PROPORCIONALIDAD - Definición: Parte de las matemáticas que estudia las relaciones existentes entre magnitudes. Conceptos básicos en proporcionalidad: - Razón: - Es el cociente entre dos números de la forma a/b, siendo b distinto de cero. Los términos de una razón se denominan: antecedente (numerador) y consecuente (denominador) - Proporción: - Es la igualdad entre dos razones. Partes de una proporción: medios y extremos. a c a y d son los extremos y b y c son los medios. b d - Propiedades de las proporciones:. En cualquier proporción se cumple: Producto de medios igual a producto de extremos a c b d a d b c 2. Invirtiendo el orden de medios y extremos simultáneamente se obtienen proporciones equivalentes, pero SIEMPRE que se cumpla la primera propiedad con los mismos números, es decir el mismo producto de medios y extremos: a c equiv b d equiv c a... b d a c d b a d b c 3. Si sumamos o restamos los antecedentes y los consecuentes de dos o más razones equivalentes obtenemos otra razón equivalente a las anteriores. a c a c b d b d En esta propiedad se fundamenta el cálculo de los repartos.
- Cálculo de términos en una proporción: Dada la proporción: a c b d. Si a b c d entonces: - a: Primero proporcional - b: Segundo proporcional - c: Tercero proporcional - d: Cuarto proporcional 2. Si b=c, entonces; - a: primero proporcional - b y c (iguales, b=c): medios proporcionales - d: tercero proporcional. El término desconocido en una proporción se calcula aplicando el producto de medios igual a producto de extremos Magnitud: Cualquier característica medible de algo. Diferenciar entre magnitud y unidades. Magnitudes: longitud, superficie, volumen, capacidad, masa, tiempo.unidades: m, l, g, hora, mn.. - Tipos de magnitudes: o Independientes: Son aquellas que no implican una variación simultánea y proporcional de ambas. Es decir que al variar una de ellas no hace que la otra varíe necesariamente o en la misma proporción. o Dependientes: Están relacionadas, de modo que al variar una de ellas hace que varíe la otra. Magnitudes dependientes (proporcionales): Pueden ser de dos tipos:. Magnitudes directamente proporcionales: Aquellas en las que el incremento en una de ellas provoca un incremento proporcional en la otra y una disminución en una de ellas provoca el mismo efecto en la otra. Es decir, al multiplicar una de ellas por un número la otra queda multiplicada por el mismo número. Ejemplo: nº cuadernos comprados y precio. 2. Magnitudes inversamente proporcionales: Son aquellas en las que un incremento en una de ellas provoca una disminución proporcional en la otra magnitud y viceversa. Es decir al multiplicar una de ellas por un número la otra queda dividida entre ese mismo número. Ejemplo: velocidad y tiempo. 2
Magnitudes proporcionales: Dos magnitudes proporcionales tienen entre ellas una relación constante que se denomina constante de proporcionalidad:. Constante de proporcionalidad en magnitudes directamente proporcionales: Definición: Es la razón entre cada par de datos y debe ser siempre la misma entre cualquier par de datos de esas magnitudes. Masa Precio 2 4 3 6 5 0 2 3 5 k 4 6 0 2 2. Constante de proporcionalidad en magnitudes inversamente proporcionales: Definición: Es el producto de cada par de datos y debe ser siempre la misma entre cualquier par de datos de esas magnitudes. Velocidad Tiempo 30 6 90 2 60 3 k 60 3 90 2 30 6 i METODO DE RESOLUCION DE PROBLEMAS DE MAGNITUDES. Comprensión del enunciado: Elaborar OBLIGATORIAMENTE una tabla de magnitudes (no de unidades), identificando cada uno de los datos en su posición correspondiente. 2. Identificación del tipo de proporcionalidad-directa o inversa- para poder aplicar uno u otro plan de resolución. 3. Plan de resolución: a) Magnitudes directas: El cociente de cada par de datos debe ser el mismo e igual a la constante de proporcionalidad directa. b) Magnitudes inversas: El producto de cada par de datos debe ser el mismo e igual a la constante de proporcionalidad inversa. 4. Respuesta 5. Comprobación y coherencia del resultado 3
REPARTOS PROPORCIONALES Un reparto consiste en distribuir o repartir algo. Un reparto proporcional es aquel que adjudica una cantidad determinada de lo que se va a repartir a cada individuo en función de unos parámetros determinados. Los repartos pueden ser directa o inversamente proporcionales.. Un reparto es directamente proporcional cuando a cada individuo le corresponde mayor cantidad cuanto mayor sea el parámetro de reparto. Ej: Repartir beneficios proporcionalmente al capital invertido. 2. Un reparto es inversamente proporcional cuando a cada individuo le corresponde mayor cantidad cuanto menor sea el parámetro de reparto. Ej: Repartir un premio en proporción inversa a los fallos cometidos. Los repartos proporcionales se resuelven aplicando la tercera propiedad de las proporciones: Si sumamos o restamos los antecedentes y los consecuentes de dos o más razones equivalentes obtenemos otra razón equivalente a las anteriores. a c a c b d b d En esta propiedad se fundamenta el cálculo de los repartos.. Reparto directamente proporcional Ej: Repartir 40 chuches a 3 alumnos proporcionalmente a las calificaciones obtenidas 4, 7 y 9: x y z x y z 40 2 4 7 9 4 7 9 20 x 2; x 8 4 y 2; y 4 7 z 2; z 8 9 4
2. Reparto inversamente proporcional: Se realiza de forma análoga al directo pero aplicando el inverso del factor de reparto Ej: Repartir 00 puntos entre 3 participantes, en proporción inversa al número de fallos del concurso, 3, 6 y 8. x y z x y z 40 0 40 : 72 0 8 3 6 8 3 6 8 8 x : 72;3x 72; x 24 3 y : 72;6 y 72; y 2 6 z : 72;8z 72; z 4 8 24 2 4 40 5
PORCENTAJES Concepto: Un porcentaje es una parte de algo referida a un todo, cuando ese todo es cien. Por lo tanto se representa como una fracción de denominador cien: 22 22% es decir, de cien 00 partes se toman 22. Podemos establecer proporciones entre cualquier razón de datos y otra razón cuyo denominador será 00 y su numerador representará al porcentaje equivalente. Los porcentajes son siempre proporciones directas Para realizar problemas básicos de porcentajes, se realizarán por el método indicado anteriormente en la resolución de problemas generales de proporcionalidad. Analicémoslo con un ejemplo sencillo. Cuál es el porcentaje de alumnos que han faltado por la nieve si en una clase de 25 alumnos han faltado 8.. Tabla de magnitudes Alumnos totales Ausencias por la nieve 2. Completamos la tabla con los datos del problema suponiendo un total de 00 alumnos para calcular el porcentaje, según su definición: Alumnos totales Ausencias por la nieve 25 8 00 x 3. Aplicamos la proporcionalidad directa, ya que todos los porcentajes lo son, es decir el cociente de cada par de datos debe permanecer constante. 25 00 00 8 x x 32 8 x 25 Es decir han faltado un 32% o 32/00 alumnos 6
INCREMENTOS PORCENTUALES Se utilizan cuando se aplica un incremento a un precio total: ejemplo, recargos, impuestos como el IVA... En ese caso, consideraremos el precio neto representará el 00, y el incremento se sumará a 00 y equivaldrá al precio con el impuesto incluido. Ejemplo: Precio sin iva: 60 Precio con iva (7%): 07 Porcentaje precio 00 60 07 x Establecemos las proporciones teniendo en cuenta que los porcentajes son siempre directamente proporcionales: 60 x Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones: 00 07 60 07 00x 6420 00x 64,20 x Obteniendo así el precio final con el impuesto incluido. DESCUENTOS PORCENTUALES Se utilizan cuando se hacen rebajas o descuentos sobre un precio. En este caso el precio equivalente al 00, será aquel antes de practicar el descuento, y el precio con el descuento equivaldrá a 00 menos el descuento o rebaja que se practique. Ejemplo: Precio sin descuento: 60 Descuento 20% Porcentaje Precio ( ) 00 60 00-20=80 x Establecemos las proporciones teniendo en cuenta que los porcentajes son siempre directamente proporcionales: 60 x Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones: 00 80 60 80 00x 4800 00x 48 x Obteniendo así el precio final con el descuento realizado. 7