - k e I = ( i=, x i ) - d para cada =,...,. Cabe hacer noar que un reulado imilar puede er obenido para el problema con rericcione de capacidad, pero en ee cao la equivalencia e logra conervando ahora la inegralidad de la variable de eup.
Por ora pare, divero auore han coniderado exenione al modelo ()-(5). Aí por ejemplo enre una larga lia de arículo, Manne (958) formuló el problema capaciado de dimenionamieno de loe para múliple produco, eo e un modelo que conidera la elaboración de vario produco y que, al mimo iempo, oma en cuena la diponibilidad en cada periodo de uno o má recuro limiado que e uan para elaborar odo o una pare de lo produco coniderado en el problema. Zangwill (966) exendió ()-(5) a un modelo con demanda pendiene, eo e un modelo donde en cada periodo no neceariamene e aiface oda la demanda pudiendo dejar unidade pendiene para un periodo fuuro, coniderando por upueo un coo en cada periodo por oal de unidade no aifecha haa ee periodo. Crowon y Wagner (973) lo exendieron a un modelo de dimenionamieno de loe con múliple nivele de enamblaje, eo e un modelo donde no ólo e conideran deciione (nivele producción e invenario) repeco de produco finale ino ambién obre pare y componene, conocida la erucura de cada iem en érmino de la inerdependencia enre ello. Karmarkar e al. (987) y, má recienemene, Woley (989) lo exendieron a uno que ademá conabiliza coo fijo de puea en marcha cada vez que e inicia la producción de un produco obre un inervalo de periodo conecuivo, eo e un modelo en que i e elabora por ejemplo un mimo produco en cada uno de lo primero cinco periodo, e paga ademá del coo fijo de producir en cada uno de lo cinco periodo un coo fijo de puea en marcha en el primer periodo. Ora referencia de ineré pueden conulare adicionalmene en Salomón (99), Grave e al. (993) y Drexl and Kimm (997). En ee rabajo, en cambio, e conidera a coninuación un modelo de dimenionamieno de loe que incorpora explíciamene la preencia de un número finio de ecenario de demanda que exiende el modelo ()-(5) y cuya poerior exenión a alguna iuacione má generale como la decria arriba reula naural. 3. Modelo de dimenionamieno de loe bajo inceridumbre En divera iuacione reula má realia coniderar la demanda fuura como un parámero bajo condicione de inceridumbre y, en conecuencia, e buca incorporar por ejemplo divero ecenario y, por lo mimo, eudiar una manera de formular, reolver y analizar modelo de opimización con parámero no deerminia. La Programación Eocáica agrupa la lieraura relacionada con la incorporación explícia de la inceridumbre y el riego en modelo de opimización, ver por ejemplo Birge and Louveaux (997), Sen and Higle (999), para un uorial en el cao de modelo lineale, y Ruzczynki and Shapiro (2003) para una reviión má
recienemene de modelo, méodo y aplicacione. Ea área exiende lo modelo deerminia de Programación Lineal, Enera y No-Lineal al incluir explíciamene variable aleaoria en lo parámero del modelo, coniderando ípicamene la maximización o minimización de funcione en valor eperado y/o de varianza o momeno de egundo orden. En paricular, un modelo con recuro de programación eocáica calcula una olución ópima en la cual e poible diinguir, en cada eapa, variable de deciión cuyo valor debe er obenido ane de la realización del parámero aleaorio al final de la eapa, eo e independiene de la realización de cada ecenario paricular y variable llamada de recuro, cuyo valor depende ano de la variable ya mencionada como del ecenario paricular. odo lo anerior permie dar la flexibilidad necearia al modelo propueo como una manera de enfrenar ea inceridumbre. El modelo ()-(5), o u reformulación equivalene (6)-(0), puede er vio como un modelo reulane al reemplazar el valor de la demanda aleaoria por u valor eperado. Por u pare, lo reulado alcanzado pueden er muy diferene de lo que arrojaría un modelo de programación eocáica, lo cual e paricularmene noorio cuando exien imporane variacione en orno del valor eperado. De ee modo, al no incluir explíciamene ea variacione en un modelo e obiene olucione muy opimia que en la prácica invalidan u implemenación de reular finalmene ecenario de demanda fuura muy diferene del promedio. En lo que igue, e formula un modelo de programación eocáica que exiende el modelo ()-(5) al coniderar la preencia de divero ecenario de demanda, definido obre odo el horizone de planificación. Para ee propóio, e conidera un número finio de ecenario Ω={,...,S}, denoando por d la demanda para el periodo, con =,..,, bajo el ecenario Ω. Cada ecenario Ω iene a u vez una probabilidad de ocurrencia que e denoará por p, valore que nauralmene aifacen p =, con p 0. Ω Adicionalmene, e definen nueva variable de producción, invenario y eup para cada ecenario de demanda. Al ecoger la deciione por ecenario, e iene un modelo que permie una mayor flexibilidad al omador de deciione y, al mimo iempo, permie la exiencia de olucione facible. Má epecíficamene, el modelo propueo para el problema de dimenionamieno de loe no capaciado con ecenario de demanda, conempla la iguiene variable de deciión: x : producción en el periodo para el ecenario, con =,..., y Ω, I : invenario al final del periodo para el ecenario, con =,..., y Ω, y : variable binaria de eup del periodo para el ecenario, con =,..., y Ω,
y correponde al iguiene modelo lineal de programación eocáica con recuro: n Min p ( v x + h I + r y ) () = = = =.a. + x I d Ω I = =,...,; (2) x d y =,...,; Ω (3) I 0 = 0 Ω (4) x x N, I N,y N (5) { 0,} 0, I 0, y =,...,; Ω (6) La función objeivo en () correponde a minimizar el valor eperado de lo coo de producción, invenario y eup. Como ane, la rericción (2) repreena lo requerimieno de demanda, definido ahora para cada periodo y ecenario, la rericción (3) permie la incluión de lo coo fijo de eup, (4) aume un invenario inicial nulo para cada ecenario y (6) la nonegaividad de la variable de deciión. En ano, (5) eñala que la deciione adopada deberán aifacer un conjuno de rericcione adicionale llamada de no-anicipaividad, que no permien la eparabilidad del modelo por ecenario. Inroducida originalmene por We (975), ea rericcione permien obener olucione implemenable en el iguiene enido: i do ecenario diferene y, on idénico haa la eapa τ, con τ Τ, enonce haa ea eapa la deciione de producción, de invenario y de eup, para =,...,τ, deberán er idénica y e denoa por N el conjuno de la deciione que aifacen dicha rericcione. Eapa Eapa 2 Eapa 3 Ecenario Ecenario 2 Ecenario 3 Ecenario 4 Ecenario 5 Ecenario 6 Ecenario 7 Ecenario 8 Ecenario 9 Figura 2: Arbol de 9 ecenario de demanda Aí por ejemplo, en un problema de producción con re eapa y 9 ecenario de demanda, ver Figura 2, en la primera eapa e oma la mima demanda para lo 9 ecenario, en la egunda e aume re valore diferene de la demanda, uno de cuyo valore e el mimo para lo ecenario
, 2 y 3 y análogamene para lo ecenario 4, 5 y 6 y lo ecenario 7, 8 y 9. En el ejemplo, la rericcione de no-anicipaividad imponen que en la primera eapa la producción de ea eapa ea la mima para cualquier ecenario. Por u pare, en la egunda eapa la producción debe er la mima para lo ecenario, 2 y 3 y análogamene para lo ecenario 4, 5 y 6 y lo ecenario 7, 8 y 9 con lo repecivo valore de demanda en ee periodo. El modelo propueo eá muy relacionado con alguno rabajo previo en el ámbio de problema de planificación de la producción, como por ejemplo el arículo de Ecudero e al. (993), que preena divero modelo de programación eocáica en problema capaciado de producción, y el arículo de Albornoz y Conee (999), que conidera diferene modelo de programación eocáica para problema de planificación agregada de la producción, odo lo cuale preenan adicionalmene alguna eraegia algorímica de reolución. Una caraceríica común de ea clae de modelo de opimización bajo condicione de inceridumbre, como el formulado en ()-(6), e el número mucho mayor ano de variable como de rericcione repeco de un modelo deerminia, como el modelo ()-(5). Eo hace neceario coniderar eraegia adecuada de reolución y, de hecho, exie un gran número de algorimo que pueden er empleado para ea clae de problema, ver por ejemplo Ermoliev and We (988), Birge and Louveaux (997) y Ruzcynki and Shapiro (2003), oda como alernaiva al empleo de un ofware de propóio general para problema en variable enera-mixa. En ee arículo, en cambio, e exiende el uo de la redefinición de variable propuea por Eppen y Marin para el problema deerminia, inroducida en la ección 2, a un modelo con ecenario de demanda. La reformulación coniderada e al que lo valore de la nueva variable correponden a una olución facible de producción, invenario y eup, e decir no e crean nueva olucione facible a ravé de la redefinición, al redefinir la variable no e pierde la olución ópima del problema original y, por úlimo la redefinición coniuye una mejor aproximación del modelo original en variable enera-mixa, en el enido que la relajación lineal del problema reformulado (aplicando una ranformación al epacio correpondiene de la variable originale) reula una mejor aproximación de la envolura convexa del problema, repeco de la relajación lineal del modelo en u formulación original. Baado en el modelo (6)-(0), e conempla la iguiene variable de deciión: z ik i e produce en el periodo = i + para : el periodo k, para el ecenario 0 ino i = 0,.., ; k = i +,..,; Ω aifacer la y : variable binaria de eup del periodo en el ecenario, con demanda haa =,..., y Ω
de donde el modelo reformulado para el problema con ecenario de demanda, baado en la redefinición de Eppen y Marin, reula er: Min n = cik i= 0 k= i+ p ( z ik + = r y ) K (7).a. k= k= i+ z 0k = Ω (8) z ik k= i+ k= z ik z ik z j = 0 d j= 0 y i+ k z,k = l= d l z ',l { 0, }, y { 0,} i =,..., ; Ω (9) i = 0,..., ; Ω (20) y ' idénico haa con =,..., (2) i = 0,...,, k = i +,...,, Ω (22) Como en (), la función objeivo (7) incluye lo coo eperado de producción, invenario y eup, donde Ω = cik (v + j = j k = h ) d para = i +, con i = 0,...,-, k = i +,..., y la conane K = p ( h d ). La rericcione (8), (9) y (20) implemene exprean lo mimo que (2), (3) y (4) ahora para cada ecenario, repecivamene. Por u pare, la rericción (2) repreena de manera explícia la rericcione de no-anicipaividad para la deciione aociada a la producción en cada periodo o eapa donde coincidan do o má ecenario de demanda haa dicho periodo o eapa. Se ha omiido la rericcione de no-anicipaividad obre la variable de eup pue ea nauralmene e cumplen al er impuea obre la deciione de producción. Como e eñaló aneriormene, la redefinición de variable de Eppen y Marin permie recuperar la olución ópima del problema deerminia mediane la reolución de la relajación lineal del modelo (6)-(). E imporane hacer noar que en preencia de la rericcione de noanicipaividad como de rericcione de capacidad ee ya no e el cao. Sin embargo, la olución ópima del problema en eo cao puede er obenida a parir de (7)-(22) relajando al meno la inegralidad de la variable z ik, reulado que e deduce a parir de la propoición 2.2 en Eppen y Marin (987). La experiencia numérica, reumida en la iguiene ección, confirman eo úlimo de modo que el modelo reformulado provee una mejor aproximación de la envolura convexa del problema ()-(6), hecha la repeciva ranformación al epacio que definen la
variable de producción, invenario y eup, repeco de la relajación lineal del modelo en u reformulación original. Por úlimo, hacemo noar que a parir de la olución ópima del modelo (7)-(22) puede obenere fácilmene la olución ópima en la variable originale, definiendo implemene en cada periodo la olución ópima de producción por x k = = d z y el nivel de invenario al final k,k del periodo por I = i = x i d, para cada =,... 4. Ejemplo compuacional A fin de poder comparar la calidad de la reformulación uilizada en la reolución de un modelo de dimenionamieno de loe con ecenario de demanda, e omará un ejemplo con un horizone de planificación de = 6 mee que conempla la elaboración de 9 produco, conocido lo coo uniario de producción, de manenimieno de una unidad en invenario y de eup, para cada produco y en cada periodo del horizone coniderado. Lo dao fueron omado de un problema de nauraleza real y correponde a la planificación de una plana de refrigeradore de la emprea CI, eudiado originalmene para el cao deerminia en Gazmuri e al. (993). Lo diino modelo eocáico reuelo en ee rabajo conemplan el uo de diferene conjuno de ecenario de demanda. En cada cao, lo ecenario reulan de hacer oda la combinacione poible coniderando re poibilidade en cada una de la eapa en la cuale e han reagrupado lo diferene periodo del horizone de planificación, con excepción de la primera eapa que iempre correponderá al primer periodo y cuyo valor aumimo eá exeno de inceridumbre. De igual modo, e upone conocida la probabilidade para cada una de ea re poibilidade por eapa, que podríamo aociar como demanda ala, media y baja, aumiendo adicionalmene la independencia de ea demanda enre eapa. Se conideran modelo eocáico con 3 y 9 ecenario de demanda, correpondiene a problema con 2 y 3 eapa, repecivamene. Ea eapa reulan de agrupar en la úlima lo 5 y 4 úlimo mee del horizone de planificación, repecivamene. Por ejemplo, en un problema con 9 ecenario de demanda, ver figura 2, en la eapa (periodo ) e aume ólo un valor para la demanda, en la eapa 2 (periodo 2) e conidera re poibilidade (una demanda ala, media y baja) y en la eapa 3 (periodo 3 en adelane) e conideran nuevamene re poibilidade para la demanda de oda la eapa. Aumiendo la independencia de la demanda enre eapa, al hacer
oda la combinacione poible de lo diferene valore enre la re eapa reulan lo nueve ecenario que aparecen en la Figura 2. La abla muera como fueron agrupada la diina eapa, en érmino de lo periodo que incluyen, mee numerado del al 6, y el amaño de lo modelo abordado. Deerminia 3 ecenario 9 ecenario Número de eapa 2 3 Mee en cada eapa - 6, 2-6, 2, 3-6 62 variable 486 variable.458 variable Modelo formulación original 54 binaria 62 binaria 486 binaria 77 rericcione 585 rericcione.908 rericcione 378 variable.34 variable 3.402 variable Modelo de Eppen-Marin 54 binaria 62 binaria 486 binaria 68 rericcione 540 rericcione.359 rericcione abla. amaño de lo problema reuelo Lo diferene modelo coniderado en ee rabajo fueron formulado empleando el lenguaje de modelado algebraico AMPL, Fourer e al. (2003), uilizando en odo lo cao el olver CPLEX 6.0 para la reolución de lo diino modelo lineale en variable enera-mixa. Por u pare, la abla 2 muera lo valore de la función objeivo alcanzado en la evaluación de la mejor olución enera enconrada por el olver CPLEX, correpondiendo má epecíficamene al valor ópimo en el cao del modelo reformulado, de acuerdo a la redefinición de Eppen y Marin (7)- (22), y a un valor con un ciero error repeco del valor ópimo, gap de dualidad, para lo problema en u formulación original ()-(6), que no pudieron er reuelo a opimalidad con ecenario. Deerminia 3 ecenario 9 ecenario Modelo Original 7.03.65 7.04.383 7.05.456 Modelo de Eppen-Marin 7.03.65 7.04.308 7.05.45 abla 2. Valor de la función objeivo (en M$) Por ora pare, la abla 3 reume lo iempo de ejecución requerido por el olver CPLEX, para alcanzar lo valore dado en la abla anerior, uando un compuador Cluer 8 AXP 3700. 3 ecenario 9 ecenario Modelo en u formulación original 0,237 9,768 Modelo redefinido Eppen-Marin 0,930 6,750 abla 3. iempo de CPU (en egundo)
A coninuación, e mueran alguna gráfica que permien apreciar la robuez de ea clae de modelo, al llevar a cabo un análii de enibilidad repeco ano de la probabilidade coniderada como de lo coo de eup uado en lo diino modelo. Modelo eocáico con 9 ecenario Variación en la diribución de probabilidad 7.05.800 7.05.600 7.05.400 7.05.200 7.05.000 7.04.800 7.04.600 Cao Cao 2 Cao 0 Cao 3 Cao 4 Figura 3. Valore de la función objeivo para 5 diribucione de probabilidad (M$). En efeco, la Figura 3 muera que el valor ópimo e poco enible a lo cambio en la diribución de probabilidad aignada a la demanda aleaoria. Eo valore on lo arrojado para el modelo con 9 ecenario coniderando 5 eleccione de la mima. Modelo eocáico con 9 ecenario Variacione en el coo de eup 7.30.000 7.20.000 7.0.000 7.00.000 7.090.000 7.080.000 7.070.000 7.060.000 Cao Cao 2 Cao 3 Cao 4 Cao 0 Cao 5 Cao 6 Cao 7 Cao 8 Figura 4. Valore de la función objeivo para 9 coo de eup (M$). De igual forma, la Figura 4 permie obervar que la variacione porcenuale de la función objeivo frene a cambio en el eup no on ignificaiva, ya que ane un aumeno del 30% en el valor del eup (repeco del menor valor coniderado), la función objeivo olo varía un 0,5%. Por úlimo, e poible calcular el Valor Eperado de la Información Perfeca, que denoamo por EVPI (expeced value of perfec informaion), definido como la diferencia enre el promedio de lo valore alcanzado por la función objeivo del modelo deerminia para cada ecenario paricular y
el valor ópimo del modelo eocáico que incluye eo mimo ecenario. Ea expreión correponde al máximo valor que eá dipueo a pagar el omador de deciione por conocer la información del fuuro, Birge (995). La abla que igue reume lo valore ópimo del modelo deerminia para cada uno de lo nueve ecenario coniderado en ee rabajo, juno con el promedio de eo valore, el valor ópimo del modelo eocáico y el valor eperado de la información perfeca. Valor ópimo Modelo demanda exremadamene baja 6.29.643 Modelo demanda muy baja 6.464.038 Modelo demanda baja 6.634.98 Modelo demanda regularmene baja 6.932.223 Modelo demanda media 7.03.65 Modelo demanda regularmene ala 7.275.823 Modelo demanda ala 7.573.398 Modelo demanda muy ala 7.742.477 Modelo demanda exremadamene ala 7.97.45 Promedio (WS) 7.03.96 Modelo Eocáico (RP) 7.05.45 EVPI = RP - WS.490 abla 4. Valor de la Función Objeivo para 9 ecenario (en M$) Lo reulado alcanzado eablecen, por una pare, la validez de ea clae de modelo para enfrenar la inceridumbre en la demanda fuura del problema y, por ora pare, la conveniencia de la uilización de una écnica epecífica como la redefinición de variable de Eppen y Marin. Lo anerior e hace má evidene al deacar que ólo e pudo reolver a opimalidad lo modelo con re y nueve ecenario empleando la écnica de redefinición de variable, en ano con la formulación original eo no fue poible por fala de memoria en la aplicación del algorimo de Branch and Bound con que cuena el olver CPLEX. De igual modo, lo reulado coinciden de alguna forma con lo obenido por Albornoz e al. (200) que aplicaron ora conocida redefinición de variable a divero problema de dimenionamieno de loe. 5. Concluione En ee arículo e formula y reuelve problema de dimenionamieno de loe con demanda bajo inceridumbre, mediane el uo de la redefinición de variable propuea por Eppen y
Marin, exendiendo aí u aplicación del cao deerminia a modelo lineale de programación eocáica, con un número finio de ecenario. Lo reulado obenido mueran que la uilización de la redefinición de Eppen y Marin permie reolver modelo de mayor amaño, en menor iempo y alcanzando la olución ópima del problema repeco de la reolución del modelo en u formulación original, empleando en ambo cao un olver eándar de problema lineale en variable enera-mixa. El análii de enibilidad realizado con uno de lo modelo abordado ambién muera que lo valore ópimo no cambian ignificaivamene al modificar, por eparado, ano la probabilidade de lo ecenario como lo coo de eup y de invenario, que mueran la eabilidad de ea clae de modelo frene a perurbacione en alguno de lo parámero del modelo. Poible exenione del preene rabajo conien en aplicar la redefinición de variable de Eppen y Marin a la reolución de modelo de dimenionamieno de loe con demanda pendiene, múliple produco y rericcione de capacidad obre lo recuro diponible, como aí ambién la combinación de ea écnica de redefinición de variable con méodo de decompoición por ecenario, que a nivel de ubproblema permian recuperar modelo imilare a lo modelo deerminia de dimenionamieno de loe. 6. Referencia Bibliográfica Albornoz, V. y L. Conee, 999. Modelo de Opimización Robua para un Problema de Planificación Agregada de la Producción bajo Inceridumbre en la Demanda. Inveigación Operaiva, 7, No.3, -6. Albornoz, V., J. Arrae y L. Conee, 200. Solución de Modelo de Dimenionamieno de Loe no Capaciado bajo Inceridumbre en la Demanda. Revia del Iniuo Chileno de Inveigación Operaiva, Vol 6, No.-2, 52-62. Birge, J., 995. Model and model value in ochaic programming. Annal of Operaion Reearch 59, -8. Birge, J. and F. Louveaux, 997. Inroducion o Sochaic Programming. Springer, New York. Crowon, W.P. and M.H. Wagner, 973. Dynamic loize model for muliage aembly yem. Mamagemen Science 20, 3-2. Drexl, A. and A. Kimm, 997. Lo Sizing and Scheduling-Survey and exenion. European Journal of Operaional Reearch, 99, 22-235. Eppen, G. and R. Marin, 987. Solving Muli-iem Capacied Lo-izing Problem Uing Variable Redefiniion. Operaion Reearch, 35 (6), 832-848.
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